2021年内蒙古通辽市中考数学试卷（学生版+解析版）.docx

1、第 1页（共 28页） 2021 年内蒙古通辽市中考数学试卷年内蒙古通辽市中考数学试卷 一、选择题（本题包括一、选择题（本题包括 10 道小题，每小题道小题，每小题 3 分，共分，共 30 分，每小题只有一个正确答案，请分，每小题只有一个正确答案，请 在答题卡上将代表正确答案的字母用在答题卡上将代表正确答案的字母用 2B 铅笔涂黑）铅笔涂黑） 1 （3 分）|2|的倒数是（） A2B? ? C2D? ? ? 2 （3 分）下列计算正确的是（） Ax2+x3x5B2x3x31 Cx3x4x7D （2xy2）36x3y6 3 （3 分）为迎接中国共产党建党一百周年，某班 50 名同学进行了党史知识

2、竞赛，测试成 绩统计如下表，其中有两个数据被遮盖 成绩/分919293949596979899100 人数1235681012 下列关于成绩的统计量中，与被遮盖的数据无关的是（） A平均数，方差B中位数，方差 C中位数，众数D平均数，众数 4 （3 分）关于 x 的一元二次方程 x2（k3）xk+10 的根的情况，下列说法正确的是 （） A有两个不相等的实数根B有两个相等的实数根 C无实数根D无法确定 5 （3 分）如图，是由若干个相同的小立方体搭成的几何体的主视图和左视图，则搭成这个 几何体的小立方体的个数不可能是（） A3B4C5D6 6 （3 分）随着互联网技术的发展，我国快递业务量逐年

3、增加，据统计从 2018 年到 2020 年， 我国快递业务量由 507 亿件增加到 833.6 亿件， 设我国从 2018 年到 2020 年快递业务量的 年平均增长率为 x，则可列方程为（） 第 2页（共 28页） A507（1+2x）833.6 B5072（1+x）833.6 C507（1+x）2833.6 D507+507（1+x）+507（1+x）2833.6 7 （3 分）如图，在 RtABC 中，ACB90，根据尺规作图的痕迹，判断以下结论错误 的是（） ABDEBACBBADBCDEDCDAEAC 8 （3 分）定义：一次函数 yax+b 的特征数为a，b，若一次函数 y2x+

4、m 的图象向上 平移 3 个单位长度后与反比例函数 y? ? ?的图象交于 A，B 两点，且点 A，B 关于原点对 称，则一次函数 y2x+m 的特征数是（） A2，3B2，3C2，3D2，3 9 （3 分）如图，已知 ADBC，ABBC，AB3，点 E 为射线 BC 上一个动点，连接 AE， 将ABE 沿 AE 折叠， 点 B 落在点 B处， 过点 B作 AD 的垂线， 分别交 AD， BC 于 M， N 两点，当 B为线段 MN 的三等分点时，BE 的长为（） A? ? B? ? ?C? ?或 ? ? ?D? ? ?或? ? ? 10 （3 分）如图，在矩形 ABCD 中，AB4，BC3，

5、动点 P，Q 同时从点 A 出发，点 P 沿 ABC 的路径运动，点 Q 沿 ADC 的路径运动，点 P，Q 的运动速度相同，当点 P 到达点 C 时，点 Q 也随之停止运动，连接 PQ设点 P 的运动路程为 x，PQ2为 y，则 y 关于 x 的函数图象大致是（） 第 3页（共 28页） AB CD 二二、填空题填空题（本题包括本题包括 7 道小题道小题，每小题每小题 3 分分，共共 21 分分。将答案直接填在答题卡对应题的将答案直接填在答题卡对应题的 横线上）横线上） 11 （3 分）冠状病毒是一类病毒的总称，其最大直径约为 0.00000012 米，数据 0.00000012 用科学记数

6、法表示为 12 （3 分）如图所示，电路连接完好，且各元件工作正常随机闭合开关 S1，S2，S3中的 两个，能让两个小灯泡同时发光的概率是 13 （3 分）一副三角板如图所示摆放，且 ABCD，则1 的度数为 14 （3 分）我国古代数学著作增删算法统宗记载“绳索量竿”问题： “一条竿子一条索， 索比竿子长一托，折回索子却量竿，却比竿子短一托 ”其大意为：现有一根竿和一条绳 索，用绳索去量竿，绳索比竿长 5 尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短 5 尺设 第 4页（共 28页） 绳索长 x 尺，竿长 y 尺，则可列方程组为 15 （3 分）若关于 x 的不等式组 ? ? ? ? ? ? ，

7、有且只有 2 个整数解，则 a 的取值范围 是 16 （3 分）如图，AB 是O 的弦，AB2 ?，点 C 是O 上的一个动点，且ACB60， 若 点 M ， N 分 别 是 AB ， BC 的 中 点 ， 则 图 中 阴 影 部 分 面 积 的 最 大 值 是 17 （3 分）如图，OA1B1，A1A2B2，A2A3B3，An1AnBn都是斜边在 x 轴上的等 腰直角三角形，点 A1，A2，A3，An都在 x 轴上，点 B1，B2，B3，Bn都在反比例 函数 y? ? ?（x0）的图象上，则点 Bn 的坐标为 （用含有正整数 n 的式子表示） 三三、解答题解答题（本题包括本题包括 9 道小题

8、道小题，共共 69 分分，每小题分值均在各题号后面标出每小题分值均在各题号后面标出，请在答题卡请在答题卡 上写出各题解答的文字说明、证明过程或计算步骤）上写出各题解答的文字说明、证明过程或计算步骤） 18 （5 分）计算： （? ?） 1+（3）02cos30+|3? ?| 19 （6 分）先化简，再求值： （? ? ?x1） ? ?，其中 x 满足 x 2x20 20 （6 分）如图，甲、乙两个转盘均被分成 3 个面积相等的扇形，每个扇形中都标有相应 的数字，同时转动两个转盘（当指针指在边界线上时视为无效，需重新转动转盘） ，当转 盘停止后，把甲、乙两个转盘中指针所指数字分别记为 x，y请用

9、树状图或列表法求点 （x，y）落在平面直角坐标系第一象限内的概率 第 5页（共 28页） 21 （7 分）如图，一段河流自西向东，河岸笔直，且两岸平行为测量其宽度，小明在南 岸边 B 处测得对岸边 A 处一棵大树位于北偏东 60方向， 他以 1.5m/s 的速度沿着河岸向 东步行 40s 后到达 C 处， 此时测得大树位于北偏东 45方向， 试计算此段河面的宽度 （结 果取整数，参考数据： ? ?1.732） 22 （7 分）暑期将至，某校组织学生进行“防溺水”安全知识竞赛，老师从中随机抽取了 部分学生的成绩（得分取整数，满分为 100 分） ，整理后绘制成如图所示的不完整的扇形 统计图和频数

10、分布直方图 其中 A 组的频数 a 比 B 组的频数 b 小 15请根据以上信息，解答下列问题： （1）本次共抽取名学生，a 的值为； （2）在扇形统计图中，n，E 组所占比例为%； （3）补全频数分布直方图； （4）若全校共有 1500 名学生，请根据抽样调查的结果，估计成绩在 80 分以上的学生人 数 第 6页（共 28页） 23 （8 分）为做好新冠疫情的防控工作，某单位需购买甲、乙两种消毒液，经了解每桶甲 种消毒液的零售价比乙种消毒液的零售价多 6 元，该单位以零售价分别用 900 元和 720 元采购了相同桶数的甲、乙两种消毒液 （1）求甲、乙两种消毒液的零售价分别是每桶多少元？ （

11、2）由于疫情防控进入常态化，该单位需再次购买两种消毒液共 300 桶，且甲种消毒液 的桶数不少于乙种消毒液桶数的? ?由于购买量大，甲、乙两种消毒液分别获得了 20 元/ 桶、15 元/桶的批发价求甲种消毒液购买多少桶时，所需资金总额最少？最少总金额是 多少元？ 24 （8 分）如图，AB 是O 的直径，过点 A 作O 的切线 AC，点 P 是射线 AC 上的动点， 连接 OP，过点 B 作 BDOP，交O 于点 D，连接 PD （1）求证：PD 是O 的切线； （2）当四边形 POBD 是平行四边形时，求APO 的度数 25 （10 分）已知AOB 和MON 都是等腰直角三角形（ ? ? O

12、AOMOA） ，AOB MON90 （1）如图 1，连接 AM，BN，求证：AMBN； （2）将MON 绕点 O 顺时针旋转 如图 2，当点 M 恰好在 AB 边上时，求证：AM2+BM22OM2； 当点 A，M，N 在同一条直线上时，若 OA4，OM3，请直接写出线段 AM 的长 第 7页（共 28页） 26 （12 分）如图，抛物线 yax2+bx+3 交 x 轴于 A（3，0） ，B（1，0）两点，交 y 轴于 点 C，动点 P 在抛物线的对称轴上 （1）求抛物线的解析式； （2）当以 P，B，C 为顶点的三角形周长最小时，求点 P 的坐标及PBC 的周长； （3）若点 Q 是平面直角坐

13、标系内的任意一点，是否存在点 Q，使得以 A，C，P，Q 为 顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有符合条件的点 Q 的坐标；若不存在，请 说明理由 第 8页（共 28页） 2021 年内蒙古通辽市中考数学试卷年内蒙古通辽市中考数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本题包括一、选择题（本题包括 10 道小题，每小题道小题，每小题 3 分，共分，共 30 分，每小题只有一个正确答案，请分，每小题只有一个正确答案，请 在答题卡上将代表正确答案的字母用在答题卡上将代表正确答案的字母用 2B 铅笔涂黑）铅笔涂黑） 1 （3 分）|2|的倒数是（） A2B? ? C2D? ?

14、? 【解答】解：|2|的倒数是? ?， 故选：B 2 （3 分）下列计算正确的是（） Ax2+x3x5B2x3x31 Cx3x4x7D （2xy2）36x3y6 【解答】解：Ax2+x3，不是同类项，不能合并，故本选项不合题意； B.2x3x3x3，故本选项不合题意； Cx3x4x7，故本选项符合题意； D （2xy2）38x3y6，故本选项不合题意； 故选：C 3 （3 分）为迎接中国共产党建党一百周年，某班 50 名同学进行了党史知识竞赛，测试成 绩统计如下表，其中有两个数据被遮盖 成绩/分919293949596979899100 人数1235681012 下列关于成绩的统计量中，与被遮

15、盖的数据无关的是（） A平均数，方差B中位数，方差 C中位数，众数D平均数，众数 【解答】 解： 由表格数据可知， 成绩为 91 分、 92 分的人数为 50 （12+10+8+6+5+3+2+1） 3（人） ， 成绩为 100 分的，出现次数最多，因此成绩的众数是 100， 成绩从小到大排列后处在第 25、26 位的两个数都是 98 分，因此中位数是 98， 因此中位数和众数与被遮盖的数据无关， 第 9页（共 28页） 故选：C 4 （3 分）关于 x 的一元二次方程 x2（k3）xk+10 的根的情况，下列说法正确的是 （） A有两个不相等的实数根B有两个相等的实数根 C无实数根D无法确定

16、 【解答】解：（k3）24（k+1） k26k+94+4k k22k+5 （k1）2+4， （k1）20， （k1）2+40，即0， 方程总有两个不相等的实数根 故选：A 5 （3 分）如图，是由若干个相同的小立方体搭成的几何体的主视图和左视图，则搭成这个 几何体的小立方体的个数不可能是（） A3B4C5D6 【解答】解：根据主视图与左视图，第一行的正方体有 1（只有一边有）或 2（左右都有） 个，第二行的正方体可能有 2（左边有）或 3（左右都有）个， 1+23，1+34，2+24，2+35， 不可能有 6 个 故选：D 6 （3 分）随着互联网技术的发展，我国快递业务量逐年增加，据统计从

17、2018 年到 2020 年， 我国快递业务量由 507 亿件增加到 833.6 亿件， 设我国从 2018 年到 2020 年快递业务量的 年平均增长率为 x，则可列方程为（） A507（1+2x）833.6 B5072（1+x）833.6 第 10页（共 28页） C507（1+x）2833.6 D507+507（1+x）+507（1+x）2833.6 【解答】解：设我国 2018 年至 2020 年快递业务收入的年平均增长率为 x， 由题意得：507（1+x）2833.6， 故选：C 7 （3 分）如图，在 RtABC 中，ACB90，根据尺规作图的痕迹，判断以下结论错误 的是（） AB

18、DEBACBBADBCDEDCDAEAC 【解答】解：根据尺规作图的痕迹可得，DEAB，AD 是BAC 的平分线， C90， DEDC，B+BDEB+BAC90， BDEBAC， 在 RtAED 和 RtACD 中， ? ? ? ? ? ?， RtAEDRtACD（HL） ， AEAC， DE 不是 AB 的垂直平分线，故不能证明BADB， 综上所述：A，C，D 不符合题意，B 符合题意， 故选：B 8 （3 分）定义：一次函数 yax+b 的特征数为a，b，若一次函数 y2x+m 的图象向上 平移 3 个单位长度后与反比例函数 y? ? ?的图象交于 A，B 两点，且点 A，B 关于原点对

19、称，则一次函数 y2x+m 的特征数是（） A2，3B2，3C2，3D2，3 【解答】解：将一次函数 y2x+m 向上平移 3 个单位长度后得到 y2x+m+3， 设 A（x1，0） ，B（x2，0） ， 第 11页（共 28页） 联立 ? ? ? i ? ? ? ? ? ? ， 2x2（m+3）x30， x1和 x2是方程的两根， ? ? i? ? ， 又A，B 两点关于原点对称， x1+x20， i? ? ? t， m3， 根据定义，一次函数 y2x+m 的特征数是2，3， 故选：D 9 （3 分）如图，已知 ADBC，ABBC，AB3，点 E 为射线 BC 上一个动点，连接 AE， 将A

20、BE 沿 AE 折叠， 点 B 落在点 B处， 过点 B作 AD 的垂线， 分别交 AD， BC 于 M， N 两点，当 B为线段 MN 的三等分点时，BE 的长为（） A? ? B? ? ?C? ?或 ? ? ?D? ? ?或? ? ? 【解答】解：当 MB? ? ?MN 时，如图： RtAMB中，ABAB3，MB? ? ?AB1， AM? ?2 ?， ADBC，ABBC，MNAD， 第 12页（共 28页） 四边形 ABNM 是矩形， BNAM2 ?，MNAB3， 设 BEx，则 BEx，EN2 ? ?x， RtBEN 中，BNMNMB2，EN2+BN2BE2， （2 ? ?x）2+22x

21、2， 解得 x? ? ? ? ， BE 的长为? ? ? ； 当 NB? ? ?MN 时，如图： NB? ? ?MN1， MB2， 设 BEy， 同可得 y? ? ? ? ， BE 的长为? ? ? ， 综上所述，BE 的长为? ? ? 或? ? ? 故选：D 10 （3 分）如图，在矩形 ABCD 中，AB4，BC3，动点 P，Q 同时从点 A 出发，点 P 沿 ABC 的路径运动，点 Q 沿 ADC 的路径运动，点 P，Q 的运动速度相同，当点 P 到达点 C 时，点 Q 也随之停止运动，连接 PQ设点 P 的运动路程为 x，PQ2为 y，则 y 关于 x 的函数图象大致是（） 第 13页

22、（共 28页） AB CD 【解答】解：当 0 x3 时，在 RtAPQ 中，QAP90，APAQx， PQ22x2 yPQ22x2； 当 3x4 时，DPx3，APx， yPQ232+3218； 当 4x7 时，CP7x，CQ7x， yPQ2CP2+CQ22x228x+98 故选：C 二二、填空题填空题（本题包括本题包括 7 道小题道小题，每小题每小题 3 分分，共共 21 分分。将答案直接填在答题卡对应题的将答案直接填在答题卡对应题的 横线上）横线上） 11 （3 分）冠状病毒是一类病毒的总称，其最大直径约为 0.00000012 米，数据 0.00000012 用科学记数法表示为1.21

23、0 7 【解答】解：0.000000121.210 7 故答案为：1.210 7 12 （3 分）如图所示，电路连接完好，且各元件工作正常随机闭合开关 S1，S2，S3中的 两个，能让两个小灯泡同时发光的概率是 ? ? 第 14页（共 28页） 【解答】解：把开关 S1，S2，S3分别记为 A、B、C， 画树状图如图： 共有 6 种等可能的结果，能让两个小灯泡同时发光的结果有 2 种， 能让两个小灯泡同时发光的概率为? ? ? ? ?， 故答案为：? ? 13 （3 分）一副三角板如图所示摆放，且 ABCD，则1 的度数为75 【解答】解：如图，A45，C30， ABCD， 2C30， 12+

24、A30+4575， 第 15页（共 28页） 故答案为：75 14 （3 分）我国古代数学著作增删算法统宗记载“绳索量竿”问题： “一条竿子一条索， 索比竿子长一托，折回索子却量竿，却比竿子短一托 ”其大意为：现有一根竿和一条绳 索，用绳索去量竿，绳索比竿长 5 尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短 5 尺设 绳索长 x 尺，竿长 y 尺，则可列方程组为 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 【解答】解：设绳索长 x 尺，竿长 y 尺， 依题意得： ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 故答案为： ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 15 （3 分） 若关于

25、 x 的不等式组 ? ? ? ? ? ? ， 有且只有 2 个整数解， 则 a 的取值范围是 1a1 【解答】解：解不等式 3x21，得：x1， 解不等式 2xa5，得：x ? ? ， 不等式组只有 2 个整数解， 2 ? ? ?3， 解得1a1， 故答案为：1a1 16 （3 分）如图，AB 是O 的弦，AB2 ?，点 C 是O 上的一个动点，且ACB60， 若点 M，N 分别是 AB，BC 的中点，则图中阴影部分面积的最大值是 ? ? ? ? ? 【解答】解：连接 OA、OB、OM，如图， 第 16页（共 28页） ACB60， AOB120， OAOB， OABOBA30， AMBM?

26、? ?AB? ?， OMAB， tan30? ? ?， OM? ? ? ? ?1， OA2OM2， 点 M、N 分别是 AB、BC 的中点， MNAC，MN? ? ?AC， MBNABC， ? ? ?（? ? ）2? ? ?， 当ABC 的面积最大时，MBN 的面积最大， C、O、M 在一条直线时，ABC 的面积最大， ABC 的面积最大值为：? ? ? ? ?（2+1）3 ?， MBN 的面积最大值为：? ? ? ， S弓形S扇形OABSAOB? ?t? ?t ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 此时，S阴影? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ， 故答案为：

27、? ? ? ? ? 17 （3 分）如图，OA1B1，A1A2B2，A2A3B3，An1AnBn都是斜边在 x 轴上的等 第 17页（共 28页） 腰直角三角形，点 A1，A2，A3，An都在 x 轴上，点 B1，B2，B3，Bn都在反比例 函数 y? ? ? （x0） 的图象上， 则点 Bn的坐标为（ ? ? ? ?， ? ? ? ?） （用 含有正整数 n 的式子表示） 【解答】解：过 B1作 B1M1x 轴于 M1， 易知 M1（1，0）是 OA1的中点， A1（2，0） 可得 B1的坐标为（1，1） ， B1O 的解析式为：yx， B1OA1B2， A1B2的表达式一次项系数与 B1O

28、 的一次项系数相等， 将 A1（2，0）代入 yx+b， b2， A1B2的表达式是 yx2， 与 y? ? ?（x0）联立，解得 B2（1? ?，1?） 仿上，A2（2 ?，0） B3（ ? ?，? ?） ， 以此类推，点 Bn的坐标为（ ? ? ? ?，? ? ? ?） ， 故答案为（ ? ? ? ?，? ? ? ?） 三三、解答题解答题（本题包括本题包括 9 道小题道小题，共共 69 分分，每小题分值均在各题号后面标出每小题分值均在各题号后面标出，请在答题卡请在答题卡 上写出各题解答的文字说明、证明过程或计算步骤）上写出各题解答的文字说明、证明过程或计算步骤） 18 （5 分）计算： （

29、? ?） 1+（3）02cos30+|3? ?| 【解答】解：原式2+12 ? ? ?2 ? ? ? ? ? ? ? ? 第 18页（共 28页） 19 （6 分）先化简，再求值： （? ? ?x1） ? ?，其中 x 满足 x 2x20 【解答】解：原式? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? x（x+1） x2+x， 解方程 x2x20，得 x12，x21， x+10， x1， 当 x2 时，原式22+26 20 （6 分）如图，甲、乙两个转盘均被分成 3 个面积相等的扇形，每个扇形中都标有相应 的数字，同时转动两个转盘（当指针指在边界线上时视为无效，需重新转动转盘） ，当转 盘停止

30、后，把甲、乙两个转盘中指针所指数字分别记为 x，y请用树状图或列表法求点 （x，y）落在平面直角坐标系第一象限内的概率 【解答】解：画树状图如图： 共有 9 种等可能的结果，点（x，y）落在平面直角坐标系第一象限内的结果有 4 种， 点（x，y）落在平面直角坐标系第一象限内的概率为? ? 21 （7 分）如图，一段河流自西向东，河岸笔直，且两岸平行为测量其宽度，小明在南 岸边 B 处测得对岸边 A 处一棵大树位于北偏东 60方向， 他以 1.5m/s 的速度沿着河岸向 东步行 40s 后到达 C 处， 此时测得大树位于北偏东 45方向， 试计算此段河面的宽度 （结 果取整数，参考数据： ? ?

31、1.732） 第 19页（共 28页） 【解答】解：如图，作 ADBC 于 D 由题意可知：BC1.54060（m） ，ABD906030，ACD9045 45， 在 RtACD 中，tanACDtan45? ? ? ?1， ADCD， 在 RtABD 中，tanABDtan30? ? ?， BD? ? ?t?， BCBDCD? ? ? ? ?AD60（m） ， AD30（ ? ?1）82（m） ， 答：此段河面的宽度约 82m 22 （7 分）暑期将至，某校组织学生进行“防溺水”安全知识竞赛，老师从中随机抽取了 部分学生的成绩（得分取整数，满分为 100 分） ，整理后绘制成如图所示的不完整

32、的扇形 统计图和频数分布直方图 第 20页（共 28页） 其中 A 组的频数 a 比 B 组的频数 b 小 15请根据以上信息，解答下列问题： （1）本次共抽取150名学生，a 的值为12； （2）在扇形统计图中，n144，E 组所占比例为4%； （3）补全频数分布直方图； （4）若全校共有 1500 名学生，请根据抽样调查的结果，估计成绩在 80 分以上的学生人 数 【解答】解： （1）A 组的频数 a 比 B 组的频数 b 小 15，A 组的频率比 B 组的频率小 18% 8%10%， 因此调查人数为：15（18%8%）150（人） ， a1508%12（人） ， 故答案为：150，12；

33、 （2）360 ?t ?t ?36040%144，即 n144， “E 组”所占的百分比为 18%18%30%40%4%， 故答案为：144，4； （3）ba+1527（人） ， “C 组”频数为：15030%45（人） ， “E 组”频数为：1504%6（人） ， 补全频数分布直方图如图所示： 第 21页（共 28页） （4）1500 ?t? ?t ?660（人） ， 答：估计成绩在 80 分以上的学生人数大约为 660 人 23 （8 分）为做好新冠疫情的防控工作，某单位需购买甲、乙两种消毒液，经了解每桶甲 种消毒液的零售价比乙种消毒液的零售价多 6 元，该单位以零售价分别用 900 元和

34、 720 元采购了相同桶数的甲、乙两种消毒液 （1）求甲、乙两种消毒液的零售价分别是每桶多少元？ （2）由于疫情防控进入常态化，该单位需再次购买两种消毒液共 300 桶，且甲种消毒液 的桶数不少于乙种消毒液桶数的? ?由于购买量大，甲、乙两种消毒液分别获得了 20 元/ 桶、15 元/桶的批发价求甲种消毒液购买多少桶时，所需资金总额最少？最少总金额是 多少元？ 【解答】解： （1）设乙种消毒液的零售价为 x 元/桶，则甲种消毒液的零售价为（x+6）元 /桶， 依题意得：?tt ? ? ?t ? ， 解得：x24， 经检验，x24 是原方程的解，且符合题意， x+630 答：甲种消毒液的零售价为

35、 30 元/桶，乙种消毒液的零售价为 24 元/桶 （2）设购买甲种消毒液 m 桶，则购买乙种消毒液（300m）桶， 依题意得：m? ? ?（300m） ， 解得：m75 设所需资金总额为 w 元，则 w20m+15（300m）5m+4500， 第 22页（共 28页） 50， w 随 m 的增大而增大， 当 m75 时，w 取得最小值，最小值575+45004875 答：当甲种消毒液购买 75 桶时，所需资金总额最少，最少总金额是 4875 元 24 （8 分）如图，AB 是O 的直径，过点 A 作O 的切线 AC，点 P 是射线 AC 上的动点， 连接 OP，过点 B 作 BDOP，交O

36、于点 D，连接 PD （1）求证：PD 是O 的切线； （2）当四边形 POBD 是平行四边形时，求APO 的度数 【解答】 （1）证明：连接 OD， PA 切O 于 A， PAAB， 即PAO90， OPBD， DBOAOP，BDODOP， ODOB， BDODBO， DOPAOP， 在AOP 和DOP 中 第 23页（共 28页） ? ? ? ? ? ? ? ? ? ， AOPDOP（SAS） ， PDOPAO， PAO90， PDO90， 即 ODPD， OD 过 O， PD 是O 的切线； （2）解： 由（1）知：AOPDOP， PAPD， 四边形 POBD 是平行四边形， PDOB，

37、 OBOA， PAOA， PAO90， APOAOP45 25 （10 分）已知AOB 和MON 都是等腰直角三角形（ ? ? OAOMOA） ，AOB MON90 （1）如图 1，连接 AM，BN，求证：AMBN； （2）将MON 绕点 O 顺时针旋转 如图 2，当点 M 恰好在 AB 边上时，求证：AM2+BM22OM2； 当点 A，M，N 在同一条直线上时，若 OA4，OM3，请直接写出线段 AM 的长 第 24页（共 28页） 【解答】 （1）证明：AOBMON90， AOB+AONMON+AON， 即AOMBON， AOB 和MON 都是等腰直角三角形， OAOB，OMON， AOM

38、BON（SAS） ， AMBN； （2）证明：连接 BN， AOBMON90， AOBBOMMONBOM， 即AOMBON， AOB 和MON 都是等腰直角三角形， OAOB，OMON， AOMBON（SAS） ， MAONBO45，AMBN， MBN90， 第 25页（共 28页） MN2+BN2MN2， MON 都是等腰直角三角形， MN22ON2， AM2+BM22OM2； 解：如图 3，当点 N 在线段 AM 上时，连接 BN，设 BNx， 由（1）可知AOMBON，可得 AMBN 且 AMBN， 在 RtABN 中，AN2+BN2AB2， AOB 和MON 都是等腰直角三角形，OA4

39、，OM3， MN3 ?，AB4 ?， （x3 ?）2+x2（4 ?）2， 解得：x? ? ? ? ， AMBN? ? ? ? ， 如图 4，当点，M 在线段 AN 上时，连接 BN，设 BNx， 由（1）可知AOMBON，可得 AMBN 且 AMBN， 在 RtABN 中，AN2+BN2AB2， AOB 和MON 都是等腰直角三角形，OA4，OM3， MN3 ?，AB4 ?， （x+3 ?）2+x2（4 ?）2， 解得：x? ? ? ? ， AMBN? ? ? ? ， 综上所述，线段 AM 的长为 ? ? ? 或 ? ? ? 26 （12 分）如图，抛物线 yax2+bx+3 交 x 轴于 A

40、（3，0） ，B（1，0）两点，交 y 轴于 点 C，动点 P 在抛物线的对称轴上 第 26页（共 28页） （1）求抛物线的解析式； （2）当以 P，B，C 为顶点的三角形周长最小时，求点 P 的坐标及PBC 的周长； （3）若点 Q 是平面直角坐标系内的任意一点，是否存在点 Q，使得以 A，C，P，Q 为 顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有符合条件的点 Q 的坐标；若不存在，请 说明理由 【解答】解： （1）抛物线 yax2+bx+3 交 x 轴于 A（3，0） ，B（1，0）两点， ? ? ? ? ? t ? ? ? ? ? ? t ， 解得： ? ? ? ? ? ? ， 该抛物

41、线的解析式为 yx2+2x+3； （2）在 yx2+2x+3 中，令 x0，得 y3， C（0，3） ， PBC 的周长为：PB+PC+BC，BC 是定值， 当 PB+PC 最小时，PBC 的周长最小 如图 1，点 A、B 关于对称轴 l 对称，连接 AC 交 l 于点 P，则点 P 为所求的点 APBP， PBC 周长的最小值是：PB+PC+BCAC+BC A（3，0） ，B（1，0） ，C（0，3） ， AC3 ?，BC?t PBC 周长的最小值是：3 ? ?t 抛物线对称轴为直线 x? ? ? ?1， 设直线 AC 的解析式为 ykx+c，将 A（3，0） ，C（0，3）代入，得： 第

42、27页（共 28页） ?%? ? t ? ? ， 解得： % ? ? ? ? ， 直线 AC 的解析式为 yx+3， P（1，2） ； （3）存在 设 P（1，t） ， A（3，0） ，C（0，3） ， 则 AC232+3218， AP2（13）2+t2t2+4， PC212+（t3）2t26t+10， 四边形 ACPQ 是菱形， 分三种情况：以 AP 为对角线或以 AC 为对角线或以 CP 为对角线， 当以 AP 为对角线时，则 CPCA，如图 2， t26t+1018， 解得：t3 ?， P1（1，3?） ，P2（1，3?） ， Q1（4，?） ，Q2（4， ?） ， 以 AC 为对角线时，则 PCAP，如图 3， t26t+10t2+4， 解得：t1， P3（1，1） ，Q3（2，2） ， 当以 CP 为对角线时，则 APAC，如图 4， t2+418， 解得：t ?， P4（1， ?） ，Q4（2，3?） ， P5（1，?） ，Q5（2，3?） ， 综上所述，符合条件的点 Q 的坐标为：Q1（4，?） ，Q2（4， ?） ，Q3（2，2） ，Q4 （2，3?） ，Q5（2，3?） 第 28页（共 28页）