第6节　正弦定理和余弦定理.ppt

1、INNOVATIVE DESIGN 第四章 第6节正弦定理和余弦定理 知识分类落实 考点分层突破 课后巩固作业 内 容 索 引 / 1 2 3 / / 知识分类落实 夯实基础回扣知识1 索引 知识梳理 / 1.正、余弦定理正、余弦定理 在在ABC中，若角中，若角A，B，C所对的边分别是所对的边分别是a，b，c，R为为ABC外接圆半径，则外接圆半径，则 b2c22bccos A c2a22cacos B a2b22abcos C 索引 2Rsin B2Rsin C sin Asin Bsin C 索引 2.在在ABC中，已知中，已知a，b和和A时，解的情况如下：时，解的情况如下： A为锐角为锐角

2、A为钝角或直角为钝角或直角 图形图形 关系式关系式absin Absin Aabab 解的个数解的个数一解一解两解两解一解一解一解一解无解无解 索引 3.三角形常用面积公式三角形常用面积公式 索引 诊断自测 / 索引 1.判断下列结论正误判断下列结论正误(在括号内打在括号内打“”或或“”) (1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比三角形中三边之比等于相应的三个内角之比. () (2)在在ABC中，若中，若sin Asin B，则，则AB. () (3)在在ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素. () (4)当当b2c2a20时，时，AB

3、C为锐角三角形；当为锐角三角形；当b2c2a20时，时，ABC为直为直 角三角形；当角三角形；当b2c2a20时，时，ABC不一定为锐角三角形不一定为锐角三角形. 索引 A 索引 3.在在ABC中，中，cos Acos B，则这个三角形的形状为，则这个三角形的形状为_. 解析解析因为在因为在ABC中，中，cos Acos B， 所以所以AB， 所以这个三角形为等腰三角形所以这个三角形为等腰三角形. 等腰三角形等腰三角形 索引 解析解析因为因为a2b2c22abcos C， 所以所以tan C1. C 索引 C 所以所以ABBC.过点过点B作作BDAC，交，交AC于点于点D， 索引 6.(201

4、9浙江卷浙江卷)在在ABC中，中，ABC90，AB4，BC3，点，点D在线段在线段AC上上. 若若BDC45，则，则BD_，cosABD_. 在在BDC中，由正弦定理可得中，由正弦定理可得 索引 由由ABCABDCBD90， 可得可得cos ABDcos(90CBD)sin CBD sin(CBDC) sin(CBDC) sin Ccos BDCcos Csin BDC 考点分层突破 题型剖析考点聚焦2 索引 所以所以B45或或135， 因为因为bc， 所以所以B0， 所以所以sin Csin Bcos A， 即即sin(AB)sin Bcos A， 所以所以sin Acos B0， 所以所以

5、cos B0， 即即B为钝角，所以为钝角，所以ABC为钝角三角形为钝角三角形. A 索引 解析解析tan Atan Btan(AB)(1tan Atan B)， tan Atan Btan Ctan(AB)(1tan Atan B)tan C tan C(1tan Atan B)tan Ctan Atan Btan C0， A，B，C均为锐角，均为锐角， 选项选项A正确；正确； 由由acos Abcos B及正弦定理，可得及正弦定理，可得sin 2Asin 2B， ACD 索引 ABC是等腰三角形或直角三角形，是等腰三角形或直角三角形， 选项选项B错误；错误； 由由bcos Cccos Bb及

6、正弦定理，及正弦定理， 可知可知sin Bcos Csin Ccos Bsin B， sin Asin B， AB，则，则ABC是等腰三角形，是等腰三角形， 选项选项C正确；正确； 由已知和正弦定理，易知由已知和正弦定理，易知tan Atan Btan C，ABC， 则则ABC是等边三角形，是等边三角形， 选项选项D正确正确. 索引 考点三和三角形面积有关的问题 / 师生共研师生共研 解解若选若选，由于，由于ABC的内角的内角A，B，C的对边分别为的对边分别为a，b，c， 且且btan A(2cb)tan B， sin Acos B2sin Ccos Asin Bcos A， 即即sin(AB

7、)2sin Ccos A，即，即sin C2sin Ccos A. sin C0， 索引 化简可得化简可得2cos2Acos A1， 索引 解解由由(1)及余弦定理可得及余弦定理可得a2b2c2bc(bc)23bc. 索引 与三角形面积有关问题的解题策略：与三角形面积有关问题的解题策略：(1)利用正弦、余弦定理解三角形，求出三利用正弦、余弦定理解三角形，求出三 角形的相关边、角之后，直接求三角形的面积；角形的相关边、角之后，直接求三角形的面积；(2)把面积作为已知条件之一，把面积作为已知条件之一， 与正弦、余弦定理结合求出三角形的其他量与正弦、余弦定理结合求出三角形的其他量. 感悟升华 索引

8、【训练训练3】(2020北京卷北京卷)在在ABC中，中，ab11，再从条件，再从条件、条件、条件这两个条这两个条 件中选择一个作为已知，求：件中选择一个作为已知，求： (1)a的值；的值； 解解(从条件从条件中任选一个即可中任选一个即可) 在在ABC中，由余弦定理，得中，由余弦定理，得 解得解得a8. 索引 sin A 1cos2A1 1 64 3 7 8 ，sin B 1cos2B1 9 16 2 5 7 16 . 在在ABC中，由正弦定理，可得中，由正弦定理，可得 又又ab11，a6，b5. 【训练训练3】(2020北京卷北京卷)在在ABC中，中，ab11，再从条件，再从条件、条件、条件这

9、两个条这两个条 件中选择一个作为已知，求：件中选择一个作为已知，求： (1)a的值；的值； 索引 在在ABC中，由正弦定理，得中，由正弦定理，得 索引 ab11，a8， b3， 索引 选条件选条件：sin Csin(AB)sin(AB) sin Acos Bcos Asin B 索引 设设ABC的三边是的三边是a，b，c，它们所对的角分别是，它们所对的角分别是A，B，C，则有：，则有： abcos Cccos B；bccos Aacos C；cacos Bbcos A. 注：以注：以“abcos Cccos B”为例，为例，b，c在在a上的射影分别为上的射影分别为bcos C，ccos B，故

10、名射影定理，故名射影定理. 证明证明如图，在如图，在ABC中，中，ADBC， 则则bcos CCD，ccos BBD， 故故bcos Cccos BCDBDBCa， 即即abcos Cccos B， 同理可证同理可证bccos Aacos C， cacos Bbcos A. 射影定理的活用赏析射影定理的活用赏析 索引 【例例1】在在ABC中，角中，角A，B，C的对边分别为的对边分别为a，b，c.若若ABC为锐角三角形，为锐角三角形， 且满足且满足sin B(12cos C)2sin Acos Ccos A sin C，则下列等式成立的是，则下列等式成立的是 () A.a2bB.b2aC.A2B

11、D.B2A 通法通法法一法一因为因为sin B(12cos C)2sin Acos Ccos Asin C， 所以所以sin B2sin Bcos Csin Acos Csin(AC)， 所以所以sin B2sin Bcos Csin Acos Csin B， 即即cos C(2sin Bsin A)0， 所以所以cos C0或或2sin Bsin A， 即即C90或或2ba， 又又ABC为锐角三角形，为锐角三角形， 所以所以0Cc2，故，故2ba，故选，故选A. 索引 优解优解由正弦定理及由正弦定理及sin B(12cos C)2sin Acos Ccos Asin C得得b 2bcos C

12、2acos Cccos Aacos C(acos Cccos A)acos Cb，即，即 2bcos Cacos C， 又因为又因为ABC为锐角三角形，为锐角三角形， 所以所以cos C0，则，则2ba. 索引 【例例2】ABC的的内角内角A，B，C的对边分别为的对边分别为a，b，c，若，若2bcos Bacos Cccos A，则，则B_. 即即a2c2b2ac， 索引 优解优解由射影定理得由射影定理得acos Cccos Ab， 索引 射影定理和正、余弦定理一样实现了边角之间的转换，运用射影定理整体代入，射影定理和正、余弦定理一样实现了边角之间的转换，运用射影定理整体代入， 大大简化了运算

13、过程，取得了事半功倍的神奇效果大大简化了运算过程，取得了事半功倍的神奇效果. 思维升华 课后巩固作业 提升能力分层训练3 A级 基础巩固 / 0112131407080910110203040506索引 解析解析a2c2b22cbcos A， 13c292c3cos 60， 即即c23c40，解得，解得c4或或c1(舍去舍去). C 0112131407080910110203040506索引 ba，B60或或120. C 0112131407080910110203040506索引 所以所以AB3， A 0112131407080910110203040506索引 B 因为因为B(0，)，

14、0112131407080910110203040506索引 A 因为因为0A0)， 则则AD3x，AC23x，BC2x， 易知易知cosADCcosBDC. 0 0112131407080910110203040506索引 则则 sin Bsin(AC)sin Acos Ccos Asin C 5 3 3 2 2 3 1 2 152 6 . 0112131407080910110203040506索引 因为因为0sin B1， 所以所以0b3， 又因为又因为bN*，故，故b只能取只能取1，2，3. 0112131407080910110203040506索引 因为因为ba， 若若 b1，则，

15、则 sin B1 3， ， 因为因为ba， 若若b3，则，则sin B1， 所以所以B90， 0112131407080910110203040506索引 解解由题设及余弦定理，由题设及余弦定理， 0112131407080910110203040506索引 解解在在ABC中，中，A180BC30C， sin(30C)， 而而0C30， 所以所以3030C60， 所以所以30C45，故，故C15. B级 能力提升 / 索引0112131407080910110203040506 解析解析以以BC的中点为坐标原点，的中点为坐标原点，BC所在直线为所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，轴，建立平面直

16、角坐标系， 可得可得B(3，0)，C(3，0)， 4sin B5sin C，可得，可得4b5c，设，设A(m，n)， 平方可得平方可得16(m2n26m9)25(m2n26m9)， ACD 0112131407080910110203040506索引 a6，4sin B5sin C， 即即4b5c，设，设b5t，c4t， 由由3616t225t2，可得，可得t2， 满足条件的满足条件的ABC可能是直角三角形，故可能是直角三角形，故B错误；错误； a6，4sin B5sin C，A2C，可得，可得B3C， 0112131407080910110203040506索引 由由 b sin B c s

17、in C，可得 ，可得 5c 4 sin（3C） c sin C sin C 1cos2C 7 4 ， 可得可得 sin A2sin Ccos C23 4 7 4 3 7 8 ， 0112131407080910110203040506索引 则则abc15，故，故C正确；正确； 0112131407080910110203040506索引 13.已知在已知在ABC中，内角中，内角A，B，C的对边分别为的对边分别为a，b，c，若，若a2b2c2bc， a3，则，则ABC的周长的最大值为的周长的最大值为_. 解析解析a2b2c2bc， bcb2c2a2， A(0，)， 9 011213140708

18、0910110203040506索引 法一法一a3， 当当 B 3时，周长取得最大值 时，周长取得最大值 9. 0112131407080910110203040506索引 法二法二a3， 由余弦定理得由余弦定理得9b2c2bc， (bc)23bc9， (bc)236， bc0， 0bc6，当且仅当，当且仅当bc时取时取“”， abc9， ABC的周长最大值为的周长最大值为9. 0112131407080910110203040506索引 解解若选若选，由正弦定理得，由正弦定理得 sin C0， C(0，)， 0112131407080910110203040506索引 2A 6 6， ，7 6 ， 0112131407080910110203040506索引 sin A0， C(0，)， 余下同余下同. 若选若选，由正弦定理得，由正弦定理得(ba)2c2ba， C(0，)， 余下同余下同. INNOVATIVE DESIGN THANKS本节内容结束