2021年全国中学生数学奥林匹克竞赛（初赛）一试（A1卷）参考答案及评分标准.pdf

1、1 2021 年全国中学生数学奥林匹克竞赛（初赛） 年全国中学生数学奥林匹克竞赛（初赛） 暨暨 2021 年全国高中数学联合竞赛 年全国高中数学联合竞赛 一试（一试（A1 卷）参考答案及评分标准 卷）参考答案及评分标准 一、填空题：本大题共 8 小题，每小题 8 分，满分 64 分 1. 设1, 2,3A，2,Bxy x yA xy，2,Cxy x yA xy， 则BC的所有元素之和为 答案答案：12 解解：枚举可得4,5,7B ，5,7,8C ，所以5,7BC 因此BC的 所有元素之和为5712 2. 设m为实数， 向量(12 ,12 ),(43, 45) mmmm ab ， 则数量积a b

2、 的 最小值为 答案答案：6 解解：设2mt ，则 22 (1,1),(3,5)attbtt ，故 222 (1)(3)(1)(5)2(2)66a bt tt tt 当2t ，即1m时，a b 取到最小值6 3. 已知ABC满足：tan, tanAB是方程 2 1060 xx的两个根， 则cosC的 值为 答案答案： 5 5 解解：由条件知tantan10, tantan6ABAB，所以 tantan tantan()tan()2 1tantan AB CABAB AB 于是C为锐角，进而有 2 115 cos 55 1tan C C 4. 在平面直角坐标系中， 双曲线 22 22 :1( ,

3、0) xy a b ab ， 一条倾斜角为 4 的 直线经过的一个顶点及上另外一点(2,3)，则的离心率为 答案答案：2 解解：题述直线的斜率为1且经过点(2,3)，故其方程为1yx，该直线与x 轴交于点( 1,0)，故( 1,0)为的一个顶点，所以1a 又由点(2,3)在上，可知 22 2 23 1 1b ，所以 2 3b 记 22 cab，则的离心率为 22 2 cab aa 5. 数列 n a满足 1 1 11 1,(2) 4 n n aan an ，则 100 a的值为 答案答案： 101 200 解解：用数学归纳法证明 1 2 n n a n 2 当1n时， 1 11 1 2 a ，

4、结论成立 假设nk时结论成立，则当1nk时，利用条件及归纳假设得 1 111(1)1 412(1)12(1) k k kk a akkkk ， 即1nk时结论也成立 所以由数学归纳法得 1 2 n n a n 特别地， 100 101 200 a 6. 设正四棱锥PABCD的底面边长与高相等，点G为侧面PBC的重心， 则直线AG与底面ABCD所成角的正弦值为 答案答案： 38 19 H G M O C D A B P 解解：取BC的中点M，则G在PM上分别取,P G在底面ABCD上的射影 ,O H，则O为底面正方形的中心，H在OM上，且 1 3 GHHMGM POOMPM 为方便计算，不妨设6

5、ABPO于是2 3 PO GH ， 2 2 3 OHOM， 又3 2,135AOAOH，故 222 2cos34AHAOOHAO OHAOH， 进而 22 38AGAHGH 直线AG与底面ABCD所成角的大小等于GAH，故所求正弦值为 238 sin 1938 GH GAH AG 7. 设 1221 ,a aa为1,2,21的排列，满足 202119211821121 aaaaaaaa 这样的排列的个数为 答案答案：3070 解解：对给定的1, 2,21k ，考虑使 21 ak的满足条件的排列个数 k N 当1, 2,11k 时，对1,2,1ik，有 212 , ii aa 为,ki ki的排

6、列（若 1k ，则没有这样的i） ，且1(2120) j ajkj （若11k ，则没有这样 的j） ，因此 1 2k k N 当12,13,21k 时，类似地有 21 2 k k N 因此，满足条件的排列个数为 3 211121 1211110 1112 22(21)(21)3070 kk k kkk N 8. 正实数, x y满足如下条件：存在0, ,0, axby，使得 22 2ay， 22 1bx，1axby， 则xy的最大值为 答案答案： 5 解解：对于满足条件的正实数对( , )x y，在平面直角坐标系 xOy中取点( ,0),( , ),(0, )L xM x yNy，则四边形O

7、LMN为矩 形，点( , ),( , )P x bQ a y分别在边,LM MN上，如图所示 由于 22 2ay， 22 1bx，1axby，故 22 1OPxb， 22 2OQay， 222222 ()()()()2()1PQaxbyaybxaxby 从而OPQ是以P为直角顶点的等腰直角三角形 于是可设, 4 LOPQON ，其中0 4 ，则 coscosxyOLONOPLOPOQQON cos2cos2cossin 4 5sin()（其中 2 5 arcsin 5 ） 当 2 （相应有 2 53 5 , 55 xy）时，xy取到最大值 5 二、解答题：本大题共 3 小题，满分 56 分解答

8、应写出文字说明、证明过 程或演算步骤 9.（本题满分（本题满分 16 分）分）设函数 3 ( )2logf xx，正实数, ,a b c满足abc， 且( )2 ( )2 ( )f af bf c求 ac b 的值 解解：注意到 3 ( )log 9 x f x 在(0,9上单调减，在9,)上单调增 4 分 由, ,a b c所满足的条件，可知09abc ，并且 333 99 log2log2log 9 c ab 8 分 于是 33333 999 loglog92logloglog2 999 acacc bbab ， 即有 2 39 ac b 16 分 x y L N M Q O P 4 10

9、. （本题满分（本题满分 20 分）分）设,Ra b若关于z的方程 22 ()(2 )0zazb zazb 有4个互不相等的复数根 1234 ,zzzz，且它们在复平面上对应的点恰是一个边长 为1的正方形的四个顶点，求 1234 zzzz的值 解解：记二次方程 2 1: 0Ezazb ， 2 2: 20Ezazb不妨设 12 ,z z为 1 E 的解， 34 ,zz为 2 E的解 若 1234 ,zzzz均为实数，则它们在复平面上对应的点均在实轴上，不合题 意若 1234 ,zzzz均为虚数，则它们在复平面上对应的点均在直线Re 2 a z 上， 不合题意因此 1234 ,zzzz中有两个实数

10、，两个虚数 5 分 这表明方程 12 ,E E的判别式 2 4ab与 2 8ab异号 此时必有0b（若0b，则 2 40ab且 2 80ab，矛盾） ，故 22 408abab 10 分 于是 2 1,2 4 2 aab z ， 2 3,4 8i 2 aba z 显然 3412 222 zzzza 由于正方形的边长为1，所以 2 12 42zzab， 2 34 82zzba， 即 22 482abba，解得 2 6a ，1b 15 分 注意到 12 ,zz同号及 34 zz，可知 1234123 2zzzzzzz 22 (8)62 2aaba 20 分 11. （本题满分（本题满分 20 分）

11、分）如图所示，在平面直角坐标系中，椭圆 2 2 :1 2 x y 的左、右焦点分别为 12 ,F F ，设P是第一象限内上一点， 12 ,PF PF 的延长线分 别交于点 12 ,Q Q 设 12 ,r r 分别为 1221 ,PFQPF Q的内切圆半径求 12 rr的最 大值 x y Q2 Q1 F1F2 O P 解解：易知 12 ( 1, 0),(1, 0)FF 设 11122002 ,)(,),)(,P xyQ xyQ xy，由条件知 0012 0,0,0 xyyy 由椭圆定义得 1211122122 2 2PFPFQ FQ FQ FQ F，故 12 PFQ 与 21 PF Q的周长均为

12、4 2l 5 分 5 又 12 2FF ，因此 12 0212 02 1 2() 2 2 PFQ SyyFF yy r ll 同理得 01 2 2 2 yy r ，所以 12 12 2 2 yy rr 10 分 以下先求 12 yy 直线 1 PF 的方程为 0 0 (1) 1 xy x y ，将其代入 2 2 1 2 x y 并整理得 2 2 0 2 00 0 (1)11 10 22 xx yy yy ， 两边乘以 0 2 2y，并注意到 0 22 0 22xy，可知 22 0000 (32)2(1)0 xyxy yy 该方程的两根为 01 ,yy ，由韦达定理得 2 0 01 0 32 y y y x ，于是 0 1 0 32 y y x 同理可得 0 2 0 32 y y x 因此 0000 12 2 000 4 323294 yyx y yy xxx 15 分 由于 22222 0000000 11 949293 2 22 xxyxyx y，故 0000 2 12 2 0 00 1 22 2 2 1 9433 2 yy r x yx y xx y r ， 其中，等号成立时要求 22 00 1 9 2 xy，相应地有 00 3 510 , 510 xy 所以 12 rr的最大值为 1 3 20 分