第2节　两条直线的位置关系.ppt

1、INNOVATIVE DESIGN 第八章 第2节两条直线的位置关系 知识分类落实 考点分层突破 课后巩固作业 内 容 索 引 / 1 2 3 / / 知识分类落实 夯实基础回扣知识1 索引 知识梳理 / 1.两条直线的位置关系两条直线的位置关系 直线直线l1：yk1xb1，l2：yk2xb2，l3：A1xB1yC10，l4：A2xB2y C20的位置关系如下表：的位置关系如下表： 位置关系位置关系l1，l2满足的条件满足的条件l3，l4满足的条件满足的条件 平行平行k1k2，且，且b1b2A1B2A2B10且且A1C2A2C10 垂直垂直_A1A2B1B20 相交相交_A1B2A2B10 k

2、1k21 k1k2 索引 2距离公式距离公式 索引 索引 3对称问题对称问题 (2ax0，2by0) 索引 1.两直线相交两直线相交 唯一解唯一解 无解无解 无数个解无数个解 相交相交方程组有方程组有 ，交点坐标就是方程组的解；，交点坐标就是方程组的解； 重合重合方程组有方程组有 2.点到直线、两平行线间的距离公式的使用条件点到直线、两平行线间的距离公式的使用条件 (1)求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式 (2)求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x，y的系数对应相等的系数对应相等 诊断自

3、测 / 索引 1判断下列结论正误判断下列结论正误(在括号内打在括号内打“”或或“”) (1)当直线当直线l1和和l2的斜率都存在时，一定有的斜率都存在时，一定有k1k2l1l2. () (2)如果两条直线如果两条直线l1与与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于垂直，则它们的斜率之积一定等于1.() (3)若两直线的方程组成的方程组有唯一解，则两直线相交若两直线的方程组成的方程组有唯一解，则两直线相交() (4)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离() 解析解析(1)两直线两直线l1，l2有可能重合有可能重合 (2)如果如果l

4、1l2，若，若l1的斜率的斜率k10， 则则l2的斜率不存在的斜率不存在 索引 D 索引 3若三条直线若三条直线y2x，xy3，mx2y50相交于同一点，则相交于同一点，则m的值为的值为 _ 9 索引 4(2021武汉联考武汉联考)若若直线直线ax4y20与直线与直线2x5yb0垂直，垂足为垂直，垂足为(1， c)，则，则abc () A2 B4 C6 D8 B 索引 5(2020淮南二模淮南二模)设设R，则，则“3”是是“直线直线2x(1)y1与直线与直线6x (1)y4平行平行”的的 () A充分不必要条件充分不必要条件 B必要不充分条件必要不充分条件 C充要条件充要条件 D既不充分又不必

5、要条件既不充分又不必要条件 解析解析当当3时，两条直线的方程分别为时，两条直线的方程分别为6x4y10，3x2y20， 此时两条直线平行；若两条直线平行，此时两条直线平行；若两条直线平行， 则则2(1)6(1)， 所以所以3或或1，经检验，两者均符合，综上，经检验，两者均符合，综上，“3”是是“直线直线2x (1)y1与直线与直线6x(1)y4平行平行”的充分不必要条件，的充分不必要条件， 故选故选A. A 索引 4 索引 考点分层突破 题型剖析考点聚焦2 索引 【例例1】已知直已知直线线l1：ax2y60和直线和直线l2：x(a1)ya210. (1)试判断试判断l1与与l2是否平行；是否平

6、行； 解解法一法一当当a1时，时，l1：x2y60，l2：x0，l1不平行于不平行于l2； 当当a0时，时，l1：y3，l2：xy10，l1不平行于不平行于l2； 考点一两直线的平行与垂直 / 师生共研师生共研 索引 索引 【例例1】已知直已知直线线l1：ax2y60和直线和直线l2：x(a1)ya210. (2)当当l1l2时，求时，求a的值的值 解解法一法一当当a1时，时，l1：x2y60，l2：x0， l1与与l2不垂直，不垂直， 故故a1不成立；不成立； 当当a0时，时，l1：y3，l2：xy10，l1不垂直于不垂直于l2， 故故a0不成立；不成立； 当当a1且且a0时，时， 索引 1

7、.当含参数的直线方程为一般式时，若要表示出直线的斜率，不仅要考虑到斜率当含参数的直线方程为一般式时，若要表示出直线的斜率，不仅要考虑到斜率 存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还要注意存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还要注意x，y的系的系 数不能同时为零这一隐含条件数不能同时为零这一隐含条件 2在判断两直线的平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出在判断两直线的平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出 结论结论 感悟升华 索引 【训练训练1】 (1)经过抛物经过抛物线线y22x的焦点且平行于直线的焦点且平行于直线3x2y50的直线的直

8、线l的方程的方程 是是 () A6x4y30 B3x2y30 C2x3y20 D2x3y10 A 索引 BD 索引 考点二两直线的交点与距离问题 / 师生共研师生共研 D 索引 索引 【例例2】 (2)(2021广州模拟广州模拟)已知已知点点P(4，a)到直线到直线4x3y10的距离不大于的距离不大于3， 则则a的取值范围是的取值范围是_ 0，10 索引 1.求过两直线交点的直线方程的方法求过两直线交点的直线方程的方法 求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条 件写出直线方程件写出直线方程 2利

9、用距离公式应注意：利用距离公式应注意：(1)点点P(x0，y0)到直线到直线xa的距离的距离d|x0a|，到直线，到直线y b的距离的距离d|y0b|；(2)应用两平行线间的距离公式要把两直线方程中应用两平行线间的距离公式要把两直线方程中x，y的系的系 数分别化为对应相等数分别化为对应相等 感悟升华 索引 【训练训练2】 (1)(多选题多选题)(2020济宁调研济宁调研)已知直已知直线线l1：2x3y10和和l2：4x6y9 0，若直线，若直线l到直线到直线l1的距离与到直线的距离与到直线l2的距离之比为的距离之比为1 2，则直线，则直线l的方程为的方程为 () A2x3y80 B4x6y50

10、 C6x9y100 D12x18y130 BD 索引 【训练训练2】 (2)求经求经过直线过直线l1：3x2y10和和l2：5x2y10的交点，且垂直于的交点，且垂直于 直线直线l3：3x5y60的直线的直线l的方程为的方程为_ 5x3y10 索引 【例例3】过点过点P(0，1)作直线作直线l，使它被直线，使它被直线l1：2xy80和和l2：x3y100截截 得的线段被点得的线段被点P平分，则直线平分，则直线l的方程为的方程为_ 解析解析设设l1与与l的交点为的交点为A(a，82a)， 则由题意知，点则由题意知，点A关于点关于点P的对称点的对称点B(a，2a6)在在l2上，代入上，代入l2的方

11、程得的方程得a 3(2a6)100，解得，解得a4，即点，即点A(4，0)在直线在直线l上，上， 所以直线所以直线l的方程为的方程为x4y40. 考点三对称问题 / 多维探究多维探究 角度角度1点关于点对称点关于点对称 x4y40 索引 感悟升华 索引 【例例4】一束光一束光线经过点线经过点P(2，3)射在直线射在直线l：xy10上，反射后经过点上，反射后经过点Q(1， 1)，则入射光线所在直线的方程为，则入射光线所在直线的方程为_ 角度角度2点关于线对称点关于线对称 5x4y20 索引 感悟升华 索引 【例例5】 (1)(2021成都诊断成都诊断)与直与直线线3x4y50关于关于x轴对称的直

12、线的方程是轴对称的直线的方程是() A3x4y50 B3x4y50 C3x4y50 D3x4y50 解析解析设所求直线上点的坐标设所求直线上点的坐标(x，y)， 则关于则关于x轴的对称点轴的对称点(x，y)在已知的直线在已知的直线3x4y50上，上， 所以所求对称直线方程为所以所求对称直线方程为3x4y50， 故选故选D. 角度角度3线关于线对称线关于线对称 D 索引 【例例5】 (2)直直线线2xy30关于直线关于直线xy20对称的直线方程是对称的直线方程是 _ 解析解析设所求直线上任意一点设所求直线上任意一点P(x，y)， 则则P关于关于xy20的对称点为的对称点为P(x0，y0)， x2

13、y30 由由 xx0 2 y y0 2 20， xx0（yy0），）， 得得 x0 y2， y0 x2， 由点由点P(x0，y0)在直线在直线2xy30上，上， 2(y2)(x2)30，即，即x2y30. 索引 求直线求直线l1关于直线关于直线l对称的直线对称的直线l2有两种处理方法：有两种处理方法： (1)在直线在直线l1上取两点上取两点(一般取特殊点一般取特殊点)，利用点关于直线的对称的方法求出这两点，利用点关于直线的对称的方法求出这两点 关于直线关于直线l的对称点，再用两点式写出直线的对称点，再用两点式写出直线l2的方程的方程 (2)设点设点P(x，y)是直线是直线l2上任意一点，其关于

14、直线上任意一点，其关于直线l的对称点为的对称点为P1(x1，y1)(P1在直线在直线 l1上上)，根据点关于直线对称建立方程组，用，根据点关于直线对称建立方程组，用x，y表示出表示出x1，y1，再代入直线，再代入直线l1的的 方程，即得直线方程，即得直线l2的方程的方程 感悟升华 索引 【训练训练3】已知直已知直线线l：2x3y10，点，点A(1，2)求：求： (1)点点A关于直线关于直线l的对称点的对称点A的坐标；的坐标； 索引 【训练训练3】已知直已知直线线l：2x3y10，点，点A(1，2)求：求： (2)直线直线m：3x2y60关于直线关于直线l的对称直线的对称直线m的方程；的方程；

15、解解在直线在直线m上取一点，如上取一点，如M(2，0)， 则则M(2，0)关于直线关于直线l的对称点必在的对称点必在m上设对称点为上设对称点为M(a，b)， 索引 索引 【训练训练3】已知直已知直线线l：2x3y10，点，点A(1，2)求：求： (3)直线直线l关于点关于点A对称的直线对称的直线l的方程的方程 解解法一法一在在l：2x3y10上任取两点，上任取两点， 如如P(1，1)，N(4，3)， 则则P，N关于点关于点A的对称点的对称点P，N均在直线均在直线l上上 易知易知P(3，5)，N(6，7)，由两点式可得，由两点式可得l的方程为的方程为2x3y90. 法二法二设设Q(x，y)为为l

16、上任意一点，上任意一点， 则则Q(x，y)关于点关于点A(1，2)的对称点为的对称点为Q(2x，4y)， Q在直线在直线l上，上， 2(2x)3(4y)10， 即即2x3y90. 索引 具有某些共同特点的所有直线的全体称为直线系，直线系方程问题是高中数学具有某些共同特点的所有直线的全体称为直线系，直线系方程问题是高中数学 中的一类重要问题，在解题中有着重要的应用在直线方程求解中，可以由特中的一类重要问题，在解题中有着重要的应用在直线方程求解中，可以由特 定条件设出直线系方程，再结合题目中其他条件求出具体直线，这个解题思路定条件设出直线系方程，再结合题目中其他条件求出具体直线，这个解题思路 在解

17、决许多问题时，往往能起到化繁为简，化难为易的作用在解决许多问题时，往往能起到化繁为简，化难为易的作用 活用直线系方程 索引 一、一、相交相交直线系方程直线系方程 【例例1】已知已知两条直线两条直线l1：x2y40和和l2：xy20的交点为的交点为P，求过点，求过点P且且 与直线与直线l3：3x4y50垂直的直线垂直的直线l的方程的方程 解解法一法一解解l1与与l2组成的方程组得到交点组成的方程组得到交点P(0，2)， 索引 法三法三设所求直线设所求直线l的方程为的方程为x2y4(xy2)0，即，即(1)x(2)y4 20， 因为直线因为直线l与与l3垂直，垂直， 所以所以3(1)4(2)0，

18、所以所以11， 所以直线所以直线l的方程为的方程为4x3y60. 索引 二、二、平行平行直线系方程直线系方程 【例例2】已知直已知直线线l1与直线与直线l2：x3y60平行，平行，l1与与x轴、轴、y轴围成面积为轴围成面积为8的三的三 角形，请求出直线角形，请求出直线l1的方程的方程 索引 【例例3】已知直线已知直线方程方程3x4y70，求与之平行且在，求与之平行且在x轴、轴、y轴上的截距和是轴上的截距和是1 的直线的直线l的方程的方程 索引 三、垂直直线系方程三、垂直直线系方程 【例例4】求经过求经过A(2，1)，且与直线，且与直线2xy100垂直的直线垂直的直线l的方程的方程 解解因为所求

19、直线与直线因为所求直线与直线2xy100垂直，垂直， 所以设直线方程为所以设直线方程为x2yc0，又直线过点，又直线过点A(2，1)， 所以有所以有221c0，解得，解得c0， 即所求直线方程为即所求直线方程为x2y0. 索引 思维升华 课后巩固作业 提升能力分层训练3 A级 基础巩固 / 011213141507080910110203040506索引16 C 01121314150708091011020304050616索引 2已知直线已知直线l过点过点(0，7)，且与直线，且与直线y4x2平行，则直线平行，则直线l的方程为的方程为 () Ay4x7 By4x7 Cy4x7 Dy4x7

20、解析解析过点过点(0，7)且与直线且与直线y4x2平行的直线方程为平行的直线方程为y74x， 即直线即直线l的方程为的方程为y4x7， 故选故选D. D 01121314150708091011020304050616索引 B 01121314150708091011020304050616索引 A 01121314150708091011020304050616索引 5(2020豫西五校联考豫西五校联考)过过点点P(1，2)作直线作直线l，若点，若点A(2，3)，B(4，5)到它的到它的 距离相等，则直线距离相等，则直线l的方程为的方程为 () A4xy60或或x1 B3x2y70 C4xy

21、60或或3x2y70 D3x2y70或或x1 C 01121314150708091011020304050616索引 01121314150708091011020304050616索引 6(多选题多选题)(2021泰安调研泰安调研)已知直线已知直线l：(a2a1)xy10，其中，其中aR，则，则 下列说法正确的是下列说法正确的是 ( ) A当当a1时，直线时，直线l与直线与直线xy0垂直垂直 B若直线若直线l与直线与直线xy0平行，则平行，则a0 C直线直线l过定点过定点(0，1) D当当a0时，直线时，直线l在两坐标轴上的截距相等在两坐标轴上的截距相等 解析解析对于对于A项，当项，当a1

22、时，直线时，直线l的方程为的方程为xy10，显然与，显然与xy0垂垂 直，直， 所以正确；所以正确； AC 01121314150708091011020304050616索引 对于对于B项，若直线项，若直线l与直线与直线xy0平行，可知平行，可知(a2a1)(1)1(1)，解得，解得a 0或或a1， 所以不正确；所以不正确； 对于对于C项，当项，当x0时，有时，有y1， 所以直线过定点所以直线过定点(0，1)， 所以正确；所以正确； 对于对于D项，当项，当a0时，直线时，直线l的方程为的方程为xy10，在两轴上的截距分别是，在两轴上的截距分别是1， 1， 所以不正确所以不正确 0112131

23、4150708091011020304050616索引 D 解析解析由题意，直线由题意，直线y3xb与直线与直线yax2关于直线关于直线yx对称，对称， 所以直线所以直线yax2上的点上的点(0，2)关于直线关于直线yx的对称点的对称点(2，0)在直线在直线y 3xb上，上， 所以所以(3)(2)b0， 所以所以b6， 01121314150708091011020304050616索引 所以直线所以直线y3x6上的点上的点(0，6)关于直线关于直线yx的对称点的对称点(6，0)在直线在直线y ax2上，上， 所以所以6a20， 01121314150708091011020304050616

24、索引 CD 01121314150708091011020304050616索引 01121314150708091011020304050616索引 二、填空题二、填空题 9(2020南昌重点中学联考南昌重点中学联考)已已知直线知直线l1：y2x，则过圆，则过圆x2y22x4y10 的圆心且与直线的圆心且与直线l1垂直的直线垂直的直线l2的方程为的方程为_ x2y30 01121314150708091011020304050616索引 10直线直线x2y30关于定点关于定点M(2，1)对称的直线方程是对称的直线方程是_ 解析解析设所求直线上任一点设所求直线上任一点(x，y)， 则关于则关于

25、M(2，1)的对称点的对称点(4x，2y)在已知直线上，在已知直线上， 所求直线方程为所求直线方程为(4x)2(2y)30，即，即x2y110. x2y110 01121314150708091011020304050616索引 11若若P，Q分别为直线分别为直线3x4y120与与6x8y50上任意一点，则上任意一点，则PQ的最的最 小值为小值为_ 01121314150708091011020304050616索引 12以点以点A(4，1)，B(1，5)，C(3，2)，D(0，2)为顶点的四边形为顶点的四边形ABCD的面的面 积为积为_25 B级 能力提升 / 索引0112131415070

26、8091011020304050616 C 解析解析A关于直线关于直线x0的对称点是的对称点是A(3，1)，关于直线，关于直线yx的对称点是的对称点是 A(1，3)，由角平分线的性质可知，点，由角平分线的性质可知，点A，A均在直线均在直线BC上，上， 所以直线所以直线BC的方程为的方程为y2x5. 故选故选C. 01121314150708091011020304050616索引 ABD 解析解析对于对于A，a1(1)a0恒成立，恒成立，l1与与l2都互相垂直恒成立，都互相垂直恒成立， 故故A正确；正确； 对于对于B，直线，直线l1：axy10，当，当a变化时，变化时，x0，y1恒成立，恒成立

27、， 所以所以l1恒过定点恒过定点A(0，1)；l2：xay10，当，当a变化时，变化时，x1，y0恒成立，恒成立， 所以所以l2恒过定点恒过定点B(1，0)， 故故B正确；正确； 01121314150708091011020304050616索引 对于对于C，在，在l1上任取点上任取点(x，ax1)，关于直线，关于直线xy0对称的点的坐标为对称的点的坐标为(ax1， x)，代入，代入l2：xay10， 则等式左边不恒等于则等式左边不恒等于0， 故故C不正确；不正确； 01121314150708091011020304050616索引 15已知直线已知直线l经过直线经过直线2xy50与与x2

28、y0的交点，若点的交点，若点A(5，0)到直线到直线l的的 距离为距离为3，则，则l的方程为的方程为_ 解析解析法一法一两直线交点为两直线交点为(2，1)，当斜率不存在时，当斜率不存在时， 所求直线方程为所求直线方程为x20，此时，此时A到直线到直线l的距离为的距离为3，符合题意；，符合题意； 当斜率存在时，设其为当斜率存在时，设其为k， 则所求直线方程为则所求直线方程为y1k(x2)，即，即kxy(12k)0. x2或或4x3y50 故所求直线方程为故所求直线方程为4x3y50. 综上知，所求直线方程为综上知，所求直线方程为x20或或4x3y50. 011213141507080910110

29、20304050616索引 01121314150708091011020304050616索引 16已知点已知点A(4，1)，B(8，2)和直线和直线l：xy10，动点，动点P(x，y)在直线在直线l上，上， 则则|PA|PB|的最小值为的最小值为_ 解析解析设点设点A1与与A关于直线关于直线l对称，对称，P0为为A1B与直线与直线l的交点，的交点， |P0A1|P0A|，|PA1|PA|. 在在A1PB中，中，|PA1|PB|A1B|A1P0|P0B|P0A|P0B|， |PA|PB|P0A|P0B|A1B|. 当当P点运动到点运动到P0时，时，|PA|PB|取得最小值取得最小值|A1B|. 设点设点A关于直线关于直线l的对称点为的对称点为A(x1，y1)， INNOVATIVE DESIGN THANKS本节内容结束