安徽省蚌埠市田家炳中学2019-2020学年高二下学期开学考试数学（文）试题 Word版含解析.doc

1、高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 1 - 蚌埠田家炳中学蚌埠田家炳中学 20202020 年春季学期开学学业检测年春季学期开学学业检测 高二数学（文科）高二数学（文科） 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 6060 分，在每小题给出的四个选项中，只有分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的. . 1.若复数3zi，则z在复平面内对应的点位于( ) A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【详解】复数在复平面内对应的点是3, 1，在第四

2、象限，故选 D. 2.数列 2,5,11,20，x，47 中的x等于（） A. 28B. 32C. 33D. 27 【答案】B 【解析】 【分析】 通过观察， 得出该数列从第二项起， 后一项与前一项的差分别是 3 的倍数， 由此可求得x的值. 【详解】因为数列的前几项为2,5,11,20, ,47x， 其中521 3,11 52 3,20 113 3 ， 可得204 3x，解得32x ，故选 B. 【点睛】本题主要考查了数列的概念及其应用，其中解答中根据题意发现数列中数字的排布 规律是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题. 3.设a，b，c均为正实数，则三个数 1 a b

3、 ， 1 b c ， 1 c a ( ) A. 都大于 2B. 都小于 2 C. 至少有一个不大于 2D. 至少有一个不小于 2 【答案】D 【解析】 【详解】由题意得 111111 ()()()2226abcabc bcaabc ， 当且仅当1abc时，等号成立， 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 2 - 所以 111 ,abc bca 至少有一个不小于2，故选 D. 4.在线性回归模型ybxae中，下列说法正确的是( ) A.是一次函数； B. 因变量y是由自变量x唯一确定的； C. 因变量y除了受自变量x的影响外，可能还受到其它因素的影响；这些因素会导致随机误 差

4、e 的产生； D. 随机误差 e 是由于计算不准确造成的，可通过精确计算避免随机误差 e 的产生 【答案】C 【解析】 解：线性回归模型ybxae中，方程表示的不是确定性关系，因此不是一次函数A 错 误 选项 B 中，因变量不是由自变量唯一确定的，B 错选项 D 中，随机误差是不能避免的， 只能将误差缩小，但是不能没有误差，因此 D 错 只有选项 C 成立 5.有一段演绎推理：“直线平行于平面,则这条直线平行于平面内所有直线；已知直线b 平 面，直线a 平面，直线b平面，则直线b直线a”的结论是错误的，这是因为 （） A. 大前提错误B. 小前提错误C. 推理形式错误D. 非以上错 误 【答案

5、】A 【解析】 【分析】 当直线平行于平面时，这条直线与平面内的直线平行或者异面，得到答案. 【详解】直线平行于平面，则这条直线平行于平面内所有直线，大前提错误. 当直线平行于平面时，这条直线与平面内的直线平行或者异面. 故选：A . 【点睛】本题考查了演绎推理，意在考查学生的推理能力. 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 3 - 6.把正整数按下图所示的规律排序，则从 2003 到 2005 的箭头方向依次为（ ） A.B.C.D. 【答案】A 【解析】 考点：归纳推理 分析：根据如图所示的排序可以知道每四个数一组循环，所以确定 2005 到 2007 的箭头方向 可以把

6、 2005 除以 4 余数为 1，由此可以确定 2005 的位置和 1 的位置相同，然后就可以确定从 2005 到 2007 的箭头方向 解答：解：1 和 5 的位置相同， 图中排序每四个一组循环， 而 2003 除以 4 的余数为 3， 2005 的位置和 3 的位置相同， 20032005 故选 A 点评：此题主要考查了数字类的变化规律通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应 用发现的规律解决问题是应该具备的基本能力 7.欧拉公式 i ecosisin 把自然对数的底数e，虚数单位i，三角函数cos和sin联 系在一起，充分体现了数学的和谐美，被誉为“数学的天桥”，若复数z满足 i ii

7、ez ， 则z （） A. 1B. 2 2 C. 3 2 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】 由新定义化为复数的代数形式，然后由复数的除法运算求出z后再求模 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 4 - 【详解】由题意 ( 1) cossin1( 1)( 1) i iiiii z eiiiiii 111 222 i i ， 22 112 ( )() 222 z 故选：B 【点睛】本题考查复数的新定义，考查复数的除法运算和求复数的模，解题关键是由新定义 化 i e 为代数形式，然后求解 8.函数( )sin()0,0,0 2 f xAxA 的部分图象如图所示，则下列叙述正

8、 确的是() A. 函数 ( )f x的图象可由sinyAx 的图象向左平移 6 个单位得到 B. 函数 ( )f x的图象关于直线 3 x 对称 C. 函数 ( )f x在区间, 3 3 上是单调递增的 D. 函数 ( )f x图象的对称中心为,0 () 212 k kZ 【答案】D 【解析】 【分析】 根据题意求出解析式，利用正弦函数的对称性及单调性依次判断选项. 【详解】由图象可知A2，f（0）1， f（0）2sin1，且0 2 ， 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 5 - 6 ， f（x）2sin（x 6 ） ， f（ 5 12 ）0 且为单调递减时的零点， 5

9、2 126 k ，kZ Z， 24 2 5 k ，kZ Z， 由图象知 25 2 12 T ， 12 5 ， 又0， 2， f（x）2sin（2x 6 ） ， 函数f（x）的图象可由yAsinx的图象向左平移 12 个单位得， A错， 令 2x 62 k ，kZ Z，对称轴为x 62 k ，则B错， 令 2x, 622 kk ,则x, 3262 kk ，则C错， 令 2x 6 k，kZ Z，则x 212 k ，则D对， 故选：D 【点睛】本题考查三角函数图象及其性质，考查了正弦函数的对称性及单调性，属于中档题 9.若定义运算： () () a ab ab b ab ，例如233，则下列等式可能

10、不成立的是（） A.abbaB.()()abcabc C. 222 ()ababD.()()()cabc ac b(0)c 【答案】C 【解析】 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 6 - 试题分析：运算： () () aab ab bab 的应用是：两数中计算结果为较大者结合平方运算 的意义，所以，不可能成立的是“ 222 ()abab”，如-1 与-2，选 C 考点：本题主要考查新定义，学习理解能力 点评：简单题，关键是理解这种运算的实质“两数中计算结果为较大者” 10.若函数 4 ( )( )2F xf xx是奇函数， 1 ( )( ) 2 x G xf x为偶函数，

11、则 ( 1)f () A. 5 2 B. 5 4 C. 5 4 D. 5 2 【答案】C 【解析】 【分析】 根据题意，可得f（1）+f（1）4，及 3 11 2 ff，两式联立即可求得f（1） 【详解】函数F（x）f（x）2x 4是奇函数， F（1）+F（1）0，即f（1）2+f（1）20，则f（1）+f（1）4， 1 ( ) 2 x G xfx为偶函数， G（1）G（1） ，即 1 112 2 ff，则 3 11 2 ff， 由解得， 3 4 5 2 1 24 f 故选：C 【点睛】本题考查函数奇偶性的运用，考查函数值的求解，根据奇偶性的定义建立关于f（1） ， f（1）的方程组是解题关键

12、，属于基础题 11.九章算术中“勾股容方”问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”魏晋 时期数学家刘徽在其 九章算术注 中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法： 如图 1， 用对角线将长和宽分别为b和a的矩形分成两个直角三角形， 每个直角三角形再分成一个内接 正方形（黄）和两个小直角三角形（朱、青） 将三种颜色的图形进行重组，得到如图 2 所示 的矩形该矩形长为a b，宽为内接正方形的边长d由刘徽构造的图形还可以得到许多重 要的结论，如图 3设D为斜边BC的中点，作直角三角形ABC的内接正方形对角线AE， 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 7 - 过点A作AF

13、BC于点F，则下列推理正确的是（） 由图 1 和图 2 面积相等得 ab d ab ； 由AEAF可得 22 22 abab ； 由ADAE可得 22 2 11 2 ab ab ； 由ADAF可得 22 2abab A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据图形进行计算 【详解】由面积相等得()abab d， ab d ab ，正确； 在图 3 中，由三角形面积得 22 ab AF ab ，又 2 2 ab AEd ab ， 由AEAF得 22 2abab ab ab ，所以 22 22 abab ，正确； 22 1 2 ADab， 由ADAE得 22 12 2 ab ab

14、ab ， 所以 22 22 11 2 abab ab ab ， 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 8 - 正确； 由由ADAF得 22 22 1 2 ab ab ab ，所以 22 2abab ，正确 四个推理都正确 故选：A 【点睛】本题考查推理，通过构造几何图形推导出基本不等式及其推论本题考查数学文化， 激发学生的学习积极性 12.已知双曲线 22 22 :10,0 xy Cab ab 的左、 右焦点分别为 12, FF O、为坐标原点， 点P 是双曲线在第一象限内的点，直线 2 ,PO PF分别交双曲线C的左、右支于另一点,M N，若 12 2PFPF，且 2 12

15、0MF N ，则双曲线的离心率为（） A. 2 2 3 B. 7 C. 3 D. 2 【答案】B 【解析】 【详解】由题意可设 2 ,60OPOMMF P ，故四边形 12 PFMF是平行四边形，且 21 ,OPOMMFPF由双曲线的定义可得： 212 2 ,4PFa PFMFa，由余弦定 理可得 222222 1 4|4162 2420812 2 POaaaaaaa ， 即 22 |3POa， 借助平 行四边形的性质可得 2222 2(416)412aaca，即 22222 404127acaca ，故双 曲线的离心率 7e ，应选答案 B 点睛：解答本题的思路是借助双曲线的对称性，将问题进

16、行等价转化与化归为平行四边形的 几何性质问题，再依据平行四边形的四边的平方和等两条对角线的和这一性质，探寻到建立 方程的依据从而使得问题获解 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，满分分，满分 2020 分分. . 13.若(2 )ai ibi，其中a、bR，i是虚数单位，则 22 ab_. 【答案】5 【解析】 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 9 - 解：因为(2 )22,1ai ibiaibiba ，则 22 ab5 14.若三角形内切圆半径为 r，三边长为 a,b,c，则 1 () 2 Sabc r，利用类比思想：

17、若四 面体内切球半径为 R，四个面的面积为 1234 ,S SS S，则四面体的体积V _ 【答案】 1234 1 3 R SSSS 【解析】 试题分析：由题意得三角形的面积可拆分成分别由三条边为底，其内切圆半径为高的三个小 三角形的面积之和，从而可得公式 1 () 2 Sabc r，由类比思想得，四面体的体积亦可拆 分成由四个面为底，其内切圆的半径为高的四个三棱锥的体积之和，从而可得计算公式 1234 1 3 VR SSSS 考点：1合情推理；2简单组合体的体积（多面体内切球） 【方法点晴】此题主要考查合情推理在立体几何中的运用方面的内容，属于中低档题，根据 题目前半段的“分割法”求三角形面

18、积的推理模式，即以三角形的三条边为底、其内切圆半 径为高分割成三个三角形面积之和，类似地将四面体以四个面为底面、其内切球半径为高分 割成四个三棱锥（四面体）体积之和，从而问题可得解决 15.已知x轴为曲线 3 4411fxxax的切线，则a的值为_. 【答案】 1 4 【解析】 【分析】 设x轴 与 曲 线 fx的 切 点 为 0,0 x， 由 题 意 结 合 导 数 的 几 何 意 义 可 得 3 00 2 00 44110 12410 xax fxxa ，解方程即可得解. 【详解】由题意 2 1241fxxa，设x轴与曲线 fx的切点为 0,0 x， 则 3 00 2 00 44110 1

19、2410 xax fxxa ，解得 0 1 2 1 4 x a . 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 10 - 故答案为： 1 4 . 【点睛】本题考查了导数几何意义的应用，考查了运算能力，属于基础题. 16.已知球O的半径为r，则它的外切圆锥体积的最小值为_. 【答案】 3 8 3 r 【解析】 【分析】 设出圆锥的高为h，底面半径为R，在截面中，由球O与圆锥相切可设出底面和母线SB的切 点分别为C和D，接着由三角形的相似求得h、R、r三者间的关系，然后将圆锥的体积表示 成关于h的函数，利用导函数求最值. 【详解】设圆锥的高为h，底面半径为R， 在截面图中，SCh，OC

20、ODr，BCR， 根据圆锥与球相切可知，D、C均为球O与外切圆锥的切点， 则 2 SCBSDO 又OSDBSC ，SODSBC， BCSC ODSD ，即 22 () Rh r hrr ， 222 ()2 hrhr R hrrhhr ， 圆锥体积为 22 2 1 ( ) 33(2 ) r h V hR h hr ， 2 2 (4 ) ( ) 3(2 ) r h hr V h hr ， 令( )0V h 可得4hr，则 04hr时，( )0V h ；4hr时，( )0V h ， ( )V h在(0,4 ) r单调递减，在(4 ,)r 单调递增， 则 3 min 8 ( )(4 ) 3 V hVr

21、r. 故答案为： 3 8 3 r. 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 11 - 【点睛】本题考查了球的外切问题，圆锥的体积公式，导函数的实际应用问题，难度较大. 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 6 小题，满分小题，满分 7070 分分. .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17.实数m取什么数值时，复数 22 12zmmmi 分别是： （1）实数？ （2）虚数？ （3）纯虚数？ （4）表示复数z的点在复平面的第四象限？ 【答案】 （1）21mm 或； （2）21mm 且； （3）1m ； （4）12m. 【解析】

22、试题分析：根据复数的概念及几何意义易得. （1）当复数 z 是实数时， 2 20mm ，解得21mm 或； （2）当复数 z 是虚数时， 2 20mm ，解得21mm 且； （3）当复数 z 是纯虚数时， 2 10m 且 2 20mm ，解得1m ； （4）当复数 z 表示的点位于第四象限时， 2 20mm 且 2 10m ,解得12m. 试题解析： 解： （1）当 2 20mm ，即21mm 或时，复数 z 是实数； （2）当 2 20mm ，即21mm 且时，复数 z 是虚数； （3）当 2 10m ，且 2 20mm 时，即1m 时，复数 z是纯虚数； （4）当 2 20mm 且 2 1

23、0m ,即12m时，复数 z 表示的点位于第四象限 考点：复数的概念及几何意义. 18.学习雷锋精神前半年内某单位餐厅的固定餐椅经常有损坏，学习雷锋精神时全修好；单位 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 12 - 对学习雷锋精神前后各半年内餐椅的损坏情况作了一个大致统计，具体数据如表： 损坏餐椅数未损坏餐椅数总计 学习雷锋精神前50150200 学习雷锋精神后30170200 总计80320400 1求：学习雷锋精神前后餐椅损坏的百分比分别是多少？并初步判断损毁餐椅数量与学习雷 锋精神是否有关？ 2请说明是否有97.5%以上的把握认为损毁餐椅数量与学习雷锋精神 有关？nab

24、cd参考公式： 2 2 ()n adbc K abcdacbd ， 2 0 P Kk 0.050.0250.0100.0050.001 0 k3.8415.0246.6357.87910.828 【答案】 （1）学习雷锋精神前后餐椅损坏的百分比分别是25%和15%初步判断损毁餐椅数 量与学习雷锋精神有关 （2）有97.5%的把握认为损毁餐椅数量与学习雷锋精神有关 【解析】 【详解】 分析： 1学习雷锋精神前后餐椅损坏的百分比分别是 50 100% 200 ， 30 100%. 200 由 于两个百分比差距明显，故初步判断损毁餐椅数量与学习雷锋精神有关 2根据对学习雷锋精神前后各半年内餐椅的损坏

25、情况作的列联表，求出 2 K 的观测值k的值 为7.4866.635，再根据临界值表，可进行判断详解： 1学习雷锋精神前后餐椅损坏的百 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 13 - 分比分别是 50 100%25% 200 ， 30 100%15% 200 由于两个百分比差距明显，故初步判断损毁餐椅数量与学习雷锋精神有关 3根据表格： 损坏餐椅数未损坏餐椅数总计 学习雷锋精神前50150200 学习雷锋精神后30170200 总计80320400 假设 0 H：损毁餐椅数量与学习雷锋精神无关，则 2 K 应该很小 根据题中的列联表得 2 2 400 (50 17030 15

26、0) 6.255.024 80 320 200 200 K ，有97.5%的把握认 为损毁餐椅数量与学习雷锋精神有关 点睛：本题主要考查读图表、独立性检验等基础知识，考查数据处理能力和应用意识，属于 基础题 19.（1）求证：已知0a ，求证： 5364aaaa ； （2） 已知：ABC的三条边分别为abc， ，. 求证： 11 abc abc . 【答案】 （1）见解析； （2）见解析 【解析】 【分析】 （1）利用分析证明法得到2018，得到证明. （2）利用分析证明法得到cab，根据三角形边的关系得到证明. 【详解】 （1）要证原不等式成立，只需证： 5463aaaa ， 只需证： 22

27、 (54)(63)aaaa， 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 14 - 只需证：(5)(4)(6)(3)aaaa，即证 20 18，上式显然成立，原不等式成立. （2） 要证： 11 abc abc 成立，只需证： 11 11 11abc ， 只需证： 11 11abc ，只需证： 11 11abc ，只需证：11cab ， 只需证：cab，abc， ，是ABC 的三条边，cab成立，原不等式成立. 【点睛】本题考查了分析法证明，意在考查学生的逻辑推理能力. 20.已知数列 n a的首项 1 2 3 a ， 11 2 nnnn aaaa * (0,) n anN. （1

28、）证明：数列 1 1 n a 是等比数列； （2）数列 n n a 的前n项和 n S. 【答案】 （1）证明见详解； （2） 12 2 22 n n n nn S 【解析】 【分析】 （1） 利用数列递推式， 整理后两边取倒数， 再两边减去 1， 即可证得数列 1 1 n a 是等比数列； （2）利用第（1）题的结论，求出 11 1 2n n a ，进而得到 2n n nn n a ，用分组求和法，错 位相减法，求出 n S. 【详解】解： （1） * 11 20, nnnnn aaaaanN Q， 1 11111 222 n nnn a aaa ， 1 111 11 2 nn aa ， 又

29、 1 2 3 a ， 1 11 1 2a ， 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 15 - 数列 1 1 n a 是以 1 2 首项， 1 2 为公比的等比数列. （2）由（1）知 1 1111 1 2 22 nn n a ， 即 11 1 2n n a ， 2n n nn n a . 设 23 123 2222 n n n T =+， 则 231 1121 22222 n nn nn T L， 由得 21 1111 22222 n nn n T L 11 11 1 122 1 1 222 1 2 n nnn nn ， 1 1 2 22 n nn n T .又 1 123

30、2 n n n . 数列 n n a 的前n项和 12 2 22 n n n nn S . 【点睛】本题考查了倒数法求数列的通项公式，分组求和法，错位相减法求数列的前n项和， 属于中档题. 21.已知函数( )sin x f xex.（e是自然对数的底数） （1）求 ( )f x的单调递减区间； （2）若函数( )( )2g xf xx，证明( )g x在(0, )上只有两个零点.（参考数据： 2 4.8e ） 【答案】 （1） 37 22 44 kk ，（kZ Z） （2）见解析. 【解析】 【分析】 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 16 - （1）由f（x）0 得0

31、 4 sin x ，利用正弦函数的单调性质可得f（x）的单调递减区 间； （2）依题意可得g（x）e x（sinx+cosx）2，分析其单调情况并作出图象，利用零点存 在性定理可得，g（x）在（x1，x2）和（x2，）内各有一个零点，从而可证得结论成立 【详解】 （1）f（x）e xsinx，定义域为 R R. 2 4 xx fxesinxcosxe sin x 由f（x）0 得0 4 sin x ，解得 37 22 44 kxk （kZ Z） f（x）的单调递减区间为 37 22 44 kk ，（kZ Z） （2）g（x）e x（sinx+cosx）2，g（x）2excosx x（0，） ，

32、当0 2 x ，时，g（x）0；当 2 x ，时，g（x）0 g（x）在0 2 ，上单调递增，在 2 ，上单调递减， 又g（0）120， 2 20 2 ge ，g（）e 20， g（x）在（0，）上图象大致如右图 1 0 2 x ， 2 2 x ，使得g（x1）0，g（x2）0， 且当x（0，x1）或x（x2，）时，g（x）0；当x（x1，x2）时，g（x）0 g（x）在（0，x1）和（x2，）上单调递减，在（x1，x2）上单调递增 g（0）0，g（x1）0 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 17 - 2 0 2 ge ，g（x2）0， 又g（）20，由零点存在性定理得，

33、g（x）在（x1，x2）和（x2，）内各有一个 零点， 函数g（x）在（0，）上有两个零点 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查分类讨论思想与数形结合思想的应用， 考查推理证明及综合运算能力，该题属于难题 22.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 3cos4sin 129 cossin 55 x y （为参数） ， 以坐 标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为 sin3 3 . （1）曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程； （2）若直线l与曲线C交于PQ，两点，M(2，0)，求MP MQ 的值. 【答案】 （1）C： 22 1 259 xy ，

34、l：32 30 xy； （2） 30 2 7 【解析】 【分析】 （1）根据参数方程消去参数得到椭圆方程，利用极坐标公式化简得到答案. （2）将直线l的参数方程代入椭圆方程，得到 121 2 6 9 7 ttt t ，计算得到答案. 【详解】 （1）曲线C的参数方程 3cos4sin 129 cossin 55 x y 消去参数得， 22 22 3443 cossincossin1 2595555 xy ， 故曲线C的普通方程为 22 1 259 xy . sin3 3 ， 3 cossin2 30， 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 18 - 直线l的直角坐标方程为32 30 xy. （2）设直线l的参数方程为 1 2 2 3 2 xt yt (t为参数)， 将其代入曲线C的直角坐标方程并化简得 2 76630tt ， 121 2 6 9 7 ttt t ，. 点M(2，0)在直线l上， 2 12121 2 3630 2 436 497 MPMQttttt t. 【点睛】本题考查了参数方程，极坐标方程，意在考查学生的计算能力和转化能力. 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 19 -