椭圆性质大全(92条,含证明).doc
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1、椭圆椭圆 1. 12 2PFPFa2.标准方程 22 22 1 xy ab 3. 1 1 1 PF e d 4点 P 处的切线 PT 平分PF1F2在点 P 处的外角. 5PT 平分PF1F2在点 P 处的外角,则焦点在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长轴的两个端点. 6以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 7以焦点半径 PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 8设 A1、A2为椭圆的左、右顶点,则PF1F2在边 PF2(或 PF1)上的旁切圆,必与 A1A2所在的直线切于 A2(或 A1). 9椭圆 22 22 1 xy ab (ab0)的两个顶点为 1
2、( ,0)Aa, 2( ,0) A a,与 y 轴平行的直线交椭圆于 P1、P2时 A1P1与 A2P2交点 的轨迹方程是 22 22 1 xy ab . 10若 000 (,)P xy在椭圆 22 22 1 xy ab 上,则过 0 P的椭圆的切线方程是 00 22 1 x xy y ab . 11若 000 (,)P xy在椭圆 22 22 1 xy ab 外 ,则过 Po 作椭圆的两条切线切点为 P1、P2,则切点弦 P1P2的直线方程是 00 22 1 x xy y ab . 12AB 是椭圆 22 22 1 xy ab 的不平行于对称轴的弦,M 为 AB 的中点,则 2 2 OMAB
3、 b kk a . 13若 000 (,)P xy在椭圆 22 22 1 xy ab 内,则被 Po 所平分的中点弦的方程是 22 0000 2222 x xy yxy abab . 14若 000 (,)P xy在椭圆 22 22 1 xy ab 内,则过 Po 的弦中点的轨迹方程是 22 00 2222 x xy yxy abab . 15若 PQ 是椭圆 22 22 1 xy ab (ab0)上对中心张直角的弦,则 12 2222 12 1111 (|,|)rOP rOQ rrab . 16 若椭圆 22 22 1 xy ab (ab0) 上中心张直角的弦 L 所在直线方程为1AxBy(
4、0)AB ,则(1) 22 22 11 AB ab ;(2) 4242 2222 2 a Ab B L a Ab B . 17给定椭圆 1 C: 222222 b xa ya b(ab0), 2 C: 22 22222 22 () ab b xa yab ab ,则(i)对 1 C上任意给定的点 00 (,)P xy, 它的任一直角弦必须经过 2 C上一定点 M 2222 00 2222 (,) abab xy abab . (ii)对 2 C上任一点 00 (,)P xy在 1 C上存在唯一的点 M,使得 M的任一直角弦都经过 P点. 18设 00 (,)P xy为椭圆(或圆)C: 22 2
5、2 1 xy ab (a0,. b0)上一点,P1P2为曲线 C 的动弦,且弦 PP1, PP2斜率存在,记为 k1, k2, 则直线 P1P2通过定点 00 (,)M mxmy(1)m 的充要条件是 2 12 2 1 1 m b kk m a . 19过椭圆 22 22 1 xy ab (a0, b0)上任一点 00 (,)A xy任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于 B,C 两点,则直线 BC 有定 向且 2 0 2 0 BC b x k a y (常数). 20椭圆 22 22 1 xy ab (ab0)的左右焦点分别为 F1,F2,点 P 为椭圆上任意一点 12 FPF,则椭圆的焦点三角
6、形的 面积为 12 2 tan 2 F PF Sb , 2 222 (tan,tan) 22 ab Pcb cc . 21若 P 为椭圆 22 22 1 xy ab (ab0)上异于长轴端点的任一点,F1, F2是焦点, 12 PFF, 21 PF F,则 tantan 22 ac ac . 22椭圆 22 22 1 xy ab (ab0)的焦半径公式: 10 |MFaex, 20 |MFaex( 1( ,0)Fc, 2( ,0) F c, 00 (,)M xy). 23若椭圆 22 22 1 xy ab (ab0)的左、右焦点分别为 F1、F2,左准线为 L,则当 211e 时,可在椭圆上求
7、一点 P,使得 PF1是 P 到对应准线距离 d 与 PF2的比例中项. 24 P 为椭圆 22 22 1 xy ab (ab0) 上任一点,F1,F2为二焦点, A 为椭圆内一定点, 则 212 2| | 2|aAFPAPFaAF, 当且仅当 2 ,A F P三点共线时,等号成立. 25椭圆 22 22 1 xy ab (ab0)上存在两点关于直线l: 0 ()yk xx对称的充要条件是 222 2 0 222 ()ab x ab k . 26过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线,与以长轴为直径的圆相交,则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直. 27过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点,
8、则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直. 28P 是椭圆 cos sin xa yb (ab0)上一点,则点 P 对椭圆两焦点张直角的充要条件是 2 2 1 1 sin e . 29设 A,B 为椭圆 22 22 (0,1) xy k kk ab 上两点,其直线 AB 与椭圆 22 22 1 xy ab 相交于,P Q,则APBQ. 30在椭圆 22 22 1 xy ab 中,定长为 2m(oma)的弦中点轨迹方程为 22 22222 22 1 ()cossin xy mab ab ,其中 tan bx ay ,当0y 时,90 . 31设 S 为椭圆 22 22 1 xy ab (ab0)的通
9、径,定长线段 L 的两端点 A,B 在椭圆上移动,记|AB|=l, 00 (,)M xy是 AB 中点,则当lS 时,有 2 0max () 2 al x ce 222 (cab, c e a );当lS 时,有 22 0 max ()4 2 a xbl b , 0 min ()0 x. 32椭圆 22 22 1 xy ab 与直线0AxByC有公共点的充要条件是 22222 A aB bC. 33椭圆 22 00 22 ()() 1 xxyy ab 与直线0AxByC有公共点的充要条件是 22222 00 ()A aB bAxByC. 34 设椭圆 22 22 1 xy ab (ab0) 的
10、两个焦点为 F1、 F2,P (异于长轴端点) 为椭圆上任意一点, 在PF1F2中, 记 12 FPF, 12 PFF, 12 FF P,则有 sin sinsin c e a . 35经过椭圆 222222 b xa ya b(ab0)的长轴的两端点 A1和 A2的切线,与椭圆上任一点的切线相交于 P1和 P2,则 2 1122 | |PAP Ab. 36 已知椭圆 22 22 1 xy ab (ab0) , O 为坐标原点, P、 Q 为椭圆上两动点, 且OPOQ. (1) 2222 1111 |OPOQab ; (2)|OP|2+|OQ|2的最小值为 22 22 4a b ab ;(3)
11、 OPQ S的最小值是 22 22 a b ab . 37MN 是经过椭圆 222222 b xa ya b(ab0)焦点的任一弦,若 AB 是经过椭圆中心 O 且平行于 MN 的弦,则 2 |2 |ABa MN. 38MN 是经过椭圆 222222 b xa ya b(ab0)焦点的任一弦,若过椭圆中心 O 的半弦OPMN,则 222 2111 |a MNOPab . 39设椭圆 22 22 1 xy ab (ab0),M(m,o) 或(o, m)为其对称轴上除中心,顶点外的任一点,过 M 引一条直线与椭圆相交 于 P、Q 两点,则直线 A1P、A2Q(A1 ,A2为对称轴上的两顶点)的交点
12、 N 在直线l: 2 a x m (或 2 b y m )上. 40设过椭圆焦点 F 作直线与椭圆相交 P、Q 两点,A 为椭圆长轴上一个顶点,连结 AP 和 AQ 分别交相应于焦点 F 的椭 圆准线于 M、N 两点,则 MFNF. 41过椭圆一个焦点 F 的直线与椭圆交于两点 P、Q,A1、A2为椭圆长轴上的顶点,A1P 和 A2Q 交于点 M,A2P 和 A1Q 交 于点 N,则 MFNF. 42设椭圆方程 22 22 1 xy ab ,则斜率为 k(k0)的平行弦的中点必在直线l:ykx的共轭直线 yk x上,而且 2 2 b kk a . 43设 A、B、C、D 为椭圆 22 22 1
13、 xy ab 上四点,AB、CD 所在直线的倾斜角分别为, ,直线 AB 与 CD 相交于 P,且 P 不 在椭圆上,则 2222 2222 cossin cossin PAPBba PCPDba . 44已知椭圆 22 22 1 xy ab (ab0),点 P 为其上一点 F1, F2为椭圆的焦点, 12 FPF的外(内)角平分线为l,作 F1、 F2分别垂直l于 R、S,当 P 跑遍整个椭圆时,R、S 形成的轨迹方程是 222 xya( 2 222 22 2 222 a yb x xc c y a ybxc ). 45设ABC 内接于椭圆,且 AB 为的直径,l为 AB 的共轭直径所在的直
14、线,l分别交直线 AC、BC 于 E 和 F,又 D 为l上一点,则 CD 与椭圆相切的充要条件是 D 为 EF 的中点. 46过椭圆 22 22 1 xy ab (ab0)的右焦点 F 作直线交该椭圆右支于 M,N 两点,弦 MN 的垂直平分线交 x 轴于 P,则 | |2 PFe MN . 47设 A(x1,y1)是椭圆 22 22 1 xy ab (ab0)上任一点,过 A 作一条斜率为 2 1 2 1 b x a y 的直线 L,又设 d 是原点到直线 L 的距离, 12 , r r分别是 A 到椭圆两焦点的距离,则 1 2 rr dab. 48已知椭圆 22 22 1 xy ab (
15、 ab0)和 22 22 xy ab (01) ,一直线顺次与它们相交于 A、B、C、D 四点,则 AB=|CD. 49已知椭圆 22 22 1 xy ab ( ab0) ,A、B、是椭圆上的两点,线段 AB 的垂直平分线与 x 轴相交于点 0 (,0)P x, 则 2222 0 abab x aa . 50设 P 点是椭圆 22 22 1 xy ab (ab0)上异于长轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记 12 FPF,则 (1) 2 12 2 | 1 cos b PFPF .(2) 1 2 2 tan 2 PF F Sb . 51设过椭圆的长轴上一点 B(m,o)作直线与椭圆相交于 P、Q
16、 两点,A 为椭圆长轴的左顶点,连结 AP 和 AQ 分别交相 应于过 H 点的直线 MN:xn于 M,N 两点,则 2 2 22 90 () anmam MBN amb na . 52L 是经过椭圆 22 22 1 xy ab ( ab0)长轴顶点 A 且与长轴垂直的直线,E、F 是椭圆两个焦点,e 是离心率,点PL, 若EPF,则是锐角且sine或sinarce(当且仅当|PHb时取等号). 53L 是椭圆 22 22 1 xy ab ( ab0)的准线,A、B 是椭圆的长轴两顶点,点PL,e 是离心率,EPF,H 是 L 与 X 轴的交点 c 是半焦距,则是锐角且sine或sinarce
17、(当且仅当| ab PH c 时取等号). 54L 是椭圆 22 22 1 xy ab ( ab0)的准线,E、F 是两个焦点,H 是 L 与 x 轴的交点,点PL,EPF,离心率 为 e,半焦距为 c,则为锐角且 2 sine或 2 sinarce(当且仅当 22 | b PHac c 时取等号). 55已知椭圆 22 22 1 xy ab ( ab0) ,直线 L 通过其右焦点 F2,且与椭圆相交于 A、B 两点,将 A、B 与椭圆左焦点 F1 连结起来,则 222 2 11 2 (2) | | ab bF AFB a (当且仅当 ABx 轴时右边不等式取等号,当且仅当 A、F1、B 三点
18、共线时 左边不等式取等号). 56设 A、B 是椭圆 22 22 1 xy ab ( ab0)的长轴两端点,P 是椭圆上的一点,PAB,PBA,BPA, c、e 分别是椭圆的半焦距离心率,则有(1) 2 222 2|cos| | s ab PA ac co .(2) 2 tantan1e .(3) 22 22 2 cot PAB a b S ba . 57 设 A、 B 是椭圆 22 22 1 xy ab ( ab0) 长轴上分别位于椭圆内 (异于原点) 、 外部的两点, 且 A x、 B x的横坐标 2 AB xxa, (1)若过 A 点引直线与这椭圆相交于 P、Q 两点,则PBAQBA ;
19、 (2)若过 B 引直线与这椭圆相交于 P、Q 两点, 则180PABQAB . 58设 A、B 是椭圆 22 22 1 xy ab ( ab0)长轴上分别位于椭圆内(异于原点) ,外部的两点, (1)若过 A 点引直线与 这椭圆相交于 P、 Q 两点, (若 B P 交椭圆于两点, 则 P、 Q 不关于 x 轴对称) , 且PBAQBA , 则点 A、 B 的横坐标 A x、 B x满足 2 AB xxa; (2)若过 B 点引直线与这椭圆相交于 P、Q 两点,且180PABQAB ,则点 A、B 的横坐标满 足 2 AB xxa. 59设 ,A A是椭圆 22 22 1 xy ab 的长轴
20、的两个端点, QQ是与 AA垂直的弦,则直线AQ与 AQ的交点 P 的轨迹是双曲线 22 22 1 xy ab . 60过椭圆 22 22 1 xy ab ( ab0)的左焦点F作互相垂直的两条弦 AB、CD 则 222 22 82() | abab ABCD aba . 61 到椭圆 22 22 1 xy ab ( ab0) 两焦点的距离之比等于 ac b (c 为半焦距) 的动点 M 的轨迹是姊妹圆 222 ()xayb. 62到椭圆 22 22 1 xy ab ( ab0)的长轴两端点的距离之比等于 ac b (c 为半焦距)的动点 M 的轨迹是姊妹圆 222 ()( ) ab xy e
21、e . 63到椭圆 22 22 1 xy ab ( ab0)的两准线和 x 轴的交点的距离之比为 ac b (c 为半焦距)的动点的轨迹是姊妹圆 222 22 ()() ab xy ee (e 为离心率). 64已知 P 是椭圆 22 22 1 xy ab ( ab0)上一个动点, , A A是它长轴的两个端点,且AQAP, AQAP,则 Q 点的 轨迹方程是 222 24 1 xb y aa . 65椭圆的一条直径(过中心的弦)的长,为通过一个焦点且与此直径平行的弦长和长轴之长的比例中项. 66设椭圆 22 22 1 xy ab ( ab0)长轴的端点为 ,A A, 11 ( ,)P x y
22、是椭圆上的点过 P 作斜率为 2 1 2 1 b x a y 的直线l,过 ,A A分 别作垂直于长轴的直线交l于 ,M M,则(1) 2 |AMAMb.(2)四边形 MAAM面积的最小值是2ab. 67已知椭圆 22 22 1 xy ab ( ab0)的右准线l与 x 轴相交于点E,过椭圆右焦点F的直线与椭圆相交于 A、B 两点, 点C在右准线l上,且/ /BCx轴,则直线 AC 经过线段 EF 的中点. 68OA、OB 是椭圆 22 22 () 1 xay ab ( a0,b0)的两条互相垂直的弦,O 为坐标原点,则(1)直线 AB 必经过一个 定点 2 22 2 (,0) ab ab .
23、(2) 以 OA、O B 为直径的两圆的另一个交点 Q 的轨迹方程是 22 222 2222 ()() abab xy abab (0)x. 69( , )P m n是椭圆 22 22 () 1 xay ab (ab0)上一个定点,PA、P B 是互相垂直的弦,则(1)直线 AB 必经过一个定 点 22222 2222 2()() (,) abm abn ba abab .(2)以 PA、P B 为直径的两圆的另一个交点 Q 的轨迹方程是 22224222 22 2222222 () ()() () aba mb na bn ab xy ababab (xm且yn). 70如果一个椭圆短半轴长
24、为 b,焦点 F1、F2到直线L的距离分别为 d1、d2,那么(1) 2 12 d db,且 F1、F2在L同侧 直线 L 和椭圆相切.(2) 2 12 d db,且 F1、F2在 L 同侧直线L和椭圆相离, (3) 2 12 d db,或 F1、F2在 L 异侧直 线 L 和椭圆相交. 71AB 是椭圆 22 22 1 xy ab (ab0)的长轴,N是椭圆上的动点,过N的切线与过 A、B 的切线交于C、D两点,则 梯形 ABDC 的对角线的交点 M 的轨迹方程是 22 22 4 1(0) xy y ab . 72设点 00 (,)P xy为椭圆 22 22 1 xy ab ( ab0)的内
25、部一定点,AB 是椭圆 22 22 1 xy ab 过定点 00 (,)P xy的任一弦,当 弦 AB 平行(或重合)于椭圆长轴所在直线时 222222 00 max 2 () (| |) a ba yb x PAPB b .当弦 AB 垂直于长轴所在直线时, 222222 00 min 2 () (| |) a ba yb x PAPB a . 73椭圆焦三角形中,以焦半径为直径的圆必与以椭圆长轴为直径的圆相内切. 74椭圆焦三角形的旁切圆必切长轴于非焦顶点同侧的长轴端点. 75椭圆两焦点到椭圆焦三角形旁切圆的切线长为定值 a+c 与 a-c. 76椭圆焦三角形的非焦顶点到其内切圆的切线长为
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