第十章 广义矩法（GMM）.doc

1、1 第十章第十章广义矩法（广义矩法（GMM） 当前 GMM 流行的原因有二： 1GMM 包括许多常用的估计量，并且为比较和评价它们提供了有用的框 架。 2相对其它估计量来说，GMM 提供了一种“简单”的备选方法，特别是 当最大似然估计量难以写出时。 然而，在计量经济学中（如同在生活中一样） ，没有免费的午餐，获得这些 特色需付出代价。 首先，GMM 是大样本估计量。也就是说，只有当样本很大时，才有可能得 到它的良好性质。典型地说，GMM 估计量在大样本中才会渐近有效。而在有限 样本中是很少看到有效的。其次，这些估计量往往需要编写少量程序来实施，尽 管要做到这些，只需稍动脑筋，就能从不明显含有

2、GMM 估计程序的标准统计软 件包里编排出来。 在经济中，有许多这样的情况，经济理论只给出了数据生成的部分信息，密 度函数却不知道。 例如，需求函数 uIpfD),(6.1 需求量是价格与收入的函数，但也受个人偏好的影响，用扰动项u表示个人偏好 的差异，显然u的分布不知道。 知道的信息仅为),( iii IPD， i D的产生过程取决于 i 的分布，写出 i u的分布 很困难，但是能够作一些假定，而且这些假定与经济理论和现实都不相冲突： 0)(PuE即表明偏好与价格无关6.2 0)(IuE偏好与个人收入无关6.3 0)(uE这很容易做到，也合乎情理6.4 具体地， iiiiii uxuPID

3、210 6.5 我们清楚，OLS 估计并没有从这些矩条件出发，而是从残差平方和最小估计 出参数，即 2 min i u。广义矩法（GMM）方法是从上面三个矩条件出发估计出 2 参数。 1GMM 的思想 将 u 代入理论矩条件，有 )()() (0)( 1 xDExxExxEExDxxDE 6.6 三个矩条件并不需要知道数据 i D的生成过程，确切地说，并不需知道 i u的分 布。但是问题是，上面三个理论关系并不能进行实际计算，得出结果，因为计算 期望值仍需要知道随机变量的分布。 但是，我们可以利用“逼近”的思想，即样本均值收敛于理论均值 iiii ii N i i Dxxx xDx N uxE

4、 1 1 ) ( 0) ( 1 0)( 可以证明样本均值是期望的一致性估计。从 的表达式，可见 OLS 方法是 GMM 的一个特例。 再考察工具变量法。 若0)(xuE， OLS 估计得不到一致性估计量。 但能够找到工具 Z， 有0)(uZE， 于是 iiii DZxZ 1 )( 6.7 是的一致性估计量，在此例中， 矩：)(),(xDZxDZM6.8 理论矩条件. 0),(xDZME6.9 推广到一般的情形。 一般的模型中，用 Z 表示我们关注的数据，有 ),(xYZ 6.10 ),(ZM是列向量) 1(m函数，形式已知，),(ZM的表达式对于是可以知 道的，并满足下面的矩约束： 0),(Z

5、ME6.11 任务是去估计列向量 )1( k )(km ，即矩条件（约束）不少于待估参数的个 数。 3 假定0),(ZME，在其值处成立。用样本均值代替期望值： N i i ZM N 1 0) ,( 1 若km 如果km ，则找不到 使 N i i ZM N 1 . 0) ,( 1 引入一个距离来度量) ,(ZM向量与零之间的距离。对于任一个正交矩阵， 有： ),( 1 ),( 1 minarg 11 i N i i N i ZM N ZM N 6.12 这就是 GMM 方法的思想。 10.1矩法矩法 一个有用的起点是所谓的矩法（MOM） ，对此，我们稍后将做一般阐述。本 书的很多内容都集中于

6、讨论矩的问题。尽管你可能还没意识到这个事实，我们将 把总体矩简单地定义为一个随机变量 x 的某个连续函数 g 的数学期望： )(xgE 最常讨论的矩是均值 1 ，其中)(g仅仅是一个恒等函数 )( 1 xE 传统上，MOM 考虑 x 的乘幂。均值 1 有时称为一阶矩，而 )( 2 2 xE 有时称作二阶非中心矩 22 )()()var(xExEx（10.1） 2 12 （10.2） 按照习惯做法，我们将矩的函数，如)var(x也称为矩。 )( 1 xg n （10.3） 类似于均值的样本矩就是： x n 1 1（10.4） 类似地，相当于总体二阶矩的样本矩为： 2 1 1 x n （10.5）

7、 4 现在，我们已经定义了总体矩和样本矩，那么 MOM 是什么呢？MOM 无非是指 下面的一种想法： 为了估计总体矩（或总体矩的一个函数） ，只需使用相应的样本矩（或样本矩的函数） 。 在我们说明为什么这是个好的想法之前，让我们用一个简单的例子来阐述 MOM 估计方法。假如我们想要估计 x 的方差。MOM 的思路是，将（10.1）中 的总体矩用相应的样本矩去代替。于是，方差的 MOM 估计量无非是 2 2 11 )var( x n x n x（10.6） 稍加整理就可以看出，这个估计量和常用的方差估计量相似： 2 2 11 )var( x n x n x（10.7） 2 )( 1 xx n （

8、10.8） 2 )( 1 1 xx n （10.9） 其中（10.9）式就是我们常用的方差的（无偏）估计。另一方面，随着样本增大， 这两个估计量之差趋于零，即：MOM 估计量是一致性的。 或者，我们从总体方差的惯用定义开始，然后直接代之以相应样本矩；即总 体方差是 2 )()var(xExEx（10.10） 样本矩就是 2 )( v 1 xx n xar （10.11） 这里我们用样本的x代替方括号中的xE。下面我们将证明，MOM 原理除了具 有直观性外，也给了了具有良好的大样本性质的估计量。 10.2OLS 作为一个矩问题作为一个矩问题 GMM 的有用性在于：在很多的估计实践中，人们所感兴趣

9、的只是关于矩的 一个函数。为了说明这一点，让我们从一个简单的线性回归着手： Xy（10.12） 其中服从), 0( 2 Q分布，Q 表示某种分布（不一定是正态的） 。的均值于 0，方差为 2 。并且 X 是)(kn矩阵。再假定模型设定正确。于是 0)(XE（10.13） 如何进一步得到的估计量似乎并不明显。但是注意，在总体中 5 0)( XyXE（10.14） MOM 原理是说用样本类似物代替所说矩条件或正交条件的（10.14）式的左 边部分。 )( 1 XyX n （10.15） MOM 程序表明的估计是方程 0) ( 1 XyX n （10.16） 的解。改写（10.16）式，我们看出的

10、MOM 估计为 yXXX MOM )( 1 （10.17） 而且这也恰恰是的 OLS 估计。 10.3工具变量作为一个矩问题工具变量作为一个矩问题 现在我们考虑一个稍难一些的问题。考虑下面的模型： 11 xy（10.18） 这里我们怀疑0)( 1 xE，为使问题清楚，且设 1 x是1n向量。如果情况确实 如此，OLS 就不是一致性的了。正如我们从工具变量的讨论中知道的，一种办 法是找出一些工具变量 Z，它们与 1 x相关而与不相关；即0)(ZE。为了详细 说明这一点，这里有几个例子。 假设y是每小时的工资； 1 x表示退伍军人身份，工具变量 Z 指出生月日。待 检验的假设是：退伍人员是否享有正

11、的差别待遇。也就是说，给定一组与劳动生 产率相关的特性，退伍军人得到的工资要高于非退伍军人。由使用 OLS 而引起 的一个潜在的问题是，在计量经济学家所不能观测的方面，退伍军人和非退伍军 人有所差别。因此，0)( 1 xE，在越南战争中，应征入伍的人是根据他们的出 生日期随机选择的（这个程序称为摸彩入伍） 。因此，对那些在战争时期到了应 征年龄的人来说，他的出生日期就和他成为一名退伍军人的可能性直接相关（但 可设想与工资无关） 。在本例中，出生年月也许是合适的工具变量。 假设y是公司雇佣人数的对数， 1 x是合同规定的工资。有人只想估计劳动的 需求曲线，但问题是雇佣人数和工资是供给和需求共同变

12、化的产物。因此， 0)( 1 xE。由于合同工资事前商定，一个可能的工具变量是非预期通货膨胀。 根据定义，非预期通货膨胀在合同签订时对工会和厂商来说都是未知的，所以它 改变了实际工资。例如，如果通货膨胀出人意料地高，它将降低实际工资，从而 6 雇主会下移他们的劳动力需求曲线。 假定我们已经找到了两个工具变量，用 21,z z表示，再把常数 1 作为其自身的 工具变量包括进来。将它们用矩阵形式表示为 1 1 21 1 zzZ xX 可方便地将模型的参数也进行分块，这就是 1 这个问题的正交性条件是00)(ZE，因而前面的讨论告诉我们，一个优良 的估计将是令样本矩为 0，即 0) ( 1 XyZ

13、n （10.19） 给定我们的 OLS 例子，可以用 yZXZ)( 1 （10.20） 估计出 。但是注意， )(XZ是一个)23( 矩阵，因此它是不可求逆的。当然， 如果模型正确，则对总体来说，方程（10.19）左边的数学期望将等于 0，但是在 一个给定的样本中，这个结论一般不成立。 “问题”是上述矩约束通过) ( )/1 ( XyZn的每一行对唯有的两个参数（ 和 1 ）各施加了一个约束条件，总共施加了三个约束条件。在这种构架下，可以 有几种选择。第一，可以去掉一个方程，也就是去掉一个工具变量。第二，类似 于最小二乘法，在计算时对各个条件的离差均同等对待，务使离差平方和最小。 第三，可以根

14、据每个方程估计的准确程序（由方差度量） ，对方程给予不同的对 待。 通常第一种想法不是最优的（舍弃信息的做法很少会是最优的） 。第二种想 法可以用类似于最小二乘的方法进行求解，即最小化关于 的下式 ) ( 1 ) ( 1 3 XyZ n IXyZ n （10.21） 其中 3 I是一个)33( 的恒等矩阵。因此，这个程序得到了的一致估计，尽管在 这一类估计中，它并不典型地有效。根据汉森（1982 年）的一个结果，这因由 0)(ZE定义的的最优估计量是第三种类型，即 ) ( 1 ) ( 1 min 1 XyZ n VXyZ n （10.22） 其中 1 V是 1 )(/1(var( Zn的一致估

15、计。 在这个公式中， 对估计准确性较差 （方 差较大）的约束条件做的加权比对估计准确度较高（方差较小）的约束条件要小 7 些。在上一种情形中，GMM 估计量其实和我们所熟悉的一个估计量很相似。事 实上，当误差是同方差性和序列不相关时， （10.22）式就变成 2SLS（两阶段最 小二乘法） 。 证明这一点是有指导意义的。因为在最小化一个二次型时，我们需要推导对 的一阶条件，从而得到 0) ( )( 1 XZyZVZX 0 )( )( 11 XZVZXyZVZX )() ( 111 yZVZXXZVZX（10.23） 在误差齐性且序列不相关时，MOM 原理表明 1 V的一个优良估计量不外是 12

16、2 )/( Z Zn。 （学生们应能证明这个结论。 ） 假定可以得到 2 的一个估计，我们对（10.23）式中的项重新整理，得 )()( 111 yZZZZXXZZZZX （10.24） 由观察可知，它恰好就是 2SLS 估计量。从这种意义上讲，2SLS 是工具变量的 特例，而工具变量又是 GMM 的特例。 10.4GMM 和正交性条件和正交性条件 现在我们要转向对 GMM 估计量做更细致的分析。其要义为： 1 “理论”或先验信息给出关于一个总体正交性条件的论断，这个正交性条 件通常表达为0),( XygE，其中)(g是数据),(Xy和参数 的某个连续函 数。 2我们构造对应于总体正交性条件的

17、样本类似物)( m，并对求下式的最 小值： ) ,() ,(XymWXym （10.25） 这里W的最佳选择，如同第 6 章所讨论的怀特协主差矩阵中那样，是 1 )(var m的 一致估计，或如同在时间序列情形中那样，是适当的纽威魏斯特 （Newey-West）协方差矩阵。 3如果最优的W已经选出，则（10.25）式中二次型的最小值渐近服从 2 分 布，其自由度是矩条件的个数R与矩条件成立的零假设下参数的个数k之差。这 个结论非常有用，尤其是对类似于（线性或非线性的）2SLS 或 3SLS 的问题来 说。 第一点所说的，正交性条件非常重要。再次考虑简单的 OLS 模型： 8 Xy（10.26）

18、 然而一个合理的问题是： 需要有多少个变量才足以获得可靠的估计？这个问题并 不容易回答，但是对于大样本，GMM 方法清楚地告诉我们需要满足哪些条件。 尤其是当误差项有 0 均值时，我们可以放弃正态性条件。但是更重要的是矩 条件0)(XE所施加的约束。为了弄清楚它的含义，不妨考虑最经典的估计 设计：对照实验。假如我们找到了一种帮助戒烟的新处理。我们收集一个含有 nm2个吸烟者的样本，并将处理T随机地分派给样本的一半，另一半样本则接 受一种安慰剂即看似治疗而实无疗效的东西。经典的实验设计告诉我们，对 疗效的一个良好的估计，是在实验结束时比较两个组中吸烟人数的比例，或 ct yy 治疗效果 这 里

19、的c和t分 别 指 安 慰 （ 对 照 ） 组 和 处 理 组 ， 且 n j m nj c j ct j t ynyyny 11 )/1 (,)/1 (。显然，我们可将它表示为一个简单的 OLS 回归： xy （10.27） 其中：x是一个虚拟变量，当主体接受处理时，x值为 1；当主体只得到安慰剂 时，x值为 0。类似地，y也是一个标示变量，当主体被治愈时，它取值为 1，否 则值为 0。证明这个例子中的的估计由 ct OLS yy 给出，这个问题当然不满足前面章节中所引入关于标准 OLS 模型的相当严格的 条件。误差当然不是正态的。 （只取四个值：，1，或1） 。 并且，除了治疗，当然还有其

20、他决定吸烟的因素。那么，难道我们对经典实验设 计的信任是一种误解吗？回答是，不。因为即使不是所有有关的变量都包含在模 型之中，经典实验设计能确保这些有关变量和我们右边的变量x不相关。换句话 说 0)( x E 这里的可理解为包含了具有潜在相关但实际上并未被包含在模型中的那些变 量。 我们如此关心随机分派的原因，正是因为将处理随机地分派给主体保证了正 交性条件成立。 为了更清楚地理解这一点，令真实模型为 zxy （10.28） 这里所有的变量都同前，z是某个变量如“抽烟年数” ，所以不妨假定0。如 果令 z ，经典实验设计就等同于做下面的回归 9 xy （10.29） 突出的问题是0)( x E

21、是否成立。 这是评估)0|() 1|(xExE 是否成立的 充分条件，当等式成立时，正交性条件也就成立。如果假定是随机噪声，这就 等价于问)0|() 1|(xzExzE是否成立。即，平均而言，接受处理的人和接 受安慰剂的人是否有相同的烟龄？由于随机方案的本质在于接受或不接受处理 的组之间不存在系统性差异，我们认为对一个设计良好的实验来说，正交性条件 是满足的，从而是无偏的。 假如我们觉得实验做得不够正确，有没有办法来检验x是否真的和误差不相 关呢？在这个简单例子中，不存在这样的检验，因为通过令 x1 X而得到疗 效的估计的样本矩条件 0) ( 1 XyX n 只有一个解，它恰好使得样本矩为 0

22、。换句话说，就是没有可检验的过度识别约 束条件。很快我们将看到，2SLS 的一个优点在于它使我们有可能来检验这样的 约束条件。 10.5GMM 估计量的分布估计量的分布 在转向一些实际应用之前，让我们来推导 GMM 估计量的分布。这个讨论很 有启发性。 假如我们有一个定义良好的矩条件或正交性条件，其表达式： 0),( 0 XygE（10.30） 其中Xy,表示数据， 0 表示使得数学期望为 0 的一组参数的值。然后我们收集 一个随机样本。对一个给定的样本，GMM 估计量不外是下式对参数 求最小值 得到的解 ： ) ,() ,(min XymWXym n （10.31） 其中m),(Xy n n

23、 1 )/1 (g),( ii Xy，W的下标表示它可以是数据的函数。 并假定 n W正定、对称，且依概率收敛于某个仍然对称、正定的矩阵W。只要在 极限中，参数 0 的真实值使（10.31）的值最小，且适当的正则性条件成立，则 由（10.31）得到的估计量就是一致性的。 通过解一阶条件： 10 0) ,( ) ,( XymW Xym n （10.32） 得到。将一阶导数矩阵记为/mG，由于使（10.31）式最小而得到的估计 量是一致性的，所以) ( G依概率收敛于)( 0 G。我们已经假定 n W依概率收敛于 W，所以 WGWGp n )() (lim 0 （10.33） 的分布可以由（10.

24、32）式的一阶条件，在其值 0 的邻域里取) ( g的泰勒 级数迫近而得到。给定某些正则性条件，可以证明 的分布为 )()( ,( 11 0 WGGWGWGWGGN （10.34） 其中，)()( 00 ggE ， 或者由于0),( 0 XygE， 它不外是矩条件的方差。 汉森 （1982） 证明W的最优选择就是 11 00 )()( ggE的异方差 （及自相关） 一致性估计。给定一致性估计 ，就可以得到一个估计值 1 。在这个最优选择 为 n W的特例中， （10.34）变为： )( ,( 11 0 GN （10.35） 学生们可以证实，W的任何其他选择都将使得夫方差矩阵比最优选择的要多出

25、一个正定矩阵。不管使用什么权矩阵，GMM 总是一致性且渐近无偏的。当使用 了正确的权矩阵时，GMM 在由正交性条件所定义的一类估计量中还是渐近有效 的。 10.6应用应用 10.6.1两阶段最小二乘法和过度识别约束条件的检验 GMM 之所以受欢迎，其中一个原因是因为它有一套清楚的程度用以检验来 自明确设定的计量经济学模型的约束条件。主要的例子是 2SLS。 回想一下，由（10.22）式，矩条件0 ) (ZE使我们得到一个 GMM 估计量， 这个估计量是下式： ) ( 1 ) ( 1 min XyZ n WXyZ n n （10.36） 的解。这里我们将例子加以一般化，使Z为)(Ln 矩阵，X为

26、)(kn 矩阵， n W 是)(LL 加权矩阵，且kL 。注意Z和X可能有相同的列。到目前为止，我们 还没有讨论 n W的选择问题，现在我们来讨论它。回想一下， n W的一个优良选择 11 应是矩条件的渐近方差矩阵的逆 1 )(/1var( Zn的一个估计，可以将这个逆阵 记为 12 /1 Z Zn。怎样才能得到它的一致估计呢？看来我们需要 i 的一致估 计，但这又是不可能的，因为 i 的个数与样本数同速增加。幸运的是，尽管 的 维数随n而增加，但 Zn)/1 (的维数却不随n而增加。 这个程序分两步进行： 1首先，产生 的一致估计 c 。这有几种方法可以做到。其中一种方法是 先做普通 2SL

27、S，这等价于在第一阶段用 1 )( Z Z作为 n W。幸运的是，使用任何 正定的加权矩阵，GMM 都能给出一致估计。例如，仅仅选择恒等矩阵（通常当 问题是非线性时才做这种选择） 。 2用已有的估计值 c 计算残并非，本例中它为 c Xyr 。只要观测值是 独立的 （这是在截面数据中常作的典型假定） ， 12 )/1( Z Zn的怀特估计不外是： 1 2 2 1 iiiin rzz n W（10.37） 其中 i z是Z的列。 有了估计值 n W，我们就可回到当初的最小化问题： ) ( 1 ) ( 1 min GMMnGMM XyZ n WXyZ nGMM （10.38） 和（10.24）的推

28、理相同，令 2 i i ii rzzZZ ，得 yZzZZXXZZZZX GMM 111 ) () ( （10.39） 回想一下，由（10.24） ，当误差为同方差性时，GMM 和 2SLS 是等价的。 但当异方差性误差出现时，GMM 估计量通常不同于 2SLS 估计量，且 2SLS 和 GMM 相比，其渐近有效性要差些。 （10.39）中的估计量通常称为广义两阶段最 小二乘估计量（generalized 2SLS estimator） 。 GMM 方法还给出其他一些好的结果。如果kL ， GMM 是过度识别的。也 就是说，矩约束条件的个数 L 大于参数的个数。这时，最小值还是检验这些约束 条

29、件的真实性的一个检验统计量。在这些约束条件都是真实的虚拟假设下， ) ()( ) ( 12 GMM i iiiGMMGMM XyZrzzXyZTest )(kL 22 （10.40） 注意到当误差为同方差性且序列不相关时， （10.40）所定义的检验有非常简 单的形式： 12 2 nRTestGMM（10.41） 这里的检验统计量无非是观测值的个数与 r 对Z回归所得非中心 2 R的乘积， 这里 的回归是 Z r 误差 其中 GMM Xyr 这里有很强的直观性。如果0 ) (ZE，则可以合理地认为工具变量与残差 正交。如果情况确实如此，则回归所得的 2 R将是很小的，从而我们会接受假设： 过度

30、识别约束条件是真实的。 （10.40）中的检验常被误解。它并不是检验是否所 有的工具变量都是“真实”的，而是回答这样一个问题：假定工具变量的一个子 集是真实的且系数是恰好识别的，问“另外”的一些工具变量也是真实的吗？ 我们顺便注意到，即使模型是非线性的，GMM 估计量和相应的检验也有相 同的形式，对一个一般的非线性回归 ),( Xfy（10.42） ) ,( GMM XfyZ 将代替 ) X-(y GMM Z ，并随之算出适当的加权矩阵。 10.6.2重温武豪斯曼检验 和 GMM 检验密切相关的一类设定检验称为豪斯曼，或武豪斯曼，或德 宾武豪斯曼。 考虑一个常用的模型， 121 yy （10.

31、43） 如果0 12 )(yE，我们就知道 GMM 估计量（不外是 OLS 估计量）将给出 的 一致估计。假定现在我们有理由认为， 2 y是内生的，或“被污染了的” ，以致正 交性条件不成立。如果我们有一组和 1 正交的工具变量，我们可以构造 的一 个 2SLS 估计量，无论 2 y是否与 1 相关，这个估计量都是一致性的。但是如果 0 12 )(yE，2SLS 估计量虽然是一致性的，但它的有效性就不及 OLS 了。因 此设计一种检验来评 OLS 是否适宜将是有益的。 豪斯曼（1978）提出下面这个检验： )() () var() (var() (gh SLSOLSOLSSLSSLSOLS 2

32、 2 1 22 （10.44） 其中g表示潜在的内在回归元的个数，在这个例子中，g为 1。豪斯曼（1978） 证明了（10.44）式的中间一项具有如此特别方便的形式，即：2SLS 估计的系数 的协方差矩阵和 OLS 估计的系数的协方差矩阵之差。在这里我们不需要计算两 个估计量之间的协方差。 13 如果这两个估计值的差别很大，我们将拒绝 OLS 的适宜性。正是由于这个 原因，有时把这个检验看成是对 2 y的“内生性”检验。 为了更深入地理解这个检验，让我们考虑一个由（10.43）式和下式 22 Zy（10.45） 构成的两个方程组， 其中Z是工具变量矩阵。 给定我们至今所做的假定， （10.45

33、） 等于将 2 y的方差分解为两个部分。 其中的一部分 Z与 1 y的误差 1 不相关， 另一 部分 2 可能与 1 相关。因此，所提出的检验可视为对0 21 ),cov(是否成立的 检验。 将豪斯曼检验看作一个对比的向量（vector of contrasts）是有帮助的。考虑 一个经典的线性模型。 Xy（10.46） 其中 均值为 0 而方差为 2 ，X是)(kn矩阵，y和 均为)(1n向量。我们要 将这个模型中 的一个估计量，比如 OLS ： yXXX OLS 1 )( （10.47） 和另一个估计量，比如 A ： AyXAXX A 1 )(（10.48） 进行比较。这里的 A 是一个)

34、(nn对称矩阵，它的秩不小于k。我们将用矩阵来 描述 A。 通过计算对比向量进行比较： yAMXAXX yXXXXIAXAXX yXXXAXXAyXAXX yXXXAyXAXX X OLSA 1 11 11 11 )( )()( )()( )()( （10.49） 这里的XXXXIPIM XX 1 )(是我们熟悉的)(nn对称幂等的“残差制 造者” 矩阵， X P是熟悉的 “预测值制造者” 矩阵。 即， 对某一)(ln矩阵Z，XMZ 是X的每一列对诸Z回归得到的)(kn残差矩阵；XPZ是X的每一列对Z回归 后再进行预测而得到的)(kn预测值矩阵。 对A的选择取决于研究者所面临的问题。当 Z P

35、A 时， A 是以Z为工具变 量的 的两阶段最小二乘估计量。对固定效应估计量， D MA ，其中D是截面 单元的虚拟变量集， D M是将数据变换成偏离个人特有均值的离差矩阵。 如果（10.46）的模型正确，则（10.49）中的差值的概率极限为 0。更为重 14 要的是，由于 1 )(AXX是一个)(kk 满秩矩阵，因此，只要有 plim0)( 1 yAMX n X （10.50） 对比向量的概率极限就为零。 比较 OLS 和 2SLS。这时，我们可以将矩阵X分块为 21X X，其中 1 X是由 潜在的内生回归元所组成的)(ln矩阵，且)(kl ，于是 A 矩阵就是 A=PZ。 我们关心的是 p

36、lim0)( 1 yMPX n XZ （10.51） 是否成立。显然， XZM P X 的一些列为 0。通过 1 2 X X Z PX （10.52） 可以看到这一点。这里的 1 X表示以 1 X的列对 Z 回归所得到的预测值向量。由于 X 和 Z 都含有 X2，显然 22 XX ，在本例中，注意到 X M X X 2 1 中对应于 2 x的那些行将等于 0，这是因为以 2 x对X回归得到的残差为 0。 因此我们可以把精力集中于判断 plimyMPX n XZ1 1 =plim0 1 1 yMX n X （10.54） 是否成立，这可以通过对人为回归： 1 XXy 残差（10.55） 中的 进

37、行F检验来实现。 将模型0 记为受约束的模型， 则我们所熟悉的F检 验无非是 )/( / )( gknRSS gRSSRSS H u ur （10.56） 前面我们注意到，豪斯曼检验通常被理解为检验 1 x的各列是否内生，但是， 如果把它理解成检验“内生性”对 的估计是否有显著影响，则更为准确。考虑 豪斯曼检验的一个省略变量的形式便可以很容易地理解后一种解释。和前面一 样，我们从相同的问题着手。但区别在于，我们不是评价 OLS 和 2SLS 的差异， 而是将一个 OLS 估计量同包括了 * Z作为额外回归元的另一个 OLS 估计量进行 比较。这时，对比向量将对由（10.46）式得到的 OLS

38、估计与由 vZXy * （10.57） 15 得到的 的 OLS 估计进行比较。这里 * Z是来自我们的 2SLS 例子的工具变量矩 阵，减去那些已经包含在X中的工具变量。 我们所关心的是，不包含在Z在内的X集的系数是否会因额外变量的加入 而受到影响。 回想一下， 弗里希沃洛弗尔定理使我们能够先求X对 * Z的 回归残差，再求y对这些残差的回归而得到这个模型中 的正确估计。 这样一来，在x将它的预测值)( * XZZZZXPZ 1 “去掉” （通过变换 而消去）后，我们再将y对X回归。完成这个过程的矩阵是 * ZZ PIM ： vXMy Z * （10.58） 由于 * Z M是幂等的，这个模

39、型的 OLS 估计不外是 y 1* )( MZXXMZX augmented （10.59） 显然，现在（10.48）中的A就是 Z M，因此正确的人为回归变为 XMZXy * 残差 XZeXy X * 1 残差（10.60） 其中， * ZeX 1 是 1 X的g个列对Z的回归残差。 在这个人为回归中检验假设0 的 F检验在数值上等价于我们前面用人为回归导出的检验，但那个检验是以 OLS 和 2SLS 的比较为基础的！ （有一道练习题要求你去证明这一点） 。即，从“初始 的 OLS 设定和包含Z作为工具变量的 2SLS 所得 的对比中”得到的检验统计 量与从“初始的 OLS 设定和用 * Z

40、增广的 OLS 设定所得 的对比中”推出的检 验统计量是相同的，虽然在后一种情形中不存在“内生性”的问题。 总之，为了比较 OLS 与 2SLS 而进行豪斯曼检验有三种方法： 1像（10.44）那样，直接计算对比向量。 2用潜在的内生回归元对工具变量做回归，并根据这些回归式计算预测 （10.55）那样，对含有这些新产生的变量（指预测值）的系统进行 OLS 回归， 并检验这些新变量是否显著。 3用潜在的内生回归元对工具变量做回归，并计算回归残差。如同（10.60） 那样，对包含这些新产生的变量（指残差）的系统做 OLS 回归，并检验它们是 否显著。 对于后两种方法的讨论以及推广到其他方面的比较，

41、 参见戴维森和麦金农的 文章。 10.6.3最大似然法 最大似然估计量也可解释为 GMM。回想在第 5 章中，为了使似然值最大， 16 我们令对数似然函数的一阶段导数，/),(lnXL（又称得分）为 0： 0 ln ),( L Xym（10.61） 这个条件无非是一个矩条件。如果我们仍考虑最简单的情形，则描述这个问题的 “GMM 法”就是求 ),(),(min 1 XymHXym 的 解 。 其 中 ， 所 谓 的 加 权 矩 阵 H 无 非 是 矩 条 件 的 方 差 ， 即 ， )/ln( 2 LEH。 在这个最简单的情形中， 是刚才所定义的最小化问题的一阶条件的解。因 此， 必须满足。

42、0 lnln 1 2 L H L （10.62） 而这也是定义 MLE 的方程，因此，可以认为 MLE 是一个 GMM 估计量。 如果情况确实如此，那么为什么一些研究者更偏爱 GMM 而不是 MLE 呢？ 一个原因在于它的可操作性。有时当最大似然估计量难以计算时，我们还有一个 GMM 的估计量，虽然它不如 ML 估计量渐近有效，但仍是一致性的而且容易计 算。第二个原因是，有时我们并不完全明确知道似然函数的数据生成过程，但我 们充分知道如何设定一个 GMM 估计量的矩条件。 10.6.4欧拉方程 为 GMM 所特有的另一个例子就是所谓的欧拉方程法。 欧拉方程是动态最优 问题的一阶条件。GMM 将

43、这些一阶条件视为矩条件。我们将通过一个例子来说 明这一点。假如一个有代表性的消费者有一个对各期消费的效用函数，并欲使 )()1 ( 0 T tt cuE （10.63） 在约束条件 )()1 ( 0 tt T r t crA（10.64） 下为最大，其中 t E=在给定时刻t的信息下的期望 =主观时间偏好率 r=固定的实际利率 T=经济寿命的长度 17 t c=时刻 t 的消费 t =时刻 t 的收入 t A=时刻 t 的资产 霍尔（Hall，1978）注意到这个模型意味着如下形式 )()( ttt cucuE 1 （10.65） 的欧拉方程（一阶条件） ，其中)( u为消费的边际效用，而)/

44、()(r11。表 述（10.65）的一个等价的方法是 11 ttt cucu)()( （10.66） 其中 1 t表示贴现的滞后边际效用与其现值之差。误差项除了均值为 0 以及序列 不相关外，还有几个性质。如果r，除非从时刻t到1t有新的信息到达，否 则边际效用将不改变。因此，边际效用的误差或“新生值”与在时刻 t 及此前到 达的信息不相关。这个条件正是一个正交性条件， 0 1 )()( tttt cucuZE（10.67） 其中 t Z是时刻t及此前的任何信息。如果我们假设效用函数是消费的二次函数 （这意味道着边际效用是消费的线性函数） ，我们可以写出下面的式子： 101 ttt cc（10

45、.68） 难点在于： t Z中包含什么？原则上，我们可以包括时刻t以及此前的任何信息， 这会给我们提供无穷多个工具变量。但在实践上，如要检验 10 期以前水球的总 销售对预测 1t c是否有帮助，却没有什么说服力。我们还可以尝试其它消费理论 所提出的建议。杜森伯里（Duesenberry，1948）提出收入或消费的过去水平（前 1 期及更前期）可能会有影响，因为一旦人们达到其生命周期的某个局部消费顶 峰， 他们宁愿提取存款以维持顶峰消费水平也不愿意消费得更少。 在这种情况下， 收入对预测消费水平可能会有用。 仍考虑效用函数是二次方的情形，我们可以构造如下的Z矩阵： ttt ycZ1 其中 t

46、c， t y是消费和收入。在这个例子中，过度识别约束条件的 GMM 统计量 是 2 d R AR nRSS RSSRSS / （1）（10.69） 其中 R RSS是以 1t c对一个常数以及 t c回归（ “受约束”的模型）的残差平方和， RSSA是用受约束模型的残差对 t y做人为回归的残差平方和。 18 2GMM 的特征 （1）实质上，GMM 估计是对 ),(),(minZMEZME6.13 的逼近，由此可以看出， GMM 具有一致性；即 GMM 是的一致性估计。 （2） GMM 的分布 从一阶条件出发 0) ,( 1 ) ,(1 11 ZM N ZM N N i N i 其中) ( )

47、 ,(1 ),( 1 ) ,( 1 111 N i i N i i N i ZM N ZM N ZM N （中值定理） ，注意： 在与 之间。 代入一阶条件，可解得： 0) ( ) ,(1 ) ,(1 ),( 1 ) ,(1 1111 N i N i N i N i ZM N ZM N ZM N ZM N N i N i N i N i ZM N ZM N ZM N ZM N 11 1 11 ),( 1 ) ,(1 ) ,(1 ) ,(1 6.14 显然， N i ZM N 1 ) ,(1 收敛于 ),( ZM E，记为 B。 注意：上面 Z 的下标 i 皆省略。 根据中心极限定律，不管),(

48、 i ZM服从什么分布，当 N 趋于无穷大时， ),( 1 1 i N i ZM N u 服从正态分布，其均值为零，方差为 ),(),( ),(var( 0 ZMZME ZM 6.15 由此 1 uBBB （因 N i i ZM N 1 ) ,(1 收敛于 B） 而), 0( 0 Nu 19 故 是 u 的线性组合，也服从于正态分布。 令 ),( ZM EB ), 0() (VNN 其中 1 0 1 )()( BBBBBBV 不同的正交矩阵，会得出不同的估计值。通过选择来提高估计值 的有效性 （降低其方差） 。 接下来的问题是如何估计 B。用样本矩逼近总体矩： . 1 ) cov( ) ,()

49、 ,( 1 ) ,(1 1 0 1 V N ZMZM N ZM N B N i N i 6.16 若选择, IGMM 方法即为 OLS 方法。 如何选择呢？最佳的 GMM 估计量所用的为使 V 最小化： 1 0 1 )()( BBBBBBV6.17 如果 1 0 ，则 1 00 )( BBV 但是 0 不知道，如何求 0 ？ 第一步：第一步：设I（单位矩阵） ),( 1 ),( 1 min 11 ZM N ZM N N i N i 是一致估计量，且具有渐近正态性。沿前， ) ,() ,( 1 1 0 ZMZM N N i 第二步：第二步：利用 0 定义距离函数，求极小值得到 ) ,( 1 ),( 1 minarg 1 1 0 1 ZM N ZM N N i N i 6.18 20 ), 0() ( 0 VNN， 0 V的定义同前。