相似三角形专题.docx

1、相似三角形 75 题（含解析）-朱韬老师共享 相似三角形：相似三角形： 填空：填空： 1. 如果一个三角形的三边长为 5、12、13，与其相似的三角形的最长的边为 39， 那么较大的三角形的周长为 ，面积为 2. 如图，在ABC 中，DEBC，AD=2，AE=3，BD=4，则 AC= 3. 五边形 ABCDE五边形 ABCDE，A=120，B=130，C=105， D=85，则E= 4. 如图，在ABC 中，D、E 分别是 AC、AB 边上的点，AED=C，AB=6， AD=4，AC=5，则 AE= 5. 如图，ABC三个顶点的坐标分别为 A（2，2），B（4，0），C（6，4）以原 点为位似

2、中心，将ABC 缩小，位似比为 1：2，则线段 AC 中点 P 变换后对应 点的坐标为 6. 从美学角度来说，人的上身长与下身长之比为黄金比时，可以给人一种协调 的美感某女老师上身长约 61.80cm，下身长约 93.00cm，她要穿约 cm 的高跟鞋才能达到黄金比的美感效果（精确到 0.01cm） 7. 如图，ABC中，AB=AC，A=36，BD 平分ABC 交 AC 于点 D，点D 为 AC 的黄金分割点（ADCD），AC=6，则 CD= 相似三角形 75 题（含解析）-朱韬老师共享 8如图，已知 P 是线段 AB 的黄金分割点，且 PAPB，若 S 表示 PA为一边 1 的正方形的面积，

3、S 表示长是 AB，宽是 PB 的矩形的面积，则 S 21 S （填“”“=”或“”） 2 9如图，ABC 中，P 为 AB 上一点，在下列四个条件中： ACP=B；APC=ACB；AC =APAB；ABCP=APCB，能满足2 APC 与ACB 相似的条件是（ 10如图，在正方形 ABCD 中，E 是 CD 的中点，点 F 在 BC 上，且 FC= BC图 中相似三角形共有（）对 11如图，正方形 ABCD 的边长为 2，AE=EB，MN=1，线段 MN 的两端在 CB，CD 上滑动，当 CM= 角形相似 时，AED 与以 M，N，C 为顶点的三 相似三角形 75 题（含解析）-朱韬老师共享

4、 12如图，C 是 AB 的黄金分割点，BG=AB，以 CA 为边的正方形的面积为 S ， 1 以 BC、BG 为边的矩形的面积为 S ，则 S1S （填 22 “”“”“=”） 13如图，在ABC 中，AB=AC=5，BC=6，点 M 为 BC 的中点，MNAC 于点 N，则 MN 等于（ 14在ABC 中，ACB=90，CDAB 于点 D，则下列说法正确的有 （填序号）ACBC=ABCD；AC =ADDB；BC =BDBA；22 CD =ADDB2 15如图，在 ABCD 中，E、F 分别是 AB、AD 的中点，EF 交 AC 于点 G，则 的值是 16如图，在梯形ABCD 中，ADBC，

5、AC，BD 交于点 O，SAOD：SCOB=1： 9，则 SDOC：SBOC= 相似三角形 75 题（含解析）-朱韬老师共享 17如图，在ABC 中，BC=a若 D ， E 分别是 AB，AC 的中点，则 D E =； 1111 若 D ，E 分别是 D B，E C 的中点，则 D E =若 D E 分别是 221122nn DB，EC 的中点，则 D E 的长是多少（n1，且 n 为整数，结果用含 a， n1n1nn n 的代数式表示）？ 18如图，将ABC 绕顶点 A 顺时针旋转 60后，得到ABC，且 C为 BC 的 中点，则 CD：DB=（ 19如图，在正方形网格中，点 A、B、C、D

6、 都是格点，点 E 是线段 AC 上任 意一点如果 AD=1，那么当 AE= 角形与ABC 相似 时，以点 A、D、E 为顶点的三 20如图，在直角三角形ABC 中（C=90），放置边长分别为3，4，x 的三个 正方形，则 x 的值为（） 21如图， ABCD 中，E、F 分别为 AD、BC 上的点，且 DE=2AE，BF=2FC， 连接BE、AF交于点H，连接DF、CE交于点G，则= 相似三角形 75 题（含解析）-朱韬老师共享 22如图，ABC 是边长为 1 的等边三角形，取BC 边中点 E，作 EDAB 交 AC 于点 D，EFAC 交 AB 于点 F，得到四边形 EDAF，它的面积记做

7、 S ，取 BE 边 1 中点E ， 作E D FB交EF于点D ， E F EF交AB于点F ，得到四边形E D FF ， 11111 11111 它的面积记做 S 照此规律作下去，则 S= 22013 解答：解答： 1已知：如图所示，D 是 AC 上一点，BEAC，AE 分别交 BD，BC 于点 F，G， 1=2则证明 BF =FGEF2 2如图，梯形ABCD 中，ABCD，点F 在 BC 上，连 DF 与 AB 的延长线交于 点 G （1）求证：CDFBGF； （2）当点F是BC的中点时，过F作EFCD交AD于点E，若AB=6cm，EF=4cm， 求 CD 的长 3已知：如图，在ABC

8、中，AB=AC，DEBC，点 F 在边 AC 上，DF 与 BE 相交于点 G，且EDF=ABE 求证：（1）DEFBDE；（2）DGDF=DBEF 相似三角形 75 题（含解析）-朱韬老师共享 4如图，在正方形 ABCD 中，E、F 分别是边 AD、CD 上的点， 连接 EF 并延长交 BC 的延长线于点 G （1）求证：ABEDEF； （2）若正方形的边长为 4，求 BG 的长 5如图，M 为线段 AB 的中点，AE 与 BD 交于点 C，DME=A=B，且DM 交 AC 于 F，ME 交 BC 于 G写出图中的所有相似三角形，并选择一对加以证 明 6如图，在ABC中，C=90，BC=16

9、cm，AC=12cm，点P 从 B 出发沿 BC 以 2cm/s 的速度向 C 移动，点 Q 从 C 出发，以 1cm/s 的速度向 A 移动，若 P、 Q 分别从 B、C 同时出发，设运动时间为 ts，当为何值时，CPQ 与CBA 相似？ 7如图，小明同学用自制的直角三角形纸板 DEF 测量树的高度 AB，他调整自 己的位置，设法使斜边 DF 保持水平，并且边 DE 与点 B 在同一直线上，已知纸 板的两条直角边 DE=40cm，EF=20cm，测得边 DF 离地面的高度 AC=1.5m， CD=8m，求树高 AB 相似三角形 75 题（含解析）-朱韬老师共享 8如图，在梯形 ABCD 中，

10、ADBC，P 是 AB 上一点，PEBC 交 CD 于点 E若 AD=2，BC= ，则点 P 在何处时，PE 把梯形 ABCD 分成两个相似的小梯形？ 9如图，已知线段 AB，P 是 AB 的黄金分割点（AP BP ），点 O 是 AB 的 111 中点，P 是 P 关于点 O 的对称点求证：P B 是 P B 和 P P 的比例中项 2112 10如图，已知 DEBC，EFAB，设 SABC=S，SABC=S ，S=S ，请验证 1ECF2 11如图，在RtABC 中，B=90，AB=1，BC= ，以点C 为圆心，CB 为半 径的弧交 CA 于点 D；以点 A 为圆心，AD 为半径的弧交 A

11、B 于点 E （1）求 AE 的长度； （2）分别以点 A、E 为圆心，AB 长为半径画弧，两弧交于点 F（F 与 C 在 AB 两侧），连接 AF、EF，设 EF 交弧 DE 所在的圆于点 G，连接AG，试猜想EAG 的大小，并说明理由 相似三角形 75 题（含解析）-朱韬老师共享 12如图，在平面直角坐标系中，直线交 x 轴于点 A，交 y 轴于点 B试 在 y 轴上找一点 P，使AOP 与AOB 相似，你能找出几个这样的点（点 P 与点 B 不重合）？分别求出对应 AP 的长度 13如图，已知ABC中，AB=5，BC=3，AC=4，PQAB，点P 在 AC 上（与 点 A，C 不重合），

12、点 Q 在 BC 上 （1）CPQ 的边 PQ 上的高为 时，求CPQ 的周长； （2）当CPQ 的周长与四边形 PABQ的周长相等时，求 CP 的长 14阅读下面的短文，并解答下列问题： 我们把相似形的概念推广到空间：如果两个几何体大小不一定相等，但形状完全 相同，就把它们叫做相似体 如图，甲、乙是两个不同的正方体，正方体都是相似体，它们的一切对应线段之 比都等于相似比（a：b） 设 S、S分别表示这两个正方体的表面积，则 甲乙 又设 V、V分别表示这两个正方体的体积，则 甲乙 （1）下列几何体中，一定属于相似体的是（A） A两个球体 B两个锥体 C两个圆柱体 D两个长方体 （2）请归纳出相

13、似体的三条主要性质： 相似体的一切对应线段（或弧）长的比等于； 相似体表面积的比等于 相似体体积比等于 ； （3）假定在完全正常发育的条件下，不同时期的同一人的人体是相似体，一个 小朋友上幼儿园时身高为 1.1 米，体重为 18 千克，到了初三时，身高为 1.65 米，问他的体重是多少？（不考虑不同时期人体平均密度的变化） 相似三角形 75 题（含解析）-朱韬老师共享 15ABC中，C=90，A=60，AC=2cm长为1cm 的线段 MN 在ABC 的边AB上沿AB方向以 1cm/s的速度向点 B运动（运动前点M与点A重合）过 M，N 分别作 AB 的垂线交直角边于 P，Q 两点，线段 MN

14、运动的时间为 ts （1）若AMP 的面积为 y，写出 y 与 t 的函数关系式（写出自变量 t 的取值范 围）； （2）线段 MN 运动过程中，四边形 MNQP 有可能成为矩形吗？若有可能，求 出此时 t 的值；若不可能，说明理由； （3）t 为何值时，以 C，P，Q 为顶点的三角形与ABC 相似？ 16定义：若某个图形可分割为若干个都与他相似的图形，则称这个图形是自 相似图形 探究： （1）如图甲，已知ABC 中C=90，你能把ABC 分割成 2 个与它自己相似的 小直角三角形吗？若能，请在图甲中画出分割线，并说明理由 （2）一般地，“任意三角形都是自相似图形”，只要顺次连接三角形各边中点

15、， 则可将原三分割为四个都与它自己相似的小三角形我们把DEF（图乙）第一 次顺次连接各边中点所进行的分割，称为 1 阶分割（如图 1）；把 1 阶分割得出 的 4 个三角形再分别顺次连接它的各边中点所进行的分割，称为 2 阶分割（如 图 2）依次规则操作下去n 阶分割后得到的每一个小三角形都是全等三角形 （n 为正整数），设此时小三角形的面积为 S N 若DEF 的面积为 10000，当 n 为何值时，2S 3？（请用计算器进行探 n 索，要求至少写出三次的尝试估算过程） 当 n1 时，请写出一个反映 S，S ，S之间关系的等式（不必证明） n1nn+1 相似三角形 75 题（含解析）-朱韬老

16、师共享 17如图，分别以直角三角形 ABC 三边为直径向外作三个半圆，其面积分别 用 S ，S ，S 表示，则不难证明 S =S +S 123123 （1）如图，分别以直角三角形 ABC 三边为边向外作三个正方形，其面积分别 用 S ，S ，S 表示，那么 S ，S ，S 之间有什么关系；（不必证明） 123123 （2）如图，分别以直角三角形 ABC 三边为边向外作三个正三角形，其面积分 别用 S 、S 、S 表示，请你确定 S ，S ，S 之间的关系并加以证明； 123123 （3）若分别以直角三角形 ABC 三边为边向外作三个一般三角形，其面积分别用 S ，S ，S 表示，为使 S ，S

17、 ，S 之间仍具有与（2）相同的关系，所作三角形 123123 应满足什么条件证明你的结论； （4）类比（1），（2），（3）的结论，请你总结出一个更具一般意义的结论 18为了加强视力保护意识，欢欢想在书房里挂一张测试距离为 5m 的视力表， 但两面墙的距离只有 3m在一次课题学习课上，欢欢向全班同学征集“解决空 间过小，如何放置视力表问题”的方案，其中甲、乙两位同学设计方案新颖，构 思巧妙 相似三角形 75 题（含解析）-朱韬老师共享 （1）甲生的方案：如图，根据测试距离为 5m 的大视力表制作一个测试距离 为 3m 的小视力表如果大视力表中“E”的高是 3.5cm，那么小视力表中相应 “E

18、”的高是多少？ （2）乙生的方案：使用平面镜来解决房间小的问题如图，若使墙面镜子能 呈现完整的视力表，由平面镜成像原理，作出了光路图，其中视力表 AB 的上、 下边沿 A，B 发出的光线经平面镜 MM的上下边沿反射后射人人眼 C 处如果 视力表的全长为 0.8m，请计算出镜长至少为多少米 19在直角边分别为5cm 和 12cm 的直角三角形中作菱形，使菱形的一个内角 恰好是三角形的一个角，其余顶点都在三角形的边上，求所作菱形的边长 20如图 1，点 C 将线段 AB 分成两部分，如果，那么称点 C 为线段 AB 的黄金分割点某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割 线”，类似地

19、给出“黄金分割线”的定义：直线l 将一个面积为 S 的图形分成两 部分，这两部分的面积分别为S ，S ，如果，那么称直线l 为该图形的黄 12 金分割线 （1）研究小组猜想：在ABC 中，若点 D 为 AB 边上的黄金分割点（如图 2） ， 则直线 CD 是ABC 的黄金分割线你认为对吗？为什么？ （2）请你说明：三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线？ （3）研究小组在进一步探究中发现：过点 C 任作一条直线交 AB 于点 E，再过 点 D 作直线 DFCE，交 AC 于点 F，连接 EF（如图 3），则直线 EF 也是ABC 的黄金分割线请你说明理由 （4）如图4，点E是平行四边形ABC

20、D的边AB的黄金分割点，过点E作EFAD， 交 DC 于点 F，显然直线 EF 是平行四边形 ABCD 的黄金分割线请你画一条平 行四边形ABCD的黄金分割线，使它不经过平行四边形ABCD各边黄金分割点 21如图，已知线段 ABCD，AD 与 BC 相交于点 K，E 是线段 AD 上一动点 （1）若 BK= KC，求的值； （2）连接 BE，若 BE 平分ABC，则当 AE= AD 时，猜想线段 AB、BC、CD 三者之间有怎样的等量关系？请写出你的结论并予以证明再探究：当 AE= AD 相似三角形 75 题（含解析）-朱韬老师共享 （n2），而其余条件不变时，线段 AB、BC、CD 三者之间

21、又有怎样的等量关 系？请直接写出你的结论，不必证明 22如图，已知ABC 是面积为的等边三角形，ABCADE，AB=2AD， BAD=45，AC 与 DE 相交于点 F，则AEF的面积等于 留根号） （结果保 23如图，已知ABCA B C ，相似比为 k（k1），且ABC 的三边长分别 111 为 a、b、c（abc），A B C 的三边长分别为 a 、b 、c 111111 （1）若 c=a ，求证：a=kc； 1 （2）若 c=a ，试给出符合条件的一对ABC 和A B C ，使得 a、b、c 和 a 、 11111 b 、c 都是正整数，并加以说明； 11 （3）若 b=a ，c=b

22、，是否存在ABC 和A B C 使得 k=2？请说明理由 11111 24在左图的方格纸中有一个 RtABC（A、B、C 三点均为格点），C=90 （1）请你画出将 RtABC 绕点 C 顺时针旋转 90后所得到的 RtABC，其中 A、B 的对应点分别是 A、B（不必写画法）； （2）设（1）中 AB 的延长线与 AB相交于 D 点，方格纸中每一个小正方形的 边长为 1，试求 BD 的长（精确到 0.1） 相似三角形 75 题（含解析）-朱韬老师共享 25如图，已知：在 RtABC 中，ACB=90，sinB= ， D 是 BC 上一点，DEAB， 垂足为 E，CD=DE，AC+CD=9求

23、BC 的长 26如图，在ABC 中，AB=AC=1，点 D，E 在直线 BC 上运动设 BD=x， CE=y （1）如果BAC=30，DAE=105，试确定 y 与 x 之间的函数关系式； （2）如果BAC=，DAE=，当 ， 满足怎样的关系时，（1）中 y 与 x 之 间的函数关系式还成立？试说明理由 27如图，在平行四边形 ABCD 中，过点 B 作 BECD 于 E，F 为 AE 上一点， 且BFE=C （1）求证：ABFEAD； （2）若 AB=5，AD=3，BAE=30，求 BF 的长 28如图，AB 与 CD 相交于 E，AE=EB，CE=ED，D 为线段 FB 的中点，CF 与

24、AB 交于点 G，若 CF=15cm，求 GF 之长 相似三角形 75 题（含解析）-朱韬老师共享 29如图，AFCE，垂足为点 O，AO=CO=2，EO=FO=1 （1）求证：点 F 为 BC 的中点； （2）求四边形 BEOF 的面积 30 E、F 为平行四边形 ABCD 的对角线 DB 上三等分点，连 AE 并延长交 DC 于 P，连 PF 并延长交 AB 于 Q，如图 （1）在备用图中，画出满足上述条件的图形，记为图，试用刻度尺在图、 中量得 AQ、BQ 的长度，估计 AQ、BQ 间的关系，并填入下表：（长度单位： cm） AQ 长度BQ 长度AQ、BQ 间的关系 由上表可猜测 AQ、

25、BQ 间的关系是 AQ=3QB； （2）上述（1）中的猜测 AQ、BQ 间的关系成立吗？为什么？ （3）若将平行四边形ABCD 改为梯形（ABCD）其他条件不变，此时（1）中 猜测 AQ、BQ 间的关系是否成立？（不必说明理由） 31如图，在平面直角坐标系中，点 A 在 x 轴负半轴上，点 B 的坐标是（0，2）， 过点 B 作 BCAB 交 x 轴于点 C，过点 C 作 CDBC 交 y 轴于点 D，过点 D 作 DECD 交 x 轴于点 E，过点 E 作 EFDE 交 y 轴于点 F，若 EA=3AC （1）求证：CBAEDC； 相似三角形 75 题（含解析）-朱韬老师共享 （2）请写出点

26、 A，点 C 的坐标（解答过程可不写）； （3）求出线段 EF 的长 32如图，在ABC 中，点 D，E，Q 分别在 AB，AC，BC 上，且 DEBC， AQ 交 DE 于点 P求证：； 如图，在ABC中，BAC=90，正方形DEFG 的四个顶点在ABC 的边 上，连结 AG，AF，分别交 DE 于 M，N 两点 （1）如图，若 AB=AC=1，直接写出 MN 的长； （2）如图，探究 DM，MN，EN 之间的关系，并说明理由 33如图，在平面直角坐标系中，已知 OA=12 厘米，OB=6 厘米点 P 从点 O 开始沿 OA 边向点 A 以 1 厘米/秒的速度移动；点 Q 从点 B 开始沿

27、BO 边向 点 O 以 1 厘米/秒的速度移动如果 P、Q 同时出发，用 t（秒）表示移动的时 间（0t6），那么 （1）设POQ 的面积为 y，求 y 关于 t 的函数解析式； （2）当POQ 的面积最大时，将POQ 沿直线 PQ 翻折后得到PCQ，试判断 点 C 是否落在直线 AB 上，并说明理由； （3）当 t 为何值时，POQ 与AOB 相似 相似三角形 75 题（含解析）-朱韬老师共享 34已知ABC 是等腰直角三角形，A=90，D 是腰 AC 上的一个动点，过 C 作 CE 垂直于 BD 或 BD 的延长线，垂足为 E，如图 （1）若 BD 是 AC 的中线，求的值； （2）若 B

28、D 是ABC 的角平分线，求的值； （3）结合（1）、（2），试推断的取值范围（直接写出结论，不必证明），并探 究的值能小于 吗？若能，求出满足条件的 D 点的位置；若不能，说明理由 35已知抛物线 y=ax +bx1 经过点 A（1，0）、B（m，0）（m0），且 与 y 轴交于点 C （1）求 a、b 的值（用含 m 的式子表示）； （2）如图所示，M 过 A、B、C 三点，求阴影部分扇形的面积 S（用含 m 的 式子表示）； （3）在 x 轴上方，若抛物线上存在点 P，使得以 A、B、P 为顶点的三角形与ABC 相似，求 m 的值 36如图，点 D，E 分别在ABC 的边 BC，BA 上

29、，四边形 CDEF 是等腰梯形， EFCDEF 与 AC 交于点 G，且BDE=A （1）试问：ABFG=CFCA 成立吗？说明理由； （2）若 BD=FC，求证：ABC 是等腰三角形 相似三角形 75 题（含解析）-朱韬老师共享 37如图，在ABCD 中，AE、BF 分别平分DAB 和ABC，交CD 于点 E、F， AE、BF 相交于点 M （1）试说明：AEBF； （2）判断线段 DF 与 CE 的大小关系，并予以说明 38如图、在ABCD 中，BAD、ABC 的平分线 AF、BG 分别与线段 CD 两侧的延长线（或线段 CD）相交于点 F、G，AF 与 BG 相交于点 E （1）在图中，

30、求证：AFBG，DF=CG； （2）在图中，仍有（1）中的 AFBG、DF=CG若 AB=10，AD=6，BG=4， 求 FG 和 AF 的长 39已知，如图，AD 为 RtABC 斜边 BC 上的高，点 E 为 DA 延长线上一点， 连接 BE，过点 C 作 CFBE 于点 F，交 AB、AD 于 M、N 两点 （1）若线段 AM、AN 的长是关于 x 的一元二次方程x 2mx+n mn+ m =0222 的两个实数根，求证：AM=AN； （2）若 AN=，DN= ，求 DE 的长； （3）若在（1）的条件下，SAMN：SABE=9：64，且线段 BF 与 EF 的长是关于 y 的一元二次方

31、程 5y 16ky+10k +5=0 的两个实数根，求 BC 的长22 相似三角形 75 题（含解析）-朱韬老师共享 40把两块全等的直角三角形 ABC 和 DEF 叠放在一起，使三角板 DEF 的锐角 顶点D与三角板ABC的斜边中点O重合，其中ABC=DEF=90，C=F=45， AB=DE=4，把三角板 ABC 固定不动，让三角板 DEF 绕点 O 旋转，设射线 DE 与射线 AB 相交于点 P，射线 DF 与线段 BC 相交于点 Q （1）如图 1，当射线 DF 经过点 B，即点 Q 与点 B 重合时，易证APDCDQ此 时，APCQ=； （2）将三角板 DEF 由图 1 所示的位置绕点

32、 O 沿逆时针方向旋转，设旋转角为 其中 090，问 APCQ 的值是否改变？说明你的理由； （3）在（2）的条件下，设CQ=x，两块三角板重叠面积为 y，求 y 与 x 的函数 关系式（图 2，图 3 供解题用） 41（）如图1，点P 在平行四边形 ABCD 的对角线 BD 上，一直线过点P 分 别交 BA，BC 的延长线于点 Q，S，交 AD，CD 于点 R，T求证：PQPR=PSPT； （）如图2，图3，当点P 在平行四边形 ABCD 的对角线 BD 或 DB 的延长线 上时，PQPR=PSPT是否仍然成立？若成立，试给出证明；若不成立，试说明 理由（要求仅以图 2 为例进行证明或说明）

33、； （）如图 4，ABCD 为正方形，A，E，F，G 四点在同一条直线上，并且 AE=6cm， EF=4cm，试以（）所得结论为依据，求线段 FG 的长度 相似三角形 75 题（含解析）-朱韬老师共享 42取一副三角板按图拼接，固定三角板 ADC，将三角板 ABC 绕点 A 依顺 时针方向旋转一个大小为 的角（045）得到ABC，如图所示 试问： （1）当 为多少度时，能使得图中 ABDC； （2）当旋转至图位置，此时又为多少度图中你能找出哪几对相似三角形， 并求其中一对的相似比； （3）连接BD，当045时，探寻DBC+CAC+BDC值的大小变化情 况，并给出你的证明 43如图 1，在直角梯

34、形 ABCD 中，ADBC，顶点 D，C 分别在 AM，BN 上 运动（点 D 不与 A 重合，点 C 不与 B 重合），E 是 AB 上的动点（点 E 不与 A， B 重合），在运动过程中始终保持 DECE，且 AD+DE=AB=a （1）求证：ADEBEC； 相似三角形 75 题（含解析）-朱韬老师共享 （2）当点 E 为 AB 边的中点时（如图 2），求证：AD+BC=CD；DE，CE 分别平分ADC，BCD； （3）设 AE=m，请探究：BEC 的周长是否与 m 值有关，若有关请用含 m 的 代数式表示BEC 的周长；若无关请说明理由 44如图，ABC中，BAC=90，AB=AC=1，

35、点 D 是 BC 上一个动点（不与 B、C 重合），在 AC 上取 E 点，使ADE=45 度 （1）求证：ABDDCE； （2）设 BD=x，AE=y，求 y 关于 x 的函数关系式； （3）当：ADE 是等腰三角形时，求 AE 的长 45等腰ABC，AB=AC=8，BAC=120，P 为 BC 的中点，小慧拿着含 30 角的透明三角板，使 30角的顶点落在点 P，三角板绕 P 点旋转 （1）如图 a，当三角板的两边分别交 AB、AC 于点 E、F 时求证：BPECFP； （2）操作：将三角板绕点 P 旋转到图 b 情形时，三角板的两边分别交 BA 的延 长线、边 AC 于点 E、F 探究

36、1：BPE 与CFP 还相似吗？（只需写出结论） 探究 2：连接 EF，BPE 与PFE 是否相似？请说明理由； 设 EF=m，EPF 的面积为 S，试用 m 的代数式表示 S 46如图：在平行四边形 ABCD 中，E 是 AD 上的一点求证： 相似三角形 75 题（含解析）-朱韬老师共享 47（1）如图 1 所示，在等边ABC 中，点 D 是 AB 边上的动点，以 CD 为一 边，向上作等边EDC，连接 AE，求证：AEBC； （2）如图 2 所示，将（1）中等边ABC 的形状改成以 BC 为底边的等腰三角形， 所作EDC 相似于ABC，请问仍有 AEBC？证明你的结论 48如图，ABC 内

37、接于O，直径 CDAB，垂足为 E，弦 BF 交 CD 于点 M， 交 AC 于点 N，且 BF=AC，连接 AD、AM 求证：（1）ACMBCM； （2）ADBE=DEBC； （3）BM =MNMF 49操作：在ABC 中，AC=BC=2，C=90，将一块等腰直角三角板的直角 顶点放在斜边 AB 的中点 P 处，将三角板绕点 P 旋转，三角板的两直角边分别交 射线 AC、CB 于 D、E 两点图 1，2，3 是旋转三角板得到的图形中的 3 种情 况 研究： （1）三角板绕点 P 旋转，观察线段 PD 和 PE 之间有什么数量关系，并结合图 2 加以证明； （2）三角板绕点 P 旋转，PBE

38、是否能成为等腰三角形？若能，指出所有情况 （即写出PBE 为等腰三角形时 CE 的长）；若不能，请说明理由； 相似三角形 75 题（含解析）-朱韬老师共享 （3）若将三角板的直角顶点放在斜边 AB 上的 M 处，且 AM：MB=1：3，和 前面一样操作，试问线段 MD 和 ME 之间有什么数量关系？并结合图 4 加以证 明 50如图，矩形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，E、F 分别是 OA、OB 的中点 （1）求证：ADEBCF； （2）若 AD=4cm，AB=8cm，求 CF 的长 51如图，在直角梯形 ABCD 中，ABDC，ABC=90，AB=2DC，对角线 ACBD，垂

39、足为 F，过点 F 作 EFAB，交 AD 于点 E，CF=4cm （1）求证：四边形 ABFE 是等腰梯形； （2）求 AE 的长 52如图，用三个全等的菱形 ABGH、BCFG、CDEF 拼成平行四边形 ADEH， 连接 AE 与 BG、CF 分别交于 P、Q， （1）若 AB=6，求线段 BP 的长； （2）观察图形，是否有三角形与ACQ全等？并证明你的结论 相似三角形 75 题（含解析）-朱韬老师共享 53已知点 E、F 在ABC 的边 AB 所在的直线上，且 AE=BF，FHEGAC， FH、EG 分别交边 BC 所在的直线于点 H、G （1）如图 1，如果点 E、F 在边 AB 上

40、，那么 EG+FH=AC； （2）如图 2，如果点 E 在边 AB 上，点 F 在 AB 的延长线上，那么线段 EG、FH、 AC 的长度关系是 （3）如图 3，如果点 E 在 AB 的反向延长线上，点 F 在 AB 的延长线上，那么 线段 EG、FH、AC 的长度关系是 对（1）（2）（3）三种情况的结论，请任选一个给予证明 相似三角形 75 题（含解析）-解析 解析：解析： 填空：填空： 1解：设较大三角形的其他两边长为 a，b 由相似三角形的对应边比相等 解得：a=15，b=36， 则较大三角形的周长为 90，面积为 270 故较大三角形的周长为 90，面积为 270 2解：DEBC，

41、AD=2，AE=3，BD=4， E=540ABCD=100， 故答案为：100 4解：在AED 和ACB 中， A=A，AED=C， AEDACB ， ， AE= 故答案为： 相似三角形 75 题（含解析）-解析 5解：如图，A（2，2），C（6，4），点 P 的坐标为（4，3）， 以原点为位似中心将ABC 缩小位似比为 1：2， 线段 AC 的中点 P 变换后的对应点的坐标为（2， ）或（2， ） 故答案为：（2， ）或（2， ） 6解：设她要穿约 xcm 的高跟鞋才能达到黄金比的美感效果根据题意， = 7解：点 D 为 AC 的黄金分割点（ADCD）， AC CD=ACAD=6（33）=9

42、3 故答案为 93 2 又S 表示PA为一边的正方形的面积，S 表示长是AB，宽是PB的矩形的面积， 12 S =PA ，S =PBAB，S =S 2 1212 故答案为：= 9解：A=AACP=B，APC=ACB 时都相似； AC =APABAC：AB=AP：AC2 相似； 此两个对应边的夹角不是A，所以不相似 所以能满足APC 与ACB 相似的条件是 相似三角形 75 题（含解析）-解析 10解：图中相似三角形共有 3 对理由如下： 四边形 ABCD 是正方形，D=C=90，AD=DC=CB， DE=CE，FC= BC，DE：CF=AD：EC=2：1， ADEECF，AE：EF=AD：EC

43、，DAE=CEF，AE：EF=AD：DE， 即 AD：AE=DE：EF， DAE+AED=90，CEF+AED=90， AEF=90，D=AEF，ADEAEF，AEFADEECF， 即ADEECF，ADEAEF，AEFECF 11. 解：设 CM 的长为 x 在 RtMNC 中 MN=1，NC= RtAEDRtCMN 时， 则 解得 x=（不合题意，舍去）， RtAEDRtCNM 时， 则 即 ， 解得 x=或（不合题意，舍去）， 综上所述，当 CM= 故答案为： 或 时，AED 与以 M，N，C 为顶点的三角形相似 或 相似三角形 75 题（含解析）-解析 12解：由题意得：= 即：S =S

44、 =1 12 13解：连接 AM， AB=AC，点 M 为 BC 中点， AMCM（三线合一），BM=CM， AB=AC=5，BC=6， BM=CM=3， 在 RtABM 中，AB=5，BM=3， 根据勾股定理得：AM= 2 ， 22 故错误，正确 故答案为： 相似三角形 75 题（含解析）-解析 15 ， 解解：在ABC 中、BC=a，若 D 、E 分别是 AB、AC 的中点，根据中位线 11 11 a， a， 221122 332233 根据以上可得：若 Dn、En 分别是 DB、EC 的中点，则 DnEn= n1n1 a，即 D E 的长是a nn 18 B=CAB=30， 相似三角形

45、75 题（含解析）-解析 BC=2CD，BC=BC=4CD，CD：DB=1：3 19 解解：根据题意得：AD=1，AB=3，AC= 当 AE=2或时，以点A、D、E 为顶点的三角形与ABC 相似故答 案为：2或 解解：在 RtABC 中（C=90），放置边长分别 3，4，x 的三个正方形， 答： CEFOMEPFN，OE：PN=OM：PF， EF=x，MO=3，PN=4， OE=x3，PF=x4， （x3）（x4）=12，即 x 4x3x+12=12，2 21 解解：DE=2AE，BF=2FC， 答： BF=2AE，ED=2CF， 即有AHEFHB，CFGEGD， 则= ，同理= SBFH=

46、SABF= S ABCD， 相似三角形 75 题（含解析）-解析 故 S 四边形EHFG=SBCESBFHSCFG= SABCD S ABCD= S ABCD 故答案为： 22 解解：ABC 是边长为 1 的等边三角形， 1 2 n1 n 2012 2013 解答： 解答：BF 是 FG，EF 的比例中项 答： 证明：BEAC， 1=E， =，即 BF =FGEF， 2 2 解（1）证明：梯形 ABCD，ABCD， 答： CDF=G，DCF=GBF，（2 分） CDFBGF（3 分） （2）解：由（1）CDFBGF， 相似三角形 75 题（含解析）-解析 解证明：（1）AB=AC， 答： AB

47、C=ACB， DEBC， （2）由DEFBDE，得 2 ， 2 4 解（1）证明：ABCD 为正方形， 答： AD=AB=DC=BC，A=D=90， AE=ED， ， ， 相似三角形 75 题（含解析）-解析 ， ， 解解：图中的相似三角形有：AMFBGM，DMGDBM，EMFEAM 答： （3 分） AFM=DME+E（外角定理）， DME=A=B（已知）， CP 和 CA 是对应边时，CPQCAB， 所以，=， 综上所述，当 t=4.8 秒或秒时，CPQ 与CBA 相似 7 解 解：在DEF 和DBC 中， DEFDBC， =， 相似三角形 75 题（含解析）-解析 AB=AC+BC=1.

48、5+4=5.5m， 即树高 5.5m 8 解解：PE 把梯形 ABCD 分成两个相似的小梯形， 答： 梯形 ADEP梯形 PECB， ， 解证明：设 AB=2， 111 1 1 1 21 12 2 P B =（3） =146，P BP P =（1）（24）=1422 1212 2 1212 P B 是 P B 和 P P 的比例中项 1212 10 答： 四边形 DBFE 是平行四边形， 相似三角形 75 题（含解析）-解析 即 11 以点 C 为圆心，CB 为半径的弧交 CA 于点 D；以点 A 为圆心，AD 为半 径的弧交 AB 于点 E 解解：当 x=0 时，y=1， 答： 当 y=0

49、时，x=2， AOB=AOP=90，当OA：OB=OP：OA 时，AOP与AOB 相似， 2：1=OP：2， 解得 OP=4， 若AOPAOB，则 AP= 相似三角形 75 题（含解析）-解析 13 解解：（1）AB=5，BC=3，AC=4， 答： BC +AC =AB ，222 AB=5，BC=3，AC=4， CQ= ，CP=1，PQ= ， CPQ 的周长 CQ+CP+PQ= +1+ =3； 相似三角形 75 题（含解析）-解析 答： （2）相似比相似比的平方相似比的立方；（每空（2 分），共 6 分） 解得 x= 15 解解：（1）当点 P 在 AC 上时，AM=t，PM=AMtan60=

50、t 2 当点 P 在 BC 上时，PM=BMtan30=（4t） 2 （2）AC=2，AB=4BN=ABAMMN=4t1=3t QN=BNtan30=（3t） 由条件知，若四边形 MNQP 为矩形，需 PM=QN，即t=（3t）， t= 当 t= s 时，四边形 MNQP 为矩形 （3）由（2）知，当 t= s 时，四边形 MNQP 为矩形，此时 PQAB， 除此之外，当CPQ=B=30时，QPCABC，此时=tan30= =cos60= ，AP=2AM=2tCP=22t （3t） 当s 或 s 时，以 C，P，Q 为顶点的三角形与ABC 相似 相似三角形 75 题（含解析）-解析 16 解解