圆锥曲线之口算离心率.doc

1、作业帮一课周永亮老师独家编辑 口算椭圆双曲线离心率问题 【学习目标】 1掌握离心率的定义，并由定义推导出常见的离心率速算公式； 2会利用椭圆双曲线的几何性质来简化离心率的计算公式 【学习重难点】 1离心率的推导公式及变形； 2椭圆双曲线中一些二级结论在离心率求解中的应用 作业帮一课周永亮老师独家编辑 【知识精讲】 xy 22 性质 1：AB是椭圆() +=的任意一条弦，O为椭圆的中心，M为AB的 中221ab0 ab 点，则kk=e21； ABOM AB 是双曲线 xy 22 = 的任意一条弦，O为双曲线的中心，M为AB的中点，则 221 ab b2 kk2e1. = 2 ABOM a 双曲线

2、中的结论同样为：kk=e21 ABOM 证明：（点差法） y 设A(x y)，B(xy)，() 1,12,2 M xy 0,0设A(x y)，B(x y)， () A B M x+x= 2x 则120 += yy2y 120 ， F1OF2 x x2y2 将A(x y)，B(xy)带入() 1,12,2 2 + 2 =1ab0 得， ab 22 xy 111 += ab 22 ，作差，得： xy 22 += 221 ab 22 (x+x)(x+x)(y+y)(yy) 12121212 2+2= 0； ab 所以， yyy+yb2 1 212= xxx+xa ，即， yy2yb 2 ， 2 12

3、12 2 1 2 = 0 xx2xa 120 bac 2 2 2 所以() kk221ee1. = = = 2 = 2 ABOM aa 作业帮一课周永亮老师独家编辑 xy 22 性质 2：AB是椭圆() +=上过原点的弦，P是椭圆上异于A、B的任意一 点，221ab0 ab 则kk=e21；（此性质也称为椭圆的第三定义） PAPB 双曲线中的结论同样为：kk=e21 PAPB AB 是双曲线 xy 22 = 上过原点的弦，P是双曲线上异于A、B的任意一点，则 221 ab b 2 kk= 2=e 1. 2 PAPB a y 证明：（三角换元） xy 22 已知椭圆方程椭圆() +=ab已知椭圆

4、方程 椭圆() 2210 ab P A 设P(acos,bsin)， F1OF2 x A(acos,bsin)，B(acos,bsin)， B 从而 bsinbsinbsin+bsinbsinsin 222 kk= PAPB+ acosacosacosacosacoscos 222 () () 1 cos 1cos 22 bb 22 2 = =e1 acoscosa 2 2 2 2 作业帮一课周永亮老师独家编辑 xy 22 性质 3：椭圆() 2 + 2 =1ab0 中，设 ab F、F是椭圆的两个焦点，P为椭圆上任一 12 + cos 点若PF F=，PF Fe= =，则sin(+)2 12

5、 21 sin+sincos 2 ； + sin sin+ () 2 双曲线中的结论为：e = sinsin sin 2 证明：（正弦定理+和差化积公式） x2y2 已知椭圆方程椭圆() 2+2=1ab0 ， 2210 ab y P F1F O 2 x c2cF Fsin 离心率：e=12= a2aPF+PFsin+sin 12 又 + + ()2sincoscos sin222 sin = + + sinsinsinsin 2sincoscos 222 已知双曲线方程 xy 22 2 2 =1（a0，b 0） ab c2cF Fsin 离心率：e=12= a2aPFPFsinsin 12 作

6、业帮一课周永亮老师独家编辑 性质 4：已知双曲线 xy 22 2 2 =1(a,b0)，设其渐近线为y=kx，则其离心率 e=1+k， e=1+k， 2 ab 若渐近线的倾斜角为，则离心 率 e 1 = cos 性质 5：已知椭圆 xy 22 2 + 2 =1(ab0)，两焦点分 别为 ab F， 1 F，设焦点三角形 2 PF F中 12 F PF=，则cos1 2e2（此结论也称为最大顶角问题） 12 证明：（余弦定理） 已知椭圆 xy 22 2 + 2 =1（ab0） ab y P 在PF F中， 12 cos= PF+PFF F 222 1212 2PF PF 12 F1OF 2 x

7、= () PF+PFF F 2PF PF() 22 121212 2PF PF 12 4a 4c 22 =1 2PF PF 12 所以，PFPF = 12 2b 2 1+ cos 22 2PFPF2 b+a 2 又= =PFPF=a 122 1+ cos22 12 2b 2 所以cos112e = 2 a 2 当且仅当PF=PF时等号成立，此时点P位于短轴端点. 12 性质 6：已知椭圆 xy 22 221 +=(ab0)，两焦点分别 为 ab F， 1 F，过焦点 2 F的直线与椭圆 1 AF 交于两点A，B，设直线的倾斜角为，若 1 BF 1 =， 则 ecos= 1 1+ 作业帮一课周永

8、亮老师独家编辑 【经典例题】 例 1.2016-2017 湖北省宜昌市夷陵中学高三期末练习试卷 xy 22 已知椭圆 2 + 2 =1(0)，直线l:x+ 2y 4 = 0与椭圆相交于A，B两点，且AB ab ab 中点M坐标为(2,1)，则椭圆的离心率为_ 3 【答案】 2 kk=e ，所以1 12113 e ABOM 2 242 3 故答案为： 2 例 2.2015 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标） 已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，ABM为等腰三角形，顶角为 120，则E的离心率为() A5B2 C3D2 【答案】D 3 【解析】由题可知，kk=3 =1，根据性质 2

9、，21 kk=e ，从而e= 2 MAMBMAMB 3 故选：D 【变式】 双曲线 y 2 x2=1，过点B(1,1)能否作直线m与所给双曲线交于Q，且点B是线 Q， 12 2 段QQ的中点？ 12 【答案】不存在这样的直线 【解析】假设存在，则有kk=e21从而k= ，所以k=， 1312 Q QOBQ QQ Q 121212 y 2 则直线m为y= 2x1，根据图象易知直线m与双曲线x2=1无交点，与已知矛盾； 2 故答案为：不存在这样的直线 作业帮一课周永亮老师独家编辑 例 3.2013-2014 学年吉林省吉林市实验中学高二（上）模块检测数学试卷（二）（理科） xy 22 椭圆()F

10、F焦距为2c，若直线y=3(x+c)与 2 + 2 =10 ，左右焦点分别是 ab 1,2 ab 椭圆交于M点，满足12221 MF F=MF F，则离心率是（） A 2 2 B3 1C3 1 2 D 3 2 【答案】B 【解析】由题可知，直线y=3(x+c)过椭圆左焦点，且 MF F=，由 1260 MF F=MF F得，MF2F130 12221=，由性质 3，可得 e (+) sinsin901 =3 1 ， sin+sinsin60+sin3031 + 22 故选：B 例 4.2008 年陕西省高考数学试卷（文科） xy 22 双曲线() =的左、右焦点分别 是 221a0,b0 ab

11、 F， 1 F，过 2 F作倾斜角为 30 的 1 直线交双曲线右支于M点，若MF垂直于x轴，则双曲线的离心率为（） 2 A6B3C2D 【答案】B 3 3 【解析】由题可知，1 2= 30 ，2190 MF FMF F=，由性质 3， e 3 (+) sinsin12023 = sinsinsin30sin901 1 2 ， 故选：B 作业帮一课周永亮老师独家编辑 【变式】2016-2017 学年江西省抚州市崇仁二中期末数学试卷（理科） 2 2 xy 设P为椭圆() 2 + 2 =1ab0上一 点， ab F， 1 F为焦点，若1275 PF F= ， 2 PF2F1=15，则椭圆的离心率为

12、（） A 2 2 B 3 2 C 2 3 D 6 3 【答案】D 【解析】由题可知PF1F275PF2F1=15，根据性质 3， =， e +2 cos sin+2cos452 6 () = sin+sincoscos303 3 22 故选：D 例 5.2016-2017 学年辽宁省盘锦高中高二（上）期中数学试卷（文科） 设椭圆 xy 22 2 + 2 =1 的左、右焦点分别是F， F，如果在椭圆上存在一点P，使 12 ab F PF为钝角，则椭圆离心率的取值范围是_ 12 2 【答案】,1 2 【解析】根据性质 5，设=F PF，根据最大角问题cos12e2，所以 12 1 2e0，即21

13、2 e 2 2 故答案为：,1 2 【变式】 设椭圆 xy 22 221F，F，如果在椭圆上存在一点P，使 += 的左、右焦点分别是 12 ab 12=120 ，则椭圆离心率的取值范围是（） F PF 3 A ,1 2 3 B,1 2 3 C 0, 2 3 D 0, 2 【答案】A 【解析】根据性质 5，设=F PF，根据最大角问题cos12e2，所以 12 作业帮一课周永亮老师独家编辑 21 12e，即 2 3 2 e 1 故选为：A 例 6.2019 年全国卷理科第 10 题 双曲线C： xy= 的右焦点为F，点P在C的一条渐进线上，O为坐标原点， 若 22 1 42 PO=PF，则PFO

14、的面积为（） A 3 2 4 B 3 2 2 C2 2D3 2 【答案】A 2 【解析】由题易知，渐近线为 y=x，设倾斜角为，所以tan2 =， 22 h=，所以11363 2 tan OF263 从而S=hOF= PFO 22222224 故选：A 例 7.2019 年全国卷理科第 16 题 xy 22 已知双曲线C： 2 21(a0,b0)F，F，过 =的左、右焦点分别为 12 ab F的直线与C 1 的两条渐近线分别交于A，B两点若F A=AB， 1 F1BF2B= 0 ，则C的离心率 为 _ 【答案】2 【解析】由题可知，BFBF，OABF，从而 OABF， 2112 设渐近线在第一

15、象限的倾斜角为，由BF F=， OABF，得 221 2 OFc 11 22 从而OBF为等腰三角形，且OB=F F=c，所以cos=， 212 2OBc2 1 由性质 4 可知，2 e=， cos 故答案为：2 作业帮一课周永亮老师独家编辑 【变式】2019 年全国卷理科第 11 题 设F为双曲线C： xy 22 221(0,0) =的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径 的 ab ab 圆与圆x2+y2=a2交于P，Q两点若PQ=OF，则C的离心率为（） A2B3C2D5 【答案】A 【解析】由题可知，OP=a，OF=c，又OPFP，OF=c，所以PF=b， 从而可知P点在双曲线的渐近线上，

16、又PQ=OF， c =e，由性质 4，1cos1 设渐近线倾斜角为，从而 sin2 e=， a2cose 21 2 + = e 所以1 ，解得e=2 2e 故选：A 例 8.2019 年全国卷理科第 11 题 已知椭圆C的焦点为F()，F()，过 11,0 21,0 F的直线与C交于A，B两点若 2 |AF|= 2|F B| ，|AB|=|BF|，则C的方程为（） 221 A C x 2 +y2=1B 2 x+y=D 22 1 43 x+y= 22 1 1 32 x+y= 22 54 【答案】B 【解析】由BF+BF=a，|AB|=|BF|， 知 AF=a，从而A为椭圆上顶点， 2 122 1

17、 设为直线AB的倾斜角，由性质 6， c1 1 易知cos=e，从而e2 = a 1+ 3 x+y= ， 22 所以C的方程为1 32 故选：A 1AF ecos=，= 2 =， 2 1+ BF 2 3 ，可得 e=，有c=1 知，a=3 ，b=2 ， 3 作业帮一课周永亮老师独家编辑 【课后练习】 12016-2017 学年江苏省泰州中学高三（上）期中数学试卷 x+y=的离心率3 已知椭圆() 22 C:1ab0e=，A、B分别是椭圆的左、右顶点，点P ab2 22 是椭圆上的一点，直线PA、PB的倾斜角分别为、满足tan+ tan=1，则直线PA的 斜率为_ 22011 年湖南省长沙市长郡

18、中学高考数学复习卷 4：圆锥曲线 过双曲线的一个焦点F作垂直于实轴的直线，交双曲线于P、Q，F是另一焦点，若 21 PFQ=，则双曲线的离心率e等于（） 12 A2-1B2C2 +1D2 + 2 3设椭圆的两个焦点 是 F1,F2，过点F的直线与交于点P,Q，若|PF|=|F F|， 且 1212 3|PF|= 4|QF|，则椭圆的离心率为_ 11 作业帮一课周永亮老师独家编辑 【课后练习答案】 12 1【答案】 2 1 【解析】由题可知，kk= tantan=e21= ，又 12 4 12 解得k= 1 2 12 故答案为： 2 tan+ tan=k+k =1， 12 2【答案】C 【解析】由性质 3，e 故选：C sin45 =2 +1， sin90sin45 3【答案】 5 7 【解析】由PF+PF=a，|PF|=|F F|， 知 122 212 PF=ac， 1 1PF4 设为直线AB的倾斜角，由性质 6，=， ecos，1 1+ PF3 2 =，从而 1e= 1= 1 ac1e5 易知cos，可得e=， 2c2e 21+7 75 故答案为： 7