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类型2021高考数学-全国Ⅱ卷(解析排版).pdf

  • 上传人(卖家):四川天地人教育
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    2021 高考 数学 全国 解析 排版 下载 _其他_数学_高中
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    1、20212021年全国统一高考数学试卷年全国统一高考数学试卷( (新高考新高考) ) 一、 单项选择题一、 单项选择题 ( (本题共本题共8 8小题, 每小题小题, 每小题 5 5分, 共分, 共 4040分。在每小题给出的四个选项中, 只有一分。在每小题给出的四个选项中, 只有一 项是符合题目要求的项是符合题目要求的) ) 1. 1. 【2021全国卷1】 复数 2-i 1-3i 在复平面内对应点所在的象限为 () A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 【解析】【解析】 解: 2-i 1-3i = (2-i)(1+3i) (1-3i)(1+3i) = 2+6i-i-3i2

    2、 12+(-3)2 = 5+5i 10 = 1 2 + 1 2 i, 在复平面内, 复数 2-i 1-3i 对应的点的坐标为 1 2 ,1 2 , 位于第一象限 【答案】【答案】 A 2.2. 【2021全国卷2】 若全集U =1, 2, 3, 4, 5, 6, 集合A=1, 3, 6, B =2, 3, 4, 则AUB = () A. 3B. 1, 6C. 5, 6D. 1, 3 【解析】【解析】 解: 因为全集U =1, 2, 3, 4, 5, 6, 集合A=1, 3, 6, B =2, 3, 4, 所以UB =1, 5, 6, 故AUB =1, 6 【答案】【答案】 B 3.3. 【20

    3、21全国卷3】 若抛物线y2=2px(p0)的焦点到直线y=x+1的距离为2, 则p= () A. 1B. 2C. 2 2D. 4 【解析】【解析】 解: 抛物线y2=2px(p0)的焦点 p 2 , 0 到直线y=x+1的距离为2, 可得 p 2 +1 2 =2, 解得p=2 【答案】【答案】 B 第1页, 共13页第1页, 共13页 4.4. 【2021 全国卷 4】 北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果在卫星导 航系统中, 地球静止同步轨道卫星的轨道位于地球赤道所在平面, 轨迹高度为 36000km( 轨道高度是指卫星到地球表面的距离 )将地球看作是一个球心为 O, 半径r

    4、为6400km 的球, 其上点A的纬度是指OA与赤道平面所成角的度数地球表面上能直接观测到的 一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为, 该卫星信号覆盖地球表面的表面积 S=2r2(1-cos)(单位: km2), 则S占地球表面积的百分比约为 () A. 26%B. 34%C. 42%D. 50% 【解析】【解析】 解: 由题意, 作出地球静止同步卫星轨道的左右两端的竖直截面图, 则OB =36000+6400=424000, 那么cos= 6400 42400 = 8 53 ; 卫星信号覆盖的地球表面面积S=2r2(1-cos), 那么, S占地球表面积的百分比为 2r2(1-cos) 4

    5、r2 = 45 106 42% 【答案】【答案】 C 5.5. 【2021全国卷5】 正四棱台的上、 下底面的边长分别为2, 4, 侧棱长为2, 则其体积为 () A. 20+12 3B. 28 2C. 56 3 D. 28 2 3 【解析】【解析】 解: 如图ABCD-A1B1C1D1为正四棱台, AB =2, A1B1=4, AA1=2 在等腰梯形A1B1BA中, 过A作AE A1B1, 可得A1E = 4-2 2 =1, AE =AA1 2-A 1E 2 =4-1 =3连接AC, A1C1, AC =4+4 =2 2, A1C1=16+16 =4 2, 过A作AG A1C1, A1G =

    6、 4 2 -2 2 2 =2, AG =AA1 2-A 1G 2 =4-2 =2, 正四棱台的体积为: V= S上+S下+S上S下 3 h = 22+42+2242 3 2 = 28 2 3 【答案】【答案】 故选: D 第2页, 共13页第2页, 共13页 6.6. 【2021全国卷6】 某物理量的测量结果服从正态分布N(10,2), 则下列结论中不正确的是 () A. 越小, 该物理量在一次测量中落在(9.9,10.1)内的概率越大 B. 越小, 该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5 C. 越小, 该物理量在一次测量中小于为9.99与大于10.01的概率相等 D. 越小, 该物理量在

    7、一次测量中结果落在(9.9,10.2)与落在(10,10.3)的概率相等 【解析】【解析】 解: 因为某物理量的测量结果服从正态分布N(10,2), 所以测量的结果的概率分布关于10对称, 且方差2越小, 则分布越集中, 对于A, 越小, 概率越集中在10左右, 则该物理量一次测量结果落在(9.9,10.1)内的概 率越大, 故选项A正确; 对于B, 不管取何值, 测量结果大于10的概率均为0.5, 故选项B 正确; 对于C, 由于概率分布关于10对称, 所以测量结果大于10.01的概率等于小于9.99的概 率, 故选项C 正确; 对于 D, 由于概率分布是集中在 10 附近的, (9.9,1

    8、0.2) 分布在 10 附近的区域大于 (10 ,10.3)分布在10附近的区域, 故测量结果落在(9.9,10.2)内的概率大于落在(10,10.3)内的概率, 故选项D错误 【答案】【答案】 D 7.7. 【2021全国卷7】 已知a=log52, b=log83, c= 1 2 , 则下列判断正确的是 () A. cbaB. bacC. acbD. abc 【解析】【解析】 解: log52log88 1 2= 1 2 , acb 【答案】【答案】 C 8.8. 【2021全国卷8】 已知函数 f(x)的定义域为R, f(x+2)为偶函数, f(2x+1)为奇函数, 则 () A. f

    9、- 1 2 =0B. f(-1)=0C. f(2)=0D. f(4)=0 【解析】【解析】 解: 由题意, f(x+2)为偶函数, 可得 f(x+4)= f(-x), f(2x+1)为奇函数, 可得 f(-2x+1)=-f(2x+1), 令F(x)= f(2x+1)为奇函数, 可得F(0)= f(1)=0, f(-1)=-f(3)=-f(1)=0, 即 f(-x)=-f(x+2), f(x+4)=-f(x+2), 易知 f(x)的周期T =4, 其他选项的值不一定等于0 即 f(-1)=0, 【答案】【答案】 故选: B 第3页, 共13页第3页, 共13页 二、 多项选择题二、 多项选择题

    10、( (本题共本题共4 4小题, 每小题小题, 每小题 5 5分, 共分, 共 2020分。在每小题给出的四个选项中, 有多项分。在每小题给出的四个选项中, 有多项 是符合题目要求的。全选对得是符合题目要求的。全选对得5 5分, 选对但不全得分, 选对但不全得2 2分, 有错误答案得分, 有错误答案得0 0分分) ) 9.9. 【2021全国卷9】(多选) 下列统计量中, 能度量样本x1, x2, , xn的离散程度的有 () A. 样本x1, x2, , xn的标准差B. 样本x1, x2, , xn的中位数 C. 样本x1, x2, , xn的极差D. 样本x1, x2, , xn的平均数

    11、【解析】【解析】 解: 中位数是反应数据的变化, 方差是反应数据与均值之间的偏离程度, 极差是用来表示统计资料中的变异量数, 反映的是最大值与最小值之间的差距, 平均数是反应数据的平均水平, 故能反应一组数据离散程度的是标准差, 极差 【答案】【答案】 AC 10.10.【2021全国卷10】(多选) 如图, 下列正方体中, O为底面的中点, P为所在棱的中点, M, N 为正方体的顶点, 则满足MN OP的是 () A.B. C.D. 【解析】【解析】 解: 对于A, 设正方体棱长为2, 设MN 与OP所成角为, 则tan= 1 1 2 4+4 = 2 2 , 不满足MN OP, 故A错误;

    12、 对于B, 如图, 作出平面直角坐标系, 设正方体棱长为2, 第4页, 共13页第4页, 共13页 则N(2, 0, 0), M(0, 0, 2), P(2, 0, 1), O(1, 1, 0), MN =(2, 0, -2), OP =(1, -1, 1), MN OP =0, 满足MN OP, 故B 正确; 对于C, 如图, 作出平面直角坐标系, 设正方体棱长为2, 则M(2, 2, 2), N(0, 2, 0), O(1, 1, 0), P(0, 0, 1), MN =(-2, 0, -2), OP =(-1, -1, 1), MN OP =0, 满足MN OP, 故C 正确; 对于D,

    13、 如图, 作出平面直角坐标系, 设正方体棱长为2, 则M(0, 2, 2), N(0, 0, 0), P(2, 1, 2), O(1, 1, 0), MN =(0, -2, -2), OP =(1, 0, 2), MN OP =-4, 不满足MN OP, 故D错误 【答案】【答案】 故选: BC 11.11.【2021全国卷11】(多选) 已知直线l:ax+by-r2=0与圆C :x2+y2=r2, 点A(a,b), 则下列说法正确的是 () A. 若点A在圆C 上, 则直线l与圆C 相切 B. 若点A在圆C 内, 则直线l与圆C 相离 C. 若点A在圆C 外, 则直线l与圆C 相离 D. 若

    14、点A在直线l上, 则直线l与圆C 相切 【解析】【解析】 解: 点A在圆C 上, a2+b2=r2, 圆心C(0,0)到直线l的距离为d= |0a+0b-r2| a2+b2 = |r2| a2+b2 =r, 直线与圆C 相切, 故A选项正确, 点A在圆C 内, a2+b2r, 第5页, 共13页第5页, 共13页 直线与圆C 相离, 故B 选项正确, 点A在圆C 外, a2+b2r2, 圆心C(0,0)到直线l的距离为d= |0a+0b-r2| a2+b2 = |r2| a2+b2 0,b0)的离心率e=2, 则该双曲线的 渐近线方程为y= 3x 【解析】【解析】 解: 双曲线的方程是 x2

    15、a2 - y2 b2 =1(a0,b0), 双曲线渐近线为y= b a x 又离心率为e= c a =2, 可得c=2a c2=4a2, 即a2+b2=4a2, 可得b=3a 由此可得双曲线渐近线为y= 3x 【答案】【答案】 y= 3x 第6页, 共13页第6页, 共13页 14.14.【2021全国卷14】 写出一个同时具有下列性质的函数 f(x):f(x)=x2 f(x1x2)= f(x1)f(x2); 当x(0,+)时, f(x)0; f(x)是奇函数 【解析】【解析】 解: f(x)=x2时, f(x1x2)=(x1x2)2=x1 2x 2 2= f(x 1)f(x2); 当x(0,

    16、+)时, f(x)= 2x0; f(x)=2x是奇函数 【答案】【答案】 f(x)=x2 15.15.【2021全国卷15】 已知向量a +b +c =0 , |a|=1, |b|=|c|=2, 则a b +b c +c a = - 9 2 【解析】【解析】 解: 由a +b +c =0 得a +b =-c 或a +c =-b 或b +c =-a , (a +b )2 =(-c )2 或(a +c )2 =(-b )2 或(b +c )2 =(-a )2, 又|a |=1, |b|=|c|=2, 5+2a b =4, 5+2a c =4, 8+2b c =1, a b =- 1 2 , a c

    17、 =- 1 2 , b c =- 7 2 , a b +a c +b c =- 9 2 【答案】【答案】 - 9 2 16.16.【2021全国卷16】 已知函数 f(x)=|ex-1|, x10, 函数 f(x)的图象在 点A(x1, f(x1)和点B(x2, f(x2)的两条切线互相垂直, 且分别交y轴于M, N 两点, 则 |AM| |BN| 的取值范围是(0,1) 【解析】【解析】 解: 当x0时, f(x)=ex-1, 导数为 f(x)=ex, 可得在点B(x2, ex_2-1)处的斜率为k2=ex_2, 令x=0, 可得y=ex_2-1-x2ex_2, 即N(0,ex_2-1-x2

    18、ex_2), 由 f(x)的图象在A, B 处的切线相互垂直, 可得k1k2=-ex_1ex_2=-1, 即为x1+x2=0, x10, 所以 |AM| |BN| = 1+e2x1(-x1) 1+e2x2x2 = 1+e-2x2 1+e2x2 = 1 ex2 (0,1) 【答案】【答案】 (0,1) 第7页, 共13页第7页, 共13页 四、 解答题四、 解答题( (本题共本题共6 6小题, 共小题, 共9090分。解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤。把答案填分。解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤。把答案填 在答题卡上在答题卡上) ) 17.17.【2021全国卷17】 记Sn是公

    19、差不为0的等差数列an的前n项和, 若a3=S5, a2a4=S4 (1)求数列an的通项公式an; (2)求使Snan成立的n的最小值 【解析】【解析】 (1)数列Sn是公差d不为0的等差数列an的前n项和, 若a3=S5, a2a4=S4 根据等差数列的性质, a3=S5=5a3, 故a3=0, 根据a2a4=S4可得(a3-d)(a3+d)=(a3-2d)+(a3-d)+a3+(a3+d), 整理得-d2=-2d, 可得d=2(d=0不合题意), 故an=a3+(n-3)d=2n-6 (2)an=2n-6, a1=-4, Sn=-4n+ n(n-1) 2 2=n2-5n, Snan, 即

    20、n2-5n2n-6, 整理可得n2-7n+60, 当n6或nan成立, 故n的最小正值为7 【答案】【答案】 (1) an=2n-6;(2)7 18.18.【2021全国卷18】 在ABC 中, 角A, B, C 所对的边长为a, b, c, b=a+1, c=a+2 (1)若2sinC =3sinA, 求ABC 的面积; (2)是否存在正整数a, 使得ABC 为钝角三角形?若存在, 求出a的值; 若不存在, 说明 理由 【解析】【解析】 (1)2sinC =3sinA, 根据正弦定理可得2c=3a, b=a+1, c=a+2, a=4, b=5, c=6, 在ABC 中, 运用余弦定理可得c

    21、osC = a2+b2-c2 2ab = 42+52-62 245 = 1 8 , sin2C +cos2C =1, sinC =1-cos2C =1- 1 8 2 = 3 7 8 , SABC= 1 2 absinC = 1 2 45 3 7 8 = 15 7 4 (2)cba, ABC 为钝角三角形时, 角C 必为钝角, cosC = a2+b2-c2 2ab = a2+(a+1)2-(a+2)2 2a(a+1) 0, a2-2a-30, 0ac, 即a+a+1a+2, 即a1, 1a3, a为正整数, a=2 【答案】【答案】 (1)15 7 4 ;(2)a=2 第8页, 共13页第8页

    22、, 共13页 19.19.【2021全国卷19】 在四棱锥Q-ABCD中, 底面ABCD是正方形, 若AD=2, QD=QA=5, QC =3 (1)求证: 平面QAD平面ABCD; (2)求二面角B -QD-A的平面角的余弦值 【解析】【解析】 (1)证明: QCD中, CD=AD=2, QD=5, QC =3, 所以CD2+QD2=QC2, 所以CDQD; 又CDAD, ADQD=D, AD平面QAD, QD平面QAD, 所以CD平面QAD; 又CD平面ABCD, 所以平面QAD平面ABCD (2)解: 取AD的中点O, 在平面ABCD内作OxAD, 以OD为y轴, OQ为z轴, 建立空间

    23、直角坐标系O-xyz, 如图所示: 则O(0, 0, 0), B(2, -1, 0), D(0, 1, 0), Q(0, 0, 2), 因为Ox平面ADQ, 所以平面ADQ的一个法向量为 =(1, 0, 0), 设平面BDQ的一个法向量为 =(x, y, z), 由BD =(-2, 2, 0), DQ =(0, -1, 2), 得 BD =0 DQ =0 , 即 -2x+2y=0 -y+2z=0 , 令z=1, 得y=2, x=2, 所以 =(2, 2, 1); 所以cos= | |= 2+0+0 14+4+1 = 2 3 , 所以二面角B -QD-A的平面角的余弦值为 2 3 【答案】【答案

    24、】 (1) 见解析; (2) 2 3 第9页, 共13页第9页, 共13页 20.20. 【2021全国卷20】 已知椭圆C 的方程为 x2 a2 + y2 b2 =1(ab0), 右焦点为F( 2, 0), 且离心率为 6 3 (1)求椭圆C 的方程; (2)设M, N 是椭圆C 上的两点, 直线MN 与曲线x2+y2=b2(x0)相切 证明: M, N, F 三点共线的充要条件是|MN|=3 【解析】【解析】 (1)解: 由题意可得, 椭圆的离心率 c a = 6 3 , 又c=2, 所以a=3, 则b2=a2-c2=1, 故椭圆的标准方程为 x2 3 +y2=1; (2)证明: 先证明必

    25、要性, 若M, N, F 三点共线时, 设直线MN 的方程为x=my+2, 则圆心O(0,0)到直线MN 的距离为d= 2 m2+1 =1, 解得m2=1, 联立方程组 x=my+2 x2 3 +y2=1 , 可得(m2+3)y2+2 2my-1=0, 即4y2+2 2my-1=0, 所以|MN|=1+m2 8m2+16 4 =2 24 4 =3; 所以必要性成立; 下面证明充分性, 当|MN|=3 时, 设直线MN 的方程为x=ty+m, 此时圆心O(0,0)到直线MN 的距离d= |m| t2+1 =1, 则m2-t2=1, 联立方程组 x=ty+m x2 3 +y2=1 , 可得(t2+

    26、3)y2+2tmy+m2-3=0, 则=4t2m2-4(t2+3)(m2-3)=12(t2-m2+3)=24, 因为|MN|=1+t2 24 t2+3 =3, 所以t2=1, m2=2, 因为直线MN 与曲线x2+y2=b2(x0)相切, 所以m0, 则m=2, 则直线MN 的方程为x=ty+2 恒过焦点F( 2,0), 故M, N, F 三点共线, 所以充分性得证 综上所述, M, N, F 三点共线的充要条件是|MN|=3 第10页, 共13页第10页, 共13页 21.21.【2021全国卷21】 一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来, 设一个这种微生物为第0代, 经过一次 繁殖后

    27、为第 1代, 再经过一次繁殖后为第 2代, , 该微生物每代繁殖的个数是相互独 立的且有相同的分布列, 设X 表示1个微生物个体繁殖下一代的个数, P(X =i)=pi(i=0, 1, 2, 3) (1)已知p0=0.4, p1=0.3, p2=0.2, p3=0.1, 求E(X); (2)设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率, p是关于x的方程: p0+p1x+p2x2+p3x3=x的一个最小正实根, 求证: 当E(X)1时, p=1, 当E(X)1时, p1; (3)根据你的理解说明(2)问结论的实际含义 【解析】【解析】 ()解: 由题意, P0=0.4, P1=0.3, P2

    28、=0.2, P3=0.1, 故E(X)=00.4+10.3+20.2+30.1=1; ()证明: 由题意可知, p0+p1+p2+p3=1, 则E(X)=p1+2p2+3p3, 所以p0+p1x+p2x2+p3x3=x, 变形为p0-(1-p1)x+p2x2+p3x3=0, 所以p0+p2x2+p3x3-(p0+p2+p3)x=0, 即p0(1-x)+p2x(x-1)+p3x(x-1)(x+1)=0, 即(x-1)p3x2+(p2+p3)x-p0=0, 令 f(x)=p3x2+(p2+p3)x-p0, 若p30时, 则 f(x)的对称轴为x=- p2+p3 2p3 1时, f(1)0, f(0

    29、)0, 所以 f(x)=0的正实根0 x01, 原方程的最小正 实根p=x01; ()解: 当1个微生物个体繁殖下一代的期望小于等于1时, 这种微生物经过多代繁殖 后临近灭绝; 当1个微生物个体繁殖下一代的期望大于1时, 这种微生物经过多代繁殖后还有继续繁 殖的可能 第11页, 共13页第11页, 共13页 22.22. 【2021全国卷22】 已知函数 f(x)=(x-1)ex-ax2+b (1)讨论 f(x)的单调性; (2)从下面两个条件中选一个, 证明: f(x)恰有一个零点 1 2 2a; 0a0时, f(x)0, 当x0时, f(x)0时, 令 f(x)=0, 可得x=0或x=ln

    30、(2a), (i)当0a0或x0, 当ln(2a)x0时, f(x) 1 2 时, 当xln(2a)时, f(x)0, 当0 xln(2a)时, f(x)0, f(x)在(-,0), (ln(2a), +)上单调递增, 在(0, ln(2a)上单调递减 综上所述: 当a0 时, f(x) 在(-,0)上单调递减; 在(0,+)上 单调递增; 当0a 1 2 时, f(x) 在 (- ,0) 和 (ln(2a), +) 上单调递增; 在 (0, ln(2a) 上单调递 减 (2)证明: 若选, 由 ()知, f(x) 在(-,0)上单调递增, (0, ln(2a) 单调递减, (ln (2a),

    31、 +) 上 f(x) 单调递增 注意到 f - b a = - b a -1 e- b a2a-10 f(x) 在 - b a ,0 上有一个零点; f(ln(2a)=(ln(2a)-1)2a-aln22a+b2aln(2a)-2a-aln22a+2a=aln(2a)(2 -ln(2a), 由 1 2 a e2 2 得00, 当x0 时, f(x) f(ln(2a)0, 此时 f(x) 无零点 综上: f(x) 在R 上仅有一个零点 若选, 则由()知: f(x)在(-, ln(2a) 上单调递增, 在(ln(2a), 0)上单调递减, 在 (0,+) 上单调递增 f(ln(2a)=(ln(2

    32、a)-1)2a-aln22a+b2aln(2a)-2a-aln22a+2a=aln(2a)(2- 第12页, 共13页第12页, 共13页 ln(2a), 0a 1 2 , ln(2a)0, aln(2a)(2-ln(2a)0, f(ln(2a)0, 当x0 时, f(x) f(ln(2a)0 时, f(x) 单调递增, 注意到 f(0)=b-12a-10, 取c=2(1-b)+2, b2a2 1, 又易证ecc+1, f(c)=(c-1)ec-ac2+b(c-1)(c+1)-ac2+b=(1-a)c2+b-1 1 2 c2+b-1 =1-b+1+b-1=10, f(x)在(0,c)上有唯一零点, 即 f(x)在(0,+)上有唯一零点 综上: f(x) 在R 上有唯一零点 第13页, 共13页第13页, 共13页

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