第3节 微课1 构造函数证明不等式.ppt
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1、INNOVATIVE DESIGN 第三章 第3节导数的综合应用 INNOVATIVE DESIGN 微课一构造函数证明不等式微课一构造函数证明不等式 题型分类突破 题型跟踪训练 内 容 索 引 1 2 / / 题型分类突破 1 索引 题型一移项构造函数证明不等式题型一移项构造函数证明不等式 【例例1】已已知函数知函数f(x)x2e2x 2. (1)求曲线求曲线yf(x)在点在点(1,f(1)处的切线方程;处的切线方程; 解解f(x)2e2x 2(x2 x),f(1)4,f(1)1, 则曲线则曲线yf(x)在点在点(1,1)处的切线方程为处的切线方程为y14(x1), 即即y4x3. 索引 【
2、例例1】已已知函数知函数f(x)x2e2x 2. (2)当当x0,2时,求证:时,求证:f(x)2x28x5. 证明证明当当x0,2时,令时,令g(x)x2e2x 2 2x28x5, 则则g(x)2e2x 2(x2 x)4x8, 令令h(x)g(x),则,则h(x)2e2x 2(2x2 4x1)40, 所以所以g(x)在在0,2上单调递增,且上单调递增,且g(1)0, 所以所以g(x)在在0,1上单调递减,在上单调递减,在(1,2上单调递增,上单调递增, 所以所以g(x)的最小值为的最小值为g(1)0, 所以所以g(x)0, 即即f(x)2x28x5. 索引 待证不等式的两边含有同一个变量时,
3、一般地,可以直接构造待证不等式的两边含有同一个变量时,一般地,可以直接构造“左减右左减右”或或 “右减左右减左”的函数,利用研究其单调性等相关函数性质证明不等式的函数,利用研究其单调性等相关函数性质证明不等式. 感悟升华 索引 所以所以g(x)在在(1,)上是增函数,上是增函数, 索引 题型二放缩后构造函数证明不等式题型二放缩后构造函数证明不等式 【例例2】(2020长沙调研长沙调研)已已知函数知函数f(x)aexln x1. (1)设设x2是是f(x)的极值点,求的极值点,求a,并求,并求f(x)的单调区间;的单调区间; 由题设知,由题设知,f(2)0, 当当0 x2时,时,f(x)2时,时
4、,f(x)0. 所以所以f(x)的单调递减区间为的单调递减区间为(0,2),单调递增区间为,单调递增区间为(2,). 索引 当当0 x1时,时,g(x)1时,时,g(x)0. 所以所以x1是是g(x)的极小值点,也是最小值点的极小值点,也是最小值点. 故当故当x0时,时,g(x)g(1)0. 索引 某些不等式,直接构造不易求最值,可利用条件与不等式性质,适当放缩后,某些不等式,直接构造不易求最值,可利用条件与不等式性质,适当放缩后, 再构造函数进行证明再构造函数进行证明. 感悟升华 索引 当当x(0,1)时,时,f(x)0, f(x)的单调递减区间为的单调递减区间为(0,1),单调递增区间为,
5、单调递增区间为(1,). 索引 当当x(0,1)时,时,ex(1,e),ln x0, 则函数则函数g(x)在在(0,1)上单调递增,于是上单调递增,于是g(x)0,f(x)在在(0,)上单调递增;上单调递增; 索引 【例例3】(2021百校大联考百校大联考)已已知函数知函数f(x)eln xax(aR). (2)当当ae时,证明:时,证明:xf(x)ex2ex0. 当当ae时,由时,由(1)知,知,f(x)在在(0,1)上单调递增,在上单调递增,在(1,)上单调递减上单调递减. 所以所以f(x)maxf(1)e. 所以当所以当0 x1时,时,g(x)1时,时,g(x)0,g(x)单调递增,单调
6、递增, 所以所以g(x)ming(1)e. 即即xf(x)ex2ex0得证得证. 索引 1.若直接求导比较复杂或无从下手时,可将待证式进行变形,构造两个函数,从若直接求导比较复杂或无从下手时,可将待证式进行变形,构造两个函数,从 而找到可以传递的中间量,达到证明的目标而找到可以传递的中间量,达到证明的目标. 2.在证明过程中,等价转化是关键,此处在证明过程中,等价转化是关键,此处g(x)minf(x)max恒成立,从而恒成立,从而f(x)g(x)恒恒 成立成立. 感悟升华 索引 证明证明函数函数f(x)的定义域为的定义域为(0,). 设函数设函数g(x)xln x,则,则g(x)1ln x(x
7、0), 【训练训练 3】已知函数已知函数 f(x)exln x2 xe x1,证明: ,证明:f(x)1. 所以当所以当x(0,1)时,时,h(x)0; 索引 当当x(1,)时,时,h(x)0时,时,g(x)h(x),即,即f(x)1. 索引 近年高考应考,常涉及近年高考应考,常涉及“双变量双变量”或或“双参双参”相关问题,能力要求高,破解问相关问题,能力要求高,破解问 题的关键:一是转化,即由已知条件入手,寻找双变量满足的关系式,并把含题的关键:一是转化,即由已知条件入手,寻找双变量满足的关系式,并把含 双变量问题转化为含单变量的问题,二是巧妙构造函数,再借用导数,判断函双变量问题转化为含单
8、变量的问题,二是巧妙构造函数,再借用导数,判断函 数的单调性,从而求其最值数的单调性,从而求其最值. “双变量”问题的转化 索引 【例例1】(2021重庆调研重庆调研)已已知函数知函数f(x)ln xax2(ab1)xb1(a,bR). (1)若若a0,试讨论,试讨论f(x)的单调性;的单调性; 当当b1时,时,f(x)0恒成立,恒成立,f(x)在在(0,)上单调递增上单调递增. 索引 证明证明由由f(x)max2得得ln x(a2)x2m0, 令令g(x)ln x(a2)x2,x0, 则则g(x1)g(x2)m, 依题意有依题意有ln x1(a2)x1ln x2(a2)x2. 索引 不妨设不
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