第6节　利用空间向量求空间角.ppt

1、INNOVATIVE DESIGN 第七章 第6节利用空间向量求空间角 知识分类落实 考点分层突破 课后巩固作业 内 容 索 引 / 1 2 3 / / 知识分类落实 夯实基础回扣知识1 索引 知识梳理 / 1.异面直线所成的角异面直线所成的角 设设v1，v2分别是两异面直线分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则的方向向量，则 索引 2.求直线与平面所成的角求直线与平面所成的角 |cosv，n| 索引 3.求二面角的大小求二面角的大小 (2)如图如图，n1，n2 分别是二面角分别是二面角l的两个半平面的两个半平面，的法向量，则二的法向量，则二 面角的大小面角的大小满足满足|cos |_，二面

2、角的平面角大，二面角的平面角大 小是向量小是向量n1与与n2的夹角的夹角(或其补角或其补角). |cosn1，n2| 索引 4.点到面的距离点到面的距离 索引 诊断自测 / 索引 索引 B 索引 D 索引 4.(2020新高考山东卷新高考山东卷)日晷是中国古代日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直 的晷针投射到晷面的影子来测定时间的晷针投射到晷面的影子来测定时间.把地球看成一个球把地球看成一个球(球心记为球心记为O)，地球上，地球上 一点一点A的纬度是指的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点处的水平

3、面是指过点A 且与且与OA垂直的平面，在点垂直的平面，在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行， 点点A处的纬度为北纬处的纬度为北纬40，则晷针与点，则晷针与点A处的水平面所成角为处的水平面所成角为() A.20 B.40 C.50 D.90 B 索引 索引 索引 6.(2020重庆诊断重庆诊断)过正方形过正方形ABCD的顶点的顶点A作线段作线段PA平面平面ABCD，若，若ABPA， 则平面则平面ABP与平面与平面CDP所成的二面角为所成的二面角为_.45 考点分层突破 题型剖析考点聚焦2 索引 考点一用向量求异面直线所成的角 / 自主演练自主演

4、练 B 索引 索引 D 解析解析以以D为坐标原点，在平面为坐标原点，在平面BCD内过内过D与与BD垂直的直线为垂直的直线为x轴，轴， 以以DB，DA所在的直线分别为所在的直线分别为y轴，轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则则A(0，0，1)，B(0，1，0)，C(2，1，0)，D(0，0，0). 索引 索引 感悟升华 索引 【例例1】(2020新高考山东卷新高考山东卷)如图如图，四棱锥，四棱锥PABCD的底面为正方形，的底面为正方形，PD底底 面面ABCD.设平面设平面PAD与平面与平面PBC的交线为的交线为l. (1)证明：证明：l平面平面PDC； 证明

5、证明因为因为PD底面底面ABCD，所以，所以PDAD. 又底面又底面ABCD为正方形，所以为正方形，所以ADDC， 又又PDDCD，所以，所以AD平面平面PDC. 因为因为ADBC，AD 平面平面PBC， 所以所以AD平面平面PBC. 由已知得由已知得lAD，因此，因此l平面平面PDC. 考点二用空间向量求线面角 / 师生共研师生共研 索引 (2)已知已知PDAD1，Q为为l上的点，求上的点，求PB与平面与平面QCD所成角的正弦值的最大值所成角的正弦值的最大值. 索引 所以所以 cosn，PB nPB |n|PB | 1a 3 1a2. 索引 向量法求直线与平面所成角主要方法是：向量法求直线与

6、平面所成角主要方法是： 1.分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，将题目转化为求两个方向分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，将题目转化为求两个方向 向量的夹角向量的夹角(或其补角或其补角)； 2.通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角或通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角或 钝角的补角，取其余角就是斜线和平面所成的角钝角的补角，取其余角就是斜线和平面所成的角. 感悟升华 索引 【训练训练1】(2021全国百校联考全国百校联考)如图所示如图所示，在三棱锥，在三棱锥SBCD中，平面中，平面SBD平平 面面BCD，A是线段是

7、线段SD上的点，上的点，SBD为等边三角形，为等边三角形，BCD30，CD 2DB4. (1)若若SAAD，求证：，求证：SDCA； 索引 索引 则则DA (0， 3)， 索引 考点三利用向量求二面角 / 多维探究多维探究 角度角度1求二面角或某一三角函数值求二面角或某一三角函数值 索引 【例例2】(2)求二面求二面角角BPCE的余弦值的余弦值. C 3 2 ，1 2， ，0 ，P 0，0， 2 2 . 索引 索引 1.用法向量求二面角：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通用法向量求二面角：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通 过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大

8、小，但要注意结合实际图形判断所过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所 求角是锐二面角还是钝二面角求角是锐二面角还是钝二面角. 2.找与棱垂直的方向向量法：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂找与棱垂直的方向向量法：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂 足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小. 感悟升华 索引 【训练训练2】如图如图，长方体，长方体ABCDA1B1C1D1的底面的底面ABCD是正方形，点是正方形，点E在棱在棱AA1 上，上，BEEC1. (1)证明：证明

9、：BE平面平面EB1C1； 索引 【训练训练2】(2)若若AEA1E，求二面角，求二面角BECC1的正弦值的正弦值. 索引 设平面设平面 ECC1的法向量为的法向量为 m(x2，y2，z2)， 索引 角度角度2与二面角有关的综合问题与二面角有关的综合问题 索引 【例例3】(2)若点若点M在棱在棱BC上，且二面角上，且二面角MPAC为为30，求，求PC与平面与平面PAM所所 成角的正弦值成角的正弦值. 索引 索引 1.本题把综合法与向量法融为一体，考查逻辑推理与数学运算等数学核心素养本题把综合法与向量法融为一体，考查逻辑推理与数学运算等数学核心素养. 2.题目求解的关键有两点：题目求解的关键有两

10、点：(1)证明证明PO平面平面ABC，从而为建立空间直角坐标系，从而为建立空间直角坐标系， 利用向量法求解提供了保障；利用向量法求解提供了保障；(2)由点由点M在在BC上及二面角上及二面角MPAC为为30，确，确 定具体的位置，从而求出点定具体的位置，从而求出点M的坐标的坐标. 感悟升华 索引 【训练训练3】(2021衡水检测衡水检测)如图如图，AE平面平面ABCD，CFAE，ADBC， ADAB，ABAD1，AEBC2. (1)求证：求证：BF平面平面ADE； 索引 【训练训练3】(2)求求直线直线CE与平面与平面BDE所成角的正弦值；所成角的正弦值； 索引 (3)若二面角若二面角 EBDF

11、 的余弦值为的余弦值为1 3，求线段 ，求线段 CF 的长的长. 证明证明(3) 设设 m(x1，y1，z1)为平面为平面 BDF 的法向量，的法向量， 则则 mBD 0， mBF 0， 索引 【例例4】 如图如图，在三棱锥，在三棱锥PABC中，底面是边长为中，底面是边长为4的正三角形，的正三角形，PA2， PA底面底面ABC，点，点E，F分别为分别为AC，PC的中点的中点. (1)求证：平面求证：平面BEF平面平面PAC； 考点四与空间向量有关的探索性问题 / 师生共研师生共研 BEAC. 索引 索引 令令 x1，则，则 y 3，z2 3， 索引 1.对于存在判断型问题的求解，应先假设存在，

12、把要成立的结论当作条件，据此对于存在判断型问题的求解，应先假设存在，把要成立的结论当作条件，据此 列方程或方程组，把列方程或方程组，把“是否存在是否存在”问题转化为问题转化为“点的坐标是否有解，是否有规点的坐标是否有解，是否有规 定范围内的解定范围内的解”等等. 2.对于位置探究型问题，通常借助向量，引进参数，综合已知和结论列出等式，对于位置探究型问题，通常借助向量，引进参数，综合已知和结论列出等式， 解出参数解出参数. 感悟升华 索引 索引 【训练训练4】(2)若若SD平面平面PAC，求二面角，求二面角PACD的大小；的大小； 索引 【训练训练4】 (3)在在(2)的条件下，侧棱的条件下，侧

13、棱SC上是否存在一点上是否存在一点E，使得，使得BE平面平面PAC.若若 存在，求存在，求SE EC的值；若不存在，试说明理由的值；若不存在，试说明理由. 根据第根据第(2)问知问知DS 是平面是平面 PAC 的一个法向量，的一个法向量， 则则 t1 3， ， 索引 索引 索引 一、一、点点面距面距 【例例1】如图如图，已知圆柱，已知圆柱OO1底面半径为底面半径为1，高为，高为，平面，平面ABCD是圆柱的一个轴是圆柱的一个轴 截面，动点截面，动点M从点从点B出发沿着圆柱的侧面到达点出发沿着圆柱的侧面到达点D，其运动路程最短时在侧面，其运动路程最短时在侧面 留下曲线留下曲线.将轴截面将轴截面AB

14、CD绕着轴绕着轴OO1逆时针旋转逆时针旋转(0)后得到平面后得到平面 A1B1C1D1，边，边B1C1与曲线与曲线相交于点相交于点P. (1)求曲线求曲线的长度；的长度； 索引 索引 求点面距的关键是利用点与平面内异于该点射影的任一点，找出斜线段所在的求点面距的关键是利用点与平面内异于该点射影的任一点，找出斜线段所在的 向量在法向量上的射影，然后利用公式求解向量在法向量上的射影，然后利用公式求解. 思维升华 索引 二、二、线线距线线距 【例例2】在长方在长方体体ABCDA1B1C1D1中，中，AB4，AD3，AA12，M，N分别为分别为 CD，BB1的中点，求异面直线的中点，求异面直线MN与与

15、A1B的距离的距离. 解解以以A为原点，以为原点，以AD，AB，AA1为坐标轴，建立空间直角坐标系，如图为坐标轴，建立空间直角坐标系，如图 则则M(3，2，0)，N(0，4，1)， A1(0，0，2)，B(0，4，0)， 索引 d|MA1 n| |n| 3 34 3 2122 61 6 61 6 61 61 . 索引 思维升华 利用空间向量求两异面直线间的距离，避免了求两异面直线的公垂线，显示了利用空间向量求两异面直线间的距离，避免了求两异面直线的公垂线，显示了 向量法的优势向量法的优势.解题的关键是求出两异面直线公垂线的方向向量解题的关键是求出两异面直线公垂线的方向向量. 课后巩固作业 提升

16、能力分层训练3 A级 基础巩固 / 索引0107080203040506 B 索引0107080203040506 索引0107080203040506 A 索引0107080203040506 则则 N(2，0，44)， 索引0107080203040506 索引0107080203040506 4.(2020长沙检测长沙检测)如图所如图所示，在长方体示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，中，ADAA11，AB 2，点，点E是棱是棱AB的中点，则点的中点，则点E到平面到平面ACD1的距离为的距离为_. 解析解析如图，以如图，以D为坐标原点，直线为坐标原点，直线DA，DC，DD1分别为分别为

17、x，y，z轴建立空间直轴建立空间直 角坐标系，角坐标系， 则则D1(0，0，1)，E(1，1，0)，A(1，0，0)，C(0，2，0). 索引0107080203040506 三、解答题三、解答题 5.(2020北京卷北京卷)如图如图，在正方体，在正方体ABCDA1B1C1D1中，中，E为为BB1的中点的中点. (1)求证：求证：BC1平面平面AD1E； 索引0107080203040506 三、解答题三、解答题 5.(2020北京卷北京卷)如图如图，在正方体，在正方体ABCDA1B1C1D1中，中，E为为BB1的中点的中点. (2)求直线求直线AA1与平面与平面AD1E所成角的正弦值所成角的

18、正弦值. 索引0107080203040506 cosAA1 ，n AA1 n |AA1 |n| 4 23 2 3. 直线直线 AA1与平面与平面 AD1E 所成角的正弦值为所成角的正弦值为2 3. 索引0107080203040506 6.(2021百所名校模拟百所名校模拟)如图如图，在矩形，在矩形ABCD中，中，AB2AD，点，点E是是CD的中点的中点.将将 ADE沿沿AE折起，使得点折起，使得点D到达点到达点P的位置，且使平面的位置，且使平面PAE平面平面ABCE. (1)求证：平面求证：平面PBE平面平面PAE； 索引0107080203040506 6.(2021百所名校模拟百所名校

19、模拟)如图如图，在矩形，在矩形ABCD中，中，AB2AD，点，点E是是CD的中点的中点.将将 ADE沿沿AE折起，使得点折起，使得点D到达点到达点P的位置，且使平面的位置，且使平面PAE平面平面ABCE. (2)求平面求平面PAE与平面与平面BCP所成锐二面角的余弦值所成锐二面角的余弦值. 索引0107080203040506 AB (2 2，2 2，0)，PB ( 2，2 2， 2)， 索引0107080203040506 B级 能力提升 / 索引0107080203040506 索引0107080203040506 索引0107080203040506 索引0107080203040506

20、 取取 x12，得，得 y17，z15， 设设 n2(x2，y2，z2)为平面为平面 DEC 的一个法向量，的一个法向量， 索引0107080203040506 索引0107080203040506 8.(2021武汉调研武汉调研)如图所示如图所示，在正方体，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点中，点O是是AC与与BD的的 交点，点交点，点E是线段是线段OD1上的一点上的一点. (1)若点若点E为为OD1的中点，求直线的中点，求直线OD1与平面与平面CDE所成角的正弦值所成角的正弦值. 解解不妨设正方体的棱长为不妨设正方体的棱长为2. 以以D为坐标原点，以为坐标原点，以DA，DC，DD1所在

21、直线分别为所在直线分别为x轴，轴，y轴，轴，z轴，建立如轴，建立如 图所示的空间直角坐标系图所示的空间直角坐标系Dxyz， 则则D(0，0，0)，D1(0，0，2)，C(0，2，0)，O(1，1，0). 因为因为E为为OD1的中点，的中点， 索引0107080203040506 索引0107080203040506 8.(2021武汉调研武汉调研)如图所示如图所示，在正方体，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点中，点O是是AC与与BD的的 交点，点交点，点E是线段是线段OD1上的一点上的一点. (2)是否存在点是否存在点E，使得平面，使得平面CDE平面平面CD1O？若存在，请指出点？若存在，请指出点E的位置，的位置， 并加以证明；若不存在，请说明理由并加以证明；若不存在，请说明理由. 解解 存在，且点存在，且点E为线段为线段OD1上靠近点上靠近点O的三等分点的三等分点.理由如下理由如下. 假设存在点假设存在点E，使得平面，使得平面CDE平面平面CD1O. 同第同第(1)问建立空间直角坐标系，易知点问建立空间直角坐标系，易知点E不与点不与点O重合，重合， 索引0107080203040506 索引0107080203040506 INNOVATIVE DESIGN THANKS本节内容结束