（高中数学优秀教学设计word版）函数的单调性教学设计（韩昕）.doc

1、1.3.11.3.1 函数的单调性（第一课时）教学设计函数的单调性（第一课时）教学设计 新疆乌鲁木齐八一中学韩昕 课型：新授课课型：新授课 一、教学内容解析及学情分析一、教学内容解析及学情分析 首先， 从单调性知识本身来讲.学生对于函数单调性的学习共分为三个阶段： 第一阶段是学生在初中学习了一次函数、二次函数、反比例函数，对函数的增减 性有一个初步的感性认识，知图象的变化趋势；第二阶段是在高一学习函数单调 性的严格定义，从数和形两个方面理解单调性的概念；第三阶段则是在高二利用 导数为工具研究函数的单调性，并知其变化快慢.高一单调性的学习，既是初中 学习的延续和深化，又为高二的学习奠定基础 其次

2、，从函数角度来讲. 函数的单调性是学生学习的第一个函数性质，也是 第一个用数学符号语言来刻画的概念.函数的单调性与函数的奇偶性、周期性一 样，都是研究自变量变化时，函数值的变化规律；学生对于这些概念的认识，都 经历了直观感受、文字描述和严格定义三个阶段，即都从观察图象，用自然语言 描述函数图象特征，以函数解析式为依据经历用符号语言刻画图形语言，用定量 分析解释定性结果的过程.因此，函数单调性的学习为进一步学习函数的其它性 质提供了方法依据. 最后，从学科角度来讲.函数的单调性是学习不等式、极限、导数等其它数 学知识的重要基础，是解决数学问题的常用工具，也是培养学生逻辑推理能力和 渗透数形结合思

3、想的重要素材，同时是一节具有奠基意义的数学方法课. 二、教学目标二、教学目标 按照教学大纲的要求，根据教材和学情，确定如下教学目标： 1 1知识与技能目标：知识与技能目标： 使学生从形与数两方面理解函数单调性的概念; 掌握利用函数图象和单调性定义判断函数单调性的方法； 掌握利用函数单调性的定义证明函数在某个区间上的单调性. 隐性目标：让学生体验数学知识的发生发展过程，在体验函数单调性概念 的建构过程中掌握数学的认知策略. 2.2.过程与方法目标：过程与方法目标： 通过对函数单调性定义的探究，渗透数形结合的思想方法； 通过对函数单调性的证明，提高学生的推理论证能力； 在体验函数单调性概念符号化的

4、建构过程中,让学生体会数学知识的发生 发展过程： 由形象到抽象， 从具体到一般， 掌握数学概念的本质， 培养学生观察、 归纳、抽象的概括能力和语言表达能力； 通过课堂练习单及时巩固学习成果，完成学习目标. 3 3情感、态度与价值观目标：情感、态度与价值观目标： 充分发挥学生在学习中的主体地位，引导学生活动、观察、思考、合作、 探究、归纳、交流、反思，促进学生形成研究氛围和合作意识. 重视知识的形成过程教学，培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良 好思维习惯让学生知其然并知其所以然， 通过学习新知识体会到前人探索的艰辛 过程与收获的乐趣. 三、教学重、难点三、教学重、难点 对于函数的单调性,学

5、生的认知困难主要在两个方面: 首先，用准确的数学符号语言去刻画图象的上升与下降,把对单调性直观感 性的认识上升到理性的高度, 这种由形到数的翻译,从直观到抽象的转变对高一 的学生来说比较困难.如何让学生理解这种符号化的、抽象的数学语言，参与函 数单调性概念的形成过程是本节课的第一个难点. 其次，由于学生第一次接触到代数证明，如何运用函数单调性的定义严格证 明函数的单调性并完成规范的书面表达则是本节课的另一难点. 根据以上的分析和教学大纲对单调性的教学要求，本节课的教学重难点是： 教学重点教学重点：增（减）函数概念的形成； 教学难点教学难点：形成增（减）函数概念的过程中，如何从图象升降的直观认识

6、 过渡到函数增减的数学符号语言表达； 用定义证明函数的单调性. 四、教法、学法四、教法、学法 教法：本节课是函数单调性的起始课，根据教学内容、教学目标和学生的认 知水平，主要采取教师启发讲解和学生探究发现的教学方法.教学过程中，根据 教材提供的线索，安排适当的教学情境，让学生展示相应的数学思维过程，使学 生有机会经历数学概念抽象的各个阶段，引导学生独立自主地开展思维活动，深 入探究，从而创造性地解决问题，最终形成概念，获得方法，培养能力.同时使 用多媒体辅助教学以及几何画板的使用，增强动感和直观性，充分发挥其快捷、 生动、 形象的特点， 有助于学生对问题的理解和认识， 提高教学效果和教学质量；

7、 学法：合作实践、学生展示、小组讨论、发现总结等方法. 五、教具准备五、教具准备 实物展示台、多媒体. 六、教学过程：六、教学过程： （一）问题情境：（一）问题情境： 在 2016 年 8 月 10 号的里约奥运会上， 由陈若琳和刘蕙瑕组成的双人组合获 得 10 米台跳水冠军，展示跳水动图，问题 1：跳水运动员的运动轨迹是什么？ 问题 2：从左向右看，图象的变化趋势是什么？ 函数图象的上升与下降的趋势就反映了函数的单调性. 设计意图设计意图：把我国运动员获得奥运冠军这件时事作为情境引入，增强学生的 民族自豪感，另外根据运动员的运动轨迹曲线很自然地引入函数的单调性这节 课，让学生感受数学来自生活

8、. （二）（二）建构定义建构定义: : 1.概念探究阶段 第一次认识第一次认识： （图形语言）观察函数 2 xy 的图象，思考 1:从左向右看函数 在区间，0上的图象有怎样的变化趋势？（上升？下降？）思考 2:怎样描述 图象的上升呢？ 第二次认识：第二次认识：（文字语言）教师几何画板展示，点 A 在，0上向上运动 时， A 点坐标的变化.让学生观察到， 函数 2 xy 在区间，0上， 随着自变量x 的增大，函数值y也增大. 这是我们从形的角度观察到的， 那么怎样用符号和式子描述函数值y随着自 变量x的增大而增大呢？ 第三次认识第三次认识： （符号语言）首先：将两个“增大”符号化，比较才能出大小

9、， 在区间，0上的 1 x， 2 x， 即当 12 xx 时，)()( 21 xfxf.在区间 D 上的 1 x， 2 x， 即当 12 xx 时，)()( 21 xfxf.此时一定能保证在区间 D 上的图象是上升的吗？ 图象可能会出现哪些情况？需要添加什么条件使得在区间 D 上的图象是上升 的？ 所以，进一步完善表达： 对于区间，0上的任意的两个自变量的值 21,x x，当 12 xx 时，都有 )()( 21 xfxf，那么就说函数 2 )(xxf在区间，0上是增函数. 设计意图：设计意图：通过由图象直观感知自然语言描述数学符号语言描 述，即从直观到抽象、特殊到一般、感性到理性的认识过程，

10、学生能够更好的感 受数学知识的生成过程通过一系列的问题逐步引导学生发现 1 x， 2 x的任意性， 让学生体会数学的严谨性. 2. 本着从特殊到一般的原则，对于一般函数，我们来定义增函数： 设函数)(xf的定义域为 I，ID ,任意Dxx 21, ，当 21 xx 时，都有 )()( 21 xfxf，那么就说函数)(xf在区间D上是增函数. 3.对比增函数的定义，由学生归纳出减函数的定义. 设函数)(xf的定义域为 I，ID ,任意Dxx 21, ，当 21 xx 时，都有 )()( 21 xfxf，那么就说函数)(xf在区间D上是减函数. 即减函数图象在区间 D 内呈下降趋势，当 x 的值增

11、大时，函数值 y 减小. 设计意图：设计意图：得出减函数定义，培养学生的类比能力 4.对定义的理解： （1） 21,x x的任意性；教师几何画板展示，帮助学生从运动变化的观点理解 21,x x的任意性. （2）对 21 xx 的理解：此时)( 1 xf与)( 2 xf不等，说明变量不同，函数值不 同，所以我们不在一点出讨论函数的单调性，当端点在定义域的范围内，区间可 开可闭，当端点不在定义域的范围内，区间是开区间. （ 3 ） 分 析 定 义 中 自 变 量 与 因 变 量 的 变 化 关 系 ， 当 21 xx 时 ， 0 2121 xfxfxx说明了什么？ 设计意图设计意图：定义是数学的核

12、心，通过教师带领学生理解定义，可以提高学生 的认识和理解. 5.函数的单调性定义 如果函数 )(xfy 在区间 D 上是增函数或者减函数， 那么就说函数 )(xfy 在区间 D 上具有单调性，函数的单调性也叫函数的增减性；增函数与减函数也 分别叫做单调递增函数，单调递减函数；区间 D 叫做函数 )(xfy 的单调区间. 所以，函数的单调性是定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质. 探究：探究：函数 x y 1 在定义域上的单调性是怎样的？ 设计意图：设计意图：再次让学生体会和理解函数单调性的定义，多个单调增（减）区 间用“，”“和”连接，不用“”. 类型一：根据函数图象写出函数的单调区间

13、类型一：根据函数图象写出函数的单调区间 例例 1.1.下图是定义在5，5上的函数)(xfy 的图象，根据图象说出函数 )(xfy 的单调区间，以及在每一单调区间上，)(xfy 是增函数还是减函数。 解：)(xfy 的单调区间有5，2），2，1），1，3），3，5. 其中)(xfy 在5，2）,1，3）上是减函数； 在2，1）， 3，5）上是增函数. 变式变式 1 1： 变式变式 2 2： 变式变式 3 3： 设计意图设计意图：通过例 1 和变式，学生知道可以借助函数图象找出函数的单调区间，并 加深对函数单调性概念的理解 类型二：根据函数的单调性定义证明函数的单调性类型二：根据函数的单调性定义证

14、明函数的单调性 例例 2.2.用函数的单调性定义证明：函数)0(k x k y在区间，0上是减函 数. 证明：设 21,x x是), 0( 上的任意两个实数，且 21 xx ， 则 21 12 21 21 )( )()( xx xxk x k x k xfxf 21 0 xx ，得, 0 21 xx0 12 xx，由0k 于是)()( 21 xfxf0,即)()( 21 xfxf 所以，函数)0(k x k y在，0上是减函数。 说明：说明：这两道例题介绍了 （1）判断函数单调性的两种方法：根据图像观察,根据定义证明; （2）证明函数单调性的步骤： 取值，设任意 21 xx 、属于给定区间，并

15、规定大小； 2 作差变形)()( 21 xfxf， 变形的常用方法:因式分解、 配方、 有理化等； 3 定号确定)()( 21 xfxf的正负号； 下结论:由定义得出函数的单调性 即时练习：即时练习：利用定义证明函数 x xy 1 在10，上是减函数. ( (四四) )、课堂练习：、课堂练习： 1.讨论以下函数的单调性： （1）bkxy （2）)0( 2 acbxaxy )0(3k x k y）（ 设计意图设计意图： 让学生体会到有的函数可能在整个定义域上单调， 有的函数在定义域 的某个区间上单调，函数的单调性是函数的局部性质. 3. 利用定义证明函数xy 在，0上是增函数. （五）、小结（五

16、）、小结 1.判定函数单调性的方法：图象法，定义法； 2.定义法步骤：取值，作差变形，定号，下结论； 3.增（减）函数概念的形成，经历了哪些过程？ 4.凭借直观的图象，我们能判断函数的单调性，为什么还要用数学符号语言 定义增（减）函数呢？ 在数学中，描述事物运动变化规律的数学模型是函数，要把握相应事物 的变化规律，就需要了解函数的变化规律，通过今天的学习，我们知道函数的变 化规律可以用什么来描述呢？（函数的单调性以及函数的其它性质），所以，实 际生活中，我们可以用它来分析事物的变化规律.（展示气温变化曲线图，股票 走势图，GDP 走势图） 设计意图：设计意图：让学生体会数学在生活中有着广泛应用

17、. （六）、课后作业：（六）、课后作业： 一、必做题：课本： 39 PA 组 1，2；课时九； 二、选做题: 1.求函数 x xy 1 的单调区间，并用定义证明. 2.已知函数 )(xfy 是定义在区间1 , 1-上的增函数，且)1 ()2(xfxf， 求x的取值范围. 3.已知函数22)( 2 axxxf在区间6 ,上是增函数，求实数a的取值 范围. （七）、板书设计（七）、板书设计 函数的单调性 定义：定义： 理解：理解： 多媒体 例 2 七七教学反思教学反思 本节教学，始于今年奥运时事，让学生在提升民族自豪感的同时，增加感性 体验， 只有沟通生活中的数学与教科书上的数学的联系，数学才能真

18、正走进学生 的生活.这一教学情境的创设，揭示了学生对函数单调性的直观体验. 概念建构阶段：增（减）函数概念的形成是本节课的重难点，难在如何从图 象升降的直观认识过渡到数学符号语言描述，我把发现创造的机会还给学生，通 过一系列的问题，引导学生积极参与思考探究，经历了有限（到）-无限（再 到）-任意的探索过程，最终得出 1 x， 2 x的任意性.这样既保护学生的积极性， 又促进了学生的思维发展.完成了从图象直观感知-语言描述-数学符号语言 描述，并依次形成对单调性定义的三次认识，实现了由“形”到“数”的翻译. 让学生体验数学知识的发生发展过程，本节课很好地完成了这一教学目标。通过 引导学生理解定义

19、，达到内容上的升华，也是本节课的一个亮点所在.通过几何 画板动图演示，学生可以很直观地感受数学中的运动变化. 例题和练习题的设置，使学生在完成必修教材基本学习任务的同时，拓展自 主发展的空间，让每一个学生都得到符合自身实践的感悟，使不同层次的学生都 可以获得成功的喜悦，看到自己的潜能，从而激发学生饱满的学习兴趣，促进学 生自主发展、合作探究的学习氛围的形成。例 1 的三个变式也是本节课的一个新 颖之处. 小结部分的思考“为什么要学习单调性的定义”，突出课题的提出，让学生 体会到任何科学研究都是从问题开始，这也是数学由来的重要方面，所以数学的 发生，发展都是很自然的一个过程. 对本节课的再次思考

20、：概念探究阶段，抛出问题“如何描述函数值y随着自 变量x的增大而增大呢？”后，经过学生的小组讨论，原设想会有很多学生说出 自己的想法，没想到第二个学生就给出了特别完美的解答，这个学生成绩优秀而 且进行过预科，这一环节没有达到自己预想的高潮.另外，我直接给出了分子有 理化这个新的方法，因为我认为有些知识是学生探究不出来的，不知道自己有没 有太主观，请专家指正. 本节教学，我始终以学生为主体，通过问题引导学生思考探究，最终较好的 完成了教学.在本节课的学习中，学生最重要的收获也许就是体验和感悟蕴含在 函数单调性概念的建构过程中的策略性知识. 每一节课，我都遵守着“理解数学，理解学生，理解教学”的理

21、念进行教学， 致力于上好每一节课. （附：课堂练习单）（附：课堂练习单） 必修一必修一 第一章第一章集合与函数的概念集合与函数的概念 1.3.11.3.1函数的单调性函数的单调性（第一课时）（第一课时） 课堂练习单课堂练习单 1.问题：在区间 D 上的 1 x， 2 x，当 21 xx 时，有)()( 21 xfxf，一定能保证函 数图象在区间 D 上是上升的吗？ 2.探究：画出反比例函数 x xf 1 )(的图象. (1)函数的定义域是什么？(2)函数在定义域上的单调性是怎样的？ 3.即时练习.用定义证明函数 x xxf 1 )(在区间，1上是增函数. M N)(xfy O x y x1x2 f(x1) f(x2) x y O 1 1 -1 2 3 4 2 )(xxf 课堂练习：课堂练习： 1.讨论下列函数的单调性： 2.利用定义证明函数xy 在，0上是增函数. ）（0k cbxaxy 2 bkxy x k y )0(a ) 0( k