凸性与债券价格非付息期的计算.doc

1、 一一.久期与凸性久期与凸性 1、久期（仅针对分次附息债券久期（仅针对分次附息债券.一次还本债一次还本债.贴现债久期贴现债久期=剩余剩余 期限）期限） （1） 久期含义久期含义：与剩余期不同与剩余期不同，它指债券未来一系列现金流入的它指债券未来一系列现金流入的 平均到期时间平均到期时间，即完全收回本金利息的加权平均年数即完全收回本金利息的加权平均年数。可从期限角可从期限角 度反映债券价格对利率（贴现率）变化反应弹性。简化公式度反映债券价格对利率（贴现率）变化反应弹性。简化公式 （2）Macaulay 久期计算久期计算 D= 1 0 ( ) () T t PV ctt P D D1 1=1=1C

2、C1 1/(1+r)/p/(1+r)/p0 0+2+2CC2 2/(1+r)/(1+r) 2 2/p /p0 0+.+n.+n (C(Cn n+p+pn n)/(1+r)/(1+r) n n/p /p0 0 当每次现金流相同当每次现金流相同,公式简化为公式简化为: D D1 1= = 0 1 1/(1) ()(1) n r c nnr pr r 每年一次现金流每年一次现金流 D D1 1=2=2 2 0 1 1/(1/2) /2 2() 2(1/2) /2 n r c nnr pr r 半年一次现金流半年一次现金流 甲债券甲债券,3 年为期年为期,年息票年息票 80 元元,面值面值 1000

3、元元,到期收益率到期收益率 10%,现现 市价市价 950.24 元元.求久期求久期? D D1 1=1=180/(1+0.1)/950.24+280/(1+0.1)/950.24+280/(1+0.1)80/(1+0.1) 2 2/950.24+3 /950.24+3 (80+1000)/(1+0.1)(80+1000)/(1+0.1) 3 3/950.24 /950.24 =1=10.07660.0766 +2+20.0696+30.0696+3 0.8539=2.780.8539=2.78 年年 （3）修正修正久期久期:D D2 2= = D D1 1/1+r/1+r ( (差异在于差异

4、在于 D D1 1用连续复利用连续复利, , D D2 2用离散复利用离散复利, ,常用后者常用后者) ) (4)Fisherweil 久期久期: D D3 3=1=1 CC1 1/(1+r/(1+r1 1)/p)/p0 0+2+2 CC2 2/(1+r/(1+r1 1)(1+r)(1+r2 2) ) /p/p0 0+.+n.+n (C(Cn n+p+pn n)/(1+r)/(1+r1 1)(1+r)(1+r2 2) )(1+r(1+rn n)/p)/p0 0 ( (差异在于差异在于 r r 随时而变随时而变) ) r r1 1、r r2 2r rn n用期限结构曲线计算。用期限结构曲线计算。

5、 组合组合 D= 1 n ii t W D 1 1 n i t W 其它久期计算其它久期计算: 永久年金债券永久年金债券 D=(1+r)/r)/ r r 固定年金债券固定年金债券 D=(1+r)/rr)/rT/(T/(1+r)r) T T 11 T-T-年金支付次数年金支付次数r-r-年金率年金率 带息债带息债 D=(1+r)/rr)/r(1+r)r)T(cT(cr r) )/c(/c(1+r)r) T T 11rr c-c-每个付息期间息率每个付息期间息率T-T-利息支付次数利息支付次数 债券以面值出售时债券以面值出售时, D=(1+r)/r1r)/r11/(1/(1+r)r) T T 2.

6、久期性质久期性质 1)零息债息债久期零息债息债久期=到期期限到期期限,有息债久期有息债久期到期期限到期期限 2)距到期日时间一定时距到期日时间一定时,息票率越低息票率越低,其久期越长其久期越长, 3)当息票率一定时当息票率一定时, 久期随距到期日时间延长而延长久期随距到期日时间延长而延长 4)其它因素不变其它因素不变, 到期收益率越低到期收益率越低, 其久期越长其久期越长, 3久期与债券价格变化关系久期与债券价格变化关系 D1= 1 r r / P P P P = 1 1 r D r P P = D2r 例例: :乙债券乙债券,D1为10年年,到期收益到期收益率率8%,现市现市价价1000元元

7、.如如r由由8% 上升到上升到 9%,市价为多少市价为多少? P P = 1 1 r D r = 10(0.090.08)/1+0.08 = 9.26% P=10(0.090.08)/1+0.081000=92.6 元元 PP=100092.6 =907.4 元元 4 4债券债券凸性凸性 （1）凸性定义；价格收益曲线弯曲度量值凸性定义；价格收益曲线弯曲度量值 价格价格 实际价格实际价格 PA 凸性凸性 估计价格估计价格 r r收益率收益率 图中切线表示为：图中切线表示为：p(r+p(r+r)=p(r)+(dp/dr)r 因 dp/dr =D2p(r) 故：故：p(r+p(r+r)=p(r)D2

8、p(r)r D2p(r)为曲线的斜率，斜率与修正久期关联。当收为曲线的斜率，斜率与修正久期关联。当收 益率变化很小时，益率变化很小时，实际价格与估计价格差异小，实际价格与估计价格差异小，当收益率变化扩当收益率变化扩 大时，大时，差异变大。且差异变大。且切线永远位于曲线下方（含期权债券例外切线永远位于曲线下方（含期权债券例外） 。 用久期估算的价格是对用久期估算的价格是对实际价格的低估。所以引入凸性提高精确实际价格的低估。所以引入凸性提高精确 度。度。 根据根据泰勒二级展开式得：泰勒二级展开式得： dp=(dp/dr)dr+1/2(d2p/dr2) 对对 P= 1(1 ) n t t CF t

9、r 二次求导得二次求导得: d2p/dr2= 1 (1) 2 (1) n t t t tCF t r :令令 G=(d2p/dr2)/p= 1 (1) 2 (1) n t t t tCF t pr (d2p/dr2)=pGG=(d2p/dr2)/P 所以有所以有: G= (dp+D2pdr)1/2 p(dr)2 dp=D2pdr+1/2 Gp(dr)2 G=债券凸性债券凸性(单位为期间平方单位为期间平方),永远为正值永远为正值. ( (含期权债含期权债 券例外券例外),),式中第二项表示凸性对债券价格估算的修正式中第二项表示凸性对债券价格估算的修正. . 以期间为单位的凸性转换成以年为单位用下

10、式以期间为单位的凸性转换成以年为单位用下式: G(以年为单位以年为单位) = G(以期间为单位以期间为单位,每年每年 m 个期间个期间)/m2 A B 案例案例 1： 10 年后到期，息票率年后到期，息票率 10%的债券，其修正久期为的债券，其修正久期为 7.44，凸，凸 性为性为 68.77，假定利率上升，假定利率上升 0.5%，利用凸性度计算价格变化，利用凸性度计算价格变化 -100 0.5% 7.44+(100 68.77)/2 (0.5%)2=-3.63 价格下降到：价格下降到： 100-3.63=96.37 元元 假定利率下降假定利率下降 0.5% -100 0.5% 7.44+(1

11、00 68.77)/2 (-0.5%)2=3.81 价格上升到：价格上升到： 100+ 3.81=103.81 元元 案例案例 2： 一一个个 5 年到期面值年到期面值为为 1000 元的债券元的债券,每年付每年付息息 8%,计算得知修正计算得知修正 久期久期 为为 8.111 个半年个半年. 凸性为凸性为 80.7 平方半年平方半年. 下表为根据收益率计算的债券实际价格与用久期与凸性估算的下表为根据收益率计算的债券实际价格与用久期与凸性估算的 债券价格债券价格, 考虑凸性后的估算误差显著减少考虑凸性后的估算误差显著减少. 图中图中,债券债券 A 和债券和债券 B 具有同样的到期收益率和久期具

12、有同样的到期收益率和久期,但债但债券券 A 的凸性小于债券的凸性小于债券 B. 当利率升高时当利率升高时 , 投资者在债券投资者在债券 B 上的价格损失少于债券上的价格损失少于债券 A。 而当利率下降时而当利率下降时 , 投资者可从债券投资者可从债券 B 的升值中获得更多的回报。的升值中获得更多的回报。 很明显债券很明显债券 B 的投资价值高于债券的投资价值高于债券 A. 在有效成熟的市场中在有效成熟的市场中 , 凸性的这种价值通常会在债券的定价中凸性的这种价值通常会在债券的定价中 得以反映。通过市场价格机制调节得以反映。通过市场价格机制调节,最后使债券最后使债券 A 与与 B 的价格与收的价

13、格与收 益率趋于平衡益率趋于平衡. 5有效久期与有效凸性有效久期与有效凸性 前面假设债券未来现金流确定前面假设债券未来现金流确定,且现金流不受利率变化影响且现金流不受利率变化影响,但但 含期权债券并不如此含期权债券并不如此.如可赎回债券在利率下降一定点后会被赎回如可赎回债券在利率下降一定点后会被赎回, 未来现金流不确定未来现金流不确定,故要引入有效久期与有效凸性计算故要引入有效久期与有效凸性计算. 1)有效久期有效久期 =V V / 2 V0（ （r） 2)久期效果久期效果 =久期久期r(1%利率变化引起价格变化利率变化引起价格变化%) 其中其中: V0原价格原价格;V 利率下跌后价格 利率下

14、跌后价格; V 利率上升后价格 利率上升后价格 r利率变化利率变化% 3)有效凸性有效凸性 = P P 2 P0/2 P0(r)2 4)凸性效果凸性效果 = 凸性凸性 (r)2 其中其中: P0原价格原价格P 利率下跌后价格 利率下跌后价格P 利率上升后价格 利率上升后价格 (r)2利率变化利率变化%平方平方 （注（注：久期效果正负均可久期效果正负均可，利率下降为正利率下降为正，利率上升为负利率上升为负。无无 期权债券凸性永远为正，含期权债券不定）期权债券凸性永远为正，含期权债券不定）. 5)债券价格变化债券价格变化%=久期效果凸性效果久期效果凸性效果 例例 3: 30 年债券年债券,息票率息

15、票率 10% , 年付息一次年付息一次,面值面值 1000 元元. 初初 始始 r 为为 10% r 下跌下跌 1% , 债券价格假定为债券价格假定为 1027.2 元元, r 上升上升 1% , 债券价格假定为债券价格假定为 977.5 元元, 有效久期有效久期 =V V / 2 V0（ （r） =(1027.2977.5)/210000.01=2.485(年年) 久期效果久期效果 =久期久期r=2.4850.01=0.02485 即即 r 变化变化 1% , 债券价格债券价格变化变化 2.485% 有效凸性有效凸性 = P P 2 P0/2 P0(r)2 =(1027.2977.521000)/210000.012 =23.5 凸性效果凸性效果 = 凸性凸性 (r)2 =23.50.012 =0.00235=0.235% , 债券价格变化债券价格变化%=久期效果凸性效果久期效果凸性效果 =2.485% 0.235% , =2.72% 即即利率变化利率变化 1%,债券价格变化债券价格变化 2.72% 二二. 在非利息支付日债券定价在非利息支付日债券定价