第2节 第一课时 导数与函数的单调性.ppt
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1、INNOVATIVE DESIGN 第三章 第2节利用导数研究函数的性质 知识分类落实 考点分层突破 课后巩固作业 内 容 索 引 / 1 2 3 / / 知识分类落实 夯实基础回扣知识1 索引 知识梳理 / 1.函数的单调性与导数的关系函数的单调性与导数的关系 函数函数yf(x)在某个区间内可导,则:在某个区间内可导,则: (1)若若f(x)0,则,则f(x)在这个区间内在这个区间内 ; (2)若若f(x)0 f(x)0 f(x)0 索引 3.函数的最值与导数函数的最值与导数 (1)函数函数f(x)在在a,b上的最值上的最值 如果函数如果函数yf(x)的定义域为的定义域为(a,b且存在最值,
2、函数且存在最值,函数yf(x)在在(a,b)内可导,那内可导,那 么函数的最值点要么是区间端点么函数的最值点要么是区间端点a或或b,要么是极值点,要么是极值点. (2)求求yf(x)在在a,b上的最大上的最大(小小)值的步骤值的步骤 求函数求函数yf(x)在在(a,b)内的极值;内的极值; 将函数将函数yf(x)的各极值与端点处的函数值的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较,其中最大的一个是比较,其中最大的一个是 最大值,最小的一个是最小值最大值,最小的一个是最小值. 索引 1.若函数若函数f(x)在区间在区间(a,b)上递增,则上递增,则f(x)0,所以,所以“f(x)0在在(a,b
3、)上成立上成立”是是 “f(x)在在(a,b)上单调递增上单调递增”的充分不必要条件的充分不必要条件. 2.对于可导函数对于可导函数f(x),“f(x0)0”是是“函数函数f(x)在在xx0处有极值处有极值”的必要不充的必要不充 分条件分条件. 3.求最值时,应注意极值点与所给区间的关系,关系不确定时,需要分类讨论,求最值时,应注意极值点与所给区间的关系,关系不确定时,需要分类讨论, 不可想当然认为极值就是最值不可想当然认为极值就是最值. 4.函数最值是函数最值是“整体整体”概念,而函数极值是概念,而函数极值是“局部局部”概念,极大值与极小值之概念,极大值与极小值之 间没有必然的大小关系间没有
4、必然的大小关系. 诊断自测 / 索引 1.判断下列结论正误判断下列结论正误(在括号内打在括号内打“”或或“”) (1)若函数若函数f(x)在在(a,b)内单调递增,那么一定有内单调递增,那么一定有f(x)0. () (2)如果函数如果函数f(x)在某个区间内恒有在某个区间内恒有f(x)0,则,则f(x)在此区间内没有单调性在此区间内没有单调性. () (3)函数的极大值一定大于其极小值函数的极大值一定大于其极小值. () (4)对可导函数对可导函数f(x),若,若f(x0)0,则,则x0为极值点为极值点. () (5)函数的最大值不一定是极大值,函数的最小值也不一定是极小值函数的最大值不一定是
5、极大值,函数的最小值也不一定是极小值. () 解析解析(1)f(x)在在(a,b)内单调递增,则有内单调递增,则有f(x)0. (3)函数的极大值也可能小于极小值函数的极大值也可能小于极小值. (4)x0为为f(x)的极值点的充要条件是的极值点的充要条件是f(x0)0,且,且x0两侧导函数异号两侧导函数异号. 索引 2.函数函数f(x)x22ln x的单调递减区间是的单调递减区间是() A.(0,1 B.1,) C.(,1 D.1,0)(0,1 由由f(x)0,得,得0 x1. A 索引 3.如图是如图是f(x)的导函数的导函数f(x)的图像,则的图像,则f(x)的极小值点的个数为的极小值点的
6、个数为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析解析由题意知在由题意知在x1处处f(1)0,且其两侧导数符号为左负右正,且其两侧导数符号为左负右正. A 索引 4.(2017浙江卷浙江卷)函函数数yf(x)的导函数的导函数yf(x)的图像如图所示,则函数的图像如图所示,则函数yf(x)的的 图像可能是图像可能是 () 解析解析设导函数设导函数yf(x)与与x轴交点的横坐标从左往右依次为轴交点的横坐标从左往右依次为x1,x2,x3,由导,由导 函数函数yf(x)的图像易得当的图像易得当x(,x1)(x2,x3)时,时,f(x)0(其中其中x10 x2x3),所以函数,所以函数f(x)在在(,
7、x1),(x2, x3)上单调递减,在上单调递减,在(x1,x2),(x3,)上单调递增,观察各选项,只有上单调递增,观察各选项,只有D选项选项 符合符合. D 索引 AC 令令xln(x1)0,所以,所以x0或或ln(x1)0,所以,所以x0,故,故f(x)只有只有1个零点个零点0, 所以所以B不正确;不正确; 索引 定义域不关于原点对称,所以定义域不关于原点对称,所以f(x)不是偶函数,所以不是偶函数,所以D不正确不正确.故选故选AC. 索引 6.(2021青岛检测青岛检测)已已知函数知函数f(x)sin 2x4cos xax在在R上单调递减,则实数上单调递减,则实数a的的 取值范围是取值
8、范围是_. 解析解析f(x)2cos 2x4sin xa 2(12sin2x)4sin xa 4sin2x4sin x2a(2sin x1)23a. 由题设,由题设,f(x)0在在R上恒成立上恒成立. 因此因此a3(2sin x1)2恒成立,则恒成立,则a3. 3,) 索引 第一课时导数与函数的单调性第一课时导数与函数的单调性 考点分层突破 题型剖析考点聚焦2 索引 1.函数函数f(x)x22ln x的递减区间是的递减区间是() A.(0,1) B.(1,) C.(,1) D.(1,1) 当当x(0,1)时,时,f(x)0,f(x)为增函数为增函数. 考点一不含参函数的单调性 / 自主演练自主
9、演练 A 索引 2.函数函数f(x)(x3)ex的递增区间是的递增区间是() A.(,2) B.(0,3) C.(1,4) D.(2,) 解析解析f(x)(x3)ex(x3)(ex)(x2)ex, 令令f(x)0,解得,解得x2,故选,故选D. D 索引 3.已知定义在区间已知定义在区间(,)上的函数上的函数f(x)xsin xcos x,则,则f(x)的递增区间是的递增区间是 _. 解析解析f(x)sin xxcos xsin xxcos x. 令令f(x)xcos x0, 索引 确定函数单调区间的步骤:确定函数单调区间的步骤: (1)确定函数确定函数f(x)的定义域;的定义域; (2)求求
10、f(x); (3)解不等式解不等式f(x)0,解集在定义域内的部分为单调递增区间;,解集在定义域内的部分为单调递增区间; (4)解不等式解不等式f(x)0,解集在定义域内的部分为单调递减区间,解集在定义域内的部分为单调递减区间. 感悟升华 索引 解解函数函数f(x)的定义域为的定义域为(0,), 考点二讨论含参函数的单调性 / 师生共研师生共研 当当 0a1, , 索引 f(x)0在在(0,)上恒成立,上恒成立, 函数函数f(x)在在(0,)上单调递增;上单调递增; 当当a1时,函数时,函数f(x)在在(0,)上单调递增;上单调递增; 索引 1.(1)研究含参数的函数的单调性,要依据参数对不等
11、式解集的影响进行分类讨论研究含参数的函数的单调性,要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论. (2)划分函数的单调区间时,要在函数定义域内讨论,还要确定导数为划分函数的单调区间时,要在函数定义域内讨论,还要确定导数为0的点和函的点和函 数的间断点数的间断点. 2.个别导数为个别导数为0的点不影响所在区间的单调性,如的点不影响所在区间的单调性,如f(x)x3,f(x)3x20(f(x)0 在在x0时取到时取到),f(x)在在R上是增函数上是增函数. 感悟升华 索引 【训练训练1】已已知函数知函数f(x)axln x(aR),求,求f(x)的单调区间的单调区间. 当当a0时,由于时,由于x0,故,
12、故ax10,f(x)0, 所以所以f(x)的单调递增区间的单调递增区间(0,). 索引 因为因为x1是是f(x)2xln x的一个极值点,的一个极值点, 所以所以f(1)0,即,即2b10. 解得解得b3,经检验,适合题意,所以,经检验,适合题意,所以b3. 令令f(x)0,得,得0 x1. 所以函数所以函数f(x)的单调递减区间为的单调递减区间为(0,1). 考点三根据函数单调性求参数 / 典例迁移典例迁移 索引 因为函数因为函数g(x)在在1,2上单调递增,上单调递增, 所以所以g(x)0在在1,2上恒成立,上恒成立, 所以所以a2x2x在在1,2上恒成立,上恒成立, 所以所以a(2x2x
13、)max,x1,2. 因为在因为在1,2上,上,(2x2x)max3,所以,所以a3. 所以实数所以实数a的取值范围是的取值范围是3,). 索引 【迁移迁移1】本本例例(2)中,若函数中,若函数g(x)在区间在区间1,2上单调递减,求实数上单调递减,求实数a的取值范围的取值范围. 当当x1,2时,时,a2x2x恒成立,恒成立, 当当x2时,时,t2x2x取得最小值取得最小值10. 所以所以a10,即实数,即实数a的取值范围为的取值范围为(,10. 索引 【迁移迁移2】在在本例本例(2)中,若函数中,若函数g(x)在区间在区间1,2上不单调,求实数上不单调,求实数a的取值范围的取值范围. 解解函
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