（高中数学优秀教学设计word版）导数的概念教学设计（田晓霞）.doc

1、课题：导数的概念课题：导数的概念 授课教师：授课教师：深圳市布吉中学深圳市布吉中学田晓霞田晓霞 一、教学内容解析一、教学内容解析 导数的概念是选修 2-2第一章第 1.1 节中第 1.1.2 小结的内容，是高中数学的一节概念课.数学 学习离不开推理，推理离不开判断，而判断是以一切概念为基础的.因此，数学教师必须要重视概念的教学. 纵观导数及其应用这章内容，导数以高起点，高观点和更一般的方法简化了中学数学中许多与函 数相关的问题.导数的出现也为我们今后微积分的发展提供了方法和工具， 从而使得它在其它学科领域也有 了广泛的应用.但我们又不能将导数作为一种规则和步骤来学习， 否则， 学生很难体会导数

2、的思想及其内涵， 这样导数概念的学习就至关重要. 一般地，导数概念学习的起点是极限，但就高中学生的认知水平而言，他们很难理解极限的形式化定 义.因此，我们对导数概念的引入从变化率入手，用形象直观的“逼近”方法定义导数. 我们将导数概念的建立分为两个阶段，在明确瞬时速度含义的基础上，将瞬时速度一般化，即抽象为 一般的函数，从而形成导数的概念. 第一阶段：明确瞬时速度的含义及平均速度与瞬时速度的区别和联系.让学生在观察实验的同时，体会 当|t变小， 趋于0时， t s 趋于一个定值， 这个定值就是瞬时速度.在经历平均速度到瞬时速度的过程中， 第一次体会逼近的数学思想. 第二阶段，将平均速度和瞬时速

3、度抽象为一般的表达式，完全转化为数学问题，在揭示研究瞬时变化 率必要性的同时，用类比的思想方法，经历从平均变化率到瞬时变化率的过渡，再次体会逼近的思想方法. 最后，建立导数的概念. 因此，根据以上对教学内容的分析，确立本节课的教学重点：在充分经历导数概念的建立过程中，体 会逼近的数学思想，理解导数的思想及其内涵. 二、教学目标二、教学目标 1.在导数概念建立的过程中，引导学生通过观察、数值逼近、几何直观感受、解析式抽象、类比等方法 体会数学概念的发生和形成. 2.理解导数的概念，初步掌握导数的计算方法，并在具体数学问题中进一步理解导数的概念. 3.通过对瞬时速度、瞬时变化率的探索，激发学生对本

4、部分内容学习的兴趣. 三、学生学情分析三、学生学情分析 1.导数是对变化率的一种“度量”.实际生活中，学生最为熟悉的一种变化率就是物体的运动速度.学生 在 1.1.1 小结学习了导数的物理意义，掌握了变化率，在高一年级的物理课程中学习过瞬时速度，因此， 学生已经具备了一定的认知基础，他们不会对新知识感到无所适从. 2.可能存在的问题： （1） “逼近”的思想对于学生而言，还是比较陌生，需要精心设计教学活动，比如 借助物理知识等，激发学生的兴趣，从学生已有的知识背景出发，帮助学生经历从平均速度到瞬时速度， 从平均变化率到瞬时变化率的过渡.（2）使学生能通过观察发现：运动的物体在某一时刻的平均速度

5、在时 间间隔越来越小时，逐渐趋于一个不变的常数，而且这个常数就是物体在这一时刻的瞬时速度.这个过程学 生难以想象，同时数值逼近的运算繁琐，但又不能采取简单的方式告知学生，而是要学生通过实际的计算， 在计算过程中，充分感知当|t趋于0时， t h 趋于一个定值；当|x趋于0时， x y 趋于一个定值.（3） 在实际教学中， 学生需要用到思想方法和表达形式的迁移， 即把从平均速度到瞬时速度过渡中所运用的 “逼 近”的思想方法迁移到从平均变化率到瞬时变化率的过渡，从对一个具体函数在一个确定点的瞬时变化率 的表达式迁移到任意一个函数在任意一点的瞬时变化率的表达，这样的探究方法可能会导致学生的不适应 而

6、产生困难. 因此，如何引导学生根据生活中具体的实例，结合已有的知识经验，通过“逼近”的方法，由特殊到 一般，用类比的方法归纳探究出导数的概念是本节课的难点. 四、教学策略分析四、教学策略分析 根据学生情况，为了完成本节课的教学目标，突破教学重难点，主要采取教师问题引导，学生自主探 究、归纳的教学方法.具体的策略有: 1.从具体到抽象的教学方法.学生由生活中的具体实例和已有的知识背景出发，历经平均速度到瞬时速 度的过渡，再把物体的运动变化量抽象为一般的函数，从而得到瞬时变化率的概念. 2.从特殊到一般的教学方法.让学生在知道2t是的瞬时速度以后， 直观地理解运动员在任意时刻t的 瞬时速度.同样，

7、在学生探究出一个指定函数在某一点处的瞬时变化率之后，可以归纳出一般函数在任意一 点的瞬时变化率. 3.几何直观感受.通过几何画板的演示让学生形象的感知“逼近”. 4.利用计算器进行分组合作，取不同的t，x，计算 t h 以及 x y 的值. 预 计 时 间 教 学 内 容 教师活动学生活动教学评价 15 分 钟 1 1 回回 顾顾 复复 习习 实实 例例 研研 究究 讲授：讲授：上节课我们通过气球膨胀率、高台跳水的实例， 建立起了平均变化率的概念.也请大家计算了高台跳水运动员 在 49 65 0 t这段时间里的平均速度. 经过计算， 大家发现运动员在 49 65 0 t这段时间里的平 均速度是

8、 0.难道说运动员在这段时间是静止的？ 显然，运动员在这段时间里不是静止的.由此可见，用平均 速度描述运动员的运动状态是有一定的局限性.所以我们说 “平均速度”只能粗略地描述运动员的运动状态.还有一种速 度，它能更精确地刻画运动员在每个时刻的运动状态，我们 称之为：瞬时速度. 那如何求运动员的瞬时速度呢？比如，高台跳水运动员 在st2时的瞬时速度是多少呢？大家有没有好的想法？ 讲授：讲授：我们来看物理中测瞬时速度的小视频. 问：问：观看的时候思考仪器在测量瞬时速度时的工作原理 是什么？ 问：问：这里所得的真是瞬时速度吗？为什么？ . 问问：对，也就是我们很难测量到真正的瞬时速度，我们 学生思考

9、. 学生思考.找 不到好的方法来求 运动过程中的瞬时 速度. 根据已有的物 理知识，学生回答 仪器是通过测量气 轨上滑块在t时 间 内 滑 过 的 距 离 s，用 s t 计算而 得. 学生回答不是. 组 织 学 生讨论、交 流 计 算 结 果，激发学 生 的 求 知 欲.明确本 节课的教学 内容. 平 均 速 度为 0？通 过计算结果 与学生的认 知 产 生 冲 突. 在实例观 察中，感受 逼 近 的 思 想，为求瞬 时速度奠定 基础. 测量到的是千分之一，万分之一秒，以致更短时间间隔内的 平均速度. 那如何使得平均速度更接近瞬时速度呢？ 讲授讲授： 对.那如果我们想求高台跳水运动员在st2

10、时的 瞬时速度， 就考察st2附近的情况， 在2t之前或者之后， 任意取一个时刻t2.t可以是正直，也可以是负值，但不 为0当t取 不 同 值 时 ， 计 算 平 均 速 度 t hth t h v )2()2( . 我们先看运动员在2 ,2t内的平均速度.请看表格： 大家发现了什么特点？ 再看运动员在内在2 , 2t的平均速度.请看表格： 2,2+tt0平均速度 2,2.10.1-13.149 2,2.010.01-13.1049 2,2.0010.001-13.10049 2,2.00010.0001-13.100049 2,2.000010.00001-13.1000049 2,2.00

11、00010.000001-13.10000049 2,2.00000010.0000001-13.10000005 大家有发现了什么特点？ 通过这两个表格的对比，你们发现了什么？ 2+t,2t0平均速度 1.9,2-0.1-13.051 1.99,2-0.01-13.0951 1.999,2-0.001-13.09951 1.9999,2-0.0001-13.099951 1.99999,2-0.00001-13.0999951 1.999999,2-0.000001-13.09999951 1.9999999,2-0.0000001-13.09999995 答答：时间间隔越 小越好.使得t变

12、 小. 学生利用计算 器，分小组合作.每 个小组随意选择几 个t的值，计算 t h 的值. 答：答：当t趋近 于0时，从 2 的右 边接近 2 时，平均 速度趋于一个确定 的值1 .13. 答：答：当t趋近 于0时，从 2 的左 边接近 2 时，平均 速度趋于一个确定 的值1 .13. 学生回答. 对，当t趋近于 0 时，即无论从2的左边，还是右边， 趋近于2时，平均速度都趋近于一个确定的值1 .13.我们就 把1 .13 讲授：讲授：我们用这个方法得到了高台跳水运动员在st2 附近，平均速度逼近一个确定的常数.那其他时刻呢？比如 st5 . 2、st3等？ 请大家按照刚才我们探究st2时的过

13、程，用你手中的 计算器，分别计算st5 . 2、st3这两个时刻附近的平均速 度.请两个同学把小组计算出来的数据输入 Excel 表格. st5 . 2附近的平均速度变化： st3附近的平均速度变化： 讲授：经过以上三个时刻的计算，大家都发现：当时间 间隔很小，也就是当两个时间的端点无限靠近时，就逼近了 一个时刻，我们就把平均速度用为瞬时速度的近似值. 之前我们在学习函数零点的时候，利用“二分法”逼近 函数零点. 今天，根据上面的讨论，我们又用平均速度逼近了 瞬时速度，这都体现了我们数学中无限逼近的思想. 学 生 分 组 合 作，思考、计算、 讨论. 学生总结计算 结果. 让 学 生 熟悉符号

14、， 在亲自计算 的过程中感 受逼近的思 想. 从 特 殊 到一般，让 学生直观地 理解运动员 在任意时刻 t的瞬时速 度. 10 分 钟 2 自自 主主 探探 究究 形形 成成 概概 念念 讲授讲授：对于高台跳水运动员的运动时刻，我们有这样的 结论，那其他运动会吗？如果我们把运动员的运动变化抽象 为一个函数，也有这样的结论吗？其实，物体的运动变化量 可以抽象成一个函数( )yf x，这样我们用到的 t h 就可以 用一个跟为一般烦人表达式 y x 来表达，而 y x 就是我们上节 课所学的平均变化率.我们可以用它来刻画一个函数在某个区 间的变化趋势. 问：问：那如何更好地刻画一个函数的变化趋势

15、呢？ 为了探讨这个问题，我们来做这样的两个实验活动： 实验活动实验活动 1：求函数求函数yx， 2 yx，yx从从0到到1的的 平均变化率？平均变化率？ 问问： 是不是这三个函数在 0 到 1 的变化趋势是一样的呢？ 讲授：讲授：由此可见，正如平均速度只能粗略反映物体在某 个时间段的运动状态，而要想更为精确的刻画物体在某个时 刻的运动状态，我们只能通过瞬时速度.由此类比，对于函数 来说，平均变化率也只能粗略的描述函数的变化趋势，那如 何精确的描述函数的变化呢？ 问：问：那如何求函数在某一点处的瞬时变化率呢？ 讲授讲授：下面我们就做另一个实验活动，看一下，当x缩 短时，平均变化率发生了什么样的变

16、化？请大家分组合作. 答：答：根据平均 变化率的公式 21 21 ()( )yf xf x xxx 计算得这三个函 数在同一个变化区 间上平均变化率都 是1. 但根据图像发 现这三个函数在 0 到 1 的变化趋势是 不一样的. 答：答： 瞬时变化 率. 答答： 把区间x缩短. 这 个 计 算与学生的 认知发生了 冲突。同时 也让学生认 识到平均变 化率只能粗 略的描述函 数的变化. 由上面从 平均速度到 瞬时速度的 过渡，由对 瞬时速度的 形 成 和 理 解，学生很 容易联想到 可以用一个 词， 叫做 “瞬 时变化率” 。 用它可以精 确的描述函 数在某一个 实验活动实验活动 2：已知函数已知

17、函数 2 ( )f xx，分别计算分别计算 f(x)在下列在下列 区间上的平均变化率：区间上的平均变化率： 结论：结论： 用几何画板演示：用几何画板演示： 讲授：讲授：我们就把 2 记作是 2 ( )f xx在1x 处的瞬时变 化率，用数学语言表达就是 0 (1)(1) lim2 x fxf x . 讲授讲授：这样，我们就实现了从平均变化率到瞬时变化率的 过渡.得到了一个具体函数 2 ( )f xx在1x 处的瞬时变化 率.问问： 那对于任意一个函数( )f x在 0 xx处的瞬时变化率该 怎么表示？ 讲授：讲授：一般地，函数( )yf x在 0 xx处的瞬时变化率 学 生 分 组 合 作，计

18、算结果，得 出结论.要求一个小 组展示成果，表达 对结果的看法. 经过计算，学生 会发现当两个区间 的端点无限靠近， 即x逼近0时，平 均变化率都逼近一 个确定的值2，即 瞬时变化率. 自己尝试来写. 学生自己归纳 总结.体会由特殊到 一般的思想方法 点的变化趋 势 . 这 体 现 了类比的思 想方法. 学 生 在 上一个问题 中遇到了认 知冲突，希 望寻求新的 认知来解决 这个冲突。 老师提出的 这个实验活 动引导学生 通过计算， 自主探究， 使得获得新 知的过程自 然而然。 引导学 生舍弃具体 问题的实际 意义，完全 抽象为数学 是 ： 00 0 ()() lim x yf xxf x x

19、x 我们称它为函数( )yf x在 0 xx处的导数，记作 0 ()fx或 0 |yxx。即： 00 0 0 ()() ()lim x yf xxf x fx xx 瞬时变化率和导数是同一个概念的两个名称。 问 题 . 在 函 数知识的迁 移下，学生 能顺利地表 示出一般函 数： ( )yf x 在 0 xx处 的瞬时变化 率. 7 分 钟 3 3 概概 括括 提提 升升 理理 解解 内内 涵涵 问问：)( 0 xf，)( 0 x f ， 0 |yxx，这三个符号分别是什 么意思？ 问：问：至此，导数的定义就完全展现给大家了.那我们如何 求一个具体问题的导数呢？计算课本第六页的例 1. 答答：

20、)( 0 xf是函 数)(xf在 0 xx 处的函数值， )( 0 x f 或 0 |yxx是 函 数 )(xfy 在 0 xx 处的导数. 计算例 1，在 第h3和第h5时， 原油温度的瞬时变 化率，并说明他们 的意义. 认识符 号，从函数 的 角 度 出 发，找到这 三个符号的 区 别 和 联 系. 熟悉导 数的定义， 进一步巩固 导数的计算 方法. 8 分 钟 4 4 梳梳 理理 知知 识识 布布 置置 作作 业业 问：问： 1.为什么要研究平均变化率和导数？ 2.导数形成的过程是什么？从中学到了什么方法？ 3.求导数的依据是什么？步骤是什么？ 4.布置作业. （1）教科书习题 1.1A 组第 2、3、4、5 题； 学生和老师共 同回答. 整 理 本 节所学的核 心概念、基 本技能，概 括研究方法 以及其中蕴 含的数学思 想. （2）求函数 2 )(xxf在1x处的导数. （3）结合课本第 4 页的“思考” ，以及本节课用到的几 何画板演示，思考导数的几何意义. 讲授：讲授：经过我们的探究，我们从生活中的实例到具体的 函数，由特殊到一般，运用类比的思想方法，由平均速度逼 近瞬时速度，再由平均变化率逼近了瞬时变化率，从而得到 了函数在某一点处的导数。导数的思想方法就是通过函数在 某一点附近的变化状态，揭示这一点处的变化状态，也揭示 函数的本质。