2021年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学（ 全国卷甲卷) 解析版.docx

1、20212021 年普通高等学校招生全国统一考试（全年普通高等学校招生全国统一考试（全国甲卷）国甲卷） 理科理科数学数学 一、选择题 1.设集合0|04Mx， 1 |5 3 Nxx，则MN（） A. 1 |0 3 xx B. 1 |4 3 xx C. |45xx D. |05xx 答案： B 解析： 由图知， 1 |4 3 MNxx. 2.为了解某地农村经济情况， 对该地农户家庭年收入进行抽样调查， 将农户家庭年收入的调 查数据整理得到如下频率分布直方图： 根据此频率分布直方图，下面结论不正确的是（） A.该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6% B.该地农户家庭年收入不低于10.

2、5万元的农户比率估计为10% C.估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元 D.估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间 答案： C 解析： A.低于4.5万元的比率估计为0.02 1 0.04 10.066% ，正确. B.不低于10.5万元的比率估计为(0.040.02 3) 10.110% ，正确. C.平均值为(3 0.024 0.045 0.16 0.147 0.28 0.29 0.1 10 0.1 11 0.04 12 0.02 13 0.02 14 0.02) 17.68 万元，不正确. D.4.5万到8.5万的比率为0.1 1 0.14 1 0

3、.2 1 0.2 10.64 ，正确. 3.已知 2 (1)32izi，则z （） A. 3 1 2 i B. 3 1 2 i C. 3 2 i D. 3 2 i 答案： B 解析： 2 3232233 1 (1)222 iii zi ii . 4.青少年视力是社会普遍关注的问题， 视力情况可借助视力表测量， 通常用五分记录法和小 数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足5lgLV.已 知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据约为 （10101.259） （） A.1.5 B.1.2 C.0.8 D.0.6 答案： C 解析： 代入5lgLV，

4、知lg4.950.1V ，故 0.1 10 1 100.8 10 V . 5.已知 1 F， 2 F是双曲线C的两个焦点，P为C上一点， 且 12 60FPF， 12 | 3|PFPF， 则C的离心率为（） A. 7 2 B. 13 2 C.7 D.13 答案： A 解析： 记 11 |rPF， 22 |rPF，由 12 3rr及 12 2rra，得 1 3ra， 2 ra，又由余弦定理知 222 121 212 2cos4rrrrFPFc，得 22 74ac，从而 7 2 c e a . 6.在一个正方体中，过顶点A的三条棱的中点分别为E，F，G，该正方体截去三棱锥 A EFG后，所得多面体

5、的三视图中，正视图如图所示，则相应的侧视图是（） A.B. C.D. 答案： D 解析： 由题可得直观图，如下图. 故选 D. 7.等比数列 n a的公比为q， 前n项和为 n S， 设甲：0q ， 乙： n S是递增数列， 则 （） A.甲是乙的充分条件但不是必要条件 B.甲是乙的必要条件但不是充分条件 C.甲是乙的充要条件 D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 答案： B 解析： 若1q ，则 1n Sna. 1 0a ，则 n S单调递增； 1 0a ，则 n S单调递减，甲 乙， 又若 n S单调递增， 则 1nn SS 恒成立， 11 00 n n aa q 恒成立， 1 0a

6、 ，0q ， 甲乙.综上：甲乙，选 B. 8.2020 年 12 月 8 日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位:m)， 三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一右图是三角高程测量法的一个示意图，现有A， B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影A，B，C满足45AC B ， 60ABC .由C点测得B点的仰角为15，BB与CC的差为100:由B点测得A点 的仰角为45,则A，C两点到水平面A B C 的高度差AACC约为 （） （31.732） A.346 B.373 C.446 D.473 答案： B 解析： 过 C 作BB 的垂线交 BB 于点 M，过 B 作

7、AA的垂线交AA于点 N， 由题意得100BM ，15BCM，45ABN，即 100 tan15 CMB C . 所以 1002 sin45 tan152 sin75sin75 B C BNB A 50 2 sin15 ， 所以 50 250 2 273 sin1562 4 ANBN .得 A，C 两点到水平面A B C 的高度差AACC 约为273 100373 ，故选 B。 9.若(0,) 2 a ， cos tan2 2sin ，则tan（） A. 15 15 B. 5 5 C. 5 3 D. 15 3 答案： A 解析： cos tan2 2sin . 222 2tan2sincosc

8、os tan2 1tancossin2sin 22 2sin(2sin)cossin 2222 4sin2sincossin12sin 1 sin 4 . 又(0,) 2 .如图， 115 tan 1515 . 10.将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（） A. 1 3 B. 2 5 C. 2 3 D. 4 5 答案： C 解析： 把位置依次标为1到6. 总数：先排2个0，有 2 6 15C 种，再排4个1，有一种，故共有15种. 满足题设的排法：先排4个1，有1种.其间有5个空，选2个空插入有 2 5 10C 种.故 102 153 P . 满足题设排法的另一种解释：0的位

9、置有(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,4)，(2,5)，(2,6)， (3,5)，(3,6)，(4,6)，共10种. 11.已知, ,A B C是半径为1的球O的球面上的三个点，且ACBC，1ACBC，则三 棱锥OABC的体积为（） A. 2 12 B. 3 12 C. 2 4 D. 3 4 答案： A 解析： 记O为, ,A B C所在圆面的圆心，则OOABC. 又2AB ，所以 2222 22 1() 22 OOOAAO . 所以 11122 1 1 332212 O ABCABC VSOO .故选 A. 12.设函数( )f x的定义域为R，(1)f x 为奇函数，(

10、2)f x 为偶函数，当1,2x时， 2 ( )f xaxb.若(0)(3)6ff，则 9 ( ) 2 f（） A. 9 4 B. 3 2 C. 7 4 D. 5 2 答案： D 解析： (1)f x 为奇函数，( )f x关于(1,0)中心对称，(1)0f. 因(2)f x 为偶函数，故( )f x关于2x 轴对称，周期为4. (0)(2)ff ，(3)(1)ff.即(1)(2)6ff，(2)6f . 0 46 ab ab ， 2 2 a b . 故 91395 ( )( )( )( 22) 22242 fff . 故选 D. 二、填空题 13.曲线 21 2 x y x 在点( 1, 3)

11、 处的切线方程为. 答案： 52yx. 解析： 2 5 ( ) (2) fx x ，( 1)5f ， 3 ( 1)3 1 f . 切线：35(1)52yxyx. 14.已知向量(3,1)a ，(1,0)b ，cakb .若ac ，则k . 答案： 10 3 解析： (3,1)ck ，03(3) 10a ck .所以 10 3 k . 15.已知 1 F， 2 F为椭圆 22 :1 164 xy C的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点， 且 12 | |PQF F，则四边形 12 PFQF的面积为. 答案： 8 解析： 如图，由 12 | |PQF F及椭圆对称性可知，四边形 12 P

12、FQF为矩形. 设 1 |PFm， 2 |PFn， 则 222 12 8 |48 mn mnF F ， 2 2 得216mn .所以， 四边形 12 PFQF 面积为8mn . 16.已知函数( )2cos()f xx的部分图像如图所示，则满足条件 74 ( ( )()( ( )()0 43 f xff xf 的最小正整数x为. 答案： 2 解析： 由图可知，( )f x的最小正周期 413 () 3123 T ，2. 13 ()2 12 f ， 13 2cos()2 6 ，2 6 k ，kZ. ( )2cos(2) 6 f xx ， 4 ()0 3 f ， 7 ()1 4 f . ( ( )

13、 1)( ( )0)0( )0f xf xf x或( )1f x . 结合图像可知，满足( )1f x 的离y轴最近的正数区间(0,) 4 ，无正数； ( )0f x 的离y轴最近的正数区间为 5 (,) 36 ，最小正整数2x . 三、解答题 （1）必考题 17.甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产 品的质量，分別用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表： （1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？ （2）能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异？ 附： 2 2 () ()()()() n adbc

14、K ab cd ac bd ， 答案： 见解析 解析： （1）由表格数据得： 甲机床生产的产品中一级品的频率为 1503 = 2004 ； 乙机床生产的产品中一级品的频率为 1203 2005 ； （2）由题意 22 2 ()400 (150 80 120 50) ()()()()200 200 270 130 n adbc k ab cd ac bd 10.2566.635. 所以有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异. 18.已知数列 n a的各项均为正数，记 n S为 n a的前n项和，从下面中选取两个作为 条件，证明另外一个成立. 数列 n a是等差数列：数列 n

15、S是等差数列： 21 3aa. 注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分， 答案： 见解析 解析： ，,证明：设等差数列 n a的公差为d.因为 21 3aa，所以 11 3ada， 则 1 2da.所以 2 1111 (1) (1) 2 n n n Snadnan nan a ，所以 1111 (1) nn SSn anaa .所以 n S是首项为 1 a，公差为 1 a的等差数列. 19.已知直三棱柱 111 ABCABC中，侧面 11 AAB B为正方形，2ABBC，E，F分别 为AC和 1 CC的中点，D为棱 11 AB上的点， 11 BFAB. （1）证明：BFDE； （2）

16、当 1 B D为何值时，面 11 BBC C与面DFE所成的二面角的正弦值最小？ 答案： 见解析； 解析: （1） 连 1 AE，取BC中点M连 1 B M，EM， 由EM为AC，BC的中点，则/ /EMAB， 又 11 / /ABAB， 11/ / ABEM，则 11 AB ME共面，故DE 面 11 AB ME. 又在侧面 11 BCC B中 1 FCBMBB ，则 1 BFMB 又 11 111111 11111 , BFAB MBABBBFAB ME MB ABAB ME 面 面 ，则BFDE. （2） 11 BFAB，则 222 9BFABAFBFAB. 又 2222 8AFFCAC

17、AC则ABBC. 如图以B为原点建立坐标轴，则(0,0,0)B，(0,2,0)C，(2,0,0)A，(1,1,0)E，(0,2,1)F. 设 1 DBt则( ,0,2),02D tt . 则面 11 BCC B法向量为(1,0,0)m ，对面DEF设法向量为( , , )nx y z ，则 ( 1,1,1) (1, 1,2) EF EDt ， 0 (3,1,2) 0 EF n ntt ED n 则 2222 33 cos, 3(1)(2)2214 m n tttt . 要求最小正弦值则求最大余弦值. 当 1 2 t 时二面角余弦值最大，则 1 1 2 B D 时二面角正弦值最小. 20.抛物线

18、C的顶点为坐标原点O，焦点在x轴上，直线:1l x 交C于P，Q两点，且 OPOQ，已知点(2,0)M，且M与l相切. （1）求C，M的方程； （2）设 1 A， 2 A， 3 A是C上的三个点，直线 12 A A， 13 A A均与M相切，判断直线 23 A A， 与M的位置关系，并说明理由. 答案： 见解析； 解析： （1） 2 :C yx， 22 :(2)1Mxy. （2）设 2 1( , )A aa， 2 2( , )A b b， 2 3( , )A c c. 1 2 2 1 :()()0 A A lyaxaxab yab ab ，所以 2 |2| 1 1() ab dr ab . 1

19、 3 2 1 :()()0 A B lyaxaxac yac ac ，所以 2 |2| 1 1() ac dr ac . 所以b，c是方程 222 2 |2| 1(1)230 1() ax axaxa ax 的两根. 又 23 :()0 A A lxbc ybc，所以 2 2 2 242 2 3 |2| |2|1| 1 1 2 1 ()21 1 () 1 a bca a d a bcaa a . 所以dr，即直线 23 A A与M相切. 21.已知0a 且1a ，函数( )(0) a x x f xx a . （1）当2a 时，求( )f x的单调区间； （2）若曲线( )yf x与直线1y

20、有且仅有两个交点，求a的取值范围. 答案： 见解析； 解析： （1）2a 时， 2 ( ) 2x x f x ， 2 2 2 ln2() 222 ln2(2ln2) ln2 ( ) (2 )22 xx xxx xx xxxx fx . 当 2 (0,) ln2 x时，( )0fx，( )f x单调递增；当 2 (,) ln2 x时，( )0fx，( )f x单 调递减. 故( )f x在 2 (0,) ln2 上单调递增，在 2 (,) ln2 上单调递减. （2）由题知( )1f x 在(0,)有两个不等根； lnln ( )1lnln ax xa f xxaaxxa xa . 令 ln (

21、 ) x g x x ， 2 1 ln ( ) x g x x ，( )g x在(0, )e单调递增，在( ,)e 单调递减. 又(1)0g ， 1 ( )g e e ， , ( )0 xg x . 所以 ln1 01 a a ae 且ae. 四、选考题（2 选 1） 22.在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的 极坐标方程为2 2cos. （1）将C的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）设点A的直角坐标为(1,0)，M为C上的动点，点P满足2APAM ，写出P的 轨迹 1 C的参数方程，并判断C与 1 C是否有公共点. 答案： 见解析 解析： （1）

22、22222 2 2cos2 2(2)2xyxxy. （2）设( , )P x y， 00 (,)M xy，由 22222 2(1, )(1,0)(1,) 22222 APAMOMAPOAxyxy . 又M在C上，所以 2222 232 (21)()2(23)4 222 xyxy. 则 1 C为(32,0)为圆心，半径为2的圆，所以 112 CCrr 所以，两圆为内含关系，所以，圆C与圆 1 C无公共点. 23.已知函数( ) |2|f xx，( ) |23|21|g xxx. （1）画出( )yf x和( )yg x的图象； （2）若()( )f xag x，求a的取值范围. 答案： 见解析；

23、 解析： （1） 2,2 ( ) 2,2 xx f x x x ； 3 4, 2 31 ( )42, 22 1 4, 2 x g xxx x （2）当0a 时，恒不满足，此时(2)0(2)4faaga； 当0a 时，()( )f xag x恒成立，必有 11311 ()( )| 4 2222 fagaa. 当 11 2 a 时， 3 (, ) 2 x 时，( )0g x ，( )0f x ，所以( )( )f xg x. 3 1 , 2 2 x 时，( )42g xx，( )2f xxa，令( )( )( )34F xf xg xxa ， 所以 111 ( )( )0 22 F xFa. 1 ( ,) 2 x时，( )2f xxa，( )4g x . ( )( )( )6F xf xg xxa，所以 1 ( )( )0 2 F xF. 所以， 11 ,) 2 a.