第6节　均值不等式及其应用.docx

1、第第 6 节节均值不等式及其应用均值不等式及其应用 知识梳理 1.均值不等式 如果 a，b 都是正数，那么ab 2 ab，当且仅当 ab 时，等号成立.数ab 2 称为 a，b 的算术平均值；数 ab称为 a，b 的几何平均值. 2.两个重要的不等式 (1)a2b22ab(a，bR)，当且仅当 ab 时取等号. (2)ab ab 2 2 (a，bR)，当且仅当 ab 时取等号. (3)(ab)24ab；2(a2b2)(ab)2. 当且仅当 ab 时，等号成立. 3.利用均值不等式求最值 已知 x0，y0，则 (1)如果积 xy 是定值 p，那么当且仅当 xy 时，xy 有最小值是 2 p(简记

2、：积定 和最小). (2)如果和 xy 是定值 s，那么当且仅当 xy 时，xy 有最大值是s 2 4(简记：和定积 最大). 1.b a a b2(a，b 同号)，当且仅当 ab 时取等号. 2.ab ab 2 2 a 2b2 2 . 3. 2 1 a 1 b abab 2 a2b2 2 (a0，b0). 4.应用均值不等式求最值要注意： “一定，二正，三相等” ，忽略某个条件，就会 出错. 5.在利用不等式求最值时， 一定要尽量避免多次使用均值不等式.若必须多次使用， 则一定要保证它们等号成立的条件一致. 诊断自测 1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”) (1)两个不等式 a2b22

3、ab 与ab 2 ab成立的条件是相同的.() (2)函数 yx1 x的最小值是 2.( ) (3)函数 f(x)sin x 4 sin x的最小值为 4.( ) (4)x0 且 y0 是x y y x2 的充要条件.( ) 答案(1)(2)(3)(4) 解析(1)不等式 a2b22ab 成立的条件是 a，bR； 不等式ab 2 ab成立的条件是 a0，b0. (2)函数 yx1 x的值域是(，22，)，没有最小值. (3)函数 f(x)sin x 4 sin x没有最小值. (4)x0 且 y0 是x y y x2 的充分不必要条件. 2.若 x0，y0，且 xy18，则 xy的最大值为()

4、 A.9B.18C.36D.81 答案A 解析因为 xy18，所以 xyxy 2 9，当且仅当 xy9 时，等号成立. 3.(多选题)若 xy，则下列不等式中正确的是() A.3x3yB.xy 2 xy C.x2y2D.x2y22xy 答案AD 解析由指数函数的单调性可知，当 xy 时，有 3x3y，故 A 正确； 当 0 xy 时，xy 2 xy不成立，故 B 错误； 当 0 xy 时，x2y2不成立，故 C 错误； x2y22xy(xy)20 成立，即 x2y22xy 成立，故 D 正确. 4.(2021滨州三校联考)若函数 f(x)x 1 x2(x2)在 xa 处取最小值，则 a 等于

5、() A.1 2B.1 3 C.3D.4 答案C 解析当 x2 时，x20，f(x)(x2) 1 x222 （x2） 1 x224， 当且仅当 x2 1 x2(x2)，即 x3 时取等号，即当 f(x)取得最小值时，x3， 即 a3，故选 C. 5.(2020长沙月考)一段长为 30 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长 18 m，则这个矩形的长为_m，宽为_m 时菜园面积最大. 答案15 15 2 解析设矩形的长为 x m， 宽为 y m.则 x2y30(0 x18)， 所以 Sxy1 2x(2y) 1 2 x2y 2 2 225 2 ，当且仅当 x2y，即 x15，y15 2 时取等

6、号. 6.(2018天津卷)已知 a，bR，且 a3b60，则 2a 1 8b的最小值为_. 答案 1 4 解析由题设知 a3b6，又 2a0，8b0，所以 2a 1 8b2 2a 1 8b22 a3b 2 1 4，当且仅当 2 a1 8b，即 a3，b1 时取等号.故 2 a1 8b的最小值为 1 4. 考点一利用均值不等式求最值 角度 1配凑法求最值 【例 1】(1)(2021乐山模拟)设 0 x3 2， 则函数 y4x(32x)的最大值为_. (2)已知 x5 4，则 f(x)4x2 1 4x5的最大值为_. (3)已知函数 f(x)x 2 x1(x1)，则( ) A.f(x)有最小值

7、4B.f(x)有最小值4 C.f(x)有最大值 4D.f(x)有最大值4 答案(1)9 2 (2)1(3)A 解析(1)y4x(32x)22x(32x) 2 2x（32x） 2 2 9 2， 当且仅当 2x32x，即 x3 4时，等号成立. 3 4 0，3 2 ，函数 y4x(32x) 0 x3 2 的最大值为9 2. (2)因为 x0， 则 f(x)4x5 1 4x53 54x 1 54x 32（54x） 1 54x3 231，当且仅当 54x 1 54x，即 x1 时，取等号. 故 f(x)4x2 1 4x5的最大值为 1. (3)f(x)x 2 x1 x211 x1 x1 1 x1 x1

8、 1 x12 (x1) 1 （x1）2. 因为 x1，所以 x10， 所以 f(x)2 124， 当且仅当(x1) 1 （x1），即 x2 时，等号成立. 故 f(x)有最小值 4. 角度 2常数代换法求最值 【例 2】(2021武汉模拟)已知正数 m，n 满足 m2n8，则 2 m 1 n的最小值为 _，等号成立时 m，n 满足的等量关系是_. 答案1m2n 解 析因 为 m 2n 8 ， 所 以 2 m 1 n 2 m 1 n m2n 8 1 8 44n m m n 1 8 42 4n m m n 1 8(44)1，当且仅当 4n m m n ，即 m4，n2 时等号成立. 角度 3消元法

9、求最值 【例 3】 (2020江苏卷)已知 5x2y2y41(x， yR)， 则 x2y2的最小值是_. 答案 4 5 解析由题意知 y0.由 5x2y2y41，可得 x21y 4 5y2 ，所以 x2y21y 4 5y2 y2 14y 4 5y2 1 5 1 y24y 2 1 52 1 y24y 24 5，当且仅当 1 y24y 2，即 y 2 2 时取等 号.所以 x2y2的最小值为4 5. 感悟升华利用均值不等式求最值的方法 (1)知和求积的最值： “和为定值，积有最大值”.但应注意以下两点： 具备条件正数；验证等号成立. (2)知积求和的最值： “积为定值，和有最小值” ，直接应用均值

10、不等式求解，但 要注意利用均值不等式求最值的条件. (3)构造不等式求最值：在求解含有两个变量的代数式的最值问题时，通常采用 “变量替换”或“常数 1”的替换，构造不等式求解. 【训练 1】 (1)已知实数 x，y0，且 x2xy2，则 x6 x 1 xy的最小值为( ) A.6B.6 2C.3D.3 2 (2)(多选题)(2021烟台模拟)下列说法正确的是() A.若 x，y0，xy2，则 2x2y的最大值为 4 B.若 x0，xyxy3，则 xy 的最小值为 1 D.函数 y 1 sin2x 4 cos2x的最小值为 9 答案(1)A(2)BD 解析(1)由 x，y0，x2xy2 得 xy

11、2 x，则 1 xy x 2，所以 x 6 x 1 xyx 6 x x 23 x 2 2 x 32 x 2 2 x6， 当且仅当x 2 2 x，即 x2，y1 时等号成立，所以 x 6 x 1 xy的最小值为 6. (2)对于 A，取 x3 2，y 1 2，可得 2 x2y3 24，A 错误； 对于 B，y2x 1 2x1 12x 1 12x 1211，当且仅当 x0 时 等号成立，B 正确； 对于 C，易知 x2，y1 3满足等式 xyxy3，此时 xy 2 30，b0)在 x 1 处取得极值，则2 a 1 b的最小值为( ) A.32 2 3 B.32 2 C.3D.9 (2)已知不等式(

12、xy) 1 x a y 9 对任意正实数 x，y 恒成立，则正实数 a 的最小值 为() A.2B.4C.6D.8 答案(1)C(2)B 解析(1)因为 f(x)1 3x 3ax2(b4)x1(a0，b0)， 所以 f(x)x22axb4. 因为 f(x)在 x1 处取得极值， 所以 f(1)0，所以 12ab40，解得 2ab3. 所以2 a 1 b 2 a 1 b 1 3(2ab) 1 3 52b a 2a b 1 3 52 2b a 2a b 3(当且仅当 ab1 时取等号).故选 C. (2)已知不等式(xy) 1 x a y 9 对任意正实数 x，y 恒成立，只要求(xy) 1 x

13、a y 的 最小值大于或等于 9， 1ay x ax y a2 a1， 当且仅当 y ax 时，等号成立， a2 a19， a2 或 a4(舍去)，a4， 即正实数 a 的最小值为 4，故选 B. 感悟升华1.当均值不等式与其他知识相结合时，往往是提供一个应用均值不等 式的条件，然后利用常数代换法求最值. 2.求参数的值或范围时，要观察题目的特点，利用均值不等式确定相关成立的条 件，从而得到参数的值或范围. 【训练 2】 (1)在ABC 中，A 6，ABC 的面积为 2，则 2sin C sin C2sin B sin B sin C的 最小值为() A. 3 2 B.3 3 4 C.3 2

14、D.5 3 (2)在ABC 中，点 D 是 AC 上一点，且4，P 为 BD 上一点，向量(0， 0)，则4 1 的最小值为( ) A.16B.8C.4D.2 答案(1)C(2)A 解析(1)由ABC 的面积为 2， 所以 SABC1 2bcsin A 1 2bcsin 62，得 bc8， 在ABC 中，由正弦定理得 2sin C sin C2sin B sin B sin C 2c c2b b c 28 b 8 b2b b 8 b 16 82b2 b2 8 8 4b2 b24 8 1 2 2 8 4b2 b24 8 1 22 1 2 3 2， 当且仅当 b2，c4 时，等号成立，故选 C.

15、(2)由题意可知，4，又点 B，P，D 共线，由三点共线的充要条件可得 41，又因为0，0，所以4 1 4 1 (4)816 82 16 16，当且仅当1 2， 1 8时等号成立，故 4 1 的最小值为 16.故选 A. 考点三均值不等式的实际应用 【例 5】网店和实体店各有利弊，两者的结合将在未来一段时期内，成为商业的 一个主要发展方向.某品牌行车记录仪支架销售公司从 2019 年 1 月起开展网络销 售与实体店体验安装结合的销售模式.根据几个月运营发现，产品的月销量 x 万 件与投入实体店体验安装的费用 t 万元之间满足函数关系式 x3 2 t1.已知网 店每月固定的各种费用支出为 3 万

16、元，产品每 1 万件进货价格为 32 万元，若每 件产品的售价定为“进货价的 150%”与“平均每件产品的实体店体验安装费用 的一半”之和，则该公司最大月利润是_万元. 答案37.5 解析由题意知t 2 3x1(1x2ab 答案C 解析因为a b和 b a同号，所以| a b b a| a b| b a|2. 2.若 3x2y2，则 8x4y的最小值为() A.4B.4 2C.2D.2 2 答案A 解析因为 3x2y2，所以 8x4y2 8x4y2 23x 2y4， 当且仅当 3x2y2 且 3x2y，即 x1 3，y 1 2时等号成立.故选 A. 3.(多选题)(2021山东新高考模拟)已知

17、正实数 a，b 满足 ab2，下列式子中， 最小值为 2 的有() A.2abB.a2b2 C.1 a 1 b D. 2 ab 答案BCD 解析因为 a，b0，所以 2ab2 ab，所以 0ab1，当且仅当 ab1 时等号成立.由 ab1，得 2ab2，所以 2ab 的最大值为 2，A 错误；a2b2(a b)22ab422，B 正确；1 a 1 b ab ab 2 ab2，C 正确； 2 ab2，D 正确， 故选 BCD. 4.已知 x0，y0，且 1 x1 1 y 1 2，则 xy 的最小值为( ) A.3B.5C.7D.9 答案C 解析x0，y0，且 1 x1 1 y 1 2 ，x1y2

18、 1 x1 1 y (x1y) 2 11 y x1 x1 y2 22 y x1 x1 y8， 当且仅当 y x1 x1 y ， 即 x3， y4 时取等号，xy7，故 xy 的最小值为 7. 5.要制作一个容积为 4 m3，高为 1 m 的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价 是每平方米 20 元，侧面造价是每平方米 10 元，则该容器的最低总造价是() A.80 元B.120 元C.160 元D.240 元 答案C 解析由题意知，体积 V4 m3，高 h1 m，所以底面积 S4 m2，设底面矩形 的一条边长是 x m，则另一条边长是4 x m，又设总造价是 y 元，则 y20410 (2x8

19、 x)8020 2x8 x160，当且仅当 2x 8 x，即 x2 时取得等号. 6.若实数 x，y 满足 x2y2xy1，则 xy 的最大值是() A.6B.2 3 3 C.4D.2 3 答案B 解析x2y2xy1(xy)2xy1， xy xy 2 2 ，当且仅当 xy 时取等号， (xy)2 xy 2 2 1， 即3 4(xy) 21，2 3 3 xy2 3 3 ， xy 的最大值是2 3 3 .故选 B. 7.(2021沈阳一模)若 log2xlog4y1，则 x2y 的最小值为() A.2B.2 3C.4D.2 2 答案C 解析因为 log2xlog4ylog4x2log4ylog4(

20、x2y)1，所以 x2y4(x0，y0)， 则 x2y2 x2y4，当且仅当 x2y2 时等号成立，即 x2y 的最小值为 4.故 选 C. 8.(2020重庆联考)对任意 m，n(0，)，都有 m2amn2n20，则实数 a 的最大值为() A. 2B.2 2C.4D.9 2 答案B 解析对任意 m，n(0，)，都有 m2amn2n20， m22n2amn，即 am 22n2 mn m n 2n m 恒成立， m n 2n m 2 m n 2n m 2 2，当且仅当m n 2n m 即 m 2n 时取等号，a2 2，故 a 的最大值为 2 2，故选 B. 二、填空题 9.若直线x a y b

21、1(a0，b0)过点(1，2)，则 2ab 的最小值为_. 答案8 解析由题设可得1 a 2 b1，a0，b0， 2ab(2ab) 1 a 2 b 4b a 4a b 42 b a 4a b 8 当且仅当b a 4a b ，即 b2a4 时，等号成立 . 故 2ab 的最小值为 8. 10.已知 x0，y0，x3yxy9，则 x3y 的最小值为_. 答案6 解析法一(换元消元法) 由已知得 x3y9xy， 因为 x0，y0， 所以 x3y2 3xy， 所以 3xy x3y 2 2 ， 当且仅当 x3y，即 x3，y1 时取等号， 即(x3y)212(x3y)1080， 令 x3yt，则 t0

22、且 t212t1080， 得 t6，即 x3y 的最小值为 6. 法二(代入消元法) 由 x3yxy9，得 x93y 1y ， 所以 x3y93y 1y 3y 93y 2 1y 3（1y） 26（1y）12 1y 3(1y) 12 1y62 3（1y） 12 1y6 1266， 当且仅当 3(1y) 12 1y，即 y1，x3 时取等号， 所以 x3y 的最小值为 6. 11.(2020天津卷)已知 a0，b0，且 ab1，则 1 2a 1 2b 8 ab的最小值为 _. 答案4 解析因为 a0，b0，ab1，所以原式ab 2a ab 2b 8 ab ab 2 8 ab 2 ab 2 8 ab

23、4，当且仅当 ab 2 8 ab，即 ab4 时，等号成立.故 1 2a 1 2b 8 ab的最小值为 4. 12.函数 yx 22 x1 (x1)的最小值为_. 答案2 32 解析x1，x10， yx 22 x1 （x 22x1）（2x2）3 x1 （x1） 22（x1）3 x1 (x1) 3 x122 32. 当且仅当 x1 3 x1，即 x 31 时，等号成立. B 级能力提升 13.(多选题)(2021石家庄一模)若 a，b，cR，且 abbcca1，则下列不等式 成立的是() A.abc 3B.(abc)23 C.1 a 1 b 1 c2 3 D.a2b2c21 答案BD 解析由均值

24、不等式可得 a2b22ab，b2c22bc，c2a22ca，2(a2b2 c2)2(abbcca)2， a2b2c21，当且仅当 abc 3 3 时，等号成立.(abc)2a2b2 c22(abbcca)3， abc 3或 abc 3.若 abc 3 3 ，则1 a 1 b 1 c3 30，则a 44b41 ab 的最小值为_. 答案4 解析a，bR，ab0， a 44b41 ab 4a 2b21 ab 4ab 1 ab2 4ab 1 ab4， 当且仅当 a22b2， 4ab 1 ab， 即 a2 2 2 ， b2 2 4 时取得等号. 16.已知函数 f(x)x 2ax11 x1 (aR)，若对于任意的 xN*，f(x)3 恒成立，则 a 的取值范围是_. 答案 8 3， 解析对任意 xN*，f(x)3， 即x 2ax11 x1 3 恒成立，即 a x8 x 3. 设 g(x)x8 x，xN *，则 g(x)x8 x4 2， 当且仅当 x22时等号成立，又 g(2)6，g(3)17 3 ， g(2)g(3)，g(x)min17 3 . x8 x 38 3， a8 3，故 a 的取值范围是 8 3，.