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类型导数中的构造函数(最全精编).pdf

  • 上传人(卖家):四川天地人教育
  • 文档编号:1798796
  • 上传时间:2021-10-19
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    关 键  词:
    导数 中的 构造 函数 精编 下载 _其他_数学_高中
    资源描述:

    1、1 1、利用 f (x) 与 x 构造;常用构造形式有 xf (x), f (x) ;这类形式是对u v, u 型 函 xv 数导数计算的推广及应用,我们对uv, u 的导函数观察可得知, uv型导函数中 v 体现的是“ ”法, u 型导函数中体现的是“ ”法,由此,我们可以猜测,当 v 导函数形式出现的是“ ”法形式时,优先考虑构造uv型,当导函数形式出现 的是“”法形式时,优先考虑构造 u ,我们根据得出的“优先”原则,看一看 v 例 1,例 2. 【例 1】 f (x) 是定义在 R 上的偶函数,当 x 0 时, f (x) xf (x) 0 ,且 f (4) 0,则不等式xf (x)

    2、0的解集为 【解析】构造 F(x) xf (x) , 则F (x) f (x) xf(x), 当x 0 时,f (x) xf(x) 0 , 可以推出 x 0 ,F (x) 0,F(x)在(,0)上单调递减. f (x) 为偶函数, x为奇函 数, 所以 F(x) 为奇函数, F(x) 在 (0,) 上也单调递减. 根据 f (4) 0 可得 F(4) 0,根据函数的单调性、奇偶性可得函数图像,根据图像可知 xf (x) 0的解 集为(,4) (0,4) . 思路点拨:出现“ ”形式,优先构造 F(x) xf (x),然后利用函数的单调性、 奇偶性和数形结合求解即可. 导数小题中构造函数的技巧导

    3、数小题中构造函数的技巧 函数与方程思想、转化与化归思想是高中数学思想中比较重要的两大思想, 而构造函数的解题思路恰好是这两种思想的良好体现,尤其是在导数题型中,下 面我就导数小题中构造函数的技巧和大家进行分享和交流。 (一)利用(一)利用 f (x) 进行抽象函数构造进行抽象函数构造 【例 2 】设 f (x) 是定义在 R 上的偶函数, 且f (1) 0 , 当 x 0 时, 有 xf (x) f (x) 0 恒成立,则不等式 f (x) 0的解集为 2 xn 然 后 利 用 F (x) f (x) 思路点拨:满足“ xf (x) nf (x)”形式,优先构造 函数的单调性、奇偶性和数形结合

    4、求解即可. xf (x), f (x) 是比较简单常见的 f (x) 与x 之间的函数关系式,如果碰见复杂的, x 不易想的我们该如何处理,由此我们可以思考形如此类函数的一般形式. 我们根据得出的结论去解决例 3 题 【例 3】已知偶函数 f (x)(x 0)的导函数为 f (x) ,且满足 f (1) 0,当x 0 xf (x) f (x) 0 ,可以推出 x 0 ,F(x) 0,F(x) 在(,0)上单调递增. f (x) 为 偶函数, x 为奇函数,所以 F(x) 为奇函数, F(x) 在(0,) 上也单调递减.根据 f (1) 0可得 F(1) 0 ,根据函数的单调性、奇偶性可得函数图

    5、像,根据图像可知 f (x) 0 的解集为(,1) (1,) . f (x)x f (x) , 当 x 0 时 , x2 , 则 F (x) f (x) x 【 解 析 】 构 造 F (x) 然后利用函数的单调 F (x) f (x) x 思路点拨:出现“”形式,优先构造 性、奇偶性和数形结合求解即可. xn 出现 xf (x) nf (x)形式,构造函数 F (x) f (x) . 结论: 出现nf (x) xf (x) 形式,构造函数 F (x) xnf (x) ; ; xf (x) nf (x) xn1 f (x) xn nxn1f (x) x2n , F (x) f (x) xn F

    6、 (x) F(x) xnf (x),F (x) nxn1 f (x) xnf (x) xn1nf (x) f (x) ; 时,2f (x) xf (x),则使得 f (x) 0成立的x的取值范围是 3 xn 思路点拨:满足“ xf (x) nf (x) ”形式,优先构造 F (x) xf (2x),然后利用 函数的单调性、奇偶性和数形结合求解即可.注意 f (2) 0 和F (x)的转化. xf (x)2 f (x) 0 , 可以推出 x 0,F(x) 0,F(x)在(0,)上单调递减. f (x) 为 偶函数, x2为偶函数,所以 F(x) 为偶函数, F(x) 在 (,0) 上单调递增.根

    7、据 f (1) 0可得 F(1) 0,根据函数的单调性、奇偶性可得函数图像,根据图像可知 f (x) 0 的解集为(1,0)(0,1) . 【 解 析 】 构 造 F (x) f (x) x2 , 则 F (x) f (x)x2 f (x) , 当 x 0 时 , x3 【变式提升变式提升】设函数 f (x) 满足 x3f (x)3x2 f (x) 1 ln x ,且 f ( 则 x 0 时, f (x) ( ) A、有极大值,无极小值B、有极小值,无极大值 C、既有极大值又有极小值D、既无极大值也无极小值 e ) 1 , 2e 思路点拨:满足“ xf (x) nf (x) ”形式,为n 3时

    8、情况,优先构造 F(x) f (x) , 【例 4】设 f (x) 是定义在 R 上的奇函数,在(,0)上有2xf (2x) f (2x) 0, 且 f (2) 0,则不等式xf (2x) 0的解集为. 然后利用积分、函数的性质求解即可. 【 解 析 】 构 造 F(x) xf (2x) , 则 F (x) 2xf(x) f (2x) , 当 x 0 时 , F (x) 2xf(x) f (2x) 0,可以推出 x 0,F(x) 0,F(x)在(,0)上单调递减. f (x) 为奇函数, x为奇函数,所以 F(x)为偶函数, F(x)在(0,)上单调递增. 根据 f (2) 0可得 F(1)

    9、0,根据函数的单调性、奇偶性可得函数图像,根据图像 可知 xf (2x) 0的解集为(1,0)(0,1). 4 (2)利用 f (x) 与ex构造; f (x) 与 ex构造, 一方面是对 u v, u v 函数形式的考察, 另外一方面是对 (ex) ex的考察.所以对于 f (x) f (x)类型,我们可以等同 xf (x), f (x) 的类型处 x 理,“ ”法优先考虑构造 F (x) f (x)ex,“”法优先考虑构造 F(x) f (x) ex . e2 x 【例 5】已知 f (x) 是定义在(,) 上的函数,导函数 f (x) 满足 f(x) f (x) 对于xR恒成立,则()

    10、A 、f (2) e2f (0), f (2014) e2014f (0)B 、f (2) e2f (0), f (2014) e2014f (0) C 、f (2) e2f (0), f (2014) e2014f (0)D 、f (2) e2f (0), f (2014) e2014f (0) ex 见复杂的,我们是否也能找出此类函数的一般形式呢? 同样exf (x), f (x) 是比较简单常见的 f (x) 与ex之间的函数关系式,如果碰 函数 f (x) 满足 f(x) f (x) ,则 F(x) 0 ,F (x) 在R 上单调递减,根据单调性可 知 选 D. ,导 f (x) f

    11、(x) ex exf (x) exf (x) e2 x 形式,则 F (x) f (x) ex 【解析】构造 F(x) 函数的单调性和数形结合求解即可.注意选项的转化. ex 思路点拨:满足“ f (x) f (x) 0 ”形式,优先构造 F (x) f (x) ,然后利用 enx 2、出现 f (x) nf (x) 形式,构造函数 F(x) f (x) . 结论:1、出现 f (x) nf (x) 形式,构造函数 F(x) enx f (x) ; ; f (x)enx nenxf (x) f (x)nf (x) e2nxenx , F (x) f (x) enx F (x) F(x) enx

    12、f (x) ,F (x) nenx f (x)enxf (x) enx f(x)nf (x); 我们根据得出的结论去解决例 6 题. 【例 6】若定义在 R 上的函数 f (x) 满足 f (x) 2 f (x) 0, f (0) 1 ,则不等式 f (x) e2x的解集为 思路点拨:满足“ f (x) 2f (x) 0”形式,优先构造 F(x) f (x) ,然后利用 函数的单调性和数形结合求解即可.注意选项的转化. 【解析】构造 F(x) f (x) e2 x 形式,则 F (x) e2 xf (x) 2e2 xf (x) e4 x f (x)2f (x) e2 x , 导函数 f (x)

    13、 满足 f(x) 2 f (x) 0 , 则 F(x) 0 , F (x) 在 R 上单调递增. 又 f (0) 1,则 F(0) 1, f (x) e2x f (x) 1 F(x) F(0) ,根据单调性得 x 0. e2 x 思路点拨:利用通式构造函数时考虑 4 如何转化.构造函数 F (x) f (x) 2 ex 【变式提升】【变式提升】若定义在R 上的函数 f (x) 满足 f (x)2f (x)4 0, f (0) 1, 则不等式 f (x) e2x2的解集为 【例 7】已知函数 fx在 R 上可导,其导函数为 f x,若 fx满足: (x1) f x fx 0,f (2 x) f

    14、xe 22x ,则下列判断一定正确的是() (A) f(1) f (0)(B) f (2) e2f (0) (C) f (3) e3f (0)(D) f (4) e4f (0) 5 e2xe2x 思路点拨:满足“ f (x) f (x)”形式,优先构造 F (x) f (x) ,然后利用函数 的单调性和数形结合求解即可.注意选项的转化. 【解析】构造 F(x) f (x) ex 形式,则 F (x) exf (x) exf (x) e2 x f (x) f (x) ex ,导 函数 f (x) 满足(x 1) f(x) f (x) 0,则x 1时F(x) 0,F(x)在1,)上单调递 增 .

    15、当x 1 时F (x) 0 ,F(x)在(,1上 单 调 递 减 . 又 由 f (2 x) f (x)e22x F(2 x) F(x) F(x) 关于 x 1对称,根据单调性和图像, 可知选 C. 6 根据得出的关系式,我们来看一下例 8 【 例 8 】 已 知 函 数 y fx 对 于 任 意 的 x ( 2 2 ,) 满 足 f xcosx fxsinx 0(其中 fx是函数 fx的导函数),则下列不等式 不成立的是() A 、 2 f f ()( ) 34 B、 2 f ( f ( 3 ) 4 ) C、 f (0) 2 f ( ) 4 D、 f (0) 2 f ( 3 ) 化后可知选

    16、B. 2 2 满足 f x cosx f x sinx 0 , 则F (x) 0,F(x)在(,)上单调递增.把选项转 ,导函数 f (x) f (x)cosx f (x)sin x cos2x 形式,则 F (x) f (x) cosx 【解析】构造 F (x) 然后利用函数的单调性和数形结合求解即可.注意选项的转化. cos x 思路点拨:满足“ fxcosx fxsinx 0”形式,优先构造 F (x) f (x) . f (x)cosx f (x)sin x cos2x , F (x) f (x) cosx F (x) F(x) f (x)cosx,F (x) f(x)cosx f (

    17、x)sin x ; ; f (x)sin x f (x)cos x sin 2x , F (x) f (x) sin x F (x) F(x) f (x)sin x,F (x) f(x)sin x f (x)cosx ; (3)利用 f (x) 与sin x,cosx 构造. sin x,cos x 因为导函数存在一定的特殊性,所以也是重点考察的范畴,我们一 起看看常考的几种形式. 【变式提升】【变式提升】定义在(0, ) 上的函数,函数 f 2 (x) 是它的导函数,且恒有 7 3 23 f (x) f (x)tan x成立,则( ) A、f () 4 f () 3 B、 f (1) 2f

    18、() sin1 6 C、f () 6 f () 4 D、f () 6 f () 3 (二)构造具体函数关系式构造构造具体函数关系式构造 这类题型需要根据题意构造具体的函数关系式,通过具体的关系式去解决不 等式及求值问题. 【例 9】, , ,且sinsin 0 ,则下列结论正确的是( 2 2 ) A、B、22C、D、 0 【变式提升【变式提升】定义在R 上的函数 f (x) 满足 f (1)1且对xR, f (x) 1 则 , 2 不等式 f (log x) log2x1 的解集为. 2 2 【例10】等比数列an中,a1 2,a8 4,函数f (x) x(xa1)(xa2).(xa8), 2

    19、 f (x) 0,f (x) 单调递增;x,0)时导函数 f(x) 0,f (x) 单调递减.有 f (x) 2 为偶函数,根据单调性和图像可知选 B. 【解析】构造 f (x) xsin x形式,则 f (x) sin x xcosx , x0,时导函数 思路点拨:构造函数 f (x) x sin x ,然后利用函数的单调性和数形结合求解即 可. ,利用单调性求解集,然后解对数不等式即可. 2 2 t 1 2 f (t) 思路点拨:构造函数 F (x) f (x) 1 x2,令t log x ,然后原不等式等价于 思路点拨:满足“ f (x)sin x f (x)cos x ”形式,优先构造

    20、 F (x) f (x) ,然后 sin x 利用函数的单调性和数形结合求解即可.注意选项的转化. 则 f (0) ( ) 2 8 A、26B、29C、212D、215 9 ) 812 f (x) g(x) xg(x) , f(0) g(0) a a . a (2 4)4 212,故选 C. 【 解 析 】 令 g(x) (x a1)(x a2).(xa8) 形 式 , 则f (x) xg(x) , 思路点拨:构造函数 f (x) xg(x) ,然后利用整体代换思想和数列的性质求解 即可. f (x) sin 2x ,且x R,有f (x) f (x) 2 sin 2x ,则以下大小关系一定

    21、正确的是() f (5 4 A、) f () 63 B、f () 4 f () 【例 11】已知实数a,b,c 满 足 a 2ea b 1 c d 1 1,其中e是自然对数的底数, 那么(ac)2(bd)2的最小值为() A、8B、10C、12D、18 【变式提升】【变式提升】已知实数a,b满足2a25lnab 0,cR ,则 (a c)2 (bc)2 的最小值为 【课后作业】【课后作业】设函数f (x)在R上的导函数f (x) , 在(0,)上 8 11 |022 2 为(0,2) ,所以(a c)2 (b d )2的最小值为 d 1 1c 1 d 2c g(x) 2 x ;由 f (x) 1 2ex 1,得 x 0,所以切点坐标 xa 1b a2e进 而 f (x) x 2e; 又 由 b a 2ea 【 解 析 】 由 思路点拨:把(a c)2 (b d )2看成两点距离的平方,然后利用数形结合以及 点到直线的距离即可. 思路点拨:构造函数 f (x) 2x2 5 ln x , g(x) x ,然后利用两点之间的距 离公式和数形结合思想求解即可. ) 10 )C、f ( 5 6 f ( 4 3 D、f ( 4 f () 11 构造函数,作为一种做题技巧的体现,考察了学生的思考能力和动手能力, 是一种非常实用的做题技巧,希望我的总结分享能够给大家带来帮助。

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