重庆市顶级名校2021-2022学年高三上学期第二次月考 数学试题.doc

1、关注公众号品数学 高中数学资料共享群（734924357） 高 2022 届第二次月考 数 学 试 题 （满分：150 分考试时间：120 分钟） 2021 年 10 月 注意事项： 1答题前，考生先将自己的姓名、班级、考场/座位号、准考证号填写在答题卡上。 2答选择题时，必须使用 2B 铅笔填涂；答非选择题时，必须使用 0.5 毫米黑色签字笔书写； 必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无效；保持答卷清洁、完整。 3考试结束后，将答题卡交回（试题卷学生留存，以备评讲） 。 一、一、单项选择题单项选择题：本题共本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分在每小题

2、给出的四个选项中，只有在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求一项是符合题目要求 1如图，设全集UN，集合1,3,5,7,8A ，1,2,3,4,5B ，则图中阴影部分表示的集合 为（） A2,4B7,8 C1,3,5D1,2,3,4,5 2已知 1 cos 2 ，0 2 ，则cos 3 的值是（） A 1 2 B 1 2 C 2 3 D1 3若已知直线: l yxb与圆 22 :1C xy交于,A B两点，则“1b ”是“弦AB所对圆心 角为 2 ”的（） A充分不必要条件B必要不充分条件 C充要条件D既不充分也不必要条件 4命题“ 1 0,3xx x 且sin1x”的否定是（）

3、A 1 0,3xx x 且sin1xB 1 0,3xx x 或sin1x C 1 0,3xx x 且sin1xD 1 0,3xx x 或sin1x 5将,A B C D E排成一列，要求,A C E在排列中顺序为“,A C E”或“,E C A”（可以不 相邻） ，则这样的排列数有（） A24 种B40 种C60 种D80 种 关注公众号品数学 高中数学资料共享群（734924357） 6在ABC 中， M 为边 BC 上任意一点， N 为 AM 中点， 且满足ANABAC ， 则 22 的最小值为（） A 1 16 B 1 4 C 1 8 D1 7已知0,1a，则函数 5 ( )sin, 4

4、6 f xxa x 有两个零点的概率为（） A 2 1 2 B 1 2 C 3 1 2 D 3 2 8已知 31 42 34 2 ,3 ,log 4,log 5abcd，则, , ,a b c d的大小关系为（） AbadcBbcadCbacdDabdc 二、二、多选题多选题：本大题共：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的四个选项中，有多项分在每小题给出的四个选项中，有多项 是符合题目要求的，全部选对得是符合题目要求的，全部选对得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分 9动力电池组对新能源汽车的性能表现以及

5、安全性影 响巨大，是新能源汽车非常核心的部件如图是刀 片电池、三元锂电池和磷酸铁锂电池部分指标的雷 达图，则下列说法正确的是（） A刀片电池的安全性更高，价格优势更突出 B三元锂电池的缺点是循环寿命较短、价格偏高、 安全性偏低 C对于这 7 项指标，刀片电池的平均得分低于三元锂电池 D磷酸铁锂电池能量密度低、低温性能好 10若 5 01 (12 ) xaa x 234 234 a xa xa x 5 5 a x，则下列结论中正确的是（） A 0 1a B 5 32a C 5 012345 3aaaaaaD 012345 234510aaaaaa 11已知曲线 22 :1C mxny（其中,m

6、n为参数） （） A若 m n 0，则 C 是椭圆，其长轴长为 1 2 m B若 mn 0，则 C 是双曲线，其渐近线方程为 m yx n C曲线 C 可表示的所有曲线类型为椭圆、圆、双曲线 D若0,0mnmn，则曲线 C 的离心率e的取值范围为( 2,) 关注公众号品数学 高中数学资料共享群（734924357） 12已知边长为a的菱形ABCD中， 3 ADC， 将ADC沿AC翻折， 下列说法正确的是 （） A在翻折的过程中，直线AD,BC可能相互垂直 B在翻折的过程中，三棱锥DABC体积最大值为 3 8 a C在翻折的过程中，三棱锥DABC表面积最大时，其内切球表面积为 2 (148 3)

7、 a D在翻折的过程中，点D在面ABC上的投影为 D ，E为棱CD上的一个动点， ED 的最 小值为 3 4 a 三三、填空题、填空题：本大题共本大题共 4 小题，每题小题，每题 5 分，共分，共 20 分分 13i是虚数单位，已知复数 234 234ziiii ，则z _ 14已知数列 n a的前n项和为 n S， 且满足 11 1, nn aSa ， 则数列的通项公式 n a 15函数 ln1 ( ) x f x x 的单调增区间为；若对,1, a be，均有 lnlnabba m ba 成 立，则m的取值范围是 16已知 12 ,F F分别为双曲线 2 2 1 3 y x 的左、右焦点，

8、过 2 F的直线与双曲线的右支交于,A B 两点，记 12 AF F的内切圆 1 O的半径为 1 r， 12 BF F的内切圆 2 O的半径为 2 r，圆 1 O、 2 O的 面积为 1 S、 2 S，则 12 SS的取值范围是 四四、解答题解答题：本大题共本大题共 6 小题小题，共共 70 分分解答应写出必要的文字说明解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤 17如 图 ， 在 直 三 棱 柱 111 ABCA B C中 ，90ACB， 1 ACBCCC，M为AB的 中 点 ，D在 11 A B上 且 11 3A DDB (1)求证：平面CMD平面 11 ABB A；

9、(2)求直线CM与平面CBD所成角的正弦 值 18已知ABC的内角,A B C的对应边分别为, ,a b c，2 7a ， 2b ，3cos coscsin0()osA cBbCaA (1)求A； (2)设D为BC边 上 一 点 且 ADAC，求ABD的面积 19从某学校的 800 名男生中随机抽取 50 名测量身高，被 关注公众号品数学 高中数学资料共享群（734924357） 测学生身高全部介于 155cm 和 195cm 之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组 155,160，第二组160,165，第八组190,195，下图是按上述分组方法得到的频率 分布直方图的一部分，己知第一组与

10、第八组人数相同，第六组的人数为 4 人 (1)求第七组的频率； (2)估计该校的 800 名男生的身高的平均数和中位数； (3)若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生， 记他 们的身高分别为, x y，事件5Exy，求 P E 20已知函数 2 lnf xxaxxb (1)若曲线( )yf x在点(1,(1)Pf处的切线为2yx，求, a b的值； (2)若aR，讨论函数( )yf x的单调区间 21已知数列 n a的前 n 项和为 n S，且 1 1 2 a ， 1 1 ()* 2 nn n aaN n n (1)证明数列 n a n 为等比数列，并求数列 n a的通项公式；

11、 (2)设(2) nn bnS，求数列 32 n n b 前n项和 n T 22已知椭圆E： 22 22 1(0) xy ab ab 的离心率为 2 2 ，点(0, 1)A是椭圆E短轴的一个四等 分点 (1)求椭圆E的标准方程； (2)设过点 A 且斜率为 1 k的动直线与椭圆E交于,M N两点，且点 0,2B，直线,BM BN分别交C： 2 2 11xy于异于点B的点,P Q，设直线PQ 的斜率为 2 k，求实数使得 21 kk恒成立 2022 级级 第二次月考数学第二次月考数学 参考答案参考答案 【答案】ABADBCAC,AB,ABC,BD,BC 关注公众号品数学 高中数学资料共享群（73

12、4924357） 【答案】13.2 2； 14. 2 1,1 2,2 n n n a n ； 15.(0,1)或者(0,1，1,)；16. 10 2 , 3 17.【详解】 （1）直三棱柱 1 1 1 ABCA B C 中， 1 ACBCCC ，M为AB的中点，D在 1 1 A B上且 11 3A DDB CMAB， 1 AA 平面ABC，CM 平面ABC， 1 CMAA ，又 1 AAABA ，CM平面 1 1 ABB A，- (3) CM 平面CMD，平面CMD 平面 1 1 ABB A- (5) （2）以C为原点，CA为x轴，CB为y轴， 1 CC为z轴，建立空间直角坐标系， 设 1 4

13、ACBCCC ，则(0C，0，0)，(0B，4，0)，(1D，3，4)，(2M，2，0)， (1BD ，1，4)，(0BC ，4，0)，(2BM ，2，0)， 设平面BDC的法向量(nx ，y，) z， 则 40 40 n BDxyz n BCy ，取1z ，得 ( 4,0,1)n -(8) 向量(2,2,0)CM 则： 82 34 cos, 178 17 CM n -(9) 设直线CM与平面CBD所成角为 ， 2 34 sincos, 17 CM n . -(1 0) 法二：等体积法 16 3 D CMB V ； 117 3 2,26,cos,sin 3 23 2 PBPCCBPCBP-(7

14、) 1 sin2 17 2 BPC SBP BCCBP ； 1168 17 3317 MBPCMBPCM Vh Sh -(9) 得： 2 34 sin 17 M h CM -(1 0) 18.【详解】 （1）由正弦定理得： 2 3cos(sincossincos)sin0ACBBCA， 即 2 3cossin()sin0ABCA， 2 3cossinsin0AAA- (2) 在ABC中，sin0A ，3cossin0AA，所以 sin tan3 cos A A A ，-(4) 因为 0,A ，所以 2 3 A .- (5) （2）由余弦定理可得 222 2cosabcbcA ，即 2 1 28

15、422 2 cc 整理得： 2 2240cc ，解得4c 或6c （舍去）-(7) 关注公众号品数学 高中数学资料共享群（734924357） 222 2coscbaabC ，1628422 72cosC，解得 2 cos 7 C ，- (9) 在Rt ADC中， 2 DAC ，所以 2 7 sincos2 7 7 ACAC CD ADCC ， -(1 1) 1 2 CDBC，即D是BC的中点，所以ABD的面积. 111113 sin423 222222 ABC SSAB ACBAC -(1 2) 19.【详解】解：(1)第六组的频率为 4 0.08 50 ， 第七组的频率为 10.0850.

16、00820.0160.0420.060.06 -(3) (2)由直方图得，身高在第一组 155,160 的频率为0.008 50.04，身高在第二组 160,165 的频率为 0.01650.08， 身高在第三组 165,170 的频率为0.0450.2，身高在第四组 170,175 的频率为0.0450.2， 由于0.040.080.20.320.5，0.040.080.20.20.520.5， 设这所学校的 800 名男生的身高中位数为 m，则170175m， 由 0.040.080.21700.040.5m 得中位数174.5m cm，-(5) 157.50.04162.50.08167

17、.50.2172.50.2177.50 .065182.50.08187.50.06x 192.50.008 5174.1 得平均数为 174.1cm- (7) (3)第六组 180,185 的抽取人数为 4，设所抽取的人为 a，b，c，d， 第八组190,195 的抽取人数为0.008 5 50 2 ，设所抽取的人为 A，B，- (9) 则从中随机抽取两名男生有 ab，ac，ad，bc，bd，cd，aA，aB，bA，bB，cA，cB，dA，dB，AB 共 15 种情 况，因事件 5Exy 发生当且仅当随机抽取的两名男生在同一组，所以事件 E 包含的基本事件为 ab，ac， ad，bc，bd，

18、cd，AB 共 7 种情况所以 7 15 P E (12) 20.【详解】解：(1)由题意，(1)1fab得点 P 坐标为(1,1)Pab 关注公众号品数学 高中数学资料共享群（734924357） 又 1 ( )21,(1)21fxaxfa x ，解得 1 2 a 又点 P 在直线上，13ab ，解得 7 2 b .- (4) (2)函数 2 fxlnxaxxb， 2 121 2100 axx fxaxxx xx ，令分子 2 21()0()hxxxax-(5) 易知，( )h x取值正负与( )fx 取值正负一致 当0a 时， 1x fx x ，0 x ，得：当0,1x时， 0fx ， f

19、 x 单调递增； 当 1,x 时， 0fx ， f x 单调递减；- (7) 当0a 时，( )h x为开口向下的二次函数，180a ，令( )0h x ，得 1 118 4 a x a ， 2 118 4 a x a 12 0,0 xx ，得：当 1 0,xx 时， 0fx ， f x 单调递增； 当 1, xx时， 0fx ， f x 单调递减；-(9) 当0a 时，( )h x为开口向上的二次函数，18a 正负号不确定 当 1 0 8 a时，0 ，方程 0fx 有两个不等的正根 1 118 4 a x a ， 2 118 4 a x a 则： 当 1 0,xx 及 2, xx时， 0fx

20、 ， f x 单调递增； 当 12 ,xx x 时， 0fx ； f x 单调递减；(11) 当 1 8 a 时，0 恒成立，得：当0,x时， 0fx ， f x 单调递增；(12) 综上综上：当0a 时：函数在 1 0,xx 上单增， 1, xx上单减 当0a 时：函数在 0,1x 上单增， 1,x 上单减 当 1 0 8 a时：函数在 1 0,xx 及 2, xx上单增，在 12 ,xx x 上单减 当 1 8 a 时：函数在0,x上单增 21.【详解】解（1）法 1：当2n 时 22 2(4)Sa ，又 2 14a ，则1 6a 由 * (44), nn Sn annN知，当2n 时 1

21、1 (1)(4(1)4) nn Snan ， 相减得 1 (1)(1)8(1)0 nn nanan ，即 1 8 nn aa ，故 n a 是等差数列， 关注公众号品数学 高中数学资料共享群（734924357） 由 2 14a ，则 214288 n ann .-(5) 法 2：由 * (44), nn Sn annN得 * 1 (44), nnn Sn SSnnN （2n ） ， 即 1 (1)4(1) nn nSnSnn ，则 1 4 1 nn SS nn ，故 n S n 是等差数列， 则64(1)42 n S nn n ，即 2 42 n Snn， 2 1 2 42412182 nn

22、nn aSSnnSnnn （2n ）-(4) 即 82 n an .当1n 时，1 1 6aS ，满足上式，所以 82 n an -(5) （2）解得： 2 42 n Snn-(6) 由于 2 41 42 2 n n Snn -(9) 则 1 1411 (41)(45)4145 n n nnnnS S (10) 故 1 22 31 1111111 59913 n n S SS SS S 11 4145nn 11 545n 4 5(45) n n (12) 22.【详解】解： （1）因为点 0, 1A 是椭圆E短轴的一个四等分点， 所以2b ，又 2 2 c e a ，且 222 abc ，则

23、22 24cc ，所以 2 4c ， 2 8a ， 所以椭圆E的标准方程为 22 1 84 xy - (4) （2）设 1122 , PPQQ M x yN xyP xyQ xy，直线 MN 的方程为 1 1yk x ， 则直线 BM 的方程为 1 1 2 2 y yx x ，与 2 2 11xy联立， 得： 2 22 1111 2220 xyxxyx- (6) 由 0 P x ，且点 0,2B 在C上，得 11 2 2 11 22 2 P xy x xy ， 又 22 11 1 84 xy ，即 22 11 82xy，代入上式得 11 1 2 2 1 11 22 2 6 822 P xy x

24、 x y yy -(8) 关注公众号品数学 高中数学资料共享群（734924357） 1 11 216 24 6 PP y yx xy ，即点 1 11 216 ,4 66 x P yy ，同理 2 22 216 ,4 66 x Q yy ， 则 1212 2 12 1 22 112 12 1616 44 668 22 66 66 PQ PQ yyyyyy k xx xxx yx yxx yy (10) 将 11 121 2 1,1yk xyk x 代入上式， 得 112112 21 11 221 11212 88 8 116655 kxxkxx kk xk xxk xxxxx (12) 所以 8 5 时， 21 kk ，恒成立.