第8节 函数与方程.ppt
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1、INNOVATIVE DESIGN 第二章 第8节函数与方程 知识分类落实 考点分层突破 课后巩固作业 内 容 索 引 / 1 2 3 / / 知识分类落实 夯实基础回扣知识1 索引 知识梳理 / 1.函数的零点函数的零点 (1)函数零点的概念函数零点的概念 一般地,如果函数一般地,如果函数yf(x)在实数在实数处的函数值等于零,即处的函数值等于零,即f()0,则称,则称_为函为函 数数yf(x)的零点的零点. (2)函数零点与方程根的关系函数零点与方程根的关系 方程方程f(x)0有实数根有实数根函数函数yf(x)的图像与的图像与x轴有交点轴有交点函数函数yf(x)有零点有零点. (3)函数零
2、点存在定理函数零点存在定理 如果函数如果函数yf(x)在区间在区间a,b上的图像是连续不断的,并且上的图像是连续不断的,并且f(a)f(b)_ 0(即在区即在区 间两个端点处的函数值异号间两个端点处的函数值异号),则函数,则函数yf(x)在区间在区间(a,b)中至少有一个零点,即中至少有一个零点,即 x0(a,b),f(x0)0. 0)的图像与零点的关系的图像与零点的关系 b24ac000)的图像的图像 与与x轴的交点轴的交点无交点无交点 零点个数零点个数210 (x1,0),(x2,0)(x1,0) 索引 1.若连续不断的函数若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数,则在定义域上是单调函
3、数,则f(x)至多有一个零点至多有一个零点.函数的函数的 零点不是一个零点不是一个“点点”,而是方程,而是方程f(x)0的实根的实根. 2.由函数由函数yf(x)(图像是连续不断的图像是连续不断的)在闭区间在闭区间a,b上有零点不一定能推出上有零点不一定能推出 f(a)f(b)0,如图所示,所以,如图所示,所以f(a)f(b)0是是yf(x)在闭区间在闭区间a,b上有零点的充上有零点的充 分不必要条件分不必要条件. 3.周期函数如果有零点,则必有无穷多个零点周期函数如果有零点,则必有无穷多个零点. 诊断自测 / 索引 1.判断下列结论正误判断下列结论正误(在括号内打在括号内打“”或或“”) (
4、1)函数函数f(x)2x的零点为的零点为0. () (2)图像连续的函数图像连续的函数yf(x)(xD)在区间在区间(a,b)D内有零点,则内有零点,则f(a)f(b)0. ( ) (3)二次函数二次函数yax2bxc(a0)在在b24ac0时没有零点时没有零点. () 解析解析(2)f(a)f(b)0是连续函数是连续函数yf(x)在在(a,b)内有零点的充分不必要条件,内有零点的充分不必要条件, 故故(2)错误错误. 索引 2.已知函数已知函数f(x)的图像是连续不断的,且有如下对应值表:的图像是连续不断的,且有如下对应值表: 在下列区间中,函数在下列区间中,函数f(x)必有零点的区间为必有
5、零点的区间为 () A.(1,2) B.(2,3) C.(3,4) D.(4,5) 解析解析由所给的函数值的表格可以看出,由所给的函数值的表格可以看出,x2与与x3这两个数字对应的函数这两个数字对应的函数 值的符号不同,即值的符号不同,即f(2)f(3)0, 所以函数在所以函数在(2,3)内有零点内有零点. x12345 f(x)42147 B 索引 索引 4.(多选题多选题)(2021威海调研威海调研)下下列说法中正确的是列说法中正确的是 ( ) A.函数函数f(x)x1的零点为的零点为(1,0) B.函数函数f(x)x1的零点为的零点为1 C.函数函数f(x)的零点,即函数的零点,即函数f
6、(x)的图像与的图像与x轴的交点轴的交点 D.函数函数f(x)的零点,即函数的零点,即函数f(x)的图像与的图像与x轴的交点的横坐标轴的交点的横坐标 解析解析根据函数零点的定义,可知根据函数零点的定义,可知f(x)x1的零点为的零点为1.函数函数yf(x)的零点,的零点, 即函数即函数yf(x)的图像与的图像与x轴的交点的横坐标,因此轴的交点的横坐标,因此B,D正确,正确,A,C错误错误. BD 索引 5.(2019全国全国卷卷)函函数数f(x)2sin xsin 2x在在0,2的零点个数为的零点个数为 ( ) A.2 B.3 C.4 D.5 解析解析由由2sin xsin 2x0,得,得si
7、n x0或或cos x1. 又又x0,2,由,由sin x0,得,得x0,2. 由由cos x1,得,得x0,2. f(x)0有三个实根有三个实根0,2, 即即f(x)在在0,2上有三个零点上有三个零点. B 索引 6.(2021唐山检测唐山检测)方方程程2x3xk的解在的解在1,2)内,则内,则k的取值范围是的取值范围是_. 解析解析令函数令函数f(x)2x3xk,则,则f(x)在在R上是增函数上是增函数. 当方程当方程2x3xk的解在的解在(1,2)内时,内时,f(1)f(2)0, 即即(5k)(10k)0, 解得解得5k10. 又当又当f(1)0时,时,k5. 综上,实数综上,实数k的取
8、值范围是的取值范围是5,10). 5,10) 考点分层突破 题型剖析考点聚焦2 索引 1.(多选题多选题)(2021菏泽质检菏泽质检)函函数数f(x)exx2在下列哪个区间内必有零点在下列哪个区间内必有零点( ) A.(2,1) B.(1,0) C.(0,1) D.(1,2) 因为因为f(2)f(1)0,f(1)f(2)0, 所以所以f(x)在在(2,1)和和(1,2)内存在零点内存在零点. 考点一函数零点所在区间的判定 / 自主演练自主演练 AD 解析解析 f(2) 1 e2 0, f(1)1 e 10, f(0)10, f(1)e30, 索引 f(1)f(2)0,又,又f(x)在在(0,)
9、上单调递增,上单调递增, 函数函数f(x)在在(0,)上只有一个零点,且零点在上只有一个零点,且零点在(1,2)内内. B 索引 3.若若abc,则函数,则函数f(x)(xa)(xb)(xb)(xc)(xc)(xa)的两个零点分的两个零点分 别位于区间别位于区间 () A.(a,b)和和(b,c)内内B.(,a)和和(a,b)内内 C.(b,c)和和(c,)内内D.(,a)和和(c,)内内 解析解析ab0, f(b)(bc)(ba)0, 由函数零点存在性定理可知,在区间由函数零点存在性定理可知,在区间(a,b),(b,c)内分别存在零点,内分别存在零点, 又函数又函数f(x)是二次函数,最多有
10、两个零点,是二次函数,最多有两个零点, 因此函数因此函数f(x)的两个零点分别位于区间的两个零点分别位于区间(a,b),(b,c)内内. A 索引 4.已知函数已知函数f(x)logaxxb(a0且且a1).当当2a3b4时,函数时,函数f(x)的零点的零点x0(n, n1),nN*,则,则n_. 解析解析对于函数对于函数ylogax, 当当x2时,可得时,可得y1,在同一坐标系中画出函数,在同一坐标系中画出函数ylogax, yxb的图像,判断两个函数图像的交点的横坐标在的图像,判断两个函数图像的交点的横坐标在(2,3)内,内, 函数函数f(x)的零点的零点x0(n,n1)时,时,n2. 2
11、 索引 1.确定函数确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法:的零点所在区间的常用方法: (1)利用函数零点存在性定理:首先看函数利用函数零点存在性定理:首先看函数yf(x)在区间在区间a,b上的图像是否连上的图像是否连 续,再看是否有续,再看是否有f(a)f(b)0.若有,则函数若有,则函数yf(x)在区间在区间(a,b)内必有零点内必有零点. (2)数形结合法:通过画函数图像,观察图像与数形结合法:通过画函数图像,观察图像与x轴在给定区间上是否有交点来轴在给定区间上是否有交点来 判断判断. 2.函数零点存在性定理只能判断函数在某个区间上的变号零点,不满足条件时,函数零点存在性定理只能判断函
12、数在某个区间上的变号零点,不满足条件时, 一定要结合函数性质进行分析判断一定要结合函数性质进行分析判断. 感悟升华 索引 解得解得x2或或xe. 因此函数因此函数f(x)共有共有2个零点个零点. 法二法二函数函数f(x)的图像如图所示,由图像知函数的图像如图所示,由图像知函数f(x)共共 有有2个零点个零点. 考点二确定函数零点的个数 / 师生共研师生共研 B 索引 解析解析由由f(x1)f(x),得,得f(x2)f(x),知周期,知周期T2, 令令f(x)|x|0, 得得f(x)|x|. 作出函数作出函数yf(x)与与g(x)|x|的图像如图所示的图像如图所示. 由函数的图像知,由函数的图像
13、知,yf(x)|x|有两个零点有两个零点. A 索引 函数零点个数的判断方法:函数零点个数的判断方法: (1)直接求零点,令直接求零点,令f(x)0,有几个解就有几个零点;,有几个解就有几个零点; (2)零点存在性定理,要求函数在区间零点存在性定理,要求函数在区间a,b上是连续不断的曲线,且上是连续不断的曲线,且f(a)f(b)0, 再结合函数的图像与性质确定函数零点个数;再结合函数的图像与性质确定函数零点个数; (3)利用图像交点个数,作出两函数图像,观察其交点个数即得零点个数利用图像交点个数,作出两函数图像,观察其交点个数即得零点个数. 感悟升华 索引 【训练训练1】 (1)(2021重庆
14、调研重庆调研)设设函数函数f(x)2|x|x23,则函数,则函数yf(x)的零点个的零点个 数是数是 ( ) A.4 B.3 C.2 D.1 解析解析易知易知f(x)是偶函数,是偶函数, 当当x0时,时,f(x)2xx23, 所以所以x0时,时,f(x)在在0,)上是增函数,上是增函数, 且且f(1)0,所以,所以x1是函数是函数yf(x)在在0,)上的唯一零点上的唯一零点. 根据奇偶性,知根据奇偶性,知x1是是yf(x)在在(,0)内的零点,内的零点, 因此因此yf(x)有两个零点有两个零点. C 索引 解析解析f(x)2sin xcos xx2sin 2xx2,函数,函数f(x)的零点个数
15、可转化为函数的零点个数可转化为函数y1 sin 2x与与y2x2图像的交点个数,在同一坐标系中画出图像的交点个数,在同一坐标系中画出y1sin 2x与与y2x2的图像如的图像如 图所示:图所示: 由图可知两函数图像有由图可知两函数图像有2个交点,则个交点,则f(x)的零点个数为的零点个数为2. 2 索引 角度角度1根据函数零点个数求参数根据函数零点个数求参数 【例例2】 (1)设设实数实数a,b是关于是关于x的方程的方程|lg x|c的两个不同实数根,且的两个不同实数根,且ab10,则,则 abc的取值范围是的取值范围是_. 解析解析由题意知,如图,在由题意知,如图,在(0,10)上,函数上,
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