第5节　空间向量及其应用.ppt

1、INNOVATIVE DESIGN 第七章 第5节空间向量及其应用 知识分类落实 考点分层突破 课后巩固作业 内 容 索 引 / 1 2 3 / / 知识分类落实 夯实基础回扣知识1 索引 知识梳理 / 1.空间向量的有关概念空间向量的有关概念 名称名称定义定义 空间向量空间向量空间中空间中既有既有_又有又有_的的量称为空间向量量称为空间向量 相等向量相等向量大小大小_、方向、方向_的的向量向量 相反向量相反向量大小相等、方向相反的向量大小相等、方向相反的向量 共线向量共线向量 (或平行向量或平行向量) 如果两个非零向量的如果两个非零向量的方向方向_，则称这两个向量平则称这两个向量平 行行(或

2、共线或共线) 共面向量共面向量 空间中的多个向量，如果表示它们的有向线段通过平移后，都空间中的多个向量，如果表示它们的有向线段通过平移后，都 能在同一平面内，则称这些向量共面能在同一平面内，则称这些向量共面 大小大小方向方向 相等相等相同相同 相同或者相反相同或者相反 索引 2.空间向量的有关定理空间向量的有关定理 (1)共线向量定理：如果共线向量定理：如果a0且且ba，则存在唯一的实数，则存在唯一的实数，使得，使得ba. (2)共面向量定理：如果两个向量共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，则向量不共线，则向量a，b，c共面的充要条共面的充要条 件是，存在唯一的实数对件是，存在唯一的实数对

3、(x，y)，使，使c_. xayb (3)空间向量基本定理：如果空间中的三个向量空间向量基本定理：如果空间中的三个向量a，b，c不共面，那么对空间中的不共面，那么对空间中的 任意一个向量任意一个向量p，存在唯一的有序实数组，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得，使得p_. 其中，其中，a，b，c称为空间向量的一组基底称为空间向量的一组基底. xaybzc 索引 3.空间向量的数量积空间向量的数量积 (2)两向量的数量积：非零向量两向量的数量积：非零向量a，b的数量积的数量积ab|a|b|cosa，b. 索引 4.空间向量数量积的运算律空间向量数量积的运算律 (1)结合律：结合律：(a)b(

4、ab)； (2)交换律：交换律：abba； (3)分配律：分配律：(ab)cacbc. 索引 5.空间向量的坐标表示及其应用空间向量的坐标表示及其应用 设设a(x1，y1，z1)，b(x2，y2，z2). 索引 6.直线的方向向量和平面的法向量直线的方向向量和平面的法向量 (1)直线的方向向量：如果直线的方向向量：如果l是空间中的一条直线，是空间中的一条直线，v是空间中的一个非零向量，是空间中的一个非零向量， 且表示且表示v的有向线段所在的直线与的有向线段所在的直线与l平行或重合，则称平行或重合，则称v为直线为直线l的一的一个个 _. (2)平面的法向量：如果平面的法向量：如果是空间中的一个平

5、面，是空间中的一个平面，n是空间的一个非零向量，且是空间的一个非零向量，且 表示表示n的有向线段所在的直线与平面的有向线段所在的直线与平面垂直，则称垂直，则称n为平面为平面的一的一个个_， 此时也称此时也称n与平面与平面垂直，记作垂直，记作n. 方向向量方向向量 法向量法向量 索引 7.空间位置关系的向量表示空间位置关系的向量表示 位置关系位置关系向量表示向量表示 直线直线l1，l2的方向向量分别的方向向量分别 为为v1，v2 l1l2v1v2v1v2 l1l2v1v2_ 直线直线l的方向向量为的方向向量为v，平面，平面 的法向量为的法向量为n lvn_ lvnnv 平面平面，的法向量分别为的

6、法向量分别为n1， n2 n1n2n1n2 n1n2_ v1v20 vn0 n1n20 索引 诊断自测 / 索引 1.判断下列结论正误判断下列结论正误(在括号内打在括号内打“”或或“”) (1)直线的方向向量是唯一确定的直线的方向向量是唯一确定的. () (2)若直线若直线a的方向向量和平面的方向向量和平面的法向量平行，则的法向量平行，则a. () (3)若若a，b，c是空间的一个基底，则是空间的一个基底，则a，b，c中至多有一个零向量中至多有一个零向量. () (4)若若ab0，则，则a，b是钝角是钝角. () 解析解析(1)直线的方向向量不是唯一的，有无数多个；直线的方向向量不是唯一的，有

7、无数多个； (2)a； (3)若若a，b，c中有一个是中有一个是0，则，则a，b，c共面，不能构成空间一个基底；共面，不能构成空间一个基底； (4)若若a，b，则，则ab0，故不正确，故不正确. 索引 A 索引 3.正四面体正四面体ABCD的棱长为的棱长为2，E，F分别为分别为BC，AD的中点，则的中点，则EF的长为的长为_. 解析解析 |EF |2EF 2 (EC CD DF )2 2. 索引 4.(多选题多选题)(2021长沙质检长沙质检)下下列各组向量中，是平行向量的是列各组向量中，是平行向量的是 ( ) A.a(1，2，2)，b(2，4，4) B.c(1，0，0)，d(3，0，0) C

8、.e(2，3，0)，f(0，0，0) D.g(2，3，5)，h(16，24，40) 解析解析对于对于A，有，有b2a， 所以所以a与与b是平行向量；是平行向量； 对于对于B，有，有d3c， 所以所以c与与d是平行向量；是平行向量； 对于对于C，f是零向量，与是零向量，与e是平行向量；是平行向量； 对于对于D，不满足，不满足gh， 所以所以g与与h不是平行向量不是平行向量. ABC 索引 解析解析不妨令不妨令CB1，则，则CACC12，可得，可得O(0，0，0)，B(0，0，1)，C1(0，2， 0)，A(2，0，0)，B1(0，2，1)， A 索引 考点分层突破 题型剖析考点聚焦2 索引 考点

9、一空间向量的运算及共线、共面定理 / 自主演练自主演练 BD 索引 对于对于C，因为点，因为点P在线段在线段AN上，且上，且AP3PN， 索引 解析解析由由|a|b|ab|，可得向量，可得向量a，b的方向相反，此时向量的方向相反，此时向量a，b共线，反之，共线，反之， 当向量当向量a，b同向时，不能得到同向时，不能得到|a|b|ab|，所以，所以A不正确；不正确； CD 索引 所以所以A，B，C三点共线，反之也成立，即三点共线，反之也成立，即1是是A，B，C三点三点 共线的充要条件，所以共线的充要条件，所以D正确正确. 索引 解析解析因为点因为点E，F分别为线段分别为线段BC，AD的中点，设的

10、中点，设O为坐标原点，为坐标原点， B 索引 平行平行 索引 又又VA 平面平面PMN， VA平面平面PMN. 索引 感悟升华 索引 【例例1】如如图所示，已知空间四边形图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长的每条边和对角线长 都等于都等于1，点，点E，F，G分别是分别是AB，AD，CD的中点的中点. (1)求证：求证：EGAB； 考点二空间向量的数量积及应用 / 师生共研师生共研 索引 【例例1】如如图所示，已知空间四边形图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长的每条边和对角线长 都等于都等于1，点，点E，F，G分别是分别是AB，AD，CD的中点的中点. (2)求求EG的长

11、；的长； 索引 【例例1】如如图所示，已知空间四边形图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角的每条边和对角 线长都等于线长都等于1，点，点E，F，G分别是分别是AB，AD，CD的中点的中点. (3)求异面直线求异面直线AG和和CE所成角的余弦值所成角的余弦值. 索引 索引 感悟升华 索引 【训练训练1】如如图所示，四棱柱图所示，四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面为中，底面为 平行四边形，以顶点平行四边形，以顶点A为端点的三条棱长都为为端点的三条棱长都为1，且两两，且两两 夹角为夹角为60. (1)求求AC1的长；的长； 则则|a|b|c|1，a，bb，cc，a60， 索引 【训练训练1

12、】如如图所示，四棱柱图所示，四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面为中，底面为 平行四边形，以顶点平行四边形，以顶点A为端点的三条棱长都为为端点的三条棱长都为1，且两两，且两两 夹角为夹角为60. (2)求证：求证：AC1BD； ab|b|2bc|a|2abac bcac |b|c|cos 60|a|c|cos 600. 证明证明 AC1 abc，BD ba， 索引 【训练训练1】如如图所示，四棱柱图所示，四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面为中，底面为 平行四边形，以顶点平行四边形，以顶点A为端点的三条棱长都为为端点的三条棱长都为1，且两两，且两两 夹角为夹角为60. (3)求求BD1与与

13、AC夹角的余弦值夹角的余弦值. b2a2acbc1. 索引 s s 【例例2】如图，在四棱锥如图，在四棱锥PABCD中，中，PA底面底面ABCD， ADAB，ABDC，ADDCAP2，AB1，点，点E 为棱为棱PC的中点的中点.证明：证明： (1)BEDC； 证明证明依题意，以点依题意，以点A为原点建立空间直角坐标系为原点建立空间直角坐标系(如图如图)，可得，可得B(1，0，0)， C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2).由由E为棱为棱PC的中点，得的中点，得E(1，1，1). 考点三利用空间向量证明平行、垂直 / 师生共研师生共研 所以所以BEDC. 索引 【例例2】如图，在四

14、棱锥如图，在四棱锥PABCD中，中，PA底面底面ABCD， ADAB，ABDC，ADDCAP2，AB1，点，点E 为棱为棱PC的中点的中点.证明：证明： (2)BE平面平面PAD； 证明证明因为因为ABAD，又，又PA平面平面ABCD，AB平面平面ABCD， 所以所以ABPA，PAADA，PA，AD平面平面PAD， 所以所以AB平面平面PAD， 又又BE 平面平面PAD， 所以所以BE平面平面PAD. 索引 【例例2】如图，在四棱锥如图，在四棱锥PABCD中，中，PA底面底面ABCD， ADAB，ABDC，ADDCAP2，AB1，点，点E 为棱为棱PC的中点的中点.证明：证明： (3)平面平面

15、PCD平面平面PAD. 则则 nPD 0， nDC 0， 即即 2y 2z0， 2x0， 不妨令不妨令y1，可得，可得n(0，1，1)为平面为平面PCD的一个法向量的一个法向量. 所以平面所以平面PAD平面平面PCD. 索引 1.利用向量法证明平行、垂直关系，关键是建立恰当的坐标系利用向量法证明平行、垂直关系，关键是建立恰当的坐标系(尽可能利用垂直尽可能利用垂直 条件，准确写出相关点的坐标，进而用向量表示涉及到直线、平面的要素条件，准确写出相关点的坐标，进而用向量表示涉及到直线、平面的要素). 2.向量证明的核心是利用向量的数量积或数乘向量，但向量证明仍然离不开立体向量证明的核心是利用向量的数

16、量积或数乘向量，但向量证明仍然离不开立体 几何的有关定理，如在几何的有关定理，如在(2)中忽略中忽略BE 平面平面PAD而致误而致误. 感悟升华 索引 【训练训练2】如如图所示，在四棱锥图所示，在四棱锥PABCD中，中，PC平面平面ABCD， PC2，在四边形，在四边形ABCD中，中，BC90，AB4， CD1，点，点M在在PB上，上，PB4PM，PB与平面与平面ABCD成成30 的角的角.求证：求证： (1)CM平面平面PAD； 证明证明以以C为坐标原点，为坐标原点，CB为为x轴，轴，CD为为y轴，轴，CP为为z轴建立如图所示的空间轴建立如图所示的空间 直角坐标系直角坐标系Cxyz. PC平

17、面平面ABCD， PBC为为PB与平面与平面ABCD所成的角，所成的角， PBC30. 索引 设设n(x，y，z)为平面为平面PAD的一个法向量，的一个法向量， 又又CM 平面平面PAD，CM平面平面PAD. 索引 【训练训练2】如如图所示，在四棱锥图所示，在四棱锥PABCD中，中，PC平面平面ABCD， PC2，在四边形，在四边形ABCD中，中，BC90，AB4， CD1，点，点M在在PB上，上，PB4PM，PB与平面与平面ABCD成成30 的角的角.求证：求证： (2)平面平面PAB平面平面PAD. 设平面设平面PAB的一个法向量的一个法向量m(x0，y0，z0)， 平面平面PAB平面平面

18、PAD. 索引 证明证明 法二法二如图，取如图，取AP的中点的中点E，连接，连接BE， PBAB，BEPA. 又又PADAA，PA，DA平面平面PAD， BE平面平面PAD. 又又BE平面平面PAB， 平面平面PAB平面平面PAD. 课后巩固作业 提升能力分层训练3 A级 基础巩固 / 0112131407080910110203040506索引 一、选择题一、选择题 1.已已知平面知平面内有一点内有一点M(1，1，2)，平面，平面的一个法向量为的一个法向量为n(6，3，6)， 则下列点则下列点P中，在平面中，在平面内的是内的是 ( ) A.P(2，3，3) B.P(2，0，1) C.P(4，

19、4，0) D.P(3，3，4) 点点P在平面在平面内，同理可验证其他三个点不在平面内，同理可验证其他三个点不在平面内内. A 0112131407080910110203040506索引 解析解析因为因为abx23， 所以所以x1， 所以所以b(1，1，2)， D 0112131407080910110203040506索引 3.在下列命题中：在下列命题中： 若向量若向量a，b共线，则向量共线，则向量a，b所在的直线平行；所在的直线平行； 若向量若向量a，b所在的直线为异面直线所在的直线为异面直线，则向量则向量a，b一定不共面；一定不共面； 若三个向量若三个向量a，b，c两两共面两两共面，则向

20、量则向量a，b，c共面；共面； 已知空间的三个向量已知空间的三个向量a，b，c，则对于空间的任意一个向量则对于空间的任意一个向量p总存在实数总存在实数x， y，z使得使得pxaybzc. 其中正确命题的个数是其中正确命题的个数是 () A.0 B.1 C.2 D.3 解析解析a与与b共线共线，a，b所在的直线也可能重合，故不正确；所在的直线也可能重合，故不正确； 根据自由向量的意义知，空间任意两向量根据自由向量的意义知，空间任意两向量a，b都共面，故不正确；都共面，故不正确； 三个向量三个向量a，b，c中任意两个一定共面，但它们三个却不一定共面，故不正中任意两个一定共面，但它们三个却不一定共面

21、，故不正 确；确； 只有当只有当a，b，c不共面时，空间任意一向量不共面时，空间任意一向量p才能表示为才能表示为pxaybzc， 故不正确，综上可知四个命题中正确的个数为故不正确，综上可知四个命题中正确的个数为0. A 0112131407080910110203040506索引 则则|a|b|c|a，且，且a，b，c三向量两两夹角为三向量两两夹角为60. C 1 4(ac bc)1 4(a 2cos 60 a2cos 60)1 4a 2. 0112131407080910110203040506索引 ABC 0112131407080910110203040506索引 B 011213140

22、7080910110203040506索引 又又C1D1平面平面BB1C1C， 所以所以C1D1 (0，a，0)为平面为平面 BB1C1C 的一个法向量的一个法向量. 因为因为MN C1D1 0， 所以所以MN平面平面BB1C1C. 0112131407080910110203040506索引 二、填空题二、填空题 7.已已知平面知平面内的三点内的三点A(0，0，1)，B(0，1，0)，C(1，0，0)，平面，平面的一个法向的一个法向 量量n(1，1，1)，则不重合的两个平面，则不重合的两个平面与与的位置关系是的位置关系是 _. 解析解析设平面设平面的法向量为的法向量为m(x，y，z)， m(

23、1，1，1)，mn，mn，. 0112131407080910110203040506索引 解析解析设设C(x，0，0)，D(0，y，0)， 因为因为A(1，0，2)，B(0，2，1)， 即即x2y2. 0112131407080910110203040506索引 ABAP，ADAP，则，则正确；正确； 又又ABADA，AP平面平面ABCD， 0112131407080910110203040506索引 三、解答题三、解答题 10.如如图，在四棱锥图，在四棱锥PABCD中，中，PD底面底面ABCD，底面，底面ABCD 为正方形，为正方形，PDDC，E，F分别是分别是AB，PB的中点的中点. (

24、1)求证：求证：EFCD； 证明证明如图，以如图，以D为原点，分别以为原点，分别以DA，DC，DP所在直线为所在直线为x轴、轴、y轴、轴、z轴建轴建 立空间直角坐标系，立空间直角坐标系， 设设ADa，则，则D(0，0，0)，A(a，0，0)，B(a，a，0)， 0112131407080910110203040506索引 10.如如图，在四棱锥图，在四棱锥PABCD中，中，PD底面底面ABCD，底面，底面ABCD 为正方形，为正方形，PDDC，E，F分别是分别是AB，PB的中点的中点. (2)在平面在平面PAD内求一点内求一点G，使，使GF平面平面PCB. 解解 设设 G(x，0，z)，则，则

25、FG xa 2， ，a 2， ，za 2 ， 若使若使 GF平面平面 PCB，则，则需需FG CB 0，且，且FG CP 0， 由由FG CB xa 2， ，a 2， ，za 2 (a，0，0)a xa 2 0，得，得 xa 2； ； 0112131407080910110203040506索引 11.如图所示，在四棱锥如图所示，在四棱锥PABCD中，底面中，底面ABCD是正方形，是正方形， 侧棱侧棱PD底面底面ABCD，PDDC，E是是PC的中点，过点的中点，过点 E作作EFPB于点于点F.求证：求证： (1)PA平面平面EDB； 证明证明以以D为坐标原点，射线为坐标原点，射线DA，DC，D

26、P分别为分别为x轴，轴，y轴，轴，z轴的正方向建轴的正方向建 立如图所示的空间直角坐标系立如图所示的空间直角坐标系Dxyz. 设设DCa. 连接连接AC交交BD于点于点G，连接，连接EG. 依题意得依题意得A(a，0，0)，P(0，0，a)，C(0，a，0)， 0112131407080910110203040506索引 因为底面因为底面ABCD是正方形，所以是正方形，所以G为为AC的中点，的中点， 而而EG平面平面EDB，PA 平面平面EDB， 所以所以PA平面平面EDB. 0112131407080910110203040506索引 11.如图所示，在四棱锥如图所示，在四棱锥PABCD中，

27、底面中，底面ABCD是正方形，是正方形， 侧棱侧棱PD底面底面ABCD，PDDC，E是是PC的中点，过点的中点，过点 E作作EFPB于点于点F.求证：求证： (2)PB平面平面EFD. 所以所以PBDE. 由题可知由题可知EFPB，且，且EFDEE， 所以所以PB平面平面EFD. B级 能力提升 / 索引0112131407080910110203040506 解析解析设设AC与与BD相交于相交于O点，连接点，连接OE，由，由AM平面平面BDE，且，且AM平面平面 ACEF，平面，平面ACEF平面平面BDEOE，AMEO， 又又O是正方形是正方形ABCD对角线交点，对角线交点， M为线段为线段

28、EF的中点的中点. C 0112131407080910110203040506索引 解析解析因为以顶点因为以顶点A为端点的三条棱长均为为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是，且它们彼此的夹角都是60， AB 0112131407080910110203040506索引 显然显然AA1D为等边三角形，则为等边三角形，则AA1D60. 0112131407080910110203040506索引 所以所以BDPC. 0112131407080910110203040506索引 设设n(x，y，z)为平面为平面PAB的法向量，的法向量， 0112131407080910110203040506索引 令令z1，得，得xa，所以，所以n(a，0，1)， 所以所以3aaa0，即，即a(14)0， INNOVATIVE DESIGN THANKS本节内容结束