《高考调研》2022版一轮总复习 数学（新高考） 新课标版作业61.doc

1、专题层级快练专题层级快练(六十一六十一) 1(2021广东七校第二次联考)已知椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0)的离心率为 3 2 ，焦距为 2 3. (1)求椭圆 C 的方程； (2)若斜率为1 2的直线与椭圆 C 交于 P，Q 两点(点 P，Q 均在第一象限)，O 为坐标原点，证 明：直线 OP，PQ，OQ 的斜率依次成等比数列 答案(1)x 2 4 y21(2)证明略 解析(1)由题意，得 c a 3 2 ， 2c2 3， 解得 a2， c 3. 又 b2a2c21， 椭圆 C 的方程为x 2 4 y21. (2)证明：设直线 l 的方程为 y1 2xm，P(x 1，y1)，

2、Q(x2，y2)，由题意知 m0， 由 y1 2xm， x2 4 y21， 消去 y，得 x22mx2(m21)0. 则4m28(m21)4(2m2)0，则 0mb0)，右焦点为 F 2(c，0) 因为AB1B2是直角三角形，且|AB1|AB2|，所以B1AB290，因此|OA|OB2|，可得 bc 2.由 c 2a2b2得 4b2a2b2，故 a25b2，c24b2，所以离心率 ec a 2 5 5 . 在 RtAB1B2中，OAB1B2，故 SAB1B21 2|B 1B2|OA|OB2|OA|c 2bb 2. 由题设条件 SAB1B24 得 b24，所以 a25b220. 因此所求椭圆的标

3、准方程为x 2 20 y2 4 1. (2)由(1)知 B1(2，0)，B2(2，0)由题意知直线 l 的斜率存在且不为 0，故可设直线 l 的方 程为 xmy2.代入椭圆方程并整理得(m25)y24my160. 设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则 y1y2 4m m25， y1y2 16 m25. 又B2P (x12，y1)，B2Q (x22，y2)， 所以B2P B2Q (x12)(x22)y1y2 (my14)(my24)y1y2 (m21)y1y24m(y1y2)16 16（m 21） m25 16m2 m2516 16m 264 m25 . 由 PB2QB2，得B2P B2Q

4、 0，即 16m2640，解得 m2. 所以直线 l 的方程为 x2y20 或 x2y20. 3(2021唐山市摸底考试)已知 F 为抛物线 T：x24y 的焦点，直线 l：ykx2 与 T 相交 于 A，B 两点 (1)若 k1，求|FA|FB|的值； (2)点 C(3，2)，若CFACFB，求直线 l 的方程 答案(1)10(2)3x2y40 解析由已知可得 F(0，1)，设 A x1，x1 2 4 ，B x2，x2 2 4 ， 由 ykx2， x24y， 得 x24kx80， 所以 x1x24k，x1x28. (1)|FA|FB|x1 2 4 1x2 2 4 1（x1x2） 22x1x2

5、 4 24k26. 当 k1 时，|FA|FB|10. (2)由题意可知，FA x1，x 12 4 1 ，FB x2，x 22 4 1 ，FC (3，3) 由CFACFB 得 cosFA ， FCcosFB， FC ，即FA FC |FA |FC| FB FC |FB |FC|， 又|FA|x1 2 4 1，|FB|x2 2 4 1， 所以 3x13 x12 4 1 3 2 x12 4 1 3x23 x22 4 1 3 2 x22 4 1 ，化简并整理得 42(x1x2)x1x20， 即 48k80， 解得 k3 2， 所以直线 l 的方程为 3x2y40. 4(2021太原高三二模)已知直线

6、 l 与抛物线 C：x22py(p0)相交于两个不同的点 A，B， 点 M 是抛物线 C 在点 A，B 处的切线的交点 (1)若直线 l 经过抛物线 C 的焦点 F，求证：FMAB； (2)若点 M 的坐标为(2，2p)，且|AB|4 10， 求抛物线 C 的方程 答案(1)证明略(2)x22y 或 x24y 解析由题意知直线 l 的斜率存在，设直线 l 的斜率为 k，A(x1，y1)，B(x2，y2) (1)证明：由题意可得 F 0，p 2 ， 当 k0 时，直线 l：ykxp 2， 由 ykxp 2， x22py， 得 x22pkxp20， x1x22pk， x1x2p2， 易得抛物线 C

7、 在点 A 处的切线方程为 yy1x1 p (xx1)， 即 yx1 p xx1 2 2p， 在点 B 处的切线方程为 yx2 p xx2 2 2p. 由 yx1 p xx1 2 2p， yx2 p xx2 2 2p， 得 xx1x2 2 pk， yx1x2 2p p 2， M pk，p 2 ， kFMkAB p 2 p 2 pk k1， FMAB. 当 k0 时，直线 l：yp 2，M 0，p 2 ，FMAB. 综上，FMAB. (2)由题意知 k0，设直线 l：ykxm， 由 ykxm， x22py， 得 x22pkx2pm0，4p2k28pm， x1x22pk， x1x22pm， 易得抛

8、物线 C 在点 A 处的切线方程为 yy1x1 p (xx1)， 即 yx1 p xx1 2 2p， 在点 B 处的切线方程为 yx2 p xx2 2 2p， 由 yx1 p xx1 2 2p， yx2 p xx2 2 2p， 得 xx1x2 2 pk2， yx1x2 2p m2p， 满足0， |AB| 1k2|x1x2| 1k2 4k2p28pm4 1k21p24 1 4 p2（1p2） 4 10， 解得 p1 或 p2， 抛物线 C 的方程为 x22y 或 x24y. 5(2021湖北八校第一次联考)已知椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0)过点(2，1)，且离心率 e 3 2 .

9、 (1)求椭圆 C 的方程； (2)已知斜率为1 2的直线 l 与椭圆 C 交于两个不同的点 A，B，点 P 的坐标为(2，1)，设直线 PA 与 PB 的倾斜角分别为，证明：. 答案(1)x 2 8 y 2 2 1(2)证明略 解析(1)由题意得 4 a2 1 b21， e1b 2 a2 3 2 ， 解得 a28， b22， 所以椭圆 C 的方程为x 2 8 y 2 2 1. (2)证明：设直线 l：y1 2xm，联立方程组 y1 2xm， x2 8 y 2 2 1， 消去 y，得 x22mx2m240，4m28m2160，解得2m2. 当 m0 时，直线 l：y1 2x，点 P 在直线 l

10、 上，不满足题意，舍去 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1x22m，x1x22m24， 由题意，易知直线 PA 与 PB 的斜率均存在，所以， 2 . 设直线 PA 与 PB 的斜率分别为 k1，k2， 则 tank1，tank2，要证，即证 tantan()tan，只需证 k1k2 0， 因为 k1y11 x12，k 2y 21 x22， 所以 k1k2y11 x12 y21 x22 （y11） （x22）（y21） （x12） （x12） （x22） ， 又 y11 2x 1m，y21 2x 2m， 所以(y11)(x22)(y21)(x12)(1 2x 1m1)(x22)

11、1 2x 2m1 (x12)x1x2(m 2)(x1x2)4(m1)2m24(m2)(2m)4(m1)0， 所以 k1k20，故. 6 (2020课标全国)已知椭圆 C： x2 25 y2 m21(0m5)的离心率为 15 4 ， A， B 分别为 C 的左、 右顶点 (1)求 C 的方程； (2)若点 P 在 C 上，点 Q 在直线 x6 上，且|BP|BQ|，BPBQ，求APQ 的面积 答案(1)x 2 25 y2 25 16 1(2)5 2 解析(1)C：x 2 25 y2 m21(0m5)，椭圆 C 的焦点在 x 轴上，a5，bm， 根据离心率 ec a 1 b a 2 1 m 5 2

12、 15 4 ， 解得 m5 4或 m 5 4(舍)， C 的方程为：x 2 25 y2 5 4 21，即x 2 25 y2 25 16 1. (2) 根据题意画出图形，如图，过点 P 作 x 轴垂线，垂足为 M，设 x6 与 x 轴交点为 N， |BP|BQ|，BPBQ，PMBQNB90， PBMQBN90，BQNQBN90， PBMBQN， 根据三角形全等条件“AAS” ，可得PMBBNQ， x 2 25 16y2 25 1， B(5，0)， |PM|BN|651， 设 P 点为(xP，yP)， 可得 P 点纵坐标为 yP1，将其代入x 2 25 16y2 25 1， 可得：xP 2 25

13、16 251， 解得：xP3 或 xP3， P 点为(3，1)或(3，1)， 当 P 点为(3，1)时， |MB|532， PMBBNQ， |MB|NQ|2， 可得：Q 点为(6，2)， A(5，0)，Q(6，2)， 可求得直线 AQ 的方程为 2x11y100， 根据点到直线距离公式可得 P 到直线 AQ 的距离为 d|2311110| 22112 |5| 125 5 5 ， 根据两点间距离公式可得： |AQ| （65）2（20）25 5， APQ 面积为1 25 5 5 5 5 2； 当 P 点为(3，1)时， |MB|538， PMBBNQ， |MB|NQ|8， 可得：Q 点为(6，8)， A(5，0)，Q(6，8)， 可求得直线 AQ 的方程为 8x11y400， 根据点到直线距离公式可得 P 到直线 AQ 的距离为 d|8（3）11140| 82112 |5| 185 5 185， 根据两点间距离公式可得： |AQ| （65）2（80）2 185， APQ 面积为1 2 185 5 185 5 2. 综上所述，APQ 面积为5 2.