2021年江苏省淮安市中考数学试卷（学生版+解析版）.docx

1、第 1页（共 25页） 2021 年江苏省淮安市中考数学试卷年江苏省淮安市中考数学试卷 一一、选择题选择题（本大题共本大题共 8 小题小题，每小题每小题 3 分分，共共 24 分分，在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，恰有恰有 一项是符合题目要求的）一项是符合题目要求的） 1 （3 分）5 的绝对值为（） A5B5C? ? ? D? ? 2 （3 分）第七次全国人口普查结果显示，我国人口受教育水平明显提高，具有大学文化程 度的人数约为 218360000，将 218360000 用科学记数法表示为（） A0.21836109B2.1386107 C21.836107D2.1836

2、108 3 （3 分）计算（x5）2的结果是（） Ax3Bx7Cx10Dx25 4 （3 分）如图所示的几何体的俯视图是（） ABCD 5 （3 分）下列事件是必然事件的是（） A没有水分，种子发芽 B如果 a、b 都是实数，那么 a+bb+a C打开电视，正在播广告 D抛掷一枚质地均匀的硬币，正面向上 6 （3 分）如图，直线 a、b 被直线 c 所截，若 ab，170，则2 的度数是（） 第 2页（共 25页） A70B90C100D110 7 （3 分）如图，在ABC 中，AB 的垂直平分线分别交 AB、BC 于点 D、E，连接 AE，若 AE4，EC2，则 BC 的长是（） A2B4C

3、6D8 8 （3 分） 九章算术是古代中国第一部自成体系的数学专著，其中卷第八方程记载： “今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十，问甲、乙 持钱各几何？”译文是：今有甲、乙两人持钱不知道各有多少，甲若得到乙所有钱的? ?， 则甲有 50 钱，乙若得到甲所有钱的? ?，则乙也有 50 钱问甲、乙各持钱多少？设甲持钱 数为 x 钱，乙持钱数为 y 钱，列出关于 x、y 的二元一次方程组是（） A ? 二 ?一 次 ?程 ? ? ? 二 一 次 ?程 B ? 二 ? ? 一 次 ?程 ? ? 二 一 次 ?程 C ? 二 ? ?一 次 ?程 ? ? ? 二 一 次 ?程

4、D ? 二 ? ? 一 次 ?程 ? ? ? 二 一 次 ?程 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 24 分）分） 9 （3 分）分解因式：a2ab 10 （3 分）现有一组数据 4、5、5、6、5、7，这组数据的众数是 11 （3 分）方程 ? ?二? 次1 的解是 12 （3 分）若圆锥的侧面积为 18，底面半径为 3，则该圆锥的母线长是 第 3页（共 25页） 13（3 分） 一个三角形的两边长分别是 1 和 4， 若第三边的长为偶数， 则第三边的长是 14 （3 分）如图，正比例函数 yk1x 和反比例函数 y次 ? ? 图象相交于

5、 A、B 两点，若点 A 的 坐标是（3，2） ，则点 B 的坐标是 15（3分） 如图， AB是O的直径， CD是O的弦， CAB55， 则D的度数是 16 （3 分） 如图 （1） ， ABC 和ABC是两个边长不相等的等边三角形， 点 B、 C、 B、C 都在直线 l 上，ABC 固定不动，将ABC在直线 l 上自左向右平移开始 时，点 C与点 B 重合，当点 B移动到与点 C 重合时停止设ABC移动的距 离为 x， 两个三角形重叠部分的面积为 y， y 与 x 之间的函数关系如图 （2） 所示， 则ABC 的边长是 三三、解答题解答题（本大题共本大题共 11 小题小题，共共 102 分

6、分.解答时应写出必要的文字说明解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算证明过程或演算 步骤）步骤） 17 （10 分） （1）计算： ? ?（1）0sin30； （2）解不等式组： ? ? ? 程 ?二? ? ? ? ? 第 4页（共 25页） 18 （8 分）先化简，再求值： （ ? ? 二1） ? ?，其中 a4 19 （8 分）已知：如图，在 ABCD 中，点 E、F 分别在 AD、BC 上，且 BE 平分ABC， EFAB求证：四边形 ABFE 是菱形 20 （8 分）市环保部门为了解城区某一天 18：00 时噪声污染情况，随机抽取了城区部分噪 声测量点这一时刻的测量数据进行统计，把

7、所抽取的测量数据分成 A、B、C、D、E 五组， 并将统计结果绘制了两幅不完整的统计图表 组别噪声声级 x/dB 频数 A55x 60 4 B60 x 65 10 C65x 70 m D70 x 75 8 E75x 80 n 请解答下列问题： （1）m，n； （2）在扇形统计图中 D 组对应的扇形圆心角的度数是； （3）若该市城区共有 400 个噪声测量点，请估计该市城区这一天 18：00 时噪声声级低 于 70dB 的测量点的个数 第 5页（共 25页） 21 （8 分）在三张形状、大小、质地均相同的卡片上各写一个数字，分别为 1、2、1现 将三张卡片放入一只不透明的盒子中，搅匀后任意抽出一

8、张，记下数字后放回，搅匀后 再任意抽出一张记下数字 （1）第一次抽到写有负数的卡片的概率是； （2）用画树状图或列表等方法求两次抽出的卡片上数字都为正数的概率 22 （8 分）如图，平地上一幢建筑物 AB 与铁塔 CD 相距 50m，在建筑物的顶部 A 处测得铁 塔顶部 C 的仰角为 28、铁塔底部 D 的俯角为 40，求铁塔 CD 的高度 （参考数据： sin280.47， cos280.8， tan280.53， sin400.64， cos400.77， tan400.84） 23 （8 分）如图，方格纸上每个小正方形的边长均为 1 个单位长度，ABC 的顶点 A、B、 C 都在格点上（

9、两条网格线的交点叫格点） 请仅用无刻度的直尺按下列要求画图，并保 留画图痕迹（不要求写画法） （1）将ABC 绕点 A 按顺时针方向旋转 90，点 B 的对应点为 B1，点 C 的对应点为 C1，画出AB1C1； （2）连接 CC1，ACC1的面积为； （3）在线段 CC1上画一点 D，使得ACD 的面积是ACC1面积的? ? 第 6页（共 25页） 24 （8 分）如图，在 RtABC 中，ACB90，点 E 是 BC 的中点，以 AC 为直径的O 与 AB 边交于点 D，连接 DE （1）判断直线 DE 与O 的位置关系，并说明理由； （2）若 CD3，DE次 ? ?，求O 的直径 25

10、（10 分）某超市经销一种商品，每件成本为 50 元经市场调研，当该商品每件的销售 价为 60 元时，每个月可销售 300 件，若每件的销售价每增加 1 元，则每个月的销售量将 减少 10 件设该商品每件的销售价为 x 元，每个月的销售量为 y 件 （1）求 y 与 x 的函数表达式； （2）当该商品每件的销售价为多少元时，每个月的销售利润最大？最大利润是多少？ 26 （12 分） 【知识再现】 学完全等三角形一章后，我们知道“斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形 全等（简称HL定理） ”是判定直角三角形全等的特有方法 【简单应用】 如图（1） ，在ABC 中，BAC90，ABAC，点 D

11、、E 分别在边 AC、AB 上若 CEBD，则线段 AE 和线段 AD 的数量关系是 【拓展延伸】 第 7页（共 25页） 在ABC 中，BAC（90180） ，ABACm，点 D 在边 AC 上 （1）若点 E 在边 AB 上，且 CEBD，如图（2）所示，则线段 AE 与线段 AD 相等吗？ 如果相等，请给出证明；如果不相等，请说明理由 （2）若点 E 在 BA 的延长线上，且 CEBD试探究线段 AE 与线段 AD 的数量关系（用 含有 a、m 的式子表示） ，并说明理由 27 （14 分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y次 ? ?x 2+bx+c 的图象与 x 轴交于点 A（ 3

12、，0）和点 B（5，0） ，顶点为点 D，动点 M、Q 在 x 轴上（点 M 在点 Q 的左侧） ，在 x 轴下方作矩形 MNPQ，其中 MQ3，MN2矩形 MNPQ 沿 x 轴以每秒 1 个单位长度的 速度向右匀速运动，运动开始时，点 M 的坐标为（6，0） ，当点 M 与点 B 重合时停止 运动，设运动的时间为 t 秒（t0） （1）b，c （2）连接 BD，求直线 BD 的函数表达式 （3）在矩形 MNPQ 运动的过程中，MN 所在直线与该二次函数的图象交于点 G，PQ 所 在直线与直线 BD 交于点 H，是否存在某一时刻，使得以 G、M、H、Q 为顶点的四边形 是面积小于 10 的平行

13、四边形？若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理由 （4）连接 PD，过点 P 作 PD 的垂线交 y 轴于点 R，直接写出在矩形 MNPQ 整个运动过 程中点 R 运动的路径长 第 8页（共 25页） 2021 年江苏省淮安市中考数学试卷年江苏省淮安市中考数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一一、选择题选择题（本大题共本大题共 8 小题小题，每小题每小题 3 分分，共共 24 分分，在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，恰有恰有 一项是符合题目要求的）一项是符合题目要求的） 1 （3 分）5 的绝对值为（） A5B5C? ? ? D? ? 【解答】解：5 的绝对值为

14、 5， 故选：B 2 （3 分）第七次全国人口普查结果显示，我国人口受教育水平明显提高，具有大学文化程 度的人数约为 218360000，将 218360000 用科学记数法表示为（） A0.21836109B2.1386107 C21.836107D2.1836108 【解答】解：2183600002.1836108， 故选：D 3 （3 分）计算（x5）2的结果是（） Ax3Bx7Cx10Dx25 【解答】解： （x5）2x5 2x10 故选：C 4 （3 分）如图所示的几何体的俯视图是（） ABCD 【解答】解：从上面看该几何体，所看到的图形如下： 第 9页（共 25页） 故选：A 5

15、（3 分）下列事件是必然事件的是（） A没有水分，种子发芽 B如果 a、b 都是实数，那么 a+bb+a C打开电视，正在播广告 D抛掷一枚质地均匀的硬币，正面向上 【解答】解：A、没有水分，种子发芽，是不可能事件，本选项不符合题意； B、如果 a、b 都是实数，那么 a+bb+a，是必然事件，本选项符合题意； C、打开电视，正在播广告，是随机事件，本选项不符合题意； D、抛掷一枚质地均匀的硬币，正面向上，是随机事件，本选项不符合题意； 故选：B 6 （3 分）如图，直线 a、b 被直线 c 所截，若 ab，170，则2 的度数是（） A70B90C100D110 【解答】解： 170， 31

16、80118070110， ab， 23110， 故选：D 第 10页（共 25页） 7 （3 分）如图，在ABC 中，AB 的垂直平分线分别交 AB、BC 于点 D、E，连接 AE，若 AE4，EC2，则 BC 的长是（） A2B4C6D8 【解答】解：DE 是 AB 的垂直平分线，AE4， EBEA4， BCEB+EC4+26， 故选：C 8 （3 分） 九章算术是古代中国第一部自成体系的数学专著，其中卷第八方程记载： “今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十，问甲、乙 持钱各几何？”译文是：今有甲、乙两人持钱不知道各有多少，甲若得到乙所有钱的? ?， 则甲有 50

17、 钱，乙若得到甲所有钱的? ?，则乙也有 50 钱问甲、乙各持钱多少？设甲持钱 数为 x 钱，乙持钱数为 y 钱，列出关于 x、y 的二元一次方程组是（） A ? 二 ?一 次 ?程 ? ? ? 二 一 次 ?程 B ? 二 ? ? 一 次 ?程 ? ? 二 一 次 ?程 C ? 二 ? ?一 次 ?程 ? ? ? 二 一 次 ?程 D ? 二 ? ? 一 次 ?程 ? ? ? 二 一 次 ?程 【解答】解：设甲、乙的持钱数分别为 x，y， 根据题意可得： ? 二 ? ? 一 次 ?程 ? ? 二 一 次 ?程 ， 故选：B 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 8 小题，每小题小题，每小

18、题 3 分，共分，共 24 分）分） 9 （3 分）分解因式：a2aba（ab） 【解答】解：a2aba（ab） 10 （3 分）现有一组数据 4、5、5、6、5、7，这组数据的众数是5 第 11页（共 25页） 【解答】解：这组数据中出现次数最多的是 5，共出现 3 次，因此众数是 5， 故答案为：5 11 （3 分）方程 ? ?二? 次1 的解是x1 【解答】解： ? ?二? 次1， 方程两边都乘以 x+1，得 2x+1， 解得：x1， 检验：当 x1 时，x+10，所以 x1 是原方程的解， 即原方程的解是 x1， 故答案为：x1 12 （3 分）若圆锥的侧面积为 18，底面半径为 3，

19、则该圆锥的母线长是6 【解答】解：底面半径为 3，则底面周长6， 设圆锥的母线长为 x， 圆锥的侧面积次 ? ? ?6x18 解得：x6， 故答案为：6 13（3 分） 一个三角形的两边长分别是 1 和 4， 若第三边的长为偶数， 则第三边的长是4 【解答】解：设第三边为 a，根据三角形的三边关系知， 41a4+1，即 3a5， 又第三边的长是偶数， a 为 4 故答案为：4 14 （3 分）如图，正比例函数 yk1x 和反比例函数 y次 ? ? 图象相交于 A、B 两点，若点 A 的 坐标是（3，2） ，则点 B 的坐标是（3，2） 【解答】解：正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称，

20、第 12页（共 25页） A、B 两点关于原点对称， A 的坐标为（3，2） ， B 的坐标为（3，2） 故答案为： （3，2） 15（3分） 如图， AB是O的直径， CD是O的弦， CAB55， 则D的度数是35 【解答】解：AB 是O 的直径， ACB90， CAB55， B90CAB35， DB35 故答案为：35 16 （3 分） 如图 （1） ， ABC 和ABC是两个边长不相等的等边三角形， 点 B、 C、 B、C 都在直线 l 上，ABC 固定不动，将ABC在直线 l 上自左向右平移开始 时，点 C与点 B 重合，当点 B移动到与点 C 重合时停止设ABC移动的距 离为 x，

21、两个三角形重叠部分的面积为 y， y 与 x 之间的函数关系如图 （2） 所示， 则ABC 的边长是5 【解答】解：当点 B移动到点 B 时，重叠部分的面积不再变化， 根据图象可知 BCa，?alaba次?， 第 13页（共 25页） 过点 A作 AHBC， 则 AH 为ABC的高， ABC是等边三角形， ABH60， sin60次 ?ah ?ala 次 ? ? ， AH次 ? ? ?， ?alaba次 ? ? ? ? ? ? ? ? 次 ? ? ?次?， 解得 a2（舍）或 a2， 当点 C移动到点 C 时，重叠部分的面积开始变小， 根据图像可知 BCa+32+35， ABC 的边长是 5，

22、 故答案为 5 三三、解答题解答题（本大题共本大题共 11 小题小题，共共 102 分分.解答时应写出必要的文字说明解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算证明过程或演算 步骤）步骤） 17 （10 分） （1）计算： ? ?（1）0sin30； （2）解不等式组： ? ? ? 程 ?二? ? ? ? ? 【解答】解： （1）原式31? ? ? 次 ? ?； （2）解不等式 4x80，得：x2， 解不等式?二? ? 3x，得：x1， 则不等式组的解集为 1x2 18 （8 分）先化简，再求值： （ ? ? 二1） ? ?，其中 a4 第 14页（共 25页） 【解答】解： （ ? ? 二1）

23、 ? ? 次 ?二? ? ? ?二? ? 次 ? ? ? ?二? ? a+1， 当 a4 时，原式4+13 19 （8 分）已知：如图，在 ABCD 中，点 E、F 分别在 AD、BC 上，且 BE 平分ABC， EFAB求证：四边形 ABFE 是菱形 【解答】证明：四边形 ABCD 是平行四边形， ADBC， 又EFAB， 四边形 ABFE 是平行四边形， BE 平分ABC， ABEFBE， ADBC， AEBEBF， ABEAEB， ABAE， 平行四边形 ABFE 是菱形 20 （8 分）市环保部门为了解城区某一天 18：00 时噪声污染情况，随机抽取了城区部分噪 声测量点这一时刻的测量

24、数据进行统计，把所抽取的测量数据分成 A、B、C、D、E 五组， 并将统计结果绘制了两幅不完整的统计图表 组别噪声声级 x/dB 频数 A55x4 第 15页（共 25页） 60 B60 x 65 10 C65x 70 m D70 x 75 8 E75x 80 n 请解答下列问题： （1）m12，n6； （2）在扇形统计图中 D 组对应的扇形圆心角的度数是72； （3）若该市城区共有 400 个噪声测量点，请估计该市城区这一天 18：00 时噪声声级低 于 70dB 的测量点的个数 【解答】解： （1）样本容量为 1025%40， m4030%12， n40（4+10+12+8）6， 故答案为

25、：12、6； （2）在扇形统计图中 D 组对应的扇形圆心角的度数是 360 ? ?程 次72， 故答案为：72； （3 ）估计该市城区这一天 18：00 时噪声声级低于 70dB 的测量点的个数为 400 ?二?程二? ?程 次260（个） 21 （8 分）在三张形状、大小、质地均相同的卡片上各写一个数字，分别为 1、2、1现 第 16页（共 25页） 将三张卡片放入一只不透明的盒子中，搅匀后任意抽出一张，记下数字后放回，搅匀后 再任意抽出一张记下数字 （1）第一次抽到写有负数的卡片的概率是 ? ? ； （2）用画树状图或列表等方法求两次抽出的卡片上数字都为正数的概率 【解答】解： （1）第一

26、次抽到写有负数的卡片的概率是? ?， 故答案为：? ?； （2）画树状图为： 共有 9 种等可能的结果数，其中两次抽出的卡片上数字都为正数的有 4 种结果， 所以两次抽出的卡片上数字都为正数的概率为? ? 22 （8 分）如图，平地上一幢建筑物 AB 与铁塔 CD 相距 50m，在建筑物的顶部 A 处测得铁 塔顶部 C 的仰角为 28、铁塔底部 D 的俯角为 40，求铁塔 CD 的高度 （参考数据： sin280.47， cos280.8， tan280.53， sin400.64， cos400.77， tan400.84） 【解答】解：如图，过 A 作 AECD，垂足为 E 第 17页（共

27、 25页） 则 AE50m， 在 RtAEC 中，CEAEtan28500.5326.5（m） ， 在 RtAED 中，DEAEtan40500.8442（m） ， CDCE+DE26.5+4268.5（m） 答：铁塔 CD 的高度约为 68.5m 23 （8 分）如图，方格纸上每个小正方形的边长均为 1 个单位长度，ABC 的顶点 A、B、 C 都在格点上（两条网格线的交点叫格点） 请仅用无刻度的直尺按下列要求画图，并保 留画图痕迹（不要求写画法） （1）将ABC 绕点 A 按顺时针方向旋转 90，点 B 的对应点为 B1，点 C 的对应点为 C1，画出AB1C1； （2）连接 CC1，AC

28、C1的面积为 ? ? ； （3）在线段 CC1上画一点 D，使得ACD 的面积是ACC1面积的? ? 【解答】解： （1）如图： 图中AB1C1即为要求所作三角形； （2）AC次?二 ?次?，由旋转旋转知 ACAC1，CAC190， ACC1的面积为? ? ?ACAC1次 ? ?， 第 18页（共 25页） 故答案为：? ?； （3）连接 EF 交 CC1于 D，即为所求点 D，理由如下： CFC1E， CFDC1ED， bt b?t 次 b? b? 次 ? ?， CD次 ? ?CC1， ACD 的面积ACC1面积的? ? 24 （8 分）如图，在 RtABC 中，ACB90，点 E 是 BC

29、 的中点，以 AC 为直径的O 与 AB 边交于点 D，连接 DE （1）判断直线 DE 与O 的位置关系，并说明理由； （2）若 CD3，DE次 ? ?，求O 的直径 【解答】 （1）证明：连接 DO，如图， BDC90，E 为 BC 的中点， DECEBE， 第 19页（共 25页） EDCECD， 又ODOC， ODCOCD， 而OCD+DCEACB90， EDC+ODC90，即EDO90， DEOD， DE 与O 相切； （2）由（1）得，CDB90， CEEB， DE次 ? ?BC， BC5， BD次lb? bt?次? ?次4， BCABDC90，BB， BCABDC， ?b bt

30、次 lb lt， ?b ? 次 ? ?， AC次 ? ? ， O 直径的长为? ? 25 （10 分）某超市经销一种商品，每件成本为 50 元经市场调研，当该商品每件的销售 价为 60 元时，每个月可销售 300 件，若每件的销售价每增加 1 元，则每个月的销售量将 减少 10 件设该商品每件的销售价为 x 元，每个月的销售量为 y 件 （1）求 y 与 x 的函数表达式； （2）当该商品每件的销售价为多少元时，每个月的销售利润最大？最大利润是多少？ 【解答】解： （1）根据题意，y30010（x60） y 与 x 的函数表达式为：y10 x+900； （2）设每个月的销售利润为 w， 第 2

31、0页（共 25页） 由（1）知：w10 x2+1400 x45000， w10（x70）2+4000， 每件销售价为 70 元时，获得最大利润；最大利润为 4000 元 26 （12 分） 【知识再现】 学完全等三角形一章后，我们知道“斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形 全等（简称HL定理） ”是判定直角三角形全等的特有方法 【简单应用】 如图（1） ，在ABC 中，BAC90，ABAC，点 D、E 分别在边 AC、AB 上若 CEBD，则线段 AE 和线段 AD 的数量关系是AEAD 【拓展延伸】 在ABC 中，BAC（90180） ，ABACm，点 D 在边 AC 上 （1）若点 E

32、 在边 AB 上，且 CEBD，如图（2）所示，则线段 AE 与线段 AD 相等吗？ 如果相等，请给出证明；如果不相等，请说明理由 （2）若点 E 在 BA 的延长线上，且 CEBD试探究线段 AE 与线段 AD 的数量关系（用 含有 a、m 的式子表示） ，并说明理由 【解答】 【简单应用】解：如图（1）中，结论：AEAD 理由：AA90，ABAC，BDCE， RtABDRtACE（HL） ， ADAE 故答案为：AEAD 第 21页（共 25页） 【拓展延伸】解：结论：AEAD 理由：如图（2）中，过点 C 作 CMBA 交 BA 的延长线于 M，过点 N 作 BNCA 交 CA 的延长线

33、于 N MN90，CAMBAN，CABA， CAMBAN（AAS） ， CMBN，AMAN， MN90，CEBD，CMNM， RtCMERtBND（HL） ， EMDN， AMAN， AEAD 如图（3）中，结论：AEAD2mcos（180） 理由：在 AB 上取一点 E，使得 BDCE，则 ADAE过点 C 作 CTAE 于 T CEBD，CEBD， CECE， CTEE， ETTE， ATACcos（180）mcos（180） ， 第 22页（共 25页） AEADAEAE2AT2mcos（180） 27 （14 分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y次 ? ?x 2+bx+c 的图象

34、与 x 轴交于点 A（ 3，0）和点 B（5，0） ，顶点为点 D，动点 M、Q 在 x 轴上（点 M 在点 Q 的左侧） ，在 x 轴下方作矩形 MNPQ，其中 MQ3，MN2矩形 MNPQ 沿 x 轴以每秒 1 个单位长度的 速度向右匀速运动，运动开始时，点 M 的坐标为（6，0） ，当点 M 与点 B 重合时停止 运动，设运动的时间为 t 秒（t0） （1）b? ? ? ，c? ? ? （2）连接 BD，求直线 BD 的函数表达式 （3）在矩形 MNPQ 运动的过程中，MN 所在直线与该二次函数的图象交于点 G，PQ 所 在直线与直线 BD 交于点 H，是否存在某一时刻，使得以 G、M、

35、H、Q 为顶点的四边形 是面积小于 10 的平行四边形？若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理由 （4）连接 PD，过点 P 作 PD 的垂线交 y 轴于点 R，直接写出在矩形 MNPQ 整个运动过 程中点 R 运动的路径长 【解答】解： （1）把 A（3，0） 、B（5，0）代入 y次 ? ?x 2+bx+c， 得 ? ? ? ?二 ? 次 程 ? ? 二 ?二 ? 次 程 ，解得 ? 次? ? ? ? 次? ? ? ， 故答案为：? ? ?，? ? ? . （2）y次 ? ?x 2? ?x? ? ? 次 ? ?（x1） 24， 该抛物线的顶点坐标为 D（1，4） ； 设直线 BD 的函

36、数表达式为 ymx+n， 则 ?a二 i 次 程 a 二 i 次? ?，解得 a 次 ? i 次? ?， 第 23页（共 25页） yx5 （3）存在，如图 1、图 2 由题意得，M（t6，0） ，Q（t3，0） ， G（t6，? ?t 2? ?t二 ? ? ） ，H（t3，t8） ； QMQH10，且 QH0， ? ? ?程 ? ?程 ? ? ? 程 ，解得? ? t ? ? ，且 t8； MGHQ， 当 MGHQ 时，以 G、M、H、Q 为顶点的四边形是平行四边形， |? ?t 2? ?t二 ? ? |t8|； 由? ?t 2? ?t二 ? ? 次t8 得，t218t+650， 解得，t1

37、5，t213（不符合题意，舍去） ； 由? ?t 2? ?t二 ? ? 次?t+8 得，t210t+10， 解得，t15+2 ?，t252 ?（不符合题意，舍去） ， 综上所述，t5 或 t5+2 ? （4）由（2）得，抛物线 y次 ? ?x 2? ?x? ? ? 的对称轴为直线 x1， 过点 P 作直线 x1 的垂线，垂足为点 F，交 y 轴于点 G， 如图 3，点 Q 在 y 轴左侧，此时点 R 在点 G 的上方， 当点 M 的坐标为（6，0）时，点 R 的位置最高， 此时点 Q 与点 A 重合， PGRDFP90，RPG90FPDPDF， PRGDPF， ? ? 次 ? t?， RG次

38、? t? 次 ? ? 次6， R（0，4） ； 如图 4，为原图象的局部入大图， 当点 Q 在 y 轴右侧且在直线 x1 左侧，此时点 R 的最低位置在点 G 下方， 第 24页（共 25页） 由PRGDPF，得，? ? 次 ? t?， GR次 ? t? ； 设点 Q 的坐标为（r，0） （0r1） ，则 P（r，2） ， GR次 ? ? 次? ? ?r 2二? ?r次? ? ?（r? ? ?） 2二? ?， 当 r次 ? ?时，GR 的最小值为 ? ?， R（0，? ? ? ） ； 如图 5，为原图象的缩小图， 当点 Q 在直线 x1 右侧，则点 R 在点 G 的上方， 当点 M 与点 B 重合时，点 R 的位置最高， 由PRGDPF， 得，? ? 次 ? t?， GR次 ? t? 次 ? ? 次28， R（0，26） ， 4二 ? ? 二26二 ? ? 次 ? ? ， 点 R 运动路径的长为? ? 第 25页（共 25页）