（高中数学必修第一册 优化设计配套课件）习题课-函数性质的综合应用.pptx

1、 ？ 高中数学必修第一册高中数学必修第一册 优化优化设计设计 精品课件精品课件 ？ 习题课习题课函数性质的综合应用函数性质的综合应用 ？ 课标定位课标定位 素养阐释素养阐释 1.掌握函数奇偶性与单调性的关系掌握函数奇偶性与单调性的关系,能够运用这能够运用这 种关系解决相关问题种关系解决相关问题. 2.掌握抽象函数奇偶性与单调性的判断方法掌握抽象函数奇偶性与单调性的判断方法. 3.掌握函数奇偶性与单调性的综合应用掌握函数奇偶性与单调性的综合应用. 4.感受数学抽象的过程感受数学抽象的过程,提高逻辑推理与数学运提高逻辑推理与数学运 算素养算素养. 自主自主预习预习新知新知导学导学 合作合作探究探究

2、释疑释疑解惑解惑 规规 范范 解解 答答 随随 堂堂 练练 习习 ？ 自主自主预习预习新知导学新知导学 ？ 一、函数单调性与奇偶性的关系一、函数单调性与奇偶性的关系 【问题思考】【问题思考】 1.(1)若函数若函数f(x)为奇函数为奇函数,则则f(x)在关于原点对称的两个区间在关于原点对称的两个区间 a,b和和-b,-a上具有上具有相同相同的单调性的单调性. (2)若函数若函数f(x)为偶函数为偶函数,则则f(x)在关于原点对称的两个区间在关于原点对称的两个区间a,b 和和-b,-a上具有上具有相反相反的单调性的单调性. (3)若奇函数若奇函数f(x)在区间在区间a,b上的最大值和最小值分别是

3、上的最大值和最小值分别是M,m, 则则f(x)在区间在区间-b,-a上的最大值和最小值分别上的最大值和最小值分别是是 -m,-M . (4)若偶函数若偶函数f(x)在区间在区间a,b上的最大值和最小值分别是上的最大值和最小值分别是M,m, 则则f(x)在区间在区间-b,-a上的最大值和最小值分别上的最大值和最小值分别是是 M,m . ？ 2.做一做做一做:已知奇函数已知奇函数f(x)在区间在区间0,+)内单调递增内单调递增,则满足则满足 f(x)f(1)的的x的取值范围是的取值范围是() A.(-,1)B.(-,-1) C.(0,1)D.-1,1) 解析解析:因为因为f(x)在区间在区间0,+

4、)内单调递增内单调递增,且是奇函数且是奇函数,所以所以f(x) 在在R上单调递增上单调递增,f(x)f(1)xf(m+3), 则必有则必有2m-1f(-3)f(-2)B.f()f(-2)f(-3) C.f()f(-3)f(-2)D.f()f(-2)f(-3) 解析解析:f(x)在在R上是偶函数上是偶函数,f(-2)=f(2),f(-3)=f(3). 23,且且f(x)在区间在区间0,+)上单调递增上单调递增, f(2)f(3)f(),f(-2)f(-3)f(3)f(). 又又f(x)是是R上的偶函数上的偶函数, 所以所以f(-2)=f(2),f(-3)=f(3),从而有从而有f(-2)f(-3

5、)f(). ？ 2.若将本例中的若将本例中的“偶函数偶函数”改为改为“奇函数奇函数”,其他条件不变其他条件不变,比较比较 这三个数的大小这三个数的大小. 解解:因为函数为定义在因为函数为定义在R上的奇函数上的奇函数,且在区间且在区间0,+)上单调递上单调递 增增,所以函数在所以函数在R上是增函数上是增函数,因为因为-3-2, 所以所以f(-3)f(-2)f(). ？ 反思感悟反思感悟 应用应用函数的单调性与奇偶性判断函数值的大小时函数的单调性与奇偶性判断函数值的大小时,先利用函先利用函 数的奇偶性将自变量转化到同一个单调区间上数的奇偶性将自变量转化到同一个单调区间上,再根据函数再根据函数 的单

6、调性对函数值的大小作出比较的单调性对函数值的大小作出比较. ？ 探究探究二二 利用利用函数的奇偶性与单调性解不等式函数的奇偶性与单调性解不等式 【例【例2】 已知定义在区间已知定义在区间-2,2上的奇函数上的奇函数f(x)在区间在区间0,2上上 单调递减单调递减,若若f(1-m)f(m),求实数求实数m的取值范围的取值范围. 解解:因为因为f(x)在区间在区间-2,2上为奇函数上为奇函数,且在区间且在区间0,2上单调递上单调递 减减,所以所以f(x)在区间在区间-2,2上为减函数上为减函数.又又f(1-m)f(m), ？ 若将本例中的若将本例中的“奇函数奇函数”改为改为“偶函数偶函数”,把区间

7、把区间“0,2”改为改为“- 2,0”,其他条件不变其他条件不变,求实数求实数m的取值范围的取值范围. 解解:因为函数为区间因为函数为区间-2,2上的偶函数上的偶函数,且函数在区间且函数在区间-2,0上上 单调递减单调递减,所以函数在区间所以函数在区间0,2上单调递增上单调递增, 则不等式可化为则不等式可化为f(|1-m|)f(|m|), ？ 反思反思感悟感悟 1.根据抽象的奇函数的函数值大小求解与自变量根据抽象的奇函数的函数值大小求解与自变量 有关的参数问题有关的参数问题,可利用奇函数的性质将自变量转化为函数可利用奇函数的性质将自变量转化为函数 的同一个单调区间上的同一个单调区间上,利用函数

8、的单调性利用函数的单调性,去掉抽象符号去掉抽象符号“f”转转 化为自变量的大小化为自变量的大小. 2.根据偶函数的性质将函数值的大小转化为自变量的大小根据偶函数的性质将函数值的大小转化为自变量的大小,不不 但要考虑两个自变量在区间但要考虑两个自变量在区间(0,+)上时的单调性上时的单调性,还要考虑两还要考虑两 个自变量在区间个自变量在区间(-,0)上的单调性以及两个自变量分别在区上的单调性以及两个自变量分别在区 间间(-,0)与与(0,+)上的绝对值的大小上的绝对值的大小,这样分类讨论的情况比这样分类讨论的情况比 较复杂较复杂,因此可以利用偶函数的性质因此可以利用偶函数的性质f(x)=f(-x

9、)=f(|x|),转化为函转化为函 数在区间数在区间(0,+)上的单调性去掉上的单调性去掉“f”求解求解. ？ 【例例3】 已知定义在已知定义在R上的函数上的函数f(x)满足满足f(x+y)=f(x)+f(y),当当 x0时时,f(x)0.求证求证: (1)f(x)为奇函数为奇函数; (2)f(x)为为R上的增函数上的增函数. 探究探究三三 抽象抽象函数奇偶性与单调性的判断函数奇偶性与单调性的判断 ？ 证明证明:(1)令令x=y=0,则则f(0)=f(0)+f(0),即即f(0)=0. 令令y=-x,则则f(0)=f(x)+f(-x), 即即f(-x)=-f(x). 故故f(x)为奇函数为奇函

10、数. (2)任取任取x1,x2R,且且x1x2,则则x1-x20. 当当x0时时,f(x)0,即即f(x1-x2)0. 则则f(x1)-f(x2)=f(x1-x2+x2)-f(x2)=f(x1-x2)+f(x2)-f(x2)=f(x1-x2)0, 即即f(x1)f(x2). 故故f(x)为为R上的增函数上的增函数. ？ 反思感悟反思感悟 1.关于抽象函数奇偶性的判断主要是利用函数的性质和已知关于抽象函数奇偶性的判断主要是利用函数的性质和已知 条件寻求条件寻求f(x)和和f(-x)的关系的关系,从而得到结论从而得到结论.具体判断步骤如下具体判断步骤如下: (1)明确目标明确目标:判断判断f(x)

11、与与f(-x)的关系的关系; (2)用赋值法在已知函数解析式中凑出用赋值法在已知函数解析式中凑出f(x)与与f(-x)的关系的关系; (3)判断判断f(x)与与f(-x)的关系后确定结论的关系后确定结论. 2.抽象函数一般由方程抽象函数一般由方程(不等式不等式)确定确定,这类函数的单调性问题这类函数的单调性问题 一般用单调性的定义来处理一般用单调性的定义来处理,但要注意运用所给条件但要注意运用所给条件,判断出判断出 函数值之间的关系函数值之间的关系.常见思路是常见思路是:首先在所证区间上设出任意首先在所证区间上设出任意 x1,x2(x10时时,f(x)1.求证求证: (1)y=f(x)-1为奇

12、函数为奇函数; (2)f(x)是是R上的增函数上的增函数. ？ 证明证明:(1)因为定义在因为定义在R上的函数上的函数f(x)对任意对任意x1,x2R,都有都有 f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)-1成立成立,所以令所以令x1=x2=0, 得得f(0+0)=f(0)+f(0)-1,即即f(0)=1. 令令x1=x,x2=-x,得得f(x-x)=f(x)+f(-x)-1,即即f(x)-1+f(-x)-1=0, 故故y=f(x)-1为奇函数为奇函数. (2)由由(1)知知y=f(x)-1为奇函数为奇函数,即即f(x)-1=-f(-x)+1. 任取任取x1,x2R,且且x10, 则则f(x2-

13、x1)=f(x2)+f(-x1)-1=f(x2)-f(x1)-1=f(x2)-f(x1)+1. 当当x0时时,f(x)1,即即f(x2-x1)=f(x2)-f(x1)+11, 即即f(x1)f(x2),故故f(x)是是R上的增函数上的增函数. ？ 规规 范范 解解 答答 ？ 函数性质的综合函数性质的综合应用应用 (1)确定确定f(x)的解析式的解析式; (2)用定义证明用定义证明:f(x)在区间在区间(-1,1)内是增函数内是增函数; (3)解不等式解不等式:f(2t-1)+f(t)0. ？ ？ ？ 答题模板答题模板:第第1步步:由由f(x)为奇函数为奇函数以及以及 建立方程组建立方程组. 第

14、第2步步:解方程组求出解方程组求出a,b的值即得函数的解析式的值即得函数的解析式. 第第3步步:根据取值、作差变形、定号、下结论的步骤证明函数根据取值、作差变形、定号、下结论的步骤证明函数 的单调性的单调性. 第第4步步:由由f(x)为奇函数将已知不等式转化为奇函数将已知不等式转化. ？ 第第5步步:由由f(x)为增函数去掉为增函数去掉“f”建立关于建立关于t的不等式的不等式. 第第6步步:得到得到t的取值范围的取值范围. ？ 失误展示失误展示 造成造成失分的主要原因如下失分的主要原因如下: (1)计算出错计算出错,导致解析式错误导致解析式错误; (2)利用函数单调性的定义证明单调性的过程不规

15、范利用函数单调性的定义证明单调性的过程不规范,没有对没有对 作差后的式子进行恰当的变形作差后的式子进行恰当的变形; (3)忽视函数的定义域这一隐含条件忽视函数的定义域这一隐含条件,由由f(2t-1)f(-t)只得到只得到2t- 1-t,从而得到错误结果从而得到错误结果. ？ 【变式训练】【变式训练】 已知函数已知函数y=f(x)是定义在是定义在R上的奇函数上的奇函数,且当且当 x0时时,f(x)=-x2+ax. (1)若若a=-2,求函数求函数f(x)的解析式的解析式; (2)若函数若函数f(x)为为R上的减函数上的减函数, 求求a的取值范围的取值范围; 若对任意实数若对任意实数m,f(m-1

16、)+f(m2+t)0恒成立恒成立,求实数求实数t的取值范的取值范 围围. ？ 解解:(1)当当x0, f(x)为奇函数为奇函数,且且a=-2, f(x)=-f(-x)=x2-2x. ？ ？ ？ 随随 堂堂 练练 习习 ？ 1.已知偶函数已知偶函数f(x)在区间在区间0,+)内单调递减内单调递减,则则f(1)和和f(-10)的大的大 小关系为小关系为() A.f(1)f(-10)B.f(1)f(-10) C.f(1)=f(-10)D.f(1)和和f(-10)关系不定关系不定 解析解析: f(x)是偶函数是偶函数,f(-10)=f(10). 又又f(x)在区间在区间0,+)内单调递减内单调递减,且

17、且1f(10),即即f(1)f(-10). 答案答案: A ？ 2.若奇函数若奇函数f(x)在区间在区间2,5上的最小值是上的最小值是6,则则f(x)在区间在区间-5,-2 上有上有() A.最小值最小值6B.最小值最小值-6 C.最大值最大值-6D.最大值最大值6 解析解析:因为奇函数因为奇函数f(x)在区间在区间2,5上有最小值上有最小值6, 所以可设所以可设a2,5,有有f(a)=6. 由奇函数的由奇函数的性质性质,知知f(x)在区间在区间-5,-2上必有最大值上必有最大值,且最大值且最大值 为为f(-a)=-f(a)=-6. 答案答案:C ？ 答案答案:A ？ 4.已知奇函数已知奇函数

18、f(x)是定义在区间是定义在区间(-3,3)内的减函数内的减函数,且满足不等且满足不等 式式f(x-3)+f(x2-3)0,则则x的取值范围为的取值范围为. f(x)是奇函数是奇函数,f(x-3)3-x2,即即x2+x-60,解得解得x2或或x0时时,f(x)x2, 则则f(x1)-f(x2)=f(x1-x2+x2)-f(x2)=f(x1-x2)+f(x2)-f(x2)=f(x1-x2). 当当x0时时,f(x)0, f(x1-x2)0,即即f(x1)f(x2), 函数函数f(x)在在R上为减函数上为减函数. ？ (2)解解:f(x)在在R上是减函数上是减函数, f(x)在区间在区间-3,3上单调递减上单调递减, f(x)在区间在区间-3,3上的最大值和最小值分别为上的最大值和最小值分别为f(-3)与与f(3). f(x)+f(y)=f(x+y),令令x=y=0,f(0)=0. 令令y=-x,得得f(x)+f(-x)=f(0)=0, 即即f(-x)=-f(x),f(x)是奇函数是奇函数. 而而f(3)=3f(1)=-2,则则f(-3)=-f(3)=2, 函数函数f(x)在区间在区间-3,3上的最大值为上的最大值为2,最小值为最小值为-2.