第8节微课2　定值问题.docx

1、微课二定值问题 题型一长度或距离为定值 【例 1】(2020北京卷)已知椭圆 C：x 2 a2 y2 b21 过点 A(2，1)，且 a2b. (1)求椭圆 C 的方程； (2)过点 B(4，0)的直线 l 交椭圆 C 于点 M，N，直线 MA，NA 分别交直线 x 4 于点 P，Q，求|PB| |BQ|的值 解(1)由椭圆过点 A(2，1)，得 4 a2 1 b21. 又 a2b， 4 4b2 1 b21，解得 b 22， a24b28，椭圆 C 的方程为x 2 8 y 2 2 1. (2)当直线 l 的斜率不存在时，显然不合题意 设直线 l：yk(x4)， 由 yk（x4） ， x24y2

2、8 得(4k21)x232k2x64k280. 由0，得1 2k 1 2. 设 M(x1，y1)，N(x2，y2)， 则 x1x232k 2 4k21，x 1x264k 28 4k21 . 又直线 AM：y1y 11 x12(x2)， 令 x4，得 yP2（y11） x12 1. 将 y1k(x14)代入，得 yP（2k1） （x14） x12 . 同理 yQ（2k1） （x24） x22 . yPyQ(2k1) x14 x12 x24 x22 (2k1)2x1x26（x1x2）16 （x12） （x22） (2k1) 2（64k28） 4k21 6（32k 2） 4k21 16 （x12）

3、（x22） (2k1)128k 216192k264k216 （4k21） （x12） （x22）0. |PB|BQ|，|PB| |BQ|1. 感悟升华圆锥曲线中的定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定值” 是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定 的定值问题同证明问题类似，在求定值之前已知该值的结果，因此求解时应设 参数，运用推理，到最后必定参数统消，定值显现 【训练 1】在平面直角坐标系 xOy 中，已知双曲线 C1：2x2y21. 设椭圆 C2：4x2y21.若 M，N 分别是 C1，C2上的动点，且 OMON，求证： O 到直线 MN 的距离是定值

4、证明当直线 ON 垂直于 x 轴时，|ON|1，|OM| 2 2 ，则 O 到直线 MN 的距离 为 3 3 ， 当直线 ON 不垂直于 x 轴时， 设直线 ON 的方程为 ykx 显然|k| 2 2 ， 则直线 OM 的方程为 y1 kx， 由 ykx， 4x2y21，得 x2 1 4k2， y2 k2 4k2， 所以|ON|21k 2 4k2， 同理|OM|2 1k2 2k21， 设 O 到直线 MN 的距离为 d，因为(|OM|2|ON|2)d2|OM|2|ON|2， 所以 1 d2 1 |OM|2 1 |ON|2 3k23 k21 3，即 d 3 3 . 综上，O 到直线 MN 的距离

5、是定值 题型二斜率或其表达式为定值 【例 2】(2020兰州诊断)如图，椭圆 E：x 2 a2 y2 b21(ab0)经过点 A(0，1)且离 心率为 2 2 . (1)求椭圆 E 的方程； (2)经过点(1，1)，且斜率为 k 的直线与椭圆 E 交于不同的两点 P，Q(均异于点 A)，证明：直线 AP 与 AQ 的斜率之和为定值 (1)解由题设知c a 2 2 ，b1，结合 a2b2c2，解得 a 2， 所以椭圆 E 的方程为x 2 2 y21. (2)证明由题设知，直线 PQ 的方程为 yk(x1)1(k2)，代入x 2 2 y21， 得(12k2)x24k(k1)x2k(k2)0， 由已

6、知0，设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)， x1x20，则 x1x24k（k1） 12k2 ，x1x22k（k2） 12k2 ， 从而直线 AP，AQ 的斜率之和为 kAPkAQy11 x1 y21 x2 kx12k x1 kx22k x2 2k(2k) 1 x1 1 x22k(2k)x1x2 x1x2 2k(2k)4k（k1） 2k（k2）2k2(k1)2(即为定值) 【训练 2】(2021长沙模拟)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C：x 2 a2 y2 b2 1(ab0)的左、右顶点分别为 A、B，已知|AB|4，且点 e，3 4 5 在椭圆上，其 中 e 是椭圆的离心率 (

7、1)求椭圆 C 的方程； (2)设 P 是椭圆 C 上异于 A、B 的点，与 x 轴垂直的直线 l 分别交直线 AP、BP 于 点 M、N，求证：直线 AN 与直线 BM 的斜率之积是定值 (1)解|AB|4，2a4，a2， 又点 e，3 5 4在椭圆上， e 2 4 45 16b21， 又 b2c2a24，联立方程组解得 b23， 椭圆方程为x 2 4 y 2 3 1. (2)证明设点 P 的坐标为(s，t)，点 M，N 的横坐标为 m(m2)， 则直线 AP 的方程为 y t s2(x2)， 故 M m， t s2（m2），故直线 BM 的斜率 k1 t（m2） （s2） （m2）， 同理

8、可得直线 AN 的斜率 k2 t（m2） （s2） （m2）， 故 k1k2 t（m2） （s2） （m2） t（m2） （s2） （m2） t2 s24， 又点 P 在椭圆上，s 2 4 t 2 31， t23 4(s 24)， k1k2 3 4（s 24） s24 3 4. 即直线 AN 与直线 BM 的斜率之积为定值 题型三几何图形面积为定值 【例 3】(2021重庆诊断)已知椭圆 E：x 2 a2 y2 b21(ab0)的离心率为 e，点(1，e) 在椭圆 E 上，点 A(a，0)，B(0，b)，AOB 的面积为3 2，O 为坐标原点 (1)求椭圆 E 的标准方程； (2)若直线 l

9、交椭圆 E 于 M，N 两点，直线 OM 的斜率为 k1，直线 ON 的斜率为 k2，且 k1k21 9，证明：OMN 的面积是定值，并求此定值 解(1)由 1 a2 e2 b21， ec a， c2a2b2， 得 b1. 又 SAOB1 2ab 3 2，得 a3. 所以椭圆 E 的标准方程为x 2 9 y21. (2)当直线 l 的斜率不存在时，设直线 l：xt(3t0， x1x2 18km 9k21，x 1x29m 29 9k21 ， k1k2y1 x1 y2 x2 （kx1m） （kx2m） x1x2 9k 2m2 9m29 1 9， 化简得 9k212m2，满足0. |MN| 1k2|

10、x1x2| 1k2 （x1x2）24x1x2 1k2 18km 9k21 2 49m 29 9k21 6 1k 2 9k2m21 9k21 . 又原点 O 到直线 l 的距离 d |m| 1k2， 所以 SOMN1 2|MN|d 3 1k 2 9k2m21 9k21 |m| 1k2 3|m| 2m 2m2 2m2 3 2. 综上可知，OMN 的面积为定值3 2. 感悟升华探求圆锥曲线中几何图形的面积的定值问题，一般用直接求解法，即 可先利用三角形面积公式(如果是其他凸多边形，可分割成若干个三角形分别求 解)把要探求的几何图形的面积表示出来，然后利用题中的条件得到几何图形的 面积表达式中的相关量

11、之间的关系式， 把这个关系式代入几何图形的面积表达式 中，化简即可 【训练 3】已知点 F(0，2)，过点 P(0，2)且与 y 轴垂直的直线为 l1，l2x 轴， 交 l1于点 N，直线 l 垂直平分 FN，交 l2于点 M. (1)求点 M 的轨迹方程； (2)记点 M 的轨迹为曲线 E， 直线 AB 与曲线 E 交于不同两点 A(x1， y1)， B(x2， y2)， 且 x21x1m2(m 为常数)，直线 l与 AB 平行，且与曲线 E 相切，切点为 C， 试问ABC 的面积是否为定值若为定值，求出ABC 的面积；若不是定值， 说明理由 解(1)由题意得|FM|MN|，即动点 M 到点

12、 F(0，2)的距离和到直线 y2 的 距离相等，所以点 M 的轨迹是以 F(0，2)为焦点，直线 y2 为准线的抛物线， 根据抛物线定义可知点 M 的轨迹方程为 x28y. (2)由题意知，直线 AB 的斜率存在，设其方程为 ykxb，由 ykxb， x28y 消去 x 整理得 x28kx8b0. 则 x1x28k，x1x28b. 设 AB 的中点为 Q，则点 Q 的坐标为(4k，4k2b) 由条件设切线方程为 ykxt，由 ykxt， x28y 消去 y 整理得 x28kx8t0. 直线与抛物线相切，64k232t0，t2k2， 切点 C 的横坐标为 4k，点 C 的坐标为(4k，2k2)

13、 CQx 轴，x2x1m21， (x2x1)2(x1x2)24(8b) 64k232b(m21)2， b（m 21）264k2 32 . SABC1 2|CQ|x 2x1|1 2(2k 2b)(x2x1)（m 21）3 64 ， m 为常数，ABC 的面积为定值 1(2021洛阳高三统考)已知抛物线 C：y22px(p0)，其焦点为 F，O 为坐标 原点，直线 l 与抛物线 C 相交于不同的两点 A，B，M 为 AB 的中点 (1)若 p2，M 的坐标为(1，1)，求直线 l 的方程 (2)若直线 l 过焦点 F，AB 的垂直平分线交 x 轴于点 N，求证：2|MN| 2 |FN| 为定值 (

14、1)解由题意知直线 l 的斜率存在且不为 0， 故设直线 l 的方程为 x1t(y1) 即 xty1t，设 A(x1，y1)，B(x2，y2) 由 xty1t， y24x， 得 y24ty44t0， 16t21616t16(t2t1)0，y1y24t， 4t2，即 t1 2. 直线 l 的方程为 2xy10. (2)证明抛物线 C：y22px(p0)，焦点 F 的坐标为 p 2，0. 由题意知直线 l 的斜率存在且不为 0， 直线 l 过焦点 F，故设直线 l 的方程为 xtyp 2(t0)，设 A(x 1，y1)，B(x2，y2) 由 xtyp 2 y22px ，得 y22ptyp20， y

15、1y22pt，4p2t24p20. x1x2t(y1y2)p2pt2p， M pt2p 2，pt. MN 的方程为 yptt xpt2p 2 . 令 y0，解得 xpt23p 2 ，N pt23p 2 ，0 ， |MN|2p2p2t2，|FN|pt23p 2 p 2pt 2p， 2|MN| 2 |FN| 2（p 2p2t2） pt2p 2p，为定值 2(2020新高考山东卷)已知椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0)的离心率为 2 2 ，且过点 A(2，1) (1)求 C 的方程； (2)点 M，N 在 C 上，且 AMAN，ADMN，D 为垂足证明：存在定点 Q，使 得|DQ|为定值

16、 (1)解由题设得 4 a2 1 b21, a2b2 a2 1 2， 解得 a26，b23. 所以 C 的方程为x 2 6 y 2 3 1. (2)证明设 M(x1，y1)，N(x2，y2) 若直线 MN 与 x 轴不垂直， 设直线 MN 的方程为 ykxm，代入x 2 6 y 2 3 1， 得(12k2)x24kmx2m260. 于是 x1x2 4km 12k2，x 1x22m 26 12k2 . 由 AMAN，得AM AN 0， 故(x12)(x22)(y11)(y21)0， 整理得(k21)x1x2(kmk2)(x1x2)(m1)240. 将代入上式，可得(k21)2m 26 12k2

17、(kmk2) 4km 12k2(m1) 240， 整理得(2k3m1)(2km1)0. 因为 A(2，1)不在直线 MN 上， 所以 2km10，所以 2k3m10，k1. 所以直线 MN 的方程为 yk x2 3 1 3(k1) 所以直线 MN 过点 P 2 3， 1 3 . 若直线 MN 与 x 轴垂直，可得 N(x1，y1) 由AM AN 0， 得(x12)(x12)(y11)(y11)0. 又x 2 1 6 y 2 1 3 1，所以 3x218x140. 解得 x12(舍去)，或 x12 3. 此时直线 MN 过点 P 2 3， 1 3 . 令 Q 为 AP 的中点，即 Q 4 3， 1 3 . 若 D 与 P 不重合，则由题设知 AP 是 RtADP 的斜边， 故|DQ|1 2|AP| 2 2 3 . 若 D 与 P 重合，则|DQ|1 2|AP|. 综上，存在点 Q 4 3， 1 3 ，使得|DQ|为定值