数值分析第四版习题及答案.doc

1、第四版 数值分析习题 第一章绪 论 1.设 x0,x 的相对误差为,求ln x的误差. 2.设 x 的相对误差为 2,求x的相对误差. n 3.下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指出 它们是几位有效数字: x 1.1021, x0.031, x385.6, x 56.430, x * 12345 4.利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限: 71.0. (i)xxx ,(ii)x,(iii)x / x , x , x , x x x 其中x 4均为第 3 题所给的数. * 12412324123 5.计算球体积要使相对误差限为1,问度量半径 R 时允许

2、的相对误差限是多少? 6.设Y 0 28,按递推公式 Y n Y n1 1 783 100( n=1,2,) 计算到Y 100.若取 78327.982(五位有效数字),试问计算Y 100将有多大误差? 7.求方程x56x10的两个根,使它至少具有四位有效数字(78327.982). 2 8.当N充分大时,怎样求 N 1 dx 1x? 2 2 9.正方形的边长大约为100 ,应怎样测量才能使其面积误差不超过1 ? 10. 设 S 1 gt2 2假定g是准确的,而对t的测量有0.1秒的误差,证明当t增加时S的绝对 误差增加,而相对误差却减小. y 11. 序列 n 满足递推关系 y n 10y

3、n1 1 (n=1,2,),若 y 0 21.41 (三位有效数字), 计算到 y 10时误差有多大?这个计算过程稳定吗? f( 21) 12. 计算 ,取 21.4,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好? 6 11 ,(32 2) ,9970 2. 3 ( 21)(32 2) 63 13. f (x)ln(xx1) ,求f(30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若 2 改用另一等价公式 ln(xx21)ln(xx21) 计算,求对数时误差有多大? x 1 x 1 1010 x 2 x 2. 2 1 010; 14. 试用消元法解方程组假定只用三位数计算,问结果是否可靠?

4、1 sabsin c,0c 22,且测量 a ,b ,c 的误差分别为 15. 已知三角形面积其中 c 为弧度, a,b,c.证明面积的误差s满足 sabc . sabc 第二章插值法 1.根据(2.2)定义的范德蒙行列式,令 1xxx 2n 000 V (x)V (x, x) , x , x 1xx nx nn01n1 2n n11 n1 1xx2xn 证明V是 n 次多项式,它的根是x , x (x) n1, 且n0 V, x , x)(xx (x)V(x)(xx) . nn101n10 n1 2.当 x= 1 , -1 , 2 时, f(x)= 0 , -3 , 4 ,求 f(x)的二次

5、插值多项式. 3.给出 f(x)=ln x 的数值表用线性插值及二次插值计算 ln 0.54 的近似值. x0.40.50.60.70.8 lnx-0.916291-0.693147-0.510826-0.357765-0.223144 4.给出 cos x,0 x90的函数表,步长 h =1=(1/60),若函数表具有 5 位有效数字, 研究用线性插值求 cosx近似值时的总误差界. max l (x) xxkh 5.设,k=0,1,2,3,求. 2 k0 xxx 03 x 6.设为互异节点(j=0,1,n),求证: j i) n x l (x)x (k 0,1,n); kk jj j0 i

6、i) 7.设 n (x x)kl (x)k 1,2,n). j j j0 f(x)Ca,b 2 且f (a)f (b)0,求 证 max axb f (x)(ba)2max f (x). 1 8 axb 8.在4x4上给出f (x)e的等距节点函数表,若用二次插值求e的近似值,要使截 xx 断误差不超过10,问使用函数表的步长h应取多少? 6 9.若y2,求yn及y n. n4 4 n 10. 如 果f (x)是m次 多 项 式 , 记f (x)f (xh)f (x), 证 明f (x)的k阶 差 分 kf ( x) ( 0 km是) mk次多项式,并且 mlf (x) 0(l为正整数). 1

7、1. 证明( f k g k )f g kk gf k. k1 12. 证明 f g n1 kk k0 f g nn f g 00 g n1 f k1 k0 k . 13. 证明 n1 y 2 j j0 y n y . 0 f (x)aa xaxa x,x ,x 14. 若有n个不同实根x n,证明 n1n 01n1n12 nxk j f(x ) j1j 0,0kn2; 1 ,kn1. a n 15. 证明n阶均差有下列性质: i)若F(x)cf (x),则F cfx ; x ,x ,x ,x ,x 0101 nn ii)若F(x)f (x)g(x),则F fx x ,x,x ,x,x 010

8、1 nn gx ,x ,x 01 n . 74f2 ,2 ,2f 2 ,2 ,2f (x)xx3x1 及. 017018 16.,求 17. 证明两点三次埃尔米特插值余项是 R (x)f (4)( )(xx )2(xx)2/ 4!,(x 3k1 kk 并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限. ,x) k1 18. 求一个次数不高于 4 次的多项式P(x),使它满足P(0)P(k1)并由此求出分段三次 埃尔米特插值的误差限. 19. 试求出一个最高次数不高于 4 次的函数多项式P(x),以便使它能够满足以下边界条件 P(0)P(0)0,P(1)P(1)1,P(2)1. f(x)Ca,ba,b 2

9、0. 设,把 并证明当n 时, 分为n等分,试构造一个台阶形的零次分段插值函数 (x) n a,b (x) 在 上一致收敛到f (x). n 21. 设f (x)1/(1x ),在5x5上取n10,按等距节点求分段线性插值 函数I 2 h (x) 计算各节点间中点处的I与f (x)的值,并估计误差. h a,b f (x)x 上的分段线性插值函数I 2 (x) 22. 求在,并估计误差. h 4 23. 求f (x)x 在 a,b 上的分段埃尔米特插值,并估计误差. 24. 给定数据表如下: 0.250.300.390.450.53 x j (x) , 0.50000.54770.62450.

10、6708 0.7280y j 试求三次样条插值S(x)并满足条件 S(0.25)1.0000, S(0.53) 0.6868; i) S(0.25)S(0.53)0. ii) f(x)Ca,b 2,S(x)是三次样条函数,证明 25. 若 f(x)dxS(x)dxf(x)S(x)dx2S(x)f (x)S(x)dx b2b2b2b i); aaaa ii)若f (x)(i0,1,n),式中xi为插值节点,且axb,则 )S(xxx iin 01 S(x)f(x)S(x)dxS(b)f(b) S(b)S(a)f(a)S(a) b . a 26. 编出计算三次样条函数S(x)系数及其在插值节点中点

11、的值的程序框图 (S(x)可用(8.7) 式的表达式). 第三章函数逼近与计算 a,b 1.(a)利用区间变换推出区间为的伯恩斯坦多项式. (b)对 f(x)sin x在0,/ 2 马克劳林级数部分和误差做比较. 2.求证: 上求 1 次和三次伯恩斯坦多项式并画出图形,并与相应的 (a)当mf (x)M时,mB ( f , x)M . (b)当f (x)x时,B ( f , x)x . nn 3.在次数不超过 6 的多项式中,求f (x)sin 4x 在 0,2的最佳一致逼近多项式. 4.假设 f(x)在 a,b 上连续,求f (x)的零次最佳一致逼近多项式. max x3ax 5.选取常数a

12、,使 达到极小,又问这个解是否唯一? 0 x1 6.求 f(x)sin x在0,/ 2 上的最佳一次逼近多项式,并估计误差. 7.求f (x)e 在 0,1 上的最佳一次逼近多项式. x p(x)xr 在1,1 2 8.如何选取r,使上与零偏差最小?r是否唯一? 9.设f (x)x3x1,在 0,1 上求三次最佳逼近多项式. 43 T (x)T (2x1),x0,1 T (x),T (x),T (x),T (x). * 10. 令,求 0 nn123 1 (x) 0,1 T * xx2的正交多项 式. 11. 试证是在上带权 n 1,1 f (x)tg x的三次近似最佳逼近多项式. 1 12.

13、 在上利用插值极小化求1 13. 设f (x)e 在1,1 上的插值极小化近似最佳逼近多项式为L ,若 n 有界, x (x)f Ln 证明对任何n1,存在常数 n、 n、 n,使 1,1 14. 设在上 (x)f (x)L (x)(x) (1x1). TT nnn n1n1 11315165 (x)1xx2xxx 345 28243843840,试将(x)降低到 3 次 多 项式并估计误差. 1,1 15. 在 上利用幂级数项数求f (x)sin x的 3 次逼近多项式,使误差不超过 0.005. a,a 16.f (x)是上的连续奇(偶)函数,证明不管n是奇数或偶数,f (x)的最佳逼近多

14、项式 F *(x) H n也是奇(偶)函数. n 2 0 axbsin xdx 2 17. 求a、b使 g(x)Ca,b 1 f (x) 18.、,定义 为最小.并与 1 题及 6 题的一次逼近多项式误差作比较. (a)(f,g)f(x)g(x)dx;(b)(f,g)f(x)g(x)dxf(a)g(a); bb aa 问它们是否构成内积? 1 x6 dx 01 x 19. 用许瓦兹不等式(4.5)估计的上界,并用积分中值定理估计同一积分的上下界 , 并比较其结果. (xax2)2dx,xax 11 2dx 20. 选择a,使下列积分取得最小值: . 11 spanx100, x101span1

15、,x, 21. 设空间 2上求出一个元素,使得其为 ,分别在 1、 2 x2 C0,1 的最佳平方逼近,并比较其结果. span1,x ,x 1,1 f (x)x 24 22.在上,求在 1 上的最佳平方逼近. sin(n 1)arccosx u (x) 1 x2n 23.是第二类切比雪夫多项式,证明它有递推关系 x2xu xux u . n1n1 n 24. 将 f (x) sin 1 1,1 x 2在 上按勒让德多项式及切比雪夫多项式展开,求三次最佳平方逼 近多项式并画出误差图形,再计算均方误差. 25. 把 f(x)arccosx在1,1 上展成切比雪夫级数. yabx 2 26. 用最

16、小二乘法求一个形如的经验公式,使它与下列数据拟合,并求均方误差. x i 19253138 44 y i 19.032.349.073.3 97.8 27. 观测物体的直线运动,得出以下数据: 时间t(秒)00.91.93.03.9 5.0 距离s(米)0 10305080110 求运动方程. 28. 在某化学反应里,根据实验所得分解物的浓度与时间关系如下: 时间0510152025303540455055 浓度01.272.162.863.443.874.154.374.514.584.624.64 用最小二乘拟合求yf (t). 29. 编出用正交多项式做最小二乘拟合的程序框图. 30.

17、编出改进 FFT 算法的程序框图. 4,3,2,1,0,1,2,3x x 31. 现给出一张记录,试用改进 FFT算法求出序列的离散频谱 kk C(k0,1, ,7). k 第四章数值积分与数值微分 1.确定下列求积公式中的待定参数,使其代数精度尽量高,并指明所构造出的求积公式所具 有的代数精度: f (x)dxA f (h)A f (0) A f (h)h (1); 101 h 2h f (x)dxAf (0)A f (h)Af (h) (2); 101 2h f(x)dxf(1)2f(x)/3 1)3f (x (3); 12 1 f(x)dxhf(0)f(h)/1ah2f(0)f(h) h

18、 (4) 0 . 2.分别用梯形公式和辛普森公式计算下列积分: 1 1(1 e) xx2 1dx,n8 dx,n10 04 x20 x (1);(2); 9 xdx,n4 6 (3) 1 ;(4) 0 3.直接验证柯特斯公式(2.4)具有 5 次代数精度. 1e 4.用辛普森公式求积分 0 并计算误差. 5.推导下列三种矩形求积公式: sin2dx,n 6 . (1) b a f (x)dx(ba) f (a) f() (ba)2 2; (2) b a f() f (x)dx(ba) f (b)(b a)2 2; (3) b a abf() f (x)dx(ba) f ()(b a)3 224

19、. f (x)dx b 6.证明梯形公式(2.9)和辛普森公式(2.11)当n 时收敛到积分 . a b f (x)dx a,b 7.用复化梯形公式求积分,问要将积分区间分成多少等分,才能保证误差不 a 超过(设不计舍入误差)? 2 8.用龙贝格方法计算积分 1 e xdx 0 ,要求误差不超过10. 5 c Sa 2 1( )2sin2d 9.卫星轨道是一个椭圆,椭圆周长的计算公式是,这里a是椭圆 0a 的半长轴,c是地球中心与轨道中心(椭圆中心)的距离,记h为近地点距离,H为远地点距 离,R6371公里为地球半径 ,则a(2RHh)/2,c(Hh)/2.我国第一颗人造 卫星近地点距离h43

20、9公里,远地点距离H2384公里,试求卫星轨道的周长. nsin n 10. 证明等式 法求的近似值. 3 3!n2 5 5!n4 试依据nsin(/n)(n3,6,12)的值,用外 推算 3dy 11. 用下列方法计算积分 1y并比较结果. (1) 龙贝格方法; (2) 三点及五点高斯公式; (3) 将积分区间分为四等分,用复化两点高斯公式. 12. 用三点公式和五点公式分别求 差.f (x)的值由下表给出: 1 f (x) (1x)2在x 1.0,1.1和1.2处的导数值,并估计误 x1.01.11.21.31.4 0.25000.22680.20660.18900.1736 f (x)

21、第五章常微分方程数值解法 1. 就初值问题yaxb, y(0)0分别导出尤拉方法和改进的尤拉方法的近似解的表达 式，并与准确解 y 1 ax2bx 2相比较。 2. 用改进的尤拉方法解初值问题 yxy,0 x1; y(0)1, 取步长 h=0.1 计算，并与准确解yx12e相比较。 x 3. 用改进的尤拉方法解 yx2 xy; y(0)0, y(0.5)yexx1相比较。 x2 取步长 h=0.1 计算，并与准确解 4. 用梯形方法解初值问题 yy 0; y(0) 1,证明其近似解为 y n 2h n , 2h 并证明当h0时，它原初值问题的准确解ye。 x 5. 利用尤拉方法计算积分 et2

22、d t x 在点x0.5,1,1.5,2的近似值。 0 6. 取 h=0.2，用四阶经典的龙格库塔方法求解下列初值问题： yxy,0 x1; 1）y(0)1, y3y/(1x),0 x1; 2）y(0)1. 7. 证明对任意参数 t，下列龙格库塔公式是二阶的： h yy(KK ); n12 n 23 Kf (x , y ); 1 nn K f (xth, ythK ); 21 nn f (x(1t)h, y(1 t)hK K 31 nn 8. 证明下列两种龙格库塔方法是三阶的： h yy(K3K ); n14 n 13 f (x , y ); K 1 nn hh Kf (x, yK ); 23

23、3 nn 1 22 Kf (xh, yhK ); 3 33 1） nn2 ). h yy(2K3K 4K n19 n 123 Kf (x , y ); 1 nn hh Kf (x, yK ); 222 nn 1 33 ); Kf (xh, y hK ). 3 44 2） nn2 9. 分别用二阶显式亚当姆斯方法和二阶隐式亚当姆斯方法解下列初值问题： y1y, y(0)0, h0.2, y0, y0.181,y(1.0)y1e x 取计算并与准确解相比较。 01 10. 证明解yf (x, y)的下列差分公式 y n1 1h (yy) (4y 24 nn n1 1 y3y nn 1 ) 是二阶的

24、，并求出截断误差的首项。 11. 导出具有下列形式的三阶方法： yyy aa n101n1 n 12. 将下列方程化为一阶方程组： y3y2y0, 1）y(0)1, y(0)1; y0.1(1y2)yy 0, 2）y(0)1, y(0)0; a 2 y n2 h(b 0 b y n 1 y n 1 b 2y n 2 ). 3） x(t) x , y(t)y ,r x r3r3 2 y2, x(0)0.4,x(0)0, y(0)0, y(0)2. 13. 取 h=0.25，用差分方法解边值问题 y y0; y(0)0, y(1)1.68. 14. 对方程yf (x, y)可建立差分公式 y n1

25、 试用这一公式求解初值问题 2y n y n1 h2f (x n , y n ), y 1; y(0)y(1) 0,验证计算解恒等于准确解 x2x y(x). 2 15. 取 h=0.2 用差分方法解边值问题 (1x2)yxy 3y6x3; y(0)y(0)1, y(1)2. 第六章方程求根 1. 用二分法求方程xx10的正根，要求误差0.05。 2 2. 用比例求根法求f (x)1xsin x0在区间0,1内的一个根，直到近似根x k满足精度 | f (x k ) | 0.005 时终止计算。 3. 为求方程xx10在 x 32 0 建立相应的迭代公式。 1.5附近的一个根，设将方程改写成下

26、列等价形式，并 2x11/ xx11/ x 2 1），迭代公式 k； k1 32x1x 2 x1x 3 2），迭代公式； k1k x2 1 x1，迭代公式x k1 1/x k 1 3）。 试分析每种迭代公式的收敛性，并选取一种公式求出具有四位有效数字的近似根。 4. 比较求e10 x20的根到三位小数所需的计算量； x 1）在区间0,1内用二分法； x(2e)/100 2) 用迭代法。 ，取初值x xk k10 5. 给定函数f (x)，设对一切x, f(x)存在且0mf(x)M，证明对于范围内 xf (x 02/M的任意定数 ，迭代过程x k1 kk 6. 已知x(x)在区间a,b内只有一根

27、，而当axb 时， )均收敛于f (x)的根x 。 |(x) |k1， 试问如何将x(x)化为适于迭代的形式？ 将xtgx化为适于迭代的形式，并求x=4.5（弧度）附近的根。 2 7. 用 下 列 方 法 求f (x)x3x10在x 3 0 1.87938524，要求计算结果准确到四位有效数字。 1) 用牛顿法； 附 近 的 根 。 根 的 准 确 值x 2）用弦截法，取x 0 1,x 1 1.9 ； 1,x3,x 23）用抛物线法，取x 。 012 8. 用二分法和牛顿法求xtgx0的最小正根。 9. 研究求a的牛顿公式 1a x (x), x0, 2x k10 k k 证明对一切k 1,2

28、, x a 且序列x , x ,是递减的。 k 12 xf (x ) / f(x ) 10. 对于f (x)0的牛顿公式x ，证明 k1 kkk R (xx)/(x x)2kk k1k1k2 收敛到f(x ) /(2 f(x )，这里x为f (x)0的根。 11. 试就下列函数讨论牛顿法的收敛性和收敛速度： 1) x, x 0; f (x) 2) x , x 0; 32 f (x) 32 12. 应用牛顿法于方程xa0，导出求立方根a的迭代公式，并讨论其收敛性。 2 3 13. 应用牛顿法于方程 值。 f (x) 1 a 0 x2，导出求a的迭代公式，并用此公式求115的 14. 应用牛顿法于

29、方程f (x)xa 0和 n 式，并求 f (x) 1 a 0 xn，分别导出求a的迭代公 n 15. 证明迭代公式 lim(nax) /(na x k1 k k )2. x (x3a) 2 x kk 3x ak1 2 k 是计算a的三阶方法。假定初值x 0充分靠近根x ，求 lim( ax) /( a x k1 k k )3. 第七章解线性方程组的直接方法 1. 考虑方程组： 0.4096x0.1234x0.3678x 0.2943x 1234 0.2246x0.3872x 0.4015x 0.1129x 1234 0.3645x 0.1920 x0.3781x 0.0643x 1234 0

30、.1784x 0.4002x0.2786x 0.3927x 1234 (a) 用高斯消去法解此方程组（用四位小数计算）， (b) 用列主元消去法解上述方程组并且与(a)比较结果。 0.4043; 0.1550; 0.4240; 0.2557; 2. (a)设A是对称阵且a 11 0，经过高斯消去法一步后，A 约化为 证明 A 是对称矩阵。 2 (b)用高斯消去法解对称方程组： a 11 0 T a 1 A 2 0.6428x0.3475x0.8468x0.4127; 12 3;0.3475x1.8423x 0.4759x1.7321 123 0.8468x0.4759x1.2147x0.862

31、1. 123 4. 设 A 为 n 阶非奇异矩阵且有分解式A=LU，其中 L 为单位下三角阵，U 为上三角阵，求 证 A 的所有顺序主子式均不为零。 5. 由高斯消去法说明当 i 为上三角阵。 0(i1,2,n1)时，则A=LU，其中L 为单位下三角 阵，U n | a|(i1,2,n), | aii ij j1 6. 设 A 为 n 阶矩阵，如果称 A 为对角优势阵。证明：若 A ji 是对角优势阵，经过高斯消去法一步后，A 具有形式 a 11 0 T a 1 A 2 。 7. 设 A 是对称正定矩阵，经过高斯消去法一步后，A 约化为 a 11 0 T a 1 A 2 ， 其中 A(a ij

32、 ) n ,A 2 (a (2) ij ); n1 0(i 1,2,n);证明 （1）A 的对角元素a ii （2）A 是对称正定矩阵； 2 aa ,(i1,2,n); (n) （3） nii （4）A 的绝对值最大的元素必在对角线上； max | a (2) （5）2 i,jn ij |max | a ij 2i, jn |; | a （6）从（2） ， （ 3） ， （ 5）推出，如果 ij |1 ，则对所有 k | a (k) ij |1. 8. 设L k为指标为 k 的初等下三角阵，即 1 1 L m1 k k1,k m1 （除第 k 列对角元下元素外，和单位阵I 相同） nk I 求

33、证当i, jk时， LL I ij也是一个指标为 k 的初等下三角阵，其中 ij为初等排 I kijk 列阵。 9. 试推导矩阵 A 的 Crout 分解 A=LU 的计算公式，其中 L 为下三角阵，U 为单位上三角阵。 10. 设Uxd，其中 U 为三角矩阵。 (a) 就 U 为上及下三角矩阵推导一般的求解公式，病写出算法。 (b) 计算解三角形方程组Uxd的乘除法次数。 (c) 设 U 为非奇异阵，试推导求U 1的计算公式。 11. 证明（a）如果 A 是对称正定阵，则A也是正定阵； 1 （b）如果 A 是对称正定阵，则 A 可唯一写成AL L,其中 L 是具有正对角元的下三角阵。 T 1

34、2. 用高斯约当方法求A 的逆阵： 213 131 07 A 124 2 1015 13. 用追赶法解三对角方程组Axb，其中 21000 11210 00 A0121 0,b0 00121 00012 14. 用改进的平方根法解方程组 211x4 1 123x5. 2 131x 3 15. 下述矩阵能否分解为 LU（其中 L 为单位下三角阵，U 为上三角阵）？若能分解，那么 分解是否唯一？ 12311112 6A241,B221,C 2515. 46733161546 16. 试划出部分选主元素三角分解法框图，并且用此法解方程组 034x1 1 111x2 2 3 0(|ij |t)17.

35、如果方阵 A 有a ，则称 A 为带宽 2t+1 的带状矩阵，设 A 满足三角分 ij 解条件，试推导ALU的计算公式，对r1,2,n. 1） u ri a ri l r1 u rkki kmax(1,it) (ir,r1,min(n,r t)； 2） l ir (a ir l u )/u r1 ikkrrr kmax(1,it) (ir1,min(n,r t). 18. 设 0.60.5 A 0.10.3， 计算 A 的行范数，列范数，2-范数及 F-范数。 19. 求证 (a) | x|n| x| | x| ， 1 1 | A| A|c | A| 22 (b)n FF 。 20. 设P R

36、 nn且非奇异，又设| x |为R 上一向量范数，定义 n | x | Px | p 。 试证明| x | p是R 上的一种向量范数。 n 21. 设AR nn为对称正定阵，定义 | x | (Ax,x)1/2， A 试证明| x | A为R 上向量的一种范数。 n xR ,x(x x ,x ) nT 22. 设，求证 12n n lim(| x |p)1/ pmax x ii y i11in | x |。 23. 证明：当且尽当 x 和 y 线性相关且x y0时，才有 T | xy | 2 | x | 2 | y | 2。 24. 分别描述R2中（画图） S v x | x | v 1,xR

37、2,(v 1,2,) 。 25. 令是R（或C）上的任意一种范数，而 P 是任意非奇异实（或复）矩阵，定义范 n n 数| x | Px |，证明| A| PAP|。 1 26. 设| A| s ,| A|,c t为R上任意两种矩阵算子范数，证明存在常数c nn 12 0 ，使对一切 ARn n满足 c | A| A|c | A|12 sts nnTT(A A) (AA )。ARA AAA TT 27. 设，求证与特征值相等，即求证 28. 设 A 为非奇异矩阵，求证 1| A| min | A 1|y0 | y | 。 29. 设 A 为非奇异矩阵，且| A|A|1，求证(AA)存在且有估计

38、 11 |A| cond(A) | A 1 (AA) 1| | A| . 1|A| | A|1cond(A) | A| 30. 矩阵第一行乘以一数，成为 2 A 11。 证明当 2 3 时，cond(A) 有最小值。 31. 设 A 为对称正定矩阵，且其分解为ALDLW W，其中WDL，求证 TT1/ 2T cond(A)cond() ; 2 (a) 22 cond(A )cond() cond() . T (b) 222 32. 设 10099 A 9998 计算 A 的条件数。 cond(A) v (v 2,) 33. 证明：如果 A 是正交阵，则 cond(A) 2 1。 34. 设 A

39、,BRn n 且为上矩阵的算子范数， 证明 cond(AB)cond(A)cond(B)。 第八章解方程组的迭代法 1. 设方程组 5x2xx 1212 3 x4x 2x 20123 2x3x10 x3 123 (a) 考察用雅可比迭代法,高斯-塞德尔迭代法解此方程组的收敛性; | xx|10 (k1)(k)4 (b) 用雅可比迭代法,高斯-塞德尔迭代法解此方程组 ,要求当时迭代 终止 00 A 20 ,证明:即使|A| 2. 设 1 3. 证明对于任意选择的A, 序列 | A | 1 级 数 IAA2Ak也收 敛 I, A, 111 A ,A ,A , 234 23!4! 收敛于零 . 设方

40、程组 迭代公式为 a x 11 1 a x 211 a x 122 a x 222 b ; 1 b ;(a ,a 2 1112 0); 1 x(ba x); (k)(k1) a 11122 11 1 x( k) (ba x(k 1); a 2 2211(k1,2,). 22 x收敛的充要条件是 (k) 求证: 由上述迭代公式产生的向量序列 5. 设方程组 r a a 12 21 1. a a 1122 0.4x0.4x1 x1 23 0.4x x0.8x2 123 0.4x0.8xx3 (a) (b) 123 2x2x 1 x 1 23 xx 1 x 123 2x2xx 1 123 试考察解此

41、方程组的雅可比迭代法及高斯-塞德尔迭代法的收敛性。 6. 求证 lim A k k A 的充要条件是对任何向量x，都有 lim A xAx. k k 7. 设Axb，其中 A 对称正定，问解此方程组的雅可比迭代法是否一定收敛？试考察习题 5(a)方程组。 8. 设方程组 111 xxx; 1 4 34 4 2 x1 x1 x1; 2 4 3 4 4 2 1 x1 xx1; 4 1 4 2 2 3 111 xxx. 442 124 (a) 求解此方程组的雅可比迭代法的迭代矩阵B 0的谱半径； (b) 求解此方程组的高斯塞德尔迭代法的迭代矩阵的谱半径； (c) 考察解此方程组的雅可比迭代法及高斯塞

42、德尔迭代法的收敛性。 9.用SOR方法解方程组（分别取松弛因子 1.03,1,1.1） 4xx 1;1 2 x4xx4; 123 x4x3. 23 11 x(,1,)T, 22要求当| xx|510 时迭代终止，并且对每一个 (k)6 精确解 值确定迭代次数。 10.用SOR方法解方程组（取0.9） 5x2xx 12;23 1 x4x2x20; 123 2x3x10 x3. 123 | xx|10 (k1)(k)4 要求当时迭代终止。 11. 设有方程组Axb，其中 A 为对称正定阵，迭代公式 x(k 1) x(k)(bAx(k),(k0,1,2,) 试证明当 2 0 0 ( ) A 时上述迭

43、代法收敛（其 中） 。 Axbx(k1)(k1) 12. 用高斯塞德尔方法解，用记x的第 i 个分量，且 i r (k1) b (k1) b ii a i1 ij j1 x(k 1) j a n ij ji x(k) i 。 (a) 证明 xx (k1)(k) ii r (k1) i a i； (b) 如果 (k) x(k)x，其中x是方程组的精确解，求证： 其中 ( k) i (1) k j (k1) i r(k 1) i a i1 ij j1 r (k1) ia ii a n (k) iji ji 。 (c) 设 A 是对称的，二次型 Q( (k) (A (k),(k) n (r(k 1)

44、2 Q( (k1) Q( ( ) k)j a 证明。 j1jj (d) 由此推出，如果 A 是具有正对角元素的非奇异矩阵，且高斯塞德尔方法对任意初始向 量x是收敛的，则 A 是正定阵。 (0) 13. 设 A 与 B 为 n 阶矩阵，A 为非奇异，考虑解方程组 Az Bz 12 ,z ,d ,dR。 其中z n 1212 (a) 找出下列迭代方法收敛的充要条件 b ,Bz 11 Az 2 b 2 , Az(m 1) (m)(m1) (m) bBz, Azb Bz 112221 (b) 找出下列迭代方法收敛的充要条件 (m 0); Az(m 1) (m)(m1) (m1)bBz,Azb Bz b

45、Bz, Azb Bz 112221 比较两个方法的收敛速度。 (m 0); 14. 证明矩阵 1a aA a1a 111 a1a 对于2是正定的，而雅可比迭代只对22是收敛的。 15. 设 5123 0204 A 3121 0307 ，试说明 A 为可约矩 阵。 16. 给定迭代过程，xCx(k)g，其中CRn n(k 0,1,2,)，试证明：如果 C 的 (k1) 特征值 i (C)0(i1,2,)，则迭代过程最多迭代n 次收敛于方程组的 解。 17. 画出 SOR 迭代法的框图。 18. 设 A 为不可约弱对角优势阵且01，求证：解Axb的 SOR 方法收敛。 19. 设Axb，其中 A

46、为非奇异阵。 (a) 求证ATA为对称正定阵； (b) 求证cond(A A)。 (cond(A) T2 22 第九章矩阵的特征值与特征向量计算 1. 用幂法计算下列矩阵的主特征值及对应的特征向量： 732343 A 341463 A 2 1 213,(b) 331, (a) 当特征值有 3 位小数稳定时迭代终止。 2. 方阵 T 分块形式为 T 12 T T 111n TT T22 2n T nn , T 其中 ii (i1,2, n) 为方阵，T 称为块上三角阵，如果对角块的阶数至多不超过 2，则 称 T 为准三角形形式，用(T)记矩阵 T 的特征值集合，证明 n (T) (T ii ).

47、 i1 3. 利用反幂法求矩阵 62 12 31 的最接近于 6 的特征值及对应的特征向量。 4. 求矩阵 40 00 31 与特征值 4 对应的特征向量。 5. 用雅可比方法计算 1.01.00.5 A1.01.0 0.25 的全部特征值及特征向量，用此计算结果给出例 3 的关于 p 的最优值。 6.(a)设 A 是对称矩阵， 和 一个正交阵，使 x(| x|1)是A的一个特征值及相应的特征向量，又设P为 2 (1,0,0) Pxe T 1 证明BPAP的第一行和第一列除了 外其余元素均为零。 T (b)对于矩阵 2102 A10 58 =9 是其特征值， 2 1 2 T x, 3 3 3是

48、相应于 9 的特征向量，试求一初等反射阵 P，使 Pxe 1，并计算B PAPT。 7. 利用初等反射阵将 13 4A 312 正交相似约化为对称三对角阵。 8. 设A R nn a ,aP a(2) ，且不全为零，为使j1 i1j1ij 0的平面旋转阵，试推导计算P ij A第 i APT 行，第 j 行元素公式及第 i 列，第 j 列元素的计算公式。 ij 9. 设An 1是由豪斯荷尔德方法得到的矩阵，又设y 是A n1的一个特征向量。 (a)证明矩阵 A 对应的特征向量是xP P 12 (b)对于给出的 y 应如何计算 x？ P n2y ； 10. 用带位移的 QR 方法计算 (a) 1

49、20310 A211B12 1 全部特征值。 11. 试用初等反射阵 A 分解为 QR，其中 Q 为正交阵，R 为上三角阵， 111 A21 1 。 数值分析习题答案 第一章绪论习题参考答案 (x*) x* r (x*) 1（lnx） 。 r (x ) n (x ) n x* n n x* n1 (x*) x* n n(x*) 0.02n x* 2。 xxxx 3 *有 5 位有效数字，*有 2 位有效数字，*有 4 位有效数字，*有 5 位有效 1234 x 数字， *有 2 位有效数字。 5 4 (x xx * *) (x*)(x*)(x*)0.510 4 0.510 3 0.510 3

50、1.0510 31 24124 (x)x(x )x(x )x(x )0.214790825 *x*x*x* * *x* * *x* * 1 23231132123 (x x 1 * )(x )(x )8.85566810 6 22 * x2 xx4 *2 44 4。 r (R) r (33V 4 ) 3 1 36V2 (V) / 33V 1(V)1 43V3 r (V)0.003333 5 。 6 (Y 100 ) 100 111 10 3 10 3 10022。 7 x 28783 55.982 1 ， 1 dx arctgN N 1x22 8 x 2 28783 1 28783 1 0.0