第3节　圆及其方程.ppt

1、INNOVATIVE DESIGN 第八章 第3节圆及其方程 知识分类落实 考点分层突破 课后巩固作业 内 容 索 引 / 1 2 3 / / 知识分类落实 夯实基础回扣知识1 索引 知识梳理 / 1圆的定义和圆的方程圆的定义和圆的方程 定点定点 定长定长 D2E24F0 索引 2.点与圆的位置关系点与圆的位置关系 平面上的一点平面上的一点M(x0，y0)与圆与圆C：(xa)2(yb)2r2之间存在着下列关系：之间存在着下列关系： (1)|MC|rM在在 ，即，即(x0a)2(y0b)2r2M在圆外；在圆外； (2)|MC|rM在在 ，即，即(x0a)2(y0b)2r2M在圆上；在圆上； (3

2、)|MC|rM在在 ，即，即(x0a)2(y0b)2r2M在圆内在圆内 圆外圆外 圆上圆上 圆内圆内 索引 1圆心在坐标原点，半径为圆心在坐标原点，半径为r的圆的方程为的圆的方程为x2y2r2. 2以以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为为直径端点的圆的方程为(xx1)(xx2)(yy1) (yy2)0. 诊断自测 / 索引 1判断下列结论正误判断下列结论正误(在括号内打在括号内打“”或或“”) (1)确定圆的几何要素是圆心与半径确定圆的几何要素是圆心与半径 () (2)方程方程x2y2a2表示半径为表示半径为a的圆的圆 () (3)方程方程x2y24mx2y5m0表示圆表

3、示圆 () (4)方程方程Ax2BxyCy2DxEyF0表示圆的充要条件是表示圆的充要条件是AC0，B0， D2E24AF0. () 索引 D 索引 3过点过点A(1，1)，B(1，1)，且圆心在直线，且圆心在直线xy20上的圆的方程是上的圆的方程是() A(x3)2(y1)24 B(x3)2(y1)24 C(x1)2(y1)24 D(x1)2(y1)24 解析解析设圆心设圆心C的坐标为的坐标为(a，b)，半径为，半径为r. 因为圆心因为圆心C在直线在直线xy20上，上， 所以所以b2a.又又|CA|2|CB|2， 所以所以(a1)2(2a1)2(a1)2(2a1)2， 所以所以a1，b1.

4、所以所以r2. 所以方程为所以方程为(x1)2(y1)24. C 索引 4(2020北京卷北京卷)已已知半径为知半径为1的圆经过点的圆经过点(3，4)，则其圆心到原点的距离的最，则其圆心到原点的距离的最 小值为小值为 () A4 B5 C6 D7 A 索引 5(多选题多选题)(2021济南调研济南调研)已知圆已知圆M的一般方程为的一般方程为x2y28x6y0，则下列，则下列 说法正确的是说法正确的是( ) A圆圆M的圆心为的圆心为(4，3) B圆圆M被被x轴截得的弦长为轴截得的弦长为10 C圆圆M的半径为的半径为5 D圆圆M被被y轴截得的弦长为轴截得的弦长为6 解析解析由圆由圆M的一般方程为的

5、一般方程为x2y28x6y0， 则圆则圆M：(x4)2(y3)252， 故圆心为故圆心为(4，3)，半径为，半径为5， 则则AC正确；令正确；令x0，得，得y0或或y6，弦长为，弦长为6， 故故D正确；令正确；令y0，得，得x0或或x8，弦长为，弦长为8， 故故B错误错误 ACD 索引 B 解析解析设圆心为设圆心为P(x0，y0)，半径为，半径为r， 圆与圆与x轴，轴，y轴都相切，轴都相切， |x0|y0|r，又圆经过点，又圆经过点(2，1)， x0y0r且且(2x0)2(1y0)2r2， (r2)2(r1)2r2，解得，解得r1或或r5. 索引 考点分层突破 题型剖析考点聚焦2 索引 1在平

6、面直角坐标系中，经过三点在平面直角坐标系中，经过三点(0，0)，(1，1)，(2，0)的圆的方程为的圆的方程为 _ 考点一圆的方程 / 自主演练自主演练 x2y22x0 索引 所以所以OAB是以角是以角A为直角的直角三角形，为直角的直角三角形， 则线段则线段BO是所求圆的直径，是所求圆的直径， 索引 (x1)2(y1)22 解析解析法一法一所求圆的圆心在直线所求圆的圆心在直线xy0上，上， 可设所求圆的圆心为可设所求圆的圆心为(a，a) 所求圆与直线所求圆与直线xy0相切，相切， 索引 索引 3(2020郑州二模郑州二模)圆圆(x2)2(y12)24关于直线关于直线xy80对称的圆的方程对称的

7、圆的方程 为为 () A(x3)2(y2)24 B(x4)2(y6)24 C(x4)2(y6)24 D(x6)2(y4)24 C 索引 AB 解析解析设圆心为设圆心为C(a，b)，半径为，半径为r，圆，圆C被被x轴分成两部分的弧长之比为轴分成两部分的弧长之比为1 2， 则其中劣弧所对圆心角为则其中劣弧所对圆心角为120， 由圆的性质可得由圆的性质可得r2|b|， 又圆被又圆被y轴截得的弦长为轴截得的弦长为4， a24r2， 索引 索引 索引 感悟升华 索引 考点二与圆有关的最值问题 / 多维探究多维探究 角度角度1利用几何意义求最值利用几何意义求最值 索引 【例例1】 (2)求求xy的最大值和

8、最小值；的最大值和最小值； 解解设设txy， 则则yxt，t可视为直线可视为直线yxt在在y轴上的截距，轴上的截距， xy的最大值和最小值就是直线与圆有公共点时直线纵截距的最大值和最小的最大值和最小值就是直线与圆有公共点时直线纵截距的最大值和最小 值，即直线与圆相切时在值，即直线与圆相切时在y轴上的截距轴上的截距 由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径， 索引 索引 感悟升华 索引 【例例2】(2020衡水联考衡水联考)已知已知A(0，2)，点，点P在直线在直线xy20上，点上，点Q在圆在圆C：x2 y24x2y0上，则上，则|PA|PQ|的最小值是

9、的最小值是_ 解析解析因为圆因为圆C：x2y24x2y0， 角度角度2利用对称性求最值利用对称性求最值 索引 故故A(4，2) 索引 感悟升华 索引 角度角度3建立函数关系求最值建立函数关系求最值 12 索引 根据题中条件列出相关的函数关系式，再根据函数知识或均值不等式求最值根据题中条件列出相关的函数关系式，再根据函数知识或均值不等式求最值 感悟升华 索引 B 索引 【训练训练1】 (2)(2020长沙模拟长沙模拟)圆圆x2y22x2y10上的点到直线上的点到直线xy2的的 距离的最大值是距离的最大值是_ 索引 【例例4】已知已知RtABC的斜边为的斜边为AB，且，且A(1，0)，B(3，0)

10、，求：，求： (1)直角顶点直角顶点C的轨迹方程；的轨迹方程； 解解法一法一设设C(x，y)， 因为因为A，B，C三点不共线，三点不共线， 所以所以y0. 因为因为ACBC，且，且BC，AC斜率均存在，斜率均存在， 所以所以kACkBC1， 考点三与圆有关的轨迹问题 / 师生共研师生共研 索引 所以应除去与所以应除去与x轴的交点轴的交点) 所以直角顶点所以直角顶点C的轨迹方程为的轨迹方程为(x1)2y24(y0) 索引 【例例4】 (2)直角直角边边BC的中点的中点M的轨迹方程的轨迹方程 解解设设M(x，y)，C(x0，y0)， 所以所以x02x3，y02y. 由由(1)知，点知，点C的轨迹方

11、程为的轨迹方程为(x1)2y24(y0)， 将将x02x3，y02y代入得代入得(2x4)2(2y)24， 即即(x2)2y21. 因此动点因此动点M的轨迹方程为的轨迹方程为(x2)2y21(y0) 索引 求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法： (1)直接法，直接根据题目提供的条件列出方程；直接法，直接根据题目提供的条件列出方程； (2)定义法，根据圆、直线等定义列方程；定义法，根据圆、直线等定义列方程； (3)几何法，利用圆的几何性质列方程；几何法，利用圆的几何性质列方程； (4)代入法，找到要求点与已知点的关系，

12、代入已知点满足的关系式等代入法，找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等 感悟升华 索引 【训练训练2】设定点设定点M(3，4)，动点，动点N在圆在圆x2y24上运动，以上运动，以OM，ON为邻边为邻边 作平行四边形作平行四边形MONP，求点，求点P的轨迹方程的轨迹方程 解解如图，设如图，设P(x，y)，N(x0，y0)， 索引 又点又点N(x0，y0)在圆在圆x2y24上，上， 所以所以(x3)2(y4)24. 所以点所以点P的轨迹是以的轨迹是以(3，4)为圆心，为圆心，2为半径的圆，为半径的圆， 课后巩固作业 提升能力分层训练3 A级 基础巩固 / 索引0112131407080

13、910110203040506 一、选择题一、选择题 1圆心为圆心为(1，1)且过原点的圆的方程是且过原点的圆的方程是 () A(x1)2(y1)21 B(x1)2(y1)21 C(x1)2(y1)22 D(x1)2(y1)22 解析解析因为圆心为因为圆心为(1，1)且过原点，且过原点， D 索引0112131407080910110203040506 B 索引0112131407080910110203040506 3(2021荆州模拟荆州模拟)若圆若圆(x1)2(y1)22关于直线关于直线ykx3对称，则对称，则k的值是的值是 () A2 B2 C1 D1 解析解析由题意知直线由题意知直线

14、ykx3过圆心过圆心(1，1)， 即即1k3，解得，解得k2. B 索引0112131407080910110203040506 4点点P(4，2)与圆与圆x2y24上任一点连线的中点的轨迹方程是上任一点连线的中点的轨迹方程是 () A(x2)2(y1)21 B(x2)2(y1)24 C(x4)2(y2)24 D(x2)2(y1)21 解析解析设圆上任意一点为设圆上任意一点为(x1，y1)，中点为，中点为(x，y)， A 索引0112131407080910110203040506 5(2020成都诊断成都诊断)若抛物若抛物线线yx22x3与坐标轴的交点在同一个圆上，则由与坐标轴的交点在同一个

15、圆上，则由 交点确定的圆的方程为交点确定的圆的方程为 () Ax2(y1)24 B(x1)2(y1)24 C(x1)2y24 D(x1)2(y1)25 解析解析抛物线抛物线yx22x3关于直线关于直线x1对称，与坐标轴的交点为对称，与坐标轴的交点为A(1，0)， B(3，0)，C(0，3)，设圆心为，设圆心为M(1，b)，半径为，半径为r， D 所以由交点确定的圆的方程为所以由交点确定的圆的方程为(x1)2(y1)25. 故选故选D. 索引0112131407080910110203040506 6(2021西安调研西安调研)已知圆已知圆C经过经过P(2，4)，Q(3，1)两点，且在两点，且在

16、x轴上截得的轴上截得的 弦长为弦长为6，则圆，则圆C的方程为的方程为 () Ax2y22x4y80 Bx2y22x4y80 Cx2y22x4y80或或x2y26x8y0 Dx2y22x4y80或或x2y26x8y0 C 索引0112131407080910110203040506 二、填空题二、填空题 7已已知知aR，方程，方程a2x2(a2)y24x8y5a0表示圆，则圆心坐标是表示圆，则圆心坐标是 _，半径是，半径是_ 解析解析由已知方程表示圆，由已知方程表示圆， 则则a2a2， 解得解得a2或或a1. 当当a2时，方程不满足表示圆的条件，时，方程不满足表示圆的条件， 故舍去故舍去 当当a

17、1时，原方程为时，原方程为x2y24x8y50， 化为标准方程为化为标准方程为(x2)2(y4)225， 表示以表示以(2，4)为圆心，半径为为圆心，半径为5的圆的圆 (2，4) 5 索引0112131407080910110203040506 x2(y1)24 索引0112131407080910110203040506 9已知圆已知圆C1：(x2)2(y3)21，圆，圆C2：(x3)2(y4)29，M，N分别是圆分别是圆 C1，C2上的动点，上的动点，P为为x轴上的动点，则轴上的动点，则|PM|PN|的最小值为的最小值为_ 解析解析P是是x轴上任意一点，轴上任意一点， 则则|PM|的最小值

18、为的最小值为|PC1|1，同理，同理|PN|的最小值为的最小值为|PC2|3， 则则|PM|PN|的最小值为的最小值为|PC1|PC2|4.作作C1关于关于x轴的对称点轴的对称点C1(2，3) 索引0112131407080910110203040506 三、解答题三、解答题 10已知已知M(x，y)为圆为圆C：x2y24x14y450上任意一点，且点上任意一点，且点Q(2，3) (1)求求|MQ|的最大值和最小值；的最大值和最小值； 解解由圆由圆C：x2y24x14y450， 可得可得(x2)2(y7)28， 索引0112131407080910110203040506 索引01121314

19、07080910110203040506 解解设设yxb， 则则xyb0. 当直线当直线yxb与圆与圆C相切时，截距相切时，截距b取到最值，取到最值， 索引0112131407080910110203040506 11设抛物线设抛物线C：y24x的焦点为的焦点为F，过，过F且斜率为且斜率为k(k0)的直线的直线l与与C交于交于A，B 两点，两点，|AB|8. (1)求求l的方程；的方程； 解解由题意得由题意得F(1，0)，l的方程为的方程为yk(x1)(k0) 设设A(x1，y1)，B(x2，y2) 索引0112131407080910110203040506 11设抛物线设抛物线C：y24x

20、的焦点为的焦点为F，过，过F且斜率为且斜率为k(k0)的直线的直线l与与C交于交于A，B 两点，两点，|AB|8. (2)求过点求过点A，B且与且与C的准线相切的圆的方程的准线相切的圆的方程 解解由由(1)得得AB的中点坐标为的中点坐标为(3，2)， 所以所以AB的垂直平分线方程为的垂直平分线方程为y2(x3)，即，即yx5. 设所求圆的圆心坐标为设所求圆的圆心坐标为(x0，y0)，则，则 B级 能力提升 / 索引0112131407080910110203040506 AC 索引0112131407080910110203040506 索引01121314070809101102030405

21、06 13已知圆已知圆C：(x3)2(y4)21，设点，设点P是圆是圆C上的动点记上的动点记d|PB|2|PA|2， 其中其中A(0，1)，B(0，1)，则，则d的最大值为的最大值为_74 索引0112131407080910110203040506 14已知点已知点P(2，2)，圆，圆C：x2y28y0，过点，过点P的动直线的动直线l与圆与圆C交于交于A，B两两 点，线段点，线段AB的中点为的中点为M，O为坐标原点为坐标原点 (1)求求M的轨迹方程；的轨迹方程； 解解圆圆C的方程可化为的方程可化为x2(y4)216， 所以圆心为所以圆心为C(0，4)，半径为，半径为4. 设设M(x，y)， 故故x(2x)(y4)(2y)0， 即即(x1)2(y3)22. 由于点由于点P在圆在圆C的内部，的内部， 所以所以M的轨迹方程是的轨迹方程是(x1)2(y3)22. 索引0112131407080910110203040506 14已知点已知点P(2，2)，圆，圆C：x2y28y0，过点，过点P的动直线的动直线l与圆与圆C交于交于A，B两两 点，线段点，线段AB的中点为的中点为M，O为坐标原点为坐标原点 (2)当当|OP|OM|时，求时，求l的方程及的方程及POM的面积的面积 INNOVATIVE DESIGN THANKS本节内容结束