双参向量之点在椭圆上.pdf

1、1 （2005安徽） 已知椭圆的中心为坐标原点O， 焦点在x轴上， 斜率为 1 且过椭圆右焦点F 的直线交椭圆于A、B两点，OAOB 与(3, 1)a 共线 （）求椭圆的离心率； （）设M为椭圆上任意一点，且( ,)OMOAOBR ，证明 22 为定值 【解答】解： （1）设椭圆方程为 22 22 1(0),( ,0) xy abF c ab 则直线AB的方程为yxc， 代入 22 22 1 xy ab ， 化简得 22222222 ()20abxa cxa ca b 令 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y，则 22222 1212 2222 2 , a ca ca b xx

2、x x abab 1212 (,),(3, 1),OAOBxxyyaOAOB 与a 共线， 1212 3()()0yyxx，又 11 yxc， 22 yxc， 1212 3(2 )()0 xxcxx， 12 3 2 xxc 即 2 22 23 2 a cc ab ， 所以 22 3ab 22 6 3 a cab， 故离心率 6 3 c e a ()II证明：由（1）知 22 3ab，所以椭圆 22 22 1(0),( ,0) xy abF c ab 可化为 222 33xyb 设( , )M x y，由已知得(x， 1 )(yx， 12 )(yx， 2) y， 12 12 xxx yyy (

3、, )M x y在椭圆上， 222 1212 ()3()3xxyyb 即 2222222 11221212 (3)(3)2(3)3xyxyx xy yb 由（1）知 2222 31 , 22 ac bc 12 3 2 c xx， 2222 2 12 22 3 8 a ca b x xc ab 2222 121212121212 39 33()()43()330 22 x xy yx xxc xcx xxx ccccc 又 222 11 33xyb， 222 22 33xyb，代入得 22 1故 22 为定值，定值为 1 2椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的离心率为 6 3 ，

4、过右焦点F且斜率为 1 的直线交椭圆C于 A，B两点，设M椭圆C上任意一点，且OMOAOB ，则的取值范围为 2，2 【解答】解：设椭圆的焦距为2c，因为 6 3 c a ，所以有 22 2 2 3 ab a ，故有 22 3ab 从而椭圆C的方程可化为： 222 33xyb易知右焦点F的坐标为( 2b，0)， 据题意有AB所在的直线方程为：2yxb由，有： 22 46 230 xbxb 设 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y显然OA 与OB 可作为平面向量的一组基底，由平面向量基本定理， 对于这一平面内的向量OM ，有且只有一对实数，使得等式OMOAOB 成立 设( , )

5、M x y，即有：(x， 1 )(yx， 12 )(yx， 2) y，所以 12 xxx， 12 yyy 又点在椭圆C上，所以有 222 1212 ()3()3xxyyb 整理为 2222222 11221212 (3)(3)2(3)3xyxyx xy yb 由有： 12 3 2 2 b xx， 2 12 3 4 b x x 所以 12121212 33(2 )(2 )x xy yx xxb xb 2222 1212 43 2 ()63690 x xb xxbbbb 又A、B在椭圆上，故有 222 11 (3)3xyb， 222 22 (3)3xyb 将，代入可得： 22 1 22 2 1 (

6、) 222 ，故有22 故答案为：2，2 3.椭圆 2 2 2 :1(1) x Hya a ，原点O到直线MN的距离为 3 2 ，其中点(0, 1)M，点( ,0)N a （1）求该椭圆H的离心率e； （2）经过椭圆右焦点 2 F的直线l和该椭圆交于A，B两点，点C在椭圆上，O为原点， 若 13 22 OCOAOB ，求直线l的方程 【解答】解： （1）直线MN的方程为：1 1 xy a ，即0 xaya 2 3 2 1 a a ，解得 3a 又1b ，则 22 2cab该椭圆H的离心率 26 33 c e a （2）由（1）可知：椭圆H的标准方程为： 2 2 1 3 x y，设 1 (A x

7、， 1) y， 2 (B x， 2) y 13 22 OCOAOB ， 1212 1313 (,) 2222 Cxxyy，由A，B，C都在椭 圆上， 22 11 33xy， 22 22 33xy， 22 1212 1313 ()3()3 2222 xxyy，由化简整 理可得： 2222 11221212 133 (3)(3)(3)3 442 xyxyx xy y， 把代入化简可得： 1212 30 x xy y，设直线l的方程为：2xmy，代入椭圆方 程可得： 22 (3)2 210mymy ， 12 2 2 2 3 m yy m ， 12 2 1 3y y m ， 2 12121212 (2

8、)(2)2 ()2x xmymym y ym yy， 2 1212 (3)2 ()20my ym yy， 2 22 12 2 (3)220 3 m mm mm ，解得1m 直线l的方程为2xy 当直线l的斜率为 0 时，其方程为：0y ，此时( 3A，0)， (3B ，0)，不满足，舍去综上可得：直线l的方程为2xy 3已知椭圆 2 2 2 1(1) x ya a ，过右焦点且斜率为 1 的直线交椭圆于A、B两点 （1）证明：OAOB 与向量 2 (ma ，1)共线； （2）设OMOAOB ，当 22 1且M在椭圆上时，求椭圆方程 【解答】 （1）证明：设直线AB的方程为yxc，代入 2 2

9、2 1 x y a ， 化简得 222222 (1)20axa cxa ca令 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y， 则 2 12 2 2 1 a c xx a 又 11 yxc， 22 yxc， 12 2 2 1 c yy a 12 (OAOBxx ， 12) yy，OAOB 与向量 2 (ma ，1)共线； （2）解：设( , )M x y，由已知得(x， 1 )(yx， 12 )(yx， 2) y， 12 xxx， 12 yyy，( , )M x y在椭圆上， 2222 1212 ()()xxayya 即 2222222222 11221212 ()()2()xa yx

10、a yx xa y ya 又 2222 11 xa ya， 2222 22 xa ya， 22 1 22 12121212 ()()0 x xa y yx xaxc xc 2222 1212 (1)()(1)0ax xcaxxa a 代入解得3a ，椭圆方程为 2 2 1 3 x y 4已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的离心率为 6 3 ，过右焦点F且斜率为 1 的直线交椭圆 C于A，B两点，N为弦AB的中点 （1）求直线(ON O为坐标原点）的斜率 ON K； （2）对于椭圆C上任意一点M，试证：总存在角()R 使等式：cossinOMOAOB 成立 【解答】解： （1

11、）设椭圆的焦距为2c，因为 6 3 c a ， 所以有 22 2 2 3 ab a ，故有 22 3ab从而椭圆C的方程可化为： 222 33xyb 易知右焦点F的坐标为( 2 ,0)b，据题意有AB所在的直线方程为：2yxb 由，有： 22 46 230 xbxb 设 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y， 弦AB的 中 点 0 (N x， 0) y， 由 及 韦 达 定 理 有 ： 12 000 3 22 ,2 244 xxb xyxbb 所以 0 0 1 3 ON y K x ，即为所求 （2）显然OA 与OB 可作为平面向量的一组基底，由平面向量基本定理，对于这一平面内

12、的 向量OM ，有且只有一对实数，使得等式OMOAOB 成立 设( , )M x y，由1)中各点的坐标有：(x， 1 )(yx， 12 )(yx， 2) y， 所以 12 xxx， 12 yyy 又点在椭圆C上， 所以有 222 1212 ()3()3xxyyb 整理为 2222222 11221212 (3)(3)2(3)3xyxyx xy yb 由有： 2 1212 3 23 , 24 bb xxx x 所以 2 121212121212 33(2 )(2 )43 2 ()6x xy yx xxb xbx xb xxb 222 3960bbb，又A、B在椭圆上，故有 222 11 (3)3xyb， 222 22 (3)3xyb 将，代入可得： 22 1 对于椭圆上的每一个点M，总存在一对实数，使等式OMOAOB 成立， 而 22 1 ，在直角坐标系 xoy中，取点( ,)P ， 设以x轴正半轴为始边，以射线OP为终边的角为，显然cos，sin 也就是：对于椭圆C上任意一点M，总存在角()R 使等式：cossinOMOAOB 成 立