第7节　正弦定理与余弦定理的应用.ppt

1、INNOVATIVE DESIGN 第四章 第7节正弦定理与余弦定理的应用 知识分类落实 考点分层突破 课后巩固作业 内 容 索 引 / 1 2 3 / / 知识分类落实 夯实基础回扣知识1 索引 知识梳理 / 1.仰角和俯角仰角和俯角 在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线 叫叫 仰角，目标视线在水平视线仰角，目标视线在水平视线 叫俯角叫俯角(如图如图1). 上方上方 下方下方 索引 2.方位角方位角 4.坡度：坡度： 从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角从正北方向起按顺时针转到目标方

2、向线之间的水平夹角叫做方位角.如如B点的点的 方位角为方位角为(如图如图2). 正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，如南偏东正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，如南偏东30，北偏西，北偏西45等等. 坡面与水平面所成的二面角的正切值坡面与水平面所成的二面角的正切值. 3.方向角方向角 索引 1.不要搞错各种角的含义，不要把这些角和三角形内角之间的关系弄混不要搞错各种角的含义，不要把这些角和三角形内角之间的关系弄混. 2.解决与平面几何有关的计算问题关键是找清各量之间的关系，从而应用正、解决与平面几何有关的计算问题关键是找清各量之间的关系，从而应用正、 余弦定理求解余弦定理求解. 诊断自

3、测 / 索引 解析解析(2)； (3)俯角是视线与水平线所构成的角俯角是视线与水平线所构成的角. 索引 解析解析在在ABC中，由正弦定理得中，由正弦定理得 又又CBA1804510530， A 索引 3.如图所示，如图所示，D，C，B三点在地面的同一条直线上，三点在地面的同一条直线上，DCa， 从从C，D两点测得两点测得A点的仰角分别是点的仰角分别是60，30，则，则A点离点离 地面的高度地面的高度AB_. 索引 4.(2021东营月考东营月考)如如图，两座灯塔图，两座灯塔A和和B与海岸观察站与海岸观察站C的的 距离相等，灯塔距离相等，灯塔A在观察站南偏西在观察站南偏西40，灯塔，灯塔B在观察

4、站在观察站 南偏东南偏东60，则灯塔，则灯塔A在灯塔在灯塔B的的 () A.北偏东北偏东10 B.北偏西北偏西10 C.南偏东南偏东80 D.南偏西南偏西80 解析解析由条件及图可知，由条件及图可知，ACBA40， 又又BCD60， 所以所以CBD30， 所以所以DBA10， 因此灯塔因此灯塔A在灯塔在灯塔B的南偏西的南偏西80. D 索引 B 索引 解析解析如图所示，易知，如图所示，易知， 在在ABC中，中，AB20，CAB30，ACB45， 在在ABC中，中， A 考点分层突破 题型剖析考点聚焦2 索引 解析解析由已知，得由已知，得QABPABPAQ30， 又又PBAPBQ60， AQB3

5、0，ABBQ. 又又PB为公共边，为公共边， PAB PQB， PQPA. 在在RtPAB中，中，APABtan 60900， 故故PQ900， P，Q两点间的距离为两点间的距离为900 m. 考点一解三角形的实际应用 / 多维探究多维探究 900 索引 距离问题的类型及解法：距离问题的类型及解法： (1)类型：两点间既不可达也不可视，两点间可视但不可达，两点都不可达类型：两点间既不可达也不可视，两点间可视但不可达，两点都不可达. (2)解法：选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的解法：选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的 边长问题，从而利用正、余

6、弦定理求解边长问题，从而利用正、余弦定理求解. 感悟升华 索引 解析解析在在BCD中，中，CBD1801530135. 在在RtABC中，中， D 索引 1.在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一铅垂面内，在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一铅垂面内， 视线与水平线的夹角视线与水平线的夹角. 2.准确理解题意，分清已知条件与所求，画出示意图准确理解题意，分清已知条件与所求，画出示意图. 3.运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解问题的答案，注意方程运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解问题的答案，注意方程 思想的运用思想的运用. 感

7、悟升华 索引 角度角度3测量角度问题测量角度问题 【例例3】已已知岛知岛A南偏西南偏西38方向，距岛方向，距岛A3海里的海里的B处有一艘缉私艇处有一艘缉私艇. 岛岛A处的一艘走私船正以处的一艘走私船正以10海里海里/时的速度向岛屿北偏西时的速度向岛屿北偏西22方向方向 行驶，问缉私艇朝何方向以多大速度行驶，恰好用行驶，问缉私艇朝何方向以多大速度行驶，恰好用0.5小时能截住小时能截住 该走私船？该走私船？ 解解如图，设缉私艇在如图，设缉私艇在C处截住走私船，处截住走私船，D为岛为岛A正南方向上一点，正南方向上一点， 缉私艇的速度为每小时缉私艇的速度为每小时x海里，则海里，则BC0.5x，AC5，

8、依题意，依题意， BAC1803822120， 由余弦定理可得由余弦定理可得BC2AB2AC22ABACcos 120， 所以所以BC249， 所以所以BC0.5x7，解得，解得x14. 索引 所以所以ABC38， 又又BAD38，所以，所以BCAD， 故缉私艇以每小时故缉私艇以每小时14海里的速度向正北方向行驶，恰好用海里的速度向正北方向行驶，恰好用0.5小时截住该走私船小时截住该走私船. 索引 1.测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在 图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形

9、，最后将解得图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得 的结果转化为实际问题的解的结果转化为实际问题的解. 2.方向角是相对于某点而言的，因此在确定方向角时，必须先弄清楚是哪一个点方向角是相对于某点而言的，因此在确定方向角时，必须先弄清楚是哪一个点 的方向角的方向角. 感悟升华 索引 【训练训练1】 (1)江江岸边有一炮台高岸边有一炮台高30 m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水，江中有两条船，船与炮台底部在同一水 平面上，由炮台顶部测得俯角分别为平面上，由炮台顶部测得俯角分别为45和和60，而且两条船与炮台底部连，而且两条船与炮台底部连 线成线成30角，则两条船相

10、距角，则两条船相距_m. 解析解析如图，设炮台的顶部为如图，设炮台的顶部为A，底部为，底部为O，两只小船分别为，两只小船分别为M，N，则由题，则由题 意得，意得，OMAOtan 4530(m)， 在在MON中，由余弦定理得，中，由余弦定理得， 索引 A 解析解析 如图，过点如图，过点P作作PDAB，由题意，由题意， 知知DPA，DPB， 所以所以PAC，PBC， 索引 在在PAB中，由余弦定理，得中，由余弦定理，得 索引 【训练训练1】 (3)如如图，两座相距图，两座相距60 m的建筑物的建筑物AB，CD的高度的高度 分别为分别为20 m，50 m，BD为水平面，则从建筑物为水平面，则从建筑物

11、AB的顶端的顶端 A看建筑物看建筑物CD的张角的张角CAD等于等于 () A.30 B.45 C.60D.75 又又CD50 m， 所以在所以在ACD中，由余弦定理得中，由余弦定理得 又又0CAD0. 所以所以AD2，AB3， 考点二平面几何问题 / 师生共研师生共研 索引 解解因为因为ABBC， 索引 平面几何中解三角形问题的求解思路平面几何中解三角形问题的求解思路 (1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、 余弦定理求解余弦定理求解. (2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果寻

12、找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果. 提醒提醒做题过程中，要用到平面几何中的一些知识点，如相似三角形的边角关做题过程中，要用到平面几何中的一些知识点，如相似三角形的边角关 系、平行四边形的一些性质，要把这些性质与正弦、余弦定理有机结合，才能系、平行四边形的一些性质，要把这些性质与正弦、余弦定理有机结合，才能 顺利解决问题顺利解决问题. 感悟升华 索引 解解如图所示如图所示， BOC2BAC， cos BOCcos 2BAC 索引 解解延长延长AD至至E，使，使AE2AD，连接连接BE，CE， 则四边形则四边形ABEC为平行四边形为平行四边形， CEAB， ACEBAC， cos

13、 ACEcos BAC1 6 3 2 3 3 ， 索引 由余弦定理得，由余弦定理得， AE2AC2CE22ACCEcos ACE， 解得解得CE3，ABCE3， 索引 考点三三角函数与解三角形的交汇问题 / 师生共研师生共研 索引 解解由正弦定理由正弦定理，得得sin Acos 2Bsin Acos Bsin Bsin A. sin A0， cos 2Bcos Bsin B， 即即(cos Bsin B)(cos Bsin B)cos Bsin B， (cos Bsin B)(cos Bsin B1)0， 故故cos Bsin B0或或cos Bsin B1. 0A 2， ， 索引 B为锐角三

14、角形的内角，为锐角三角形的内角， 索引 解三角形与三角函数的综合应用主要体现在以下两方面：解三角形与三角函数的综合应用主要体现在以下两方面：(1)利用三角恒等变换利用三角恒等变换 化简三角函数式进行解三角形；化简三角函数式进行解三角形；(2)解三角形与三角函数图象和性质的综合应用解三角形与三角函数图象和性质的综合应用. 感悟升华 索引 索引 索引 k2， 正整数正整数k的最小值为的最小值为2. 课后巩固作业 提升能力分层训练3 A级 基础巩固 / 0112131407080910110203040506索引 解析解析如图，在如图，在ABC中，由已知可得中，由已知可得ACB45， A 01121

15、31407080910110203040506索引 A 0112131407080910110203040506索引 解析解析设塔高设塔高CDx m， C 0112131407080910110203040506索引 C 0112131407080910110203040506索引 AC 0112131407080910110203040506索引 0112131407080910110203040506索引 二、填空题二、填空题 6.已已知知A船在灯塔船在灯塔C北偏东北偏东80处，且处，且A到到C的距离为的距离为2 km， B船在灯塔船在灯塔C北偏西北偏西40，A，B两船的距离为两船的距离为

16、3 km， 则则B到到C的距离为的距离为_km. 解析解析由条件知，由条件知，ACB8040120，设，设BCx km， 则由余弦定理知则由余弦定理知9x244xcos 120， x0， 0112131407080910110203040506索引 7.一船自西向东匀速航行，上午一船自西向东匀速航行，上午10时到达灯塔时到达灯塔P的南偏西的南偏西75，距灯塔，距灯塔68 n mile 的的M处，下午处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的时到达这座灯塔的东南方向的N处，则此船航行的速度为处，则此船航行的速度为 _n mile/h. 解析解析如图，由题意知如图，由题意知MPN7545120， PNM

17、45. 又由又由M到到N所用的时间为所用的时间为14104(h)， MN68 3 2 2 2 34 6(n mile). 0112131407080910110203040506索引 8.如图所示，为测量一树的高度，在地面上选取如图所示，为测量一树的高度，在地面上选取A，B两点，两点， 从从A，B两点分别测得树尖的仰角两点分别测得树尖的仰角30，45，且，且A，B两两 点间的距离为点间的距离为60 m，则树的高度为，则树的高度为_m. 解析解析在在PAB中，中，PAB30，APB15，AB60 m， 0112131407080910110203040506索引 9.如图，一辆汽车在一条水平的公

18、路上向正西行驶，到如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时处时 测得公路北侧一山顶测得公路北侧一山顶D在西偏北在西偏北30的方向上，行驶的方向上，行驶600 m 后到达后到达B处，测得此山顶在西偏北处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为的方向上，仰角为30， 则此山的高度则此山的高度CD_m. 解析解析由题意，在由题意，在ABC中，中，BAC30，ABC18075105， 故故ACB45. 0112131407080910110203040506索引 解解若选择若选择，设，设BACCAD， 0112131407080910110203040506索引 由余弦定理可得由余弦定理可

19、得AC2AB2BC22ABBC 0112131407080910110203040506索引 0112131407080910110203040506索引 S四边形 四边形OACB S AOC S BOC B级 能力提升 / 索引0112131407080910110203040506 AC 0112131407080910110203040506索引 若若A、B、C、D四点共圆，则四边形对角互补；四点共圆，则四边形对角互补； 等边三角形等边三角形ABC中，设中，设ACx(x0)，在，在ADC中，由余弦定理，得中，由余弦定理，得AC2AD2 CD22ADCDcosD，把，把AD3，DC1代入上

20、式，得代入上式，得x2106cosD， D(0，)， 0112131407080910110203040506索引 z z 0112131407080910110203040506索引 0112131407080910110203040506索引 14.某港湾的平面示意图如图所示，某港湾的平面示意图如图所示，O，A，B分别是海岸线分别是海岸线l1，l2上上 的三个集镇，的三个集镇，A位于位于O的正南方向的正南方向6 km处，处，B位于位于O的北偏东的北偏东60 方向方向10 km处处. (1)求集镇求集镇A，B间的距离；间的距离； 解解在在ABO中，中，OA6，OB10，AOB120， 根据余

21、弦定理得根据余弦定理得 所以所以AB14.故集镇故集镇A，B间的距离为间的距离为14 km. 0112131407080910110203040506索引 14.某港湾的平面示意图如图所示，某港湾的平面示意图如图所示，O，A，B分别是海岸线分别是海岸线l1，l2上的上的 三个集镇，三个集镇，A位于位于O的正南方向的正南方向6 km处，处，B位于位于O的北偏东的北偏东60方向方向 10 km处处. (2)随着经济的发展，为缓解集镇随着经济的发展，为缓解集镇O的交通压力，拟在海岸线的交通压力，拟在海岸线l1，l2 上分别修建码头上分别修建码头M，N，开辟水上航线，开辟水上航线.勘测时发现：以勘测时

22、发现：以O为圆心，为圆心， 3 km为半径的扇形区域为浅水区，不适宜船只航行为半径的扇形区域为浅水区，不适宜船只航行.请确定码头请确定码头M， N的位置，使得的位置，使得M，N之间的直线航线最短之间的直线航线最短. 解解依题意得，直线依题意得，直线MN必与圆必与圆O相切相切. 设切点为设切点为C，连接，连接OC(图略图略)，则，则OCMN， 设设OMx，ONy，MNc， 得得1 2 3c1 2xysin 120， ，即即 xy2 3c， 0112131407080910110203040506索引 由余弦定理由余弦定理，得，得c2x2y22xycos 120 x2y2xy3xy， INNOVATIVE DESIGN THANKS本节内容结束