(高中数学优秀教学设计word版)二项式定理教学设计(吴作印).doc
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1、二项式定理(一二项式定理(一) 教学设计教学设计 贵州省高中数学李时建名师工作室贵州省高中数学李时建名师工作室吴作印吴作印 一、教学设计一、教学设计 1. 教学内容解析教学内容解析 二项式定理是初中乘法公式的推广,是排列组合知识的具体运用,是学习后 一章“随机变量及其分布”的基础。中学教材中的二项式定理主要包括:二项式 定理的推导,通项公式,杨辉三角,二项式系数的性质等。通过二项式定理的学 习,要求学生掌握“猜想-归纳-论证”的数学思想,同时在求展开式、其通项、 证恒等式、近似计算等方面形成技能;进一步体会过程分析与特殊化方法等的运 用;二项式定理的证明是一个教学难点这是因为,证明中符号比较抽
2、象、需要 恰当地运用组合数的性质。本节课起到了承上启下的作用,是对之前所学计数原 理的巩固,也是对之后随机变量及其分布(特别是超几何分布)作铺垫。而在高 等数学中它是许多重要公式的共同基础,根据二项式定理的展开,可以得到优美 的 n n n ) 1 1 (lim =e2.718281 2.学生学情分析学生学情分析 二项式定理是初中学习的多项式乘法的继续, 它所研究的是一类特殊的多项 式,表现为二项式的乘方的展开式,也是解决某些整除、近似计算等问题的重要 方法之一。学生在初中是以多项式的乘法展开为载体,从具体式子感知多项式的 展开。学生进入高中一年多的数学学习后,在数学符号化、公理化、抽象化等方
3、 面得到了有效的锻炼,逻辑推理能力、转化与化归等数学思想方法得到了训练, 特别是,前一节学习了计数原理后,对该节课推导二项式定理奠定了基础。从学 生现阶段的思维特点分析,大部分学生解决 n ba)( 展开式采用的是的不完全归 纳法(猜想), 与初中学习的多项式的展开结合起来, 从)(ba 、 2 )(ba 、 3 )(ba 、 4 )(ba 的展开式的形式特点等方面进行类比,教师可以因势利导,让学生 体会从一般到特殊的数学思想方法。 然而,n无穷大时, 能保证展开式恒成立吗? 3教学策略分析教学策略分析 考虑到本节课要让学生在以下几个方面得到收获:一是掌握二项式定理 的推导过程(生长性);二是
4、基础知识,准确理解数学概念(项、项的系数、 二项式系数、通项公式等),并能灵活运用数学思想方法;三是“猜想证 明归纳”的一般规律及方法。基于学生的认知基础和现阶段的数学思维 水平,故本节课从学生已有的认知作为出发点,先让学生计算 2 ()?ab 3 ()?ab 4 ()?ab 在繁琐的计算过程中激发学生去思考更有效的 方法解决该问题。采用了数学探究式教学模式组织教学,在解决简单具体问 题的基础上,抽象出解决一般问题的方法,让学生亲身经历“提出问题解 决问题总结规律” ,培养学生独立思考、自主探索、合作交流的学习意识和 习惯。更是设置“问题串” ,促进学生深层次思考。 在教学过程中,设置“创设问
5、题情境创设问题情境,因疑惑而激趣因疑惑而激趣亲身体验亲身体验,探索新探索新 知知合作合作探究探究,总结,总结规律规律典型例题分析典型例题分析强化训练,巩固提升强化训练,巩固提升”让学 生体会研究问题的方式方法,培养学生观察、分析概括的能力,以及化归意识。 教学中教师充分发挥主导作用,营造民主、平等、和谐、积极的课堂氛围, 充分调动学生学习的积极性,以数学问题情境为立足点,为学生自主探索、合作 交流提供足够的时间和空间,放手让学生独立思考,大胆实践,在已有知识和经 验的基础上主动建构。并由此获得成功的体验,激发学生学习数学的兴趣和学好 数学的信心,践行贵州师范大学吕传汉教授“教思考,教体验,教表
6、达”的理念。 4教学目标设置教学目标设置 知识与技能:知识与技能: (1)理解并掌握二项式定理,能利组合思想证明二项式定理; (2)能利用通项公式求某一项的系数。 过程与方法:过程与方法: 通过学生参与和探究二项式定理的形成过程,培养学生观察、分析、概 括的能力,以及化归的意识与方法迁移的能力,体会从特殊到一般的思 维方式。 情感、态度与价值观:情感、态度与价值观: 培养学生的自主探究意识,合作精神,体验二项式定理的发现和创造历 程,体会数学语言的简洁和严谨。 教学重点:教学重点:用计数原理分析 2 )(ba 、 3 )(ba 的展开式,推导二项式定理; 教学难点教学难点: 利用计数原理分析二
7、项式的展开过程, 发现二项式形成单项式之 和时各项系数的规律。 二、教学过程二、教学过程 1.1.创设问题情境,因疑惑而激趣创设问题情境,因疑惑而激趣 教师:请同学们计算下面两个题: 2 ()?ab 3 ()?ab 【教师巡视 2 分钟,学生用初中多项式的乘法展开 222 ()2abaabb , = 3222 ()()()()(2)abab abab aabb 】 教师:有的同学计算得很快哦,要不再来计算一个: 4 ()?ab 【观察学生反应:只有少部分学生用初中方法埋头苦干,大部分学生停下演 算静静的思考】 【说明:学生【说明:学生(1,2,3.)i i 表示预设学生可能回答或提出的问题】表
8、示预设学生可能回答或提出的问题】 学生 1: 4 ()ab 就是 4 个()ab 相乘, 计算有点麻烦, 要算到什么时候去哦! 学生 2:我们应该寻求一个能代表这些式子的一个通式。 学生 3:就像数列的通项公式吗? 教师:你能猜想 2016 ()ab 的展开式是什么吗? 【设计意图设计意图: 鼓励学生大胆猜想是教学生数学思考问题的开始, 也许学生的 猜想没有道理,甚至是错误的,但问题意识的种子却已在他们的头脑生根,慢慢 发芽】 教师:同学们,你们现在的困惑,就是牛顿当年的困惑 那是 1664 年冬,22 岁的牛顿在研读沃利斯博士的无穷算术时,引发了 许多思考 2 ()?ab 3 ()?ab 4
9、 ()?ab 都可以用初中多项式的乘法 展开,如果你是牛顿,接下来会思考一个什么问题呢? 学生 4:研究这三个式子展开式的规律,得到一般的规律。 学生 5:一般情形下,当nN 时, ()nab等于多少? 教师:同学们很聪明啊,和伟大的牛顿当年想的一样啊。那么,研究规律的 最终目的是想得到什么结论?今天,就让我们沿着大数学家牛顿的足迹,重温他 探究、发现二项式定理的过程。 教师板书:二项式定理:二项式定理:()? n ab 【设计意图设计意图】 从学生的认知水平出发设置问题情境,在困惑中激发学生思考 解决问题方法,让多数学生能动手动脑,不仅能激发学生学习数学的兴趣,更是 调动学生学习新知识的积极
10、性。 数学不是冰冷的美丽, 她是来自现实的火热思考。 问题情境中渗透数学史,且紧扣本节课的主题与重点。 (点评:点评:与数学史情境有机结合,把学生带入本课时学习主题。 ) 2.亲身体验亲身体验,探索新知探索新知 教师:接下来我们来研究这个问题,应该从哪里入手呢? 学生 6:从上面的特殊情况入手,研究、发现它们展开后的规律,再推广到 这种一般情况。 学生 7:好像每一项都有,a b,只是系数不同。 学生 8:不对!有一项只有a,有一项只有b。 教师: “从特殊到一般”是研究问题的常用方法。同学们观察得很仔细啊! (预设:学生应该能观察出展开式中项的规律,若观察不出来,教师适当预设:学生应该能观察
11、出展开式中项的规律,若观察不出来,教师适当 点拨点拨。 ) 教师:记得刚才有同学说, 4 ()ab 就是四个()ab 相乘,刚才求得的展开 式是这样的: 4 ()ab ()()()()ab ab ab ab 432 234 464aa ba babb 。 请思考问题:展开式中各种类型的项是如何得到的? 展开式中各项的系数是如何确定的? (点评:点评:具有导向性的问题能指引学生明确研究方向,教师做到了适时点拨) 学生 9:分步计数原理:第一步,第一次取有两种不同的方法;第二步,第 二次取有两种不同的方法,共四步,共有 4 216项。 学生 10:但是展开式只有 5 项哦,合并同类项了! 【设计意
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