安徽省示范高中培优联盟2019-2020学年高二下学期春季联赛数学（理）试题 Word版含解析.doc

1、高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 1 - 安徽省示范高中培优联盟安徽省示范高中培优联盟 20202020 年春季联赛年春季联赛( (高二高二) ) 数学数学( (理科理科) ) 本试卷分第本试卷分第I I卷卷( (选择题选择题) )和第和第IIII卷卷( (非选择题非选择题) )两部分，第两部分，第I I卷第卷第 1 1 至第至第 2 2 页，第页，第IIII卷第卷第 3 3 至第至第 4 4 页页. .全卷满分全卷满分 150150 分，考试时间分，考试时间 120120 分钟分钟. . 考生注意事项：考生注意事项： 1.1.答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自

2、己的姓名、座位号，并认真核对答题卡答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡 上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致. . 2.2.答第答第I I卷时，每小题选出答案后，用卷时，每小题选出答案后，用 2 2B B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. .如需改如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. . 3.3.答第答第IIII卷时卷时，必须使用必须使用 0.50.5 毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写毫

3、米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写，要求字体工整要求字体工整、笔迹笔迹 清晰清晰. .作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出，确认后再用确认后再用 0.50.5 毫米的黑色墨水签字笔描毫米的黑色墨水签字笔描 清楚清楚. .必须在题号所指示的答题区域作答必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效超出答题区域书写的答案无效，在试题卷在试题卷、草稿纸草稿纸 上答题无效上答题无效. . 4.4.考试结束，务必将试题卷和答题卡一并上交考试结束，务必将试题卷和答题卡一并上交. . 第第I I卷卷( (选择题共选择题共 6060 分分) ) 一、选择题一、

4、选择题( (本大题共本大题共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 6060 分分. .在每小题给出的四个选项中，只有一在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的项是符合题目要求的.).) 1.已知集合ln1Mx yx， 2 20Nx xx，则 R MN （） A.0,1B.1,2C.2,0D.0,1 【答案】B 【解析】 【分析】 根据对数式要求真数大于零求得集合A，解一元二次不等式求得集合B，之后根据补集与交集 的定义求得结果. 【 详 解 】ln11,Mx yx， 2 |20Nx xx,02, ， 0,2 RN ， 因此1,2 R MN ， 故选：B. 高考

5、资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 2 - 【点睛】该题考查的是有关集合的问题，涉及到的知识点有对数式有意义的条件，一元二次 不等式的解法，集合的运算，属于简单题目. 2.设复数 2020 13 () 2 i z (其中i为虚数单位)，则复数z的共轭复数z在复平面内对应的 点位于（） A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】 设 13 2 i ，可得 3 1，可得z ，z 13 22 i ，从而可得答案. 【详解】设 13 2 i ，则 2 22 313 42 ii ， 32 1313 22 ii 1 ， 所以 2020673 3

6、 13 673 ()z ， 所以z 13 22 i 所对应的点在第三象限. 故选：C 【点睛】本题考查了复数的乘方运算，考查了共轭复数的概念，考查了复数的几何意义，属 于基础题. 3.在0，1内任取两个实数x，y，则事件 00，a 1 b 2 和b 1 a 2 至少有一个成立”的否定为（） A.a，b0，a 1 b 2 和b 1 a 0，a 1 b 2 和b 1 a 2 都不成立 C.a，b0，a 1 b 2 和b 1 a 0，a 1 b 2 和b 1 a 2 都不成立 【答案】D 【解析】 【分析】 将“全称量词”改“存在量词”，“至少有一个成立”改为“都不成立”即可得到. 高考资源网（）您

7、身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 4 - 【详解】“a，b0，a 1 b 2 和b 1 a 2 至少有一个成立”的否定为： a，b0，a 1 b 2 和b 1 a 2 都不成立. 故选：D 【点睛】本题考查了全称命题的否定，属于基础题. 5.过圆C1：x 2y21 上的点 P作圆C2：(x3) 2(y4)24 切线，切点为 Q，则切线段PQ长 的最大值为（） A. 2 3 B. 21 C. 4 2 D. 35 【答案】C 【解析】 【分析】 根据勾股定理将|PQ的最大值转化为求 2 |PC得最大值，再转化为求圆心距加上小圆半径即 可得到. 【详解】如图： 因为 222 222 |4PQP

8、CC QPC， 22 212 | | 13415 16PCC C ， 所以 2 |644 2PQ ，即切线段PQ长的最大值为4 2. 故选：C. 【点睛】本题考查了圆的标准方程，考查了直线与圆相切，考查了数形结合思想，将两个动 点之间的距离转化为动点与定点之间的距离是解题关键，属于基础题. 6.关于函数 2 1 cos3sin cos 2 f xxxx有下述三个结论： 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 5 - fx在区间, 4 2 上是减函数； fx的图象关于直线 3 x 对称； fx在区间, 4 上的值域为 3 1, 2 其中正确结论的个数是（） A. 0B. 1C.

9、2D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】 根据题意，先将函数化简为 sin 2 6 f xx ，再利用正弦函数的性质即可. 【详解】由题意， 2 1 cos3sincossin 2 26 fxxxxx ， 由 3 222 262 kxk ，kZ，得 2 63 kxk ，kZ， 所以 fx的单调递减区间为 2 , 63 kk ，kZ.可知正确； 由 2 sin1 336 f ，可知 ( )f x的图象关于直线 3 x 对称，所以正确； 当, 4 x 时， 213 2, 636 x ， 所以 3 sin 21, 62 fxx ， 故正确. 故选：D. 【点睛】本题考查正弦型函数的性质，考查了转化

10、思想，计算能力，属于基础题. 7.在ABC中，AB2，AC4，M是ABC所在平面内一点，且0MBMCBC ，则 AM BC （） A. 3B. 6C. 9D. 12 【答案】B 【解析】 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 6 - 【分析】 先 取BC的 中 点D， 由0MBMCBC 可 得 0MD BC ， 从 而 求 得 AM BC 221 2 ACAB ，将AB2，AC4 代入，求得结果. 【详解】取BC的中点D，由0MBMCBC ，得 0MD BC ， 所以AM BC AD BCDM BC AD BC 1 2 ABACACAB 221 2 ACAB 22 1 42

11、2 6, 故选：B. 【点睛】该题考查的是有关三角形中向量的有关问题，涉及到的知识点有中线向量的表示， 向量的线性运算，向量数量积，属于中等题目. 8.已知函数yf(x)是定义域为R的函数，则函数yf(x2)与yf(4x)的图象（） A. 关于x1 对称B. 关于x3 对称C. 关于y3 对称D. 关于(3， 0) 对称 【答案】A 【解析】 【分析】 设 00 ,P xy为2yf x图象上任意一点，说明点 00 2,Qxy 在函数 4yfx 的图 象上，根据点,P Q关于直线1x 对称得解. 【详解】设 00 ,P xy为2yf x图象上任意一点， 则 000 242yf xfx ， 所以点

12、 00 2,Qxy 在函数 4yfx 的图象上， 而 00 ,P xy与 00 2,Qxy 关于直线1x 对称， 所以函数2yf x与 4yfx 的图象关于直线1x 对称. 故选：A 【点睛】本题主要考查函数图象的对称问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 7 - 9.函数 2 19 1 x f xx xx (x0)的最小值为（） A. 6B. 181 30 C. 43 3 12 D. 13 2 【答案】A 【解析】 【分析】 令 1 tx x ，将函数 fx转化为 9 yt t ，利用基本不等式求解. 【详解】令 1 tx x ，

13、 因为0 x ， 所以2t ， 则函数 fx转化为 99 26ytt tt ， 当且仅当3t ，即 1 3x x ，也即 35 2 x 时，等号成立. 【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，还考查转化化归的思想和运算求解的能力，属于 基础题. 10.已知过点,0A t的直线与抛物线 2 8yx交于,B C两点，F为抛物线的焦点，若 11 BFCF 为常数，则t的值为（） A. 2B. 2C. 2 或2D. 不存在 【答案】C 【解析】 【分析】 设过点,0A t的直线方程为x myt ，设 11 ,B x y， 22 ,C xy ，联立直线与抛物线方程并 消元，利用韦达定理结合抛物线定义表示出

14、 11 BFCF ，从而得出结论 【详解】解：设过点,0A t的直线方程为x myt ，代入 2 8yx得 2 880ymyt， 设 11 ,B x y， 22 ,C xy ， 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 8 - 12 8yym， 12 8y yt ， 2 22 121212 2yyyyy y 2 6416mt， 11 BFCF 12 11 22xx 2 1 1 2 8 y 2 2 1 2 8 y 22 12 2222 1212 8256 16256 yy y yyy 2 22 8 6416256 6416 6416256 mt tmt 2 22 1824 1 2

15、822 2 mt mtt ， 要使该式对m所有可能取值均为常数，则 2 1 24 2 t ，解得2t 或2， 故选：C 【点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系，考查转化与化归思想，考查计算能力，属 于中档题 11.已知正多面体共有 5 种，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体和正二十面体. 任一个正多面体都有内切球和外接球，若一个半径为 1 的球既是一个正四面体的内切球，又 是一个正六面体的外接球，则这两个多面体的顶点之间的最短距离为（） A. 31 B. 1C. 2 21 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】 首先明确正四面体、正方体和球之间的关系，利用几何体的特征，以及点与球

16、面上点之间距 离的最值条件，求得结果. 【详解】固定正四面体ABCD不动，则其内切球也随之固定， 考虑顶点A与正六面体（即正方体）的顶点的距离， 当正方体的顶点在球面上移动时， 顶点A到球面上点的距离最小值就是顶点A与正方体顶点距离的最小值， 即当球心和顶点 A 以及正方体的顶点共线且 A 和正方体的顶点落在球心同侧时取得最小值， 由正四面体的内切球半径为 1，根据正四面体的特征，可知球心到顶点A的距离为 3， 所以顶点A到球面上点的距离最小值为3 12 ， 故选：D. 【点睛】该题考查的是有关点与球面上点之间距离的最小值的求解问题，涉及到的知识点有 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高

17、考资源网 - 9 - 正四面体的外接球，正方体的外接球、以及点与球面上点之间距离的最小值，属于简单题目. 12.已知不等式 21 eln0 x xaxx 对一切x0 成立，则实数a的最大值为（） A. 2 e B. 2C.eD. 2e 【答案】B 【解析】 【分析】 根据1 x ex，对 21 e x x 进行放缩得 21 e2ln x xxx ，再结合 21 eln0 x xaxx 对一切 x0 成立，即可求解a的最大值. 【详解】1 x ex （证明如下） ， 令 1 x g xex， 1 x gxe，令 =0gx得0 x ， g x在,0上单调递减，在0 +，上单调递增， g x在0 x

18、 处取得极小值，即 min 0 =0g xg， 0g x ，即e1 x x， 21ln2121 ln e=ee21 ln12ln xxxxx xexxxx ， 等号成立条件为21 ln0 xx ， 21 eln2lnln20 x xaxxxxaxxa x 对一切x0 成立， 只需20a，即2a ， a的最大值为 2. 故选：B. 【点睛】本题考查利用导数研究不等式恒成立问题，主要利用1 x ex ，对 21 e x x 进行放缩， 熟记并掌握导数中常用的不等式放缩技巧是解题的关键. 第第IIII卷卷( (非选择题共非选择题共 9090 分分) ) 考生注意事项：考生注意事项： 请用请用 0.5

19、0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上作答，在试题卷上答题无效毫米黑色墨水签字笔在答题卡上作答，在试题卷上答题无效. . 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 10 - 二、填空题二、填空题( (本大题共本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分分. .把答案填在答题卡的相应位置把答案填在答题卡的相应位置.).) 13.过点( 1, 1) 与曲线 x yex相切的直线方程为_. 【答案】21yx. 【解析】 【分析】 设切点坐标，写出切线方程，根据切线过点1, 1 ，再求出切点坐标，从而得切线方程. 【详解】设切点坐标为 0 00 ,exxx

20、 ， 由 x yex得e1 x y ， 切线方程为 00 00 e1e xx yxxx ， 切线过点1, 1 ， 00 00 1e11e xx xx ，即 0 0e 0 x x， 0 0 x ， 即所求切线方程为21yx. 故答案为：21yx. 【点睛】本题考查导数的几何意义求过某点的切线，应先设切点坐标，由导数的几何意义 写出切线方程，代入所过点的坐标求出切点坐标，从而得出切线方程 14.已知长轴长为2a，短轴长为2b的椭圆的面积为ab现用随机模拟的方法来估计的近 似值，先用计算机产生n个数对, ii x y，1,2,3,in，其中 i x， i y均为0,2内的随机 数，再由计算机统计发现

21、其中满足条件 2 1 4 i i x y 的数对有m个，由此可估计的近似值 为_ 【答案】 8m n 【解析】 【分析】 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 11 - 由 i x， i y0,2， 根据 2 1 4 i i x y 表示的数对对应的点, ii x y在椭圆 2 2 1 4 x y的内部， 且在第一象限，求出 2 1 4 i i x y 满足条件的点, ii x y的概率，再转化为几何概型的面积类 型求解 【详解】 i x， i y0,2， 2 1 4 i i x y 表示的数对对应的点, ii x y在椭圆 2 2 1 4 x y的内部，且在第一象限， 其面

22、积为 2 1 42 ， 故 2 22 m n ， 得 8m n 故答案为： 8m n . 【点睛】本题主要考查了几何型概率应用，解题关键是掌握几何型概率求法，考查了分析能 力和计算能力，属于基础题. 15.已知ABC中，AB9，BAC60，D为边BC上一点，且CD2BD，AD2 13，则ABC 的面积为_. 【答案】 27 3 2 . 【解析】 【分析】 设ACx，BDy，则 2CDy .在ABD和ACD中分别由余弦定理，进而可得 22 66xy，在ABC中由余弦定理，即可求得x值，根据三角形面积公式，即可求得答案. 【详解】设ACx，BDy，则 2CDy . 在ABD和ACD中分别由余弦定理

23、得： 2 22 92 1322 13 cosyyADB 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 12 - 2 2 2 22 132 22 13 cosxyyADC 根据ADBADC 故coscos0ADBADC ，可得 22 66xy， 在ABC中由余弦定理得 2 22 3929cos60yxx ， 即 22 9819yxx， 22 362981xxx， 解得6x 或24x （舍去）. ABC的面积为 1327 3 96 222 S . 故答案为： 27 3 2 【点睛】本题主要考查了根据余弦定理解三角形问题，解题关键是掌握余弦定理和三角形面 积公式，考查了分析能力和计算能力，

24、属于中档题. 16.已知双曲线C： 22 22 1(0,0) xy ab ab 的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线分别交双 曲线C的左、右支于A，B两点， 1 ABF为直角三角形，且F1AF245，则双曲线C的离心 率为_. 【答案】 3或63 . 【解析】 【分析】 设 12 |2FFc,分 1 90AFB和 1 90ABF两种情况讨论，分别利用余弦定理和勾股定理 得到关于 , a c的方程，化简即得解. 【详解】设 12 |2FFc. 当 1 90AFB时，设 1 |AFm，则 1 |BFm，| |2ABm， 2 |2BFma， 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网

25、- 13 - 所以 21 2|2222aAFAFmmamma， 所以 2 2ma ， 在 12 BFF中由余弦定理， 得 22 22 22 22 222 2 22 22 2 caaaaaa ， 整理得 22 3ca ， 所以3 c e a ； 当 1 90ABF时，设 1 |BFm，则 1 |2AFm，|ABm， 2 |2BFma， 所以 21 2|222aAFAFma， 所以42 2ma， 在 12 BFF中由勾股定理，得 22 2 242 222 2caa， 所以 22 (96 2)ca， 整理得36 c e a . 故答案为： 3或63 . 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资

26、源网 - 14 - 【点睛】本题主要考查双曲线的简单几何性质，考查双曲线的离心率的计算，意在考查学生 对这些知识的理解掌握水平和计算能力. 三三、解答题解答题( (本大题共本大题共 6 6 小题小题，共共 7070 分分. .解答应写出必要的文字说明解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤.).) 17.已知ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c， sinsin tan coscos BC A BC . （1）求角A； （2）若 3a ，求2bc的取值范围. 【答案】 （1） 3 A ； （2）3,2 7 . 【解析】 【分析】 （1）由切化弦思想结合两角差的正弦公式

27、得出sinsinABCA，求出AB和 CA的取值范围，可得出ABCA或 ABCA （不成立） ，结合三角形 的内角和定理可得出角A的值； （2）由正弦定理结合三角恒等变换思想得出22 7sinbcB，其中为锐角，且 3 sin 7 ， 2 cos 7 ，求得角B的取值范围，结合正弦函数的基本性质可求得2bc的 取值范围. 【详解】 （1）由 sinsin tan coscos BC A BC 得 sinsinsin coscoscos ABC ABC ， 即sincossincoscossincossinABACABAC， 即sincoscossinsincoscossinABABCACA，所

28、以sinsinABCA， 0A，0B，AB，同理CA， 所以，ABCA或 ABCA （不成立） ， 所以2BCA，又BCA，则 3 A ； （2）由正弦定理得2 sinsinsin bca BCA ，所以2sinbB，2sincC. 因为 3 A ，所以 2 3 CB ， 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 15 - 所以 2 22 sin2sin2 2sin3cos2 7sin 3 bcBBBBB ， 其中为锐角，且 3 sin 7 ， 2 cos 7 . 因为 2 0 3 B ，所以 2 3 B ， 易知 sinyx 在, 2 上单调递增，在 2 , 23 上单调递减，

29、 所以 2 B 时，2bc取得最大值2 7， 又 23133 sincossinsin 3222 77 ，所以 22 7sin3bcB， 故2bc的取值范围为3,2 7 . 【点睛】本题考查三角形中角的计算，同时也考查了三角形中与边长相关的代数式的取值范 围的计算，涉及正弦定理的应用，考查计算能力，属于中等题. 18.已知公差不等于0的正项等差数列 n a的前n项和为 n S，递增等比数列 n b的前n项和 为 n T， nnn cab， 12 2ab， 123 34ccc， 2 411 nn Sa . （1）求满足 nN ， 3 n nc的的最小值； （2）求数列 n c的前n项和 n M.

30、 【答案】 （1） 9 8 ； （2） 1 122 n n Mn . 【解析】 【分析】 （1）由 2 411 nn Sa 得 2 11 411 nn Sa ，两式作差并结合题意可得出数列 n a为等差 数列，且公差为2，由此可求得2 n an，并设等比数列 n b的公比为q，根据题意可求得q 的值，可求得 n b，再由 3 n nc可得出 2 2n n ，设 2 2 n n n k ，求得数列 n k的最大值，进而可 求得实数的最小值； 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 16 - （2）由题意可得2n n cn，利用错位相减法可求得 n M. 【详解】 （1）由 2 4

31、11 nn Sa 得 2 11 411 nn Sa ， 两式相减并整理得 11 20 nnnn aaaa ， 数列 n a为正项数列，则 1 0 nn aa ， 1 20 nn aa ，即 1 2 nn aa ， 所以，数列 n a是以2为首项，以2为公差的等差数列，则2212 n ann. 设等比数列 n b的公比为q，且 nnn cab， 由 123 34ccc得 2 2426234q q ，整理得 2 61320qq，解得 1 6 q 或2q =. 2 20b ，当 1 6 q 时，数列 n b为单调递减数列，不合乎题意，所以，2q =. 则 21 2 22 nn n bb ， 1 22

32、2 nn nnn cabnn . 由 3 n nc可得 3 2nnn ， 2 2n n ，令 2 2 n n n k ，则max n k. 由 1 1 nn nn kk kk ，得 2 2 1 2 2 1 1 22 1 22 nn nn n n n n ，即 2 2 420 210 nn nn ，解得 2122n ， nN ，3n ，所以，数列 n k的最大项为 3 9 8 k ， 9 8 ， 因此，的最小值为 9 8 ； （2）由（1）知2n n cn. 所以 123 1 22 23 22n n Mn 则 231 21 22 21 22 nn n Mnn 得 123111 2 1 2 222

33、222122 1 2 n nnnn n Mnnn ， 因此， 1 122 n n Mn . 【点睛】 本题考查利用数列不等式恒成立求参数， 考查了错位相减法求和， 同时也考查了由 n S 与 n a的关系求通项以及等比数列通项公式的求解，考查计算能力，属于中等题. 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 17 - 19.如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为菱形，90APC ，120BPD ， PBPD. （1）求证：平面APC 平面BPD； （2）若22ABAP，求直线AP与平面PCD所成角的正弦值. 【答案】 （1）证明见解析； （2） 2 39 13 . 【解析】 【

34、分析】 （1）设AC与BD交点为O，连接OP，可知点O为BD的中点，利用等腰三角形三线合一 的性质可得出BDOP，由菱形的性质可得出BDAC，利用线面垂直的判定定理可得出 BD 平面APC，再利用面面垂直的判定定理可得出平面APC 平面BPD； （2）设OPm，可求得 3OBm ，OCm，利用勾股定理可求得1m ，然后以点O为 坐标原点，OB方向为x轴正方向，OC方向为y轴正方向建立空间直角坐标系，求出平面 PCD的一个法向量，利用空间向量法可求得直线AP与平面PCD所成角的正弦值. 【详解】 （1）记AC与BD交点为O，连接OP， PBPD，O为BD的中点，OPBD， 又四边形ABCD为菱形

35、，ACBD. ACOPO，BD平面APC， 又BD Q平面BPD，所以，平面APC 平面BPD； 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 18 - （2）设OPm， 90APC ，2ACm， 又120BPD ，所以 60BPO ，所以 3BOm ，OCm. 因为2BCAB，所以在Rt BOC中，由勾股定理得 222 BOOCBC ， 即 22 34mm ，解得1m ， 3CP ， 由（1）知，BD 平面APC，BD 平面ABCD，平面APC 平面ABCD. 以O为原点，OB方向为x轴正方向，OC方向为y轴正方向，建立如图空间直角坐标系.则 0, 1,0A、0,1,0C、3,0,

36、0D 、 13 0, 22 P ，.， 13 0, 22 AP ， 33 0, 22 CP ，3, 1,0CD . 设平面CPD的法向量为, ,nx y z ，由 0 0 n CP n CD ，则 330 30 yz xy ， 令1x ，解得3y ，3z ，即1,3, 3n ， 2 32 39 cos, 13113 AP n AP n APn ， 所以直线AP与平面PCD所成角的正弦值为 2 39 13 . 【点睛】本题考查面面垂直的证明，同时也考查了利用空间向量法求解直线与平面所成角的 正弦值的计算，考查计算能力与推理能力，属于中等题. 20.Fibonacci数列又称黄金分割数列，因为当n

37、趋向于无穷大时，其相邻两项中的前项与后 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 19 - 项的比值越来越接近黄金分割数 15 0 618 2 - . .已知Fibonacci数列的递推关系式为 12 12 1 3 nnn aa aaan ， . （1）证明：Fibonacci数列中任意相邻三项不可能成等比数列； （2）用数学归纳法证明：Fibonacci数列的通项公式为 11515 225 nn n a . 【答案】 （1）证明见解析； （2）证明见解析. 【解析】 【分析】 （1）利用反证法进行证明，假设存在 n a、 1n a 、 2n a 三项成等比数列，可得出 2 12

38、nnn aa a ， 根据定义得出 21 nnn aaa，可得出 2 11 10 nn nn aa aa ，可求得 1 n n a a 的值，再由 1 n n a a 为 有理数可推出矛盾，从而可得出结论成立； （2）利用数学归纳法证明Fibonacci数列的通项公式，先验证1n 、2时成立，再假设当 nk k N时，结论成立，再由 11kkk aaa 通过计算得出 11 1 11515 225 kk k a ，由数学归纳法可得出结论成立. 【详解】 （1）证明： （反证法）假设存在 n a、 1n a 、 2n a 三项成等比数列，则 2 12nnn aa a ， 所以 2 11nnnn a

39、aaa ，所以 2 11 10 nn nn aa aa ，解得 1 15 2 n n a a ， 由条件可知Fibonacci数列的所有项均大于0，所以 1 51 2 n n a a ， 又Fibonacci数列的所有项均为整数，所以 1 n n a a 应该为有理数，这与 1 51 2 n n a a （无理数） 矛盾，所以假设不成立，所以原命题成立； （2）证明：易验证1n 、2时命题成立. 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 20 - 假设nk k N时命题成立，即 11515 225 kk k a ， 则当1nk时， 11 11 1151511515 222255

40、kkkk kkk aaa 11 115151515 22225 kkkk 11 115151515 11 22225 kk 1212 115151515 22225 kk 11 11515 225 kk . 所以，1nk时，命题也成立. 由可知，Fibonacci数列的通项公式为 11515 225 nn n anN . 【点睛】本题考查等比数列的证明，同时也考查了利用数学归纳法证明数列的通项公式，考 查推理能力，属于中等题. 21.已知曲线E上任一点P到直线l：x4 的距离是点P到点M(1，0)的距离的 2 倍. （1）求曲线E的方程； （2）过点A(2，0)作两条互相垂直的直线分别交曲线E

41、于B、D两点(均异于点A)，又C(2， 0)，求四边形ABCD的面积的最大值. 【答案】 （1） 22 1 43 xy （2） 48 7 【解析】 【分析】 （1）设,P x y，结合题意得到 2 2 421xxy ，化简即可求得曲线E的方程； （2）设AB的方程为2yk x，联立方程组，利用根与系数的关系，求得 2 2 86 34 B k x k ， 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 21 - 进而得到 2 2 86 34 D k x k ，利用面积公式，求得四边形ABCD的不等式，结合函数的单调性，即 可求解. 【详解】 （1）设,P x y， 因为曲线E上任一点P到

42、直线l：x4 的距离是点P到点M(1，0)的距离的 2 倍， 即 2 2 421xxy ，两边平方并整理得 22 1 43 xy 即曲线E的方程为 22 1 43 xy . （2）由题意，可得直线AB的斜率存在且不为 0，可设AB的方程为2yk x， 联立方程组 22 2 1 43 yk x xy ，整理得 2222 341616120kxk xk， 因为2x 是其一个根，所以解得另一根即点B的横坐标为 2 2 86 34 B k x k ， 因为ABAD，所以把k换成 1 k 得D的横坐标为 2 2 86 34 D k x k ， 则B、D的纵坐标之差为 22 11212 22 3434 B

43、DBD kk yyk xx kkk 22 42 22 1277841 1225123434 kkk k kkkk ， 所以四边形ABCD的面积 S 1 2 BD AB yy 2 42 841 2 122512 k k kk 2 2 1 168 1 1225 k k k k 2 1 168 1 121 k k k k 11 168168 1111 1212 11 kk kk kk kk 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 22 - 令 1 tk k ，则2t ，可得 168 1 12 S t t （2t ） ， 又由函数 1 12yt t 在2,)是增函数， 所以可得当2t

44、时S为单调递减，所以2t 时，S取得最大值 48 7 ， 此时 1 2k k ，解得1k ， 所以四边形ABCD的面积的最大值为 48 7 . 【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程的求解、及直线与椭圆的位置关系的综合应用,解答此 类题目，通常联立直线方程与椭圆方程，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类 问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运 算求解能力、分析问题解决问题的能力等. 22.已知函数 x a f xe x 有两个不同的零点 1 x， 2 x （1）求实数a的取值范围； （2）证明： 12 2xx 【答案】 （1） 1 0 e a（2）

45、证明见解析； 【解析】 【分析】 (1)根据题意，转化为， fx有两个不同的零点e(0) x xa a 有两个不同的根， 然后利用数形结合求解即可 (2) 由(1)得， exg xx， 得 12 ()()g xg x， 不妨设 12 xx， 则结合图象易得 12 1xx ， 1 10 x ，然后，构造函数 11h xgxgx （0 x ） ，利用导数求出该函数的单调 性，即可证明结论 【详解】 （1） fx有两个不同的零点e(0) x xa a 有两个不同的根. 令 exg xx， 则 1exgxx ， 易得1x 时， 0gx ， 函数 g x单调递减；1x 时， 0gx ，函数 g x单调递

46、增. 当x 时， e0 e x x x g xx ，当x 时， exg xx，又 1 1 e g ， 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 23 - 结合图象可知，要使函数 exg xx的图象与直线y a 有两个不同的公共点，则 1 0 e a ，所以，实数a的取值范围为 1 0 e a. （2）由(1)得， exg xx，不妨设 12 xx，则结合图象易得 12 1xx ， 1 10 x ， 令 11h xgxgx （0 x ） ， 则 11h xgxgx 11 ee xx xx ee0 e xx x ， 所以 h x单调递增，故 00h xh，所以 11gxgx （0 x ）. 由条件知 21111 11112g xg xgxgxgx ， 又 2 1x ， 1 21x ，以及由(1)得，函数 g x在1x 时单调递增， 得 21 2xx ，所以 12 2xx . 【点睛】本题考查利用导数解决函数的零点问题，以及考查极值点偏移的相关题目，属于难 题 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 24 -