第3节 直线、平面平行的判定与性质.docx
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1、第第 3 节节直线、平面平行的判定与性质直线、平面平行的判定与性质 知识梳理 1.直线与平面平行 (1)直线与平面平行的定义 直线 l 与平面没有公共点,则称直线 l 与平面平行. (2)判定定理与性质定理 文字语言图形表示符号表示 判定定理 平面外的一条直线 和平面内的一条直 线平行,则这条直 线和这个平面平行 如果 l,m, lm,则 l 性质定理 一条直线和一个平 面平行,且经过这 条直线的平面与这 个平面相交,则这 条直线就与两平面 的交线平行 如果 l,l, m,则 lm 2.平面与平面平行 (1)平面与平面平行的定义 如果平面与平面没有公共点,则. (2)判定定理与性质定理 文字语
2、言图形表示符号表示 判定定理 如果一个平面内有 两条相交直线分别 如果 l,m, lm,l,m 平行于另一个平 面,那么这两个平 面平行. ,则 性质 两个平面平行,则 其中一个平面内的 直线平行于另一个 平面 , aa 性质定理 如果两个平行平面 同时与第三个平面 相交,那么它们的 交线平行 如果, l, m, 则 ml 1.面面平行判定定理 推论: 如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线,则 这两个平面平行. 用符号表示为:如果 l,m,lm,ll,mm,且 l,m ,则. 2.平行关系中的三个重要结论 (1)垂直于同一条直线的两个平面平行,即若 a,a,则. (2)
3、平行于同一平面的两个平面平行,即若,则. (3)垂直于同一个平面的两条直线平行,即若 a,b,则 ab. 3.三种平行关系的转化 诊断自测 1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”) (1)若一条直线和平面内一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行.() (2)若直线 a平面,P,则过点 P 且平行于直线 a 的直线有无数条.() (3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面,那么这两个平面平行.() (4)如果两个平面平行,那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面.() 答案(1)(2)(3)(4) 解析(1)若一条直线和平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行 或在平面内,故
4、(1)错误. (2)若 a,P,则过点 P 且平行于 a 的直线只有一条,故(2)错误. (3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面,则这两个平面平行或相交, 故(3)错误. 2.下列说法中,与“直线 a平面”等价的是() A.直线 a 上有无数个点不在平面内 B.直线 a 与平面内的所有直线平行 C.直线 a 与平面内无数条直线不相交 D.直线 a 与平面内的任意一条直线都不相交 答案D 解析因为 a平面,所以直线 a 与平面无交点,因此 a 和平面内的任意一 条直线都不相交,故选 D. 3.如图是长方体被一平面所截得的几何体,四边形 EFGH 为截 面,则四边形 EFGH 的形状为_.
5、 答案平行四边形 解析平面 ABFE平面 DCGH, 又平面 EFGH平面 ABFEEF, 平面 EFGH平面 DCGHHG, EFHG.同理 EHFG, 四边形 EFGH 是平行四边形. 4.(2021郑州调研)平面平面的一个充分条件是() A.存在一条直线 a,a,a B.存在一条直线 a,a,a C.存在两条平行直线 a,b,a,b,a,b D.存在两条异面直线 a,b,a,b,a,b 答案D 解析若l,al,a,a,a,a,故排除 A; 若l,a,al,则 a,故排除 B; 若l,a,al,b,bl,则 a,b,故排除 C; 故选 D. 5.已知, 表示两个不同的平面, 直线 m 是内
6、一条直线, 则“”是“m” 的() A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 答案A 解析由,m,可得 m;反过来,由 m,m,不能推出. 综上,“”是“m”的充分不必要条件. 6.(多选题)(2020青岛质检)在正方体 ABCDA1B1C1D1中,E, F,G 分别是 A1B1,B1C1,BB1的中点,下列四个推断中正确 的是() A.FG平面 AA1D1D B.EF平面 BC1D1 C.FG平面 BC1D1 D.平面 EFG平面 BC1D1 答案AC 解析在正方体 ABCDA1B1C1D1中,E,F,G 分别是 A1B1,B1C1,BB1的中 点, FGB
7、C1,BC1AD1,FGAD1, FG平面 AA1D1D,AD1平面 AA1D1D, FG平面 AA1D1D,故 A 正确; EFA1C1,A1C1与平面 BC1D1相交, EF 与平面 BC1D1相交,故 B 错误; E,F,G 分别是 A1B1,B1C1,BB1的中点,FGBC1, FG平面 BC1D1,BC1平面 BC1D1, FG平面 BC1D1,故 C 正确; EF 与平面 BC1D1相交,平面 EFG 与平面 BC1D1相交,故 D 错误.故选 AC. 考点一与线、面平行相关命题的判定 1.设,为两个平面,则的充要条件是() A.内有无数条直线与平行 B.内有两条相交直线与平行 C
8、.,平行于同一条直线 D.,垂直于同一平面 答案B 解析若,则内有无数条直线与平行,当内无数条直线互相平行时, 与可能相交; 若,平行于同一条直线,则与可以平行也可以相交; 若,垂直于同一个平面,则与可以平行也可以相交,故 A,C,D 中条件均 不是的充要条件. 根据两平面平行的判定定理知, 若一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行, 则两平面平行,反之也成立. 因此 B 中条件是的充要条件. 2.(多选题)已知 m,n 是两条不同的直线,是三个不同的平面,则下列命 题中正确的是() A.若 m,m,则 B.若 m,n,则 mn C.若 m,n,则 mn D.若,则与可能平行,也可能相交 答
9、案CD 解析对于 A,若n,mn,则 m,m,所以 A 错误. 对于 B,若 m,n,则 m 与 n 可能是异面直线,相交直线或平行直线,所 以 B 错误. 对于 C,若 m,n,由线面垂直的性质定理知 mn,C 正确. 对于 D,若,则与可能相交或平行,D 正确. 3.(多选题)(2021潍坊调研)在正方体 ABCDA1B1C1D1中,下列结论正确的是 () A.AD1BC1B.平面 AB1D1平面 BDC1 C.AD1DC1D.AD1平面 BDC1 答案ABD 解析如图,因为 AB 綉 C1D1, 所以四边形 AD1C1B 为平行四边形. 故 AD1BC1,从而 A 正确; 易证 BDB1
10、D1,AB1DC1, 又 AB1B1D1B1, BDDC1D, 故平面 AB1D1平面 BDC1,从而 B 正确; 由图易知 AD1与 DC1异面,故 C 错误; 因为 AD1BC1,AD1平面 BDC1,BC1平面 BDC1, 所以 AD1平面 BDC1,故 D 正确. 感悟升华1.判断与平行关系相关命题的真假,必须熟悉线、面平行关系的各个 定义、定理,无论是单项选择还是含选择项的填空题,都可以从中先选出最熟悉 最容易判断的选项先确定或排除,再逐步判断其余选项. 2.(1)结合题意构造或绘制图形,结合图形作出判断. (2)特别注意定理所要求的条件是否完备,图形是否有特殊情况,通过举反例否 定
11、结论或用反证法推断命题是否正确. 考点二直线与平面平行的判定与性质 角度 1直线与平面平行的判定 【例 1】(2019全国卷)如图,直四棱柱 ABCDA1B1C1D1的 底面是菱形,AA14,AB2,BAD60,E,M,N 分别 是 BC,BB1,A1D 的中点. (1)证明:MN平面 C1DE; (2)求点 C 到平面 C1DE 的距离. (1)证明如图,连接 B1C,ME. 因为 M,E 分别为 BB1,BC 的中点, 所以 MEB1C,且 ME1 2B 1C. 又因为 N 为 A1D 的中点,所以 ND1 2A 1D. 由题设知 A1B1綉 DC, 可得 B1C 綉 A1D,故 ME 綉
12、 ND, 因此四边形 MNDE 为平行四边形, 所以 MNED. 又 MN平面 C1DE,DE平面 C1DE, 所以 MN平面 C1DE. (2)解过点 C 作 C1E 的垂线,垂足为 H. 由已知可得 DEBC,DEC1C,又 BCC1CC,BC,C1C平面 C1CE,所以 DE平面 C1CE, 故 DECH.所以 CH平面 C1DE, 故 CH 的长即为点 C 到平面 C1DE 的距离. 由已知可得 CE1,C1C4, 所以 C1E 17,故 CH4 17 17 . 从而点 C 到平面 C1DE 的距离为4 17 17 . 感悟升华1.利用线面平行的判定定理证明直线与平面平行的关键是在平面
13、内 找到一条与已知直线平行的直线. 2.利用面面平行的性质证明线面平行时,关键是构造过该直线与所证平面平行的 平面,这种方法往往借助于比例线段或平行四边形. 【训练 1】如图,四边形 ABCD 是平行四边形,点 P 是平面 ABCD 外一点,M 是 PC 的中点,在 DM 上取一点 G,过 G 和 AP 作平面交平面 BDM 于 GH.求证:GH平面 PAD. 证明如图,连接 AC 交 BD 于点 O,连接 MO, 因为四边形 ABCD 是平行四边形, 所以 O 是 AC 的中点.又 M 是 PC 的中点, 所以 APOM. 根据直线和平面平行的判定定理, 则有 PA平面 BMD. 因为平面
14、PAHG平面 BMDGH, 根据直线和平面平行的性质定理,所以 PAGH. 因为 GH平面 PAD,PA平面 PAD, 所以 GH平面 PAD. 角度 2线面平行的性质定理的应用 【例2】 (2021河南、 江西五岳联考)如图, 在四棱锥PABCD 中,PA底面 ABCD,ADBC,DAB90,ABBC PA1 2AD2,E 为 PB 的中点,F 是 PC 上的点. (1)若 EF平面 PAD,证明:F 为 PC 的中点; (2)求点 C 到平面 PBD 的距离. (1)证明因为 BCAD,BC平面 PAD,AD平面 PAD, 所以 BC平面 PAD. 因为 P平面 PBC,P平面 PAD,所
15、以可设平面 PBC平面 PADPM, 又因为 BC平面 PBC,所以 BCPM, 因为 EF平面 PAD,EF平面 PBC, 所以 EFPM,从而得 EFBC. 因为 E 为 PB 的中点,所以 F 为 PC 的中点. (2)解因为 PA底面 ABCD,DAB90,ABBCPA 1 2AD2, 所以 PB PA2AB22 2,PD PA2AD22 5, BD BA2AD22 5, 所以 SDPB1 2PB DP2 1 2PB 2 6. 设点 C 到平面 PBD 的距离为 d, 由 VCPBDVPBCD,得 1 3S DPBd1 3S BCDPA1 3 1 2BCABPA, 则 6d1 2222
16、,解得 d 2 3. 感悟升华在应用线面平行的性质定理进行平行转化时, 一定注意定理成立的条 件,通常应严格按照定理成立的条件规范书写步骤,如:把线面平行转化为线线 平行时,必须说清经过已知直线的平面和已知平面相交,这时才有直线与交线平 行. 【训练 2】如图所示,已知四边形 ABCD 是正方形,四边形 ACEF 是矩形,M 是线段 EF 的中点. (1)求证:AM平面 BDE; (2)若平面 ADM平面 BDEl,平面 ABM平面 BDEm, 试分析 l 与 m 的位置关系,并证明你的结论. (1)证明如图,记 AC 与 BD 的交点为 O,连接 OE. 因为 O,M 分别为 AC,EF 的
17、中点,四边形 ACEF 是矩形, 所以四边形 AOEM 是平行四边形,所以 AMOE. 又因为 OE平面 BDE,AM平面 BDE, 所以 AM平面 BDE. (2)解lm,证明如下: 由(1)知 AM平面 BDE, 又 AM平面 ADM,平面 ADM平面 BDEl, 所以 lAM, 同理,AM平面 BDE, 又 AM平面 ABM,平面 ABM平面 BDEm, 所以 mAM,所以 lm. 考点三面面平行的判定与性质 【例 3】 (经典母题)如图所示, 在三棱柱 ABCA1B1C1中, E, F, G,H 分别是 AB,AC,A1B1,A1C1的中点,求证: (1)B,C,H,G 四点共面; (
18、2)平面 EFA1平面 BCHG. 证明(1)G,H 分别是 A1B1,A1C1的中点, GH 是A1B1C1的中位线,则 GHB1C1. 又B1C1BC, GHBC,B,C,H,G 四点共面. (2)E,F 分别为 AB,AC 的中点,EFBC, EF平面 BCHG,BC平面 BCHG, EF平面 BCHG. 又 G,E 分别为 A1B1,AB 的中点,A1B1綉 AB, A1G 綉 EB, 四边形 A1EBG 是平行四边形,A1EGB. A1E平面 BCHG,GB平面 BCHG, A1E平面 BCHG.又A1EEFE, 平面 EFA1平面 BCHG. 【迁移 1】在本例中,若将条件“E,F
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