第3节　函数的奇偶性与周期性.ppt

1、INNOVATIVE DESIGN 第二章 第3节函数的奇偶性与周期性 知识分类落实 考点分层突破 课后巩固作业 内 容 索 引 / 1 2 3 / / 知识分类落实 夯实基础回扣知识1 索引 知识梳理 / 1.函数的奇偶性函数的奇偶性 奇偶性奇偶性定义定义图像特点图像特点 偶函数偶函数 一般地，设函数一般地，设函数yf(x)的定义域为的定义域为D，如果对，如果对D内的任内的任 意一个意一个x，都有，都有xD，且且_， 则称则称yf(x)为偶函数为偶函数. 关于关于_对对 称称 奇函数奇函数 一般地，设函数一般地，设函数yf(x)的定义域为的定义域为D，如果对，如果对D内的任内的任 意一个意一

2、个x，都有，都有xD，且且_， 则称则称yf(x)为奇函数为奇函数. 关于关于_对对 称称 f f( (x x) )f f( (x x) ) f f( (x x) )f f( (x x) ) y y轴轴 原点原点 索引 2.函数的周期性函数的周期性 (1)周期函数：一般地，对于函数周期函数：一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零常数，如果存在一个非零常数T，使得对，使得对 定义域内的每一个定义域内的每一个x，都满足，都满足f(xT)_，那么就称，那么就称f(x)为周期为周期 函数，非零常数函数，非零常数T称为这个函数的周期称为这个函数的周期. (2)最小正周期：如果在周期函数最小正周期：如

3、果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，的所有周期中存在一个最小的正数， 那么这个最小正数就叫做那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期的最小正周期. f(x) 索引 索引 诊断自测 / 索引 1.判断下列结论正误判断下列结论正误(在括号内打在括号内打“”或或“”) (1)函数函数yx2在在x(0，)上是偶函数上是偶函数. () (2)若函数若函数f(x)为奇函数，则一定有为奇函数，则一定有f(0)0. () (3)若若T是函数的一个周期，则是函数的一个周期，则nT(nZ，n0)也是函数的周期也是函数的周期. () 解析解析(1)由于偶函数的定义域关于原点对称，故由于偶函数的定义

4、域关于原点对称，故yx2在在(0，)上不具有奇偶上不具有奇偶 性，性，(1)错误错误. (2)由奇函数定义可知，若由奇函数定义可知，若f(x)为奇函数，且在为奇函数，且在x0处有意义时才满足处有意义时才满足f(0)0， (2)错误错误. 索引 2.下列函数中为偶函数的是下列函数中为偶函数的是 () A.yx2sin xB.yx2cos x C.y|ln x| D.y2 x 解析解析根据偶函数的定义知偶函数满足根据偶函数的定义知偶函数满足f(x)f(x)，且定义域关于原点对称，且定义域关于原点对称， A选项为奇函数；选项为奇函数；B选项为偶函数；选项为偶函数；C选项的定义域为选项的定义域为(0，

5、)，不具有奇偶性；，不具有奇偶性； D选项既不是奇函数，也不是偶函数选项既不是奇函数，也不是偶函数. B 索引 解析解析由由f(x3)f(x)知函数知函数f(x)的周期为的周期为3， 又函数又函数f(x)为奇函数，为奇函数， 索引 4.(2020江苏卷改编江苏卷改编)已已知知yf(x)是奇函数，当是奇函数，当x0时，时，f(x)x ，则，则f(8)的值是的值是 () A.8 B.8 C.4 D.4 解析解析f(8)8 4，因为，因为f(x)为奇函数，所以为奇函数，所以f(8)f(8)4. D 索引 5.(多选题多选题)(2021日照质检日照质检)函函数数f(x)的定义域为的定义域为R，且，且f

6、(x1)与与f(x2)都为奇函数，都为奇函数， 则则 ( ) A.f(x)为奇函数为奇函数B.f(x)为周期函数为周期函数 C.f(x3)为奇函数为奇函数D.f(x4)为偶函数为偶函数 解析解析由由f(x1)与与f(x2)都为奇函数知函数都为奇函数知函数f(x)的图像关于点的图像关于点(1，0)，(2，0)对对 称，称， 所以所以f(x)f(2x)0，f(x)f(4x)0， 所以所以f(2x)f(4x)，即，即f(x)f(x2)， 所以所以f(x)是以是以2为周期的函数为周期的函数. 所以所以f(x)，f(x3)，f(x4)均为奇函数均为奇函数. ABC 索引 6.(2021全国大联考全国大联

7、考)已已知知f(x)exeax是偶函数，则是偶函数，则f(x)的最小值为的最小值为_. 解析解析f(x)exeax是偶函数，是偶函数， f(1)f(1)，得，得eeae 1 e a，则 ，则a1. 当且仅当当且仅当x0时取等号，时取等号， 故函数故函数f(x)的最小值为的最小值为2. 2 考点分层突破 题型剖析考点聚焦2 索引 考点一函数的奇偶性及其应用 / 多维探究多维探究 解解 由由 3 x20， x230 得得 x23，解得，解得 x 3， 即函数即函数 f(x)的定义域为的定义域为 3， 3， 因此因此f(x)f(x)且且f(x)f(x)， 函数函数f(x)既是奇函数又是偶函数既是奇函

8、数又是偶函数. 索引 解解显然函数显然函数f(x)的定义域为的定义域为(，0)(0，)，关于原点对称，关于原点对称. 当当x0， 则则f(x)(x)2xx2xf(x)； 当当x0时，时，x0， 则则f(x)(x)2xx2xf(x)； 综上可知，对于定义域内的任意综上可知，对于定义域内的任意x，总有，总有f(x)f(x)成立，成立， 函数函数f(x)为奇函数为奇函数. 索引 解解显然函数显然函数f(x)的定义域为的定义域为R， 故故f(x)为奇函数为奇函数. 索引 判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件： (1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要

9、不充分条件，所以首先考定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考 虑定义域；虑定义域； (2)判断判断f(x)与与f(x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判 断奇偶性的等价等量关系式断奇偶性的等价等量关系式(f(x)f(x)0(奇函数奇函数)或或f(x)f(x)0(偶函数偶函数) 是否成立是否成立. 感悟升华 索引 角度角度2函数奇偶性的应用函数奇偶性的应用 【例例2】 (1)(2019全国全国卷卷)已已知知f(x)是奇函数，且当是奇函数，且当x0，x0时，时，f(x)f(x)(e ax) e ax，

10、 ， 所以所以f(ln 2)e aln 2 eln 2 a 2 a 823， 即即2 a 23， 所以所以a3. 3 索引 【例例2】 (2)设设奇函数奇函数f(x)的定义域为的定义域为5，5，若当，若当x0，5时，时， f(x)的图像如图所示，则不等式的图像如图所示，则不等式f(x)0的解集是的解集是_. 解析解析由图像知，当由图像知，当0 x0； 当当2x5时，时，f(x)0，又，又f(x)是奇函数，是奇函数， 当当2x0时，时，f(x)0，当，当5x0. 综上，综上，f(x)0的解集为的解集为(2，0)(2，5. (2，0)(2，5 索引 1.利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值，求

11、解的关键在于借助奇偶性利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性 转化为求已知区间上的函数或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值转化为求已知区间上的函数或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值. 2.画函数图像：利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图像，结合几画函数图像：利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图像，结合几 何直观求解相关问题何直观求解相关问题. 感悟升华 索引 B中，函数中，函数yxln x的定义域为的定义域为(0，)，非奇非偶函数，非奇非偶函数. B 索引 【训练训练1】 (2)已已知知f(x)为定义在为定义在R上的奇函数，当上的奇函数

12、，当x0时，时，f(x)2xm，则，则f(3) _. 解析解析因为因为f(x)为为R上的奇函数，所以上的奇函数，所以f(0)0， 即即f(0)20m0，解得，解得m1， 故故f(x)2x1(x0)， 则则f(3)f(3)(231)7. 7 索引 考点二函数的周期性及其应用 / 自主演练自主演练 1 索引 解析解析由由f(x2)f(x2)，知，知yf(x)的周期的周期T4， 又又f(x)是定义在是定义在R上的奇函数，上的奇函数， A 索引 3.已知已知f(x)是定义域为是定义域为(，)的奇函数，满足的奇函数，满足f(1x)f(1x).若若f(1)2，则，则 f(1)f(2)f(3)f(50)()

13、 A.50 B.0 C.2 D.50 解析解析法一法一f(x)在在R上是奇函数，且上是奇函数，且f(1x)f(1x). f(x1)f(x1)，即，即f(x2)f(x). 因此因此f(x4)f(x)，则函数，则函数f(x)是周期为是周期为4的函数，的函数， 由于由于f(1x)f(1x)，f(1)2， 故令故令x1，得，得f(0)f(2)0， 令令x2，得，得f(3)f(1)f(1)2， 令令x3，得，得f(4)f(2)f(2)0， 故故f(1)f(2)f(3)f(4)20200， 所以所以f(1)f(2)f(3)f(50)120f(1)f(2)2. C 索引 法二法二由题意可设由题意可设 由图可

14、知，由图可知，f(x)的一个周期为的一个周期为4， 所以所以f(1)f(2)f(3)f(50)12f(1)f(2)f(3)f(4)f(49)f(50) 120f(1)f(2)2. 索引 4.已知已知f(x)是是R上最小正周期为上最小正周期为2的周期函数，且当的周期函数，且当0 x2时，时，f(x)x3x，则函数，则函数y f(x)的图像在区间的图像在区间0，6上与上与x轴的交点个数为轴的交点个数为_. 解析解析因为当因为当0 x2时，时，f(x)x3x.又又f(x)是是R上最小正周期为上最小正周期为2的周期函数，且的周期函数，且 f(0)0， 则则f(6)f(4)f(2)f(0)0. 又又f(

15、1)0， f(3)f(5)f(1)0， 故函数故函数yf(x)的图像在区间的图像在区间0，6上与上与x轴的交点有轴的交点有7个个. 7 索引 1.求解与函数的周期有关问题，应根据题目特征及周期定义，求出函数的周期求解与函数的周期有关问题，应根据题目特征及周期定义，求出函数的周期. 2.利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题， 转化到已知区间上，进而解决问题转化到已知区间上，进而解决问题. 感悟升华 索引 【例例3】 (1)已已知奇函数知奇函数f(x)在在R上是增函数，上是增函数，g(x)xf(x).

16、若若ag(log25.1)，b g(20.8)，cg(3)，则，则a，b，c的大小关系为的大小关系为() A.abcB.cba C.bacD.bclog25.1220.8，且，且ag(log25.1)g(log25.1)， g(3)g(log25.1)g(20.8)，则，则cab. 考点三函数性质的综合运用 / 多维探究多维探究 角度角度1函数的单调性与奇偶性函数的单调性与奇偶性 C 索引 【例例3】 (2)(2020新高考山东、海南卷新高考山东、海南卷)若若定义在定义在R的奇函数的奇函数f(x)在在(，0)单调递减，单调递减， 且且f(2)0，则满足，则满足xf(x1)0的的x的取值范围是的

17、取值范围是() A.1，13，) B.3，10，1 C.1，01，) D.1，01，3 解析解析因为函数因为函数f(x)为定义在为定义在R上的奇函数，上的奇函数， 所以所以f(0)0.又又f(x)在在(，0)单调递减，单调递减， 且且f(2)0，画出函数，画出函数f(x)的大致图像如图的大致图像如图(1)所示，所示， 则函数则函数f(x1)的大致图像如图的大致图像如图(2)所示所示. D 索引 当当x0时，要满足时，要满足xf(x1)0， 则则f(x1)0， 得得1x0. 当当x0时，要满足时，要满足xf(x1)0， 则则f(x1)0，得，得1x3. 故满足故满足xf(x1)0的的x的取值范围

18、是的取值范围是1，01，3. 故选故选D. 索引 1.比较函数值的大小问题，可以利用奇偶性，把不在同一单调区间上的两个或比较函数值的大小问题，可以利用奇偶性，把不在同一单调区间上的两个或 多个自变量的函数值转化到同一单调区间上，再利用函数的单调性比较大小；多个自变量的函数值转化到同一单调区间上，再利用函数的单调性比较大小； 2.对于抽象函数不等式的求解，应变形为对于抽象函数不等式的求解，应变形为f(x1)f(x2)的形式，再结合单调性，脱的形式，再结合单调性，脱 去去“f”变成常规不等式，转化为变成常规不等式，转化为x1x2)求解求解. 感悟升华 索引 解析解析依题意，知依题意，知f(2x)f

19、(x)f(x)，则，则f(4x)f(x)， 所以所以f(x)是周期函数，且周期为是周期函数，且周期为4. 又又2log253，则，则12log250， 所以所以f(log220)f(2log25)f(log252) B 索引 解析解析因为因为f(x)是定义在是定义在R上的以上的以3为周期的偶函数为周期的偶函数. f(5)f(1)f(1)3可化为可化为0|lg x|0. 由由0aln 2f(0)0， clog 21，则，则f(c)f(1)f(1)0， 所以所以f(c)f(b)f(3) B.f(2)f(6) C.f(3)f(5) D.f(3)f(6) 解析解析yf(x4)为偶函数，为偶函数， f(

20、x4)f(x4)， 因此因此yf(x)的图像关于直线的图像关于直线x4对称，对称， f(2)f(6)，f(3)f(5). 又又yf(x)在在(4，)上为减函数，上为减函数， f(5)f(6)，所以，所以f(3)f(6). BCD 0112131407080910110203040506索引 D 0112131407080910110203040506索引 6.(多选题多选题)(2021武汉质检武汉质检)设设f(x)为定义在为定义在R上的函数，上的函数，f(x)f(x)0， f(x1)f(x3)0，f(x)在在0，1上单调递减，下列说法正确的是上单调递减，下列说法正确的是 ( ) A.函数函数f

21、(x)的图像关于的图像关于y轴对称轴对称 B.函数函数f(x)的最小正周期为的最小正周期为2 C.f(3)f(4) D.函数函数f(x)在在2 021，2 022上单调递减上单调递减 解析解析由由f(x)f(x)0可得可得f(x)f(x)，故函数，故函数f(x)是偶函数，图像关于是偶函数，图像关于y轴轴 对称，所以对称，所以A正确；正确； 由由f(x1)f(x3)0可得可得f(x1)f(x3)，f(x)f(x2)， 即函数即函数f(x)的最小正周期为的最小正周期为2，所以，所以B正确；正确； 因为函数因为函数f(x)是偶函数，且在是偶函数，且在0，1上单调递减，最小正周期为上单调递减，最小正周

22、期为2， 故函数故函数f(x)在在1，2上单调递增，在上单调递增，在3，4上单调递增，上单调递增，f(3)f(4)，故，故C正确；正确； 因为函数因为函数f(x)的最小正周期为的最小正周期为2， 所以函数所以函数f(x)在在2 021，2 022与在与在1，2上单调性一致，上单调性一致， 故函数故函数f(x)在在2 021，2 022上单调递增，所以上单调递增，所以D错误，故选错误，故选ABC. ABC 0112131407080910110203040506索引 二、填空题二、填空题 7.已已知奇函数知奇函数f(x)在区间在区间3，6上是增函数，且在区间上是增函数，且在区间3，6上的最大值为

23、上的最大值为8，最，最 小值为小值为1，则，则f(6)f(3)的值为的值为_. 解析解析由于由于f(x)在在3，6上为增函数，上为增函数， 所以所以f(x)的最大值为的最大值为f(6)8，f(x)的最小值为的最小值为f(3)1， 因为因为f(x)为奇函数，所以为奇函数，所以f(3)f(3)1， 所以所以f(6)f(3)819. 9 0112131407080910110203040506索引 解析解析由由f(x1)f(x1)， 得得f(x2)f(x1)1f(x1)1f(x)， 所以所以f(x)是周期为是周期为2的周期函数的周期函数. 又又f(5)f(4.5)， 所以所以f(1)f(0.5)，

24、即即1a1.5，解得，解得a2.5. 2.5 0112131407080910110203040506索引 解析解析由已知得函数由已知得函数f(x)为偶函数，为偶函数， 所以所以f(x)f(|x|)， 由由f(x)f(2x1)，可得，可得f(|x|)f(|2x1|). 由由f(|x|)f(|2x1|)，可得，可得|x|2x1|， 两边平方可得两边平方可得x2(2x1)2，整理得，整理得3x24x10， 所以符合题意的所以符合题意的 x 的取值范围为的取值范围为 1 3， ，1 . 0112131407080910110203040506索引 解解设设x0， 所以所以f(x)(x)22(x)x2

25、2x. 又又f(x)为奇函数，为奇函数， 所以所以f(x)f(x). 于是于是x0时，时，f(x)x22xx2mx， 所以所以m2. 0112131407080910110203040506索引 解解要使要使f(x)在在1，a2上单调递增，上单调递增， 所以所以10，得，得f(1)1，所以，所以f(2 021)f(1)1. 1 解析解析 因为因为 f(x)0，f(x2) 1 f（x）， ， 0112131407080910110203040506索引 14.设设f(x)是是R上的奇函数，上的奇函数，f(x2)f(x)，当，当0 x1时，时，f(x)x. (1)求求f()的值；的值； 解解由由f

26、(x2)f(x)得，得， f(x4)f(x2)2f(x2)f(x)， 所以所以f(x)是以是以4为周期的周期函数，为周期的周期函数， 所以所以f()f(14)f(4)f(4)(4)4. 0112131407080910110203040506索引 14.设设f(x)是是R上的奇函数，上的奇函数，f(x2)f(x)，当，当0 x1时，时，f(x)x. (2)当当4x4时，求时，求f(x)的图像与的图像与x轴所围成图形的面积轴所围成图形的面积. 解解由由f(x)是奇函数且是奇函数且f(x2)f(x)， 得得f(x1)2f(x1)f(x1)， 即即f(1x)f(1x). 故函数故函数yf(x)的图像关于直线的图像关于直线x1对称对称. 又当又当0 x1时，时，f(x)x，且，且f(x)的图像关于原点成中心对称，则的图像关于原点成中心对称，则f(x)的图像如的图像如 图所示图所示. 当当4x4时，时，f(x)的图像与的图像与x轴围成的图形面积为轴围成的图形面积为S， 则则 S4S OAB4 1 2 21 1 4. INNOVATIVE DESIGN THANKS本节内容结束