导数中的构造函数(最全精编).pdf
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1、1 1、利用 f (x) 与 x 构造;常用构造形式有 xf (x), f (x) ;这类形式是对u v, u 型 函 xv 数导数计算的推广及应用,我们对uv, u 的导函数观察可得知, uv型导函数中 v 体现的是“ ”法, u 型导函数中体现的是“ ”法,由此,我们可以猜测,当 v 导函数形式出现的是“ ”法形式时,优先考虑构造uv型,当导函数形式出现 的是“”法形式时,优先考虑构造 u ,我们根据得出的“优先”原则,看一看 v 例 1,例 2. 【例 1】 f (x) 是定义在 R 上的偶函数,当 x 0 时, f (x) xf (x) 0 ,且 f (4) 0,则不等式xf (x)
2、0的解集为 【解析】构造 F(x) xf (x) , 则F (x) f (x) xf(x), 当x 0 时,f (x) xf(x) 0 , 可以推出 x 0 ,F (x) 0,F(x)在(,0)上单调递减. f (x) 为偶函数, x为奇函 数, 所以 F(x) 为奇函数, F(x) 在 (0,) 上也单调递减. 根据 f (4) 0 可得 F(4) 0,根据函数的单调性、奇偶性可得函数图像,根据图像可知 xf (x) 0的解 集为(,4) (0,4) . 思路点拨:出现“ ”形式,优先构造 F(x) xf (x),然后利用函数的单调性、 奇偶性和数形结合求解即可. 导数小题中构造函数的技巧导
3、数小题中构造函数的技巧 函数与方程思想、转化与化归思想是高中数学思想中比较重要的两大思想, 而构造函数的解题思路恰好是这两种思想的良好体现,尤其是在导数题型中,下 面我就导数小题中构造函数的技巧和大家进行分享和交流。 (一)利用(一)利用 f (x) 进行抽象函数构造进行抽象函数构造 【例 2 】设 f (x) 是定义在 R 上的偶函数, 且f (1) 0 , 当 x 0 时, 有 xf (x) f (x) 0 恒成立,则不等式 f (x) 0的解集为 2 xn 然 后 利 用 F (x) f (x) 思路点拨:满足“ xf (x) nf (x)”形式,优先构造 函数的单调性、奇偶性和数形结合
4、求解即可. xf (x), f (x) 是比较简单常见的 f (x) 与x 之间的函数关系式,如果碰见复杂的, x 不易想的我们该如何处理,由此我们可以思考形如此类函数的一般形式. 我们根据得出的结论去解决例 3 题 【例 3】已知偶函数 f (x)(x 0)的导函数为 f (x) ,且满足 f (1) 0,当x 0 xf (x) f (x) 0 ,可以推出 x 0 ,F(x) 0,F(x) 在(,0)上单调递增. f (x) 为 偶函数, x 为奇函数,所以 F(x) 为奇函数, F(x) 在(0,) 上也单调递减.根据 f (1) 0可得 F(1) 0 ,根据函数的单调性、奇偶性可得函数图
5、像,根据图像可知 f (x) 0 的解集为(,1) (1,) . f (x)x f (x) , 当 x 0 时 , x2 , 则 F (x) f (x) x 【 解 析 】 构 造 F (x) 然后利用函数的单调 F (x) f (x) x 思路点拨:出现“”形式,优先构造 性、奇偶性和数形结合求解即可. xn 出现 xf (x) nf (x)形式,构造函数 F (x) f (x) . 结论: 出现nf (x) xf (x) 形式,构造函数 F (x) xnf (x) ; ; xf (x) nf (x) xn1 f (x) xn nxn1f (x) x2n , F (x) f (x) xn F
6、 (x) F(x) xnf (x),F (x) nxn1 f (x) xnf (x) xn1nf (x) f (x) ; 时,2f (x) xf (x),则使得 f (x) 0成立的x的取值范围是 3 xn 思路点拨:满足“ xf (x) nf (x) ”形式,优先构造 F (x) xf (2x),然后利用 函数的单调性、奇偶性和数形结合求解即可.注意 f (2) 0 和F (x)的转化. xf (x)2 f (x) 0 , 可以推出 x 0,F(x) 0,F(x)在(0,)上单调递减. f (x) 为 偶函数, x2为偶函数,所以 F(x) 为偶函数, F(x) 在 (,0) 上单调递增.根
7、据 f (1) 0可得 F(1) 0,根据函数的单调性、奇偶性可得函数图像,根据图像可知 f (x) 0 的解集为(1,0)(0,1) . 【 解 析 】 构 造 F (x) f (x) x2 , 则 F (x) f (x)x2 f (x) , 当 x 0 时 , x3 【变式提升变式提升】设函数 f (x) 满足 x3f (x)3x2 f (x) 1 ln x ,且 f ( 则 x 0 时, f (x) ( ) A、有极大值,无极小值B、有极小值,无极大值 C、既有极大值又有极小值D、既无极大值也无极小值 e ) 1 , 2e 思路点拨:满足“ xf (x) nf (x) ”形式,为n 3时
8、情况,优先构造 F(x) f (x) , 【例 4】设 f (x) 是定义在 R 上的奇函数,在(,0)上有2xf (2x) f (2x) 0, 且 f (2) 0,则不等式xf (2x) 0的解集为. 然后利用积分、函数的性质求解即可. 【 解 析 】 构 造 F(x) xf (2x) , 则 F (x) 2xf(x) f (2x) , 当 x 0 时 , F (x) 2xf(x) f (2x) 0,可以推出 x 0,F(x) 0,F(x)在(,0)上单调递减. f (x) 为奇函数, x为奇函数,所以 F(x)为偶函数, F(x)在(0,)上单调递增. 根据 f (2) 0可得 F(1)
9、0,根据函数的单调性、奇偶性可得函数图像,根据图像 可知 xf (2x) 0的解集为(1,0)(0,1). 4 (2)利用 f (x) 与ex构造; f (x) 与 ex构造, 一方面是对 u v, u v 函数形式的考察, 另外一方面是对 (ex) ex的考察.所以对于 f (x) f (x)类型,我们可以等同 xf (x), f (x) 的类型处 x 理,“ ”法优先考虑构造 F (x) f (x)ex,“”法优先考虑构造 F(x) f (x) ex . e2 x 【例 5】已知 f (x) 是定义在(,) 上的函数,导函数 f (x) 满足 f(x) f (x) 对于xR恒成立,则()
10、A 、f (2) e2f (0), f (2014) e2014f (0)B 、f (2) e2f (0), f (2014) e2014f (0) C 、f (2) e2f (0), f (2014) e2014f (0)D 、f (2) e2f (0), f (2014) e2014f (0) ex 见复杂的,我们是否也能找出此类函数的一般形式呢? 同样exf (x), f (x) 是比较简单常见的 f (x) 与ex之间的函数关系式,如果碰 函数 f (x) 满足 f(x) f (x) ,则 F(x) 0 ,F (x) 在R 上单调递减,根据单调性可 知 选 D. ,导 f (x) f
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