第9节 随机变量的数字特征.docx

1、第第 9 节节离散型随机变量的均值与方差离散型随机变量的均值与方差 知识梳理 1.离散型随机变量的数学期望与方差、标准差 一般地，如果离散型随机变量 X 的分布列如下表所示 Xx1x2xkxn Pp1p2pkpn (1)均值 称E(X)x1p1x2p2xnpn n i1xipi为离散型随机变量X的均值或数学期望(简 称为期望).离散型随机变量 X 的均值 E(X)也可用 EX 表示，它刻画了 X 的平均取 值，在离散型随机变量 X 的分布列的直观图中，E(X)处于平衡位置. (2)方差 D(X)x1E(X)2p1x2E(X)2p2xnE(X)2pn n i1xiE(X) 2pi，能够刻 画 X

2、 相对于均值的离散程度(或波动大小)，这称为离散型随机变量 X 的方差.离 散型随机变量 X 的方差 D(X)也可用 DX 表示. (3)标准差 称 D（X）称为离散型随机变量 X 的标准差，它也可以刻画一个离散型随机变 量的离散程度(或波动大小). 2.均值与方差的性质 若 X 和 Y 都是随机变量，且 YaXb(a0)，则 E(Y)aE(X)b，D(Y) n i1(axi b)aE(X)b2pi a2 n i1xiE(X) 2pia2D(X). 3.两点分布、二项分布及超几何分布的数学期望与方差 (1)两点分布：E(X)1p0(1p)p； D(X)p(1p). (2)二项分布，若 XB(n

3、，p)，则 E(X)np， D(X)np(1p). (3)超几何分布，若 XH(N，n，M)，则 E(X)nM N . 1若 X，Y 相互独立，则 E(XY)E(X)E(Y) 2均值与方差的关系：D(X)E(X2)E2(X) 诊断自测 1判断下列结论正误(在括号内打“”或“”) (1)期望值就是算术平均数，与概率无关() (2)随机变量的均值是常数，样本的平均值是随机变量() (3)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差 或标准差越小，则偏离变量平均程度越小() (4)均值与方差都是从整体上刻画离散型随机变量的情况，因此它们是一回 事() 答案(1)(2)(3)(4

4、) 解析均值即期望值刻画了离散型随机变量取值的平均水平， 而方差刻画了离散 型随机变量的取值偏离期望值的平均程度，因此它们不是一回事，故(1)(4)均不 正确 2(多选题)设离散型随机变量 X 的分布列为 X01234 Pq0.40.10.20.2 若离散型随机变量 Y 满足 Y2X1，则下列结果正确的有() Aq0.1BE(X)2，D(X)1.4 CE(X)2，D(X)1.8DE(Y)5，D(Y)7.2 答案ACD 解析因为 q0.40.10.20.21，所以 q0.1，故 A 正确； 又 E(X)00.110.420.130.240.22， D(X)(02)20.1(12)20.4(22)

5、20.1(32)20.2(42)20.2 1.8，故 C 正确； 因为 Y2X1，所以 E(Y)2E(X)15， D(Y)4D(X)7.2，故 D 正确故选 ACD. 3若随机变量 X 满足 P(Xc)1，其中 c 为常数，则 D(X)的值为_ 答案0 解析P(Xc)1，E(X)c1c， D(X)(cc)210. 4(2021武汉模拟)某射手射击所得环数的分布列如下表： 78910 Px0.10.3y 已知的数学期望 E()8.9，则 y 的值为() A0.8B0.6C0.4D0.2 答案C 解析由题中表格可知 x0.10.3y1，7x80.190.310y8.9，解 得 y0.4.故选 C.

6、 5(2018全国卷)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为 p，各成员的 支付方式相互独立设 X 为该群体的 10 位成员中使用移动支付的人数，D(X) 2.4，P(X4)P(X6)，则 p() A0.7B0.6C0.4D0.3 答案B 解析由题意知，该群体的 10 位成员使用移动支付的概率分布符合二项分布， 所以 D(X)10p(1p)2.4，所以 p0.6 或 p0.4. 由 P(X4)P(X6)，得 C410p4(1p)6C610p6(1p)4， 即(1p)20.5，所以 p0.6. 6(2020全国卷)在一组样本数据中，1，2，3，4 出现的频率分别为 p1，p2， p3，p4，且

7、 4 i1pi1，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是( ) Ap1p40.1，p2p30.4 Bp1p40.4，p2p30.1 Cp1p40.2，p2p30.3 Dp1p40.3，p2p30.2 答案B 解析X 的可能取值为 1，2，3，4，四种情形的数学期望 E(X)1p12p2 3p34p4都为 2.5， 方差 D(X)1E(X)2p12E(X)2p23E(X)2p34E(X)2p4， 标准差为 D（X）. A 选项的方差 D(X)0.65； B 选项的方差 D(X)1.85； C 选项的方差 D(X)1.05； D 选项的方差 D(X)1.45. 可知选项 B 的情形对应样本

8、的标准差最大故选 B. 考点一离散型随机变量的均值与方差 【例 1】(2020郑州二检)某市为了解本市 1 万名小学生的普通话水平，对全市范 围内的小学生进行了普通话测试， 测试后对每个小学生的普通话测试成绩进行统 计，发现总体(这 1 万名小学生普通话测试成绩)服从正态分布 N(69，49) (1)从这 1 万名小学生中任意抽取 1 名小学生，求这名小学生的普通话测试成绩 在(62，90内的概率 (2)现在从总体中随机抽取 12 名小学生的普通话测试成绩，对应的数据如下： 50，52，56，62，63，68，65，64，72，80，67，90. 从这 12 个数据中随机选取 4 个， 记 X

9、 表示大于总体平均分的个数， 求 X 的方差 参考数据：若 YN(，2)，则 P(Y)0.6827，P(2Y 2)0.9545，P(3Y3)0.9973. 解(1)因为这些小学生的普通话测试成绩 t 服从正态分布 N(69， 49)， 所以69， 7. 所以 P(62t90)P(7.879， 所以能在犯错的概率不超过0.005的前提下认为设立自习室对提高学生成绩有效 (2)X 的所有可能取值为 0，1，2， 则 P(X0)C 2 25 C240 5 13， P(X1)C 1 25C115 C240 25 52， P(X2)C 2 15 C240 7 52， X012 P 5 13 25 52

10、7 52 所以 E(X)0 5 131 25 522 7 52 3 4. Y 的所有可能取值为 0，1，2， 则 P(Y0)C 2 10 C240 3 52， P(Y1)C 1 10C130 C240 5 13， P(Y2)C 2 30 C240 29 52， Y012 P 3 52 5 13 29 52 所以 E(Y)0 3 521 5 132 29 52 3 2， 即 E(X)E(Y)，其实际含义是设立自习室后学生的数学成绩提高，说明设立自习 室对提高学生成绩有效 感悟升华随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平， 方差反映了随机变 量稳定于均值的程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，

11、是生产实际中用于 方案取舍的重要理论依据一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定 【训练 3】某投资公司在 2022 年年初准备将 1000 万元投资到“低碳”项目上， 现有两个项目供选择： 项目一：新能源汽车据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利 30%，也 可能亏损 15%，且这两种情况发生的概率分别为7 9和 2 9； 项目二：通信设备据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利 50%，可能 损失 30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为3 5， 1 3和 1 15. 针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由 解若按“项目一”投资，设获利为 X

12、1万元，X1的所有可能取值为 300，150. 则 X1的分布列为 X1300150 P 7 9 2 9 E(X1)3007 9(150) 2 9200(万元) 若按“项目二”投资，设获利 X2万元，X2的所有可能取值为 500，300，0.则 X2的分布列为： X25003000 P 3 5 1 3 1 15 E(X2)5003 5(300) 1 30 1 15200(万元) D(X1)(300200)27 9(150200) 22 935000， D(X2)(500200)23 5(300200) 21 3(0200) 21 15140000. 所以 E(X1)E(X2)，D(X1)D(X

13、2)， 这说明虽然项目一、项目二获利的期望值相等，但项目一更稳妥 综上所述，建议该投资公司选择项目一投资 A 级基础巩固 一、选择题 1已知离散型随机变量 X 的分布列为 X123 P 3 5 3 10 1 10 则 X 的数学期望 E(X)() A.3 2 B2C.5 2 D3 答案A 解析由数学期望公式可得 E(X)13 52 3 103 1 10 3 2. 2随机变量 X 的分布列如下表，且 E(X)2，则 D(2X3)() X02a P 1 6 p 1 3 A.2B3C4D5 答案C 解析因为 p11 6 1 3 1 2， 所以 E(X)01 62 1 2a 1 32， 解得 a3，

14、所以D(X)(02)21 6(22) 21 2(32) 21 31， 所以D(2X3)2 2D(X)4， 故选 C. 3一个箱子中装有形状完全相同的 5 个白球和 n(nN*)个黑球现从中有放回 的摸取 4 次， 每次都是随机摸取一球， 设摸得白球个数为 X， 若 D(X)1， 则 E(X) () A1B2C3D4 答案B 解析由题意，XB(4，p)，D(X)4p(1p)1， p1 2，E(X)4p4 1 22. 4口袋中有 5 个形状和大小完全相同的小球，编号分别为 0，1，2，3，4，从 中任取 3 个球，以 X 表示取出球的最小号码，则 E(X)() A0.45B0.5C0.55D0.6

15、 答案B 解析易知随机变量 X 的取值为 0，1，2， 由古典概型的概率计算公式得 P(X0)C 1 1C24 C35 0.6，P(X1)C 1 1C23 C35 0.3，P(X 2) 1 C350.1. 所以 E(X)00.610.320.10.5，故选 B. 5设袋中有两个红球一个黑球，除颜色不同，其他均相同，现有放回地抽取， 每次抽取一次，记下颜色后放回袋中，连续摸三次，X 表示三次中红球被摸中的 次数，每个小球被抽取的几率相同，每次抽取相对独立，则方差 D(X)() A2B1C.2 3 D.3 4 答案C 解析每次取球时，取到红球的概率为2 3、黑球的概率为 1 3，所以取出红球的概率

16、 服从二项分布，即 XB 3，2 3 ，所以 D(X)32 3 12 3 2 3，故选 C. 6(多选题)(2021青岛质检)设随机变量的分布列为 P(k) a k1(k1，2，5)， E()，D()分别为随机变量的均值与方差，则下列结论正确的是() AP(03.5)5 6 BE(31)7 CD()2DD(31)6 答案ABC 解析因为随机变量的分布列为 P(k) a k1(k1，2，5)，由分布列的性质 可知，P(1)P(2)P(5)a 2 a 3 a 61，解得 a1，P(03.5) P(1)P(2)5 6，A 选项正确； E()11 22 1 35 1 62，即有 E(31)3E()13

17、217，B 选项正 确； D()1 2(12) 21 3(22) 21 6(52) 22，C 选项正确； D(31)9D()18，D 选项不正确 二、填空题 7已知随机变量的分布列为 123 P0.5xy 若 E()15 8 ，则 D()_ 答案 55 64 解析由分布列性质，得 xy0.5. 又 E()15 8 ，得 2x3y11 8 ，可得 x1 8， y3 8. D() 115 8 2 1 2 215 8 2 1 8 315 8 2 3 8 55 64. 8某公司有 5 万元资金用于投资开发项目，如果成功，一年后可获利 12%；如 果失败， 一年后将丧失全部资金的 50%， 下表是过去

18、200 例类似项目开发的实施 结果： 投资成功投资失败 192 例8 例 则估计该公司一年后可获收益的均值是_元 答案4760 解析由题意知，一年后获利 6000 元的概率为 0.96，获利25000 元的概率为 0.04，故一年后收益的均值是 60000.96(25000)0.044760(元) 9(2020浙江卷)盒中有 4 个球，其中 1 个红球，1 个绿球，2 个黄球从盒中随 机取球，每次取 1 个，不放回，直到取出红球为止设此过程中取到黄球的个数 为，则 P(0)_，E()_ 答案 1 3 1 解析0 表示停止取球时没有取到黄球，所以 P(0)1 4 1 4 1 3 1 3. 随机变

19、量的所有可能取值为 0，1，2，则 P(1)2 4 1 3 2 4 1 3 1 2 1 4 2 3 1 2 1 3，P(2) 2 4 1 3 1 2 1 4 2 3 1 2 2 4 1 3 1 2 2 4 1 3 1 2 1 3， 所以 E()01 31 1 32 1 31. 三、解答题 10(2021长沙模拟)高三年级某班 50 名学生期中考试数学成绩的频率分布直方 图如图所示，成绩分组区间为80， 90)， 90，100)，100，110)，110，120)，120， 130)，130，140)，140，150，其中 a，b，c 成等差数列且 c2a.物理成绩统计 如表(说明：数学满分 1

20、50 分，物理满分 100 分) 分组50，60)60，70)70，80)80，90)90，100 频数6920105 (1)根据频率分布直方图，请估计数学成绩的平均分； (2)根据物理成绩统计表，请估计物理成绩的中位数； (3)若数学成绩不低于 140 分的为“优”，物理成绩不低于 90 分的为“优”，已 知本班中至少有一个“优”的同学总数为 6 人，从此 6 人中随机抽取 3 人，记 X 为抽到两个“优”的学生人数，求 X 的分布列和期望值 解(1)由 ab2c0.052，ac2b，c2a，解得 a0.008，b0.012，c 0.016， 故数学成绩的平均分为 x 850.04950.1

21、21050.161150.2 1250.241350.161450.08117.8(分) (2)由题表知，物理成绩的中位数约为 75 分 (3)数学成绩为“优”的同学有 4 人，物理成绩为“优”的同学有 5 人，因为至 少有一个“优”的同学总数为 6 人，故两科均为“优”的人数为 3，故 X 的取值 为 0，1，2，3. P(X0)C 3 3 C36 1 20，P(X1) C13C23 C36 9 20， P(X2)C 2 3C13 C36 9 20，P(X3) C33 C36 1 20. 故 X 的分布列为 X0123 P 1 20 9 20 9 20 1 20 E(X)0 1 201 9

22、202 9 203 1 201.5. 11(2020安徽江南十校质量检测)某企业打算处理一批产品，这些产品每箱 100 件，以箱为单位销售已知这批产品中每箱出现的废品率只有两种可能：10%或 者 20%，两种可能对应的概率均为 0.5.假设该产品正品每件市场价格为 100 元， 废品不值钱，现处理价格为每箱 8400 元，遇到废品不予更换以一箱产品中正 品的价格期望作为决策依据 (1)在不开箱检验的情况下，判断是否可以购买； (2)现允许开箱，有放回地随机从一箱中抽取 2 件产品进行检验 若此箱出现的废品率为 20%， 记抽到的废品数为 X， 求 X 的分布列和数学期望； 若已发现在抽取检验的

23、 2 件产品中，恰有一件是废品，判断是否可以购买 解(1)在不开箱检验的情况下，一箱产品中正品的价格期望为 100(1 0.2)1000.5100(10.1)1000.58500， 85008400，在不开箱检验的情况下，可以购买 (2)X 的可能取值为 0，1，2， P(X0)C020.200.820.64， P(X1)C120.210.810.32， P(X2)C220.220.800.04， X 的分布列为 X012 P0.640.320.04 E(X)00.6410.3220.040.4. 设事件 A：发现在抽取检验的 2 件产品中，恰有一件是废品， 则 P(A)C120.20.80.

24、5C120.10.90.50.25， 一箱产品中，设正品的价格期望为元， 则8000，9000， 设事件 B1：抽取废品率为 20%的一箱， 则 P(8000)P(B1|A) P（AB1） P（A） C 1 20.20.80.5 0.25 0.64， 设事件 B2：抽取废品率为 10%的一箱， 则 P(9000)P(B2|A) P（AB 2） P（A） C 1 20.10.90.5 0.25 0.36， E()80000.6490000.368360， 83608400， 已发现在抽取检验的 2 件产品中，恰有一件是废品，则不可以购买 B 级能力提升 12(多选题)(2021济南模拟)开学后，

25、某学校食堂为了减少师生就餐排队时间， 特推出即点即取的米饭套餐和面食套餐两种 已知小明同学每天中午都会在食堂 提供的米饭套餐和面食套餐中选择一种，米饭套餐的价格是每份 15 元，面食套 餐的价格是每份 10 元，如果小明当天选择了某种套餐，他第二天会有 80%的可 能性换另一种类型的套餐，假如第 1 天小明选择了米饭套餐，第 n 天选择米饭套 餐的概率为 pn，则以下论述正确的是() A小明同学第二天一定选择面食套餐 Bp30.68 Cpn0.2pn10.8(1pn1)(n2，nN) D前 n 天小明同学午餐花费的总费用的数学期望为 25 2 n25 16 25 16 3 5 n 答案BCD

26、解析在 A 中，第 1 天小明选择了米饭套餐，则小明第二天有 80%的可能选择 面食套餐，故 A 错误； 在 B 中，第 1 天小明选择了米饭套餐，p30.80.80.20.20.68，故 B 正确； 在 C 中，小明当天选择了某种套餐，他第二天会有 80%的可能性换另一种类 型的套餐，假如第 1 天小明选择了米饭套餐，第 n 天选择米饭套餐的概率为 pn， pn0.2pn10.8(1pn1)(n2，nN)，故 C 正确； 在 D 中，当 n1 时，前 n 天小明午餐花费的总费用的数学期望为 1525 2 125 16 25 16 3 5 1 . 当 n2 时，前 n 天小明午餐花费的总费用的

27、数学期望为 15150.2100.825 2 225 16 25 16 3 5 2 . 当 n3 时，前 n 天小明午餐花费的总费用的数学期望为 15150.2100.8150.68100.3225 2 325 16 25 16 3 5 3 . 由此猜想前 n 天小明午餐花费的总费用的数学期望为 25 2 n25 16 25 16 3 5 n ，故 D 正确 13在一次随机试验中，事件 A 发生的概率为 p，事件 A 发生的次数为 X，则数 学期望 E(X)_，方差 D(X)的最大值为_ 答案p 1 4 解析记事件 A 发生的次数 X 可能的值为 0，1. X01 P1pp 数学期望 E(X)

28、0(1p)1pp， 方差 D(X)(0p)2(1p)(1p)2p p(1p)1 4. 故数学期望 E(X)p，方差 D(X)的最大值为1 4. 14 (2021运城一模)在创建“全国文明卫生城”过程中，运城市“创城办”为了 调查市民对创城工作的了解情况，进行了一次创城知识问卷调查(一位市民只能 参加一次)，通过随机抽样，得到参加问卷调查的 100 人的得分统计结果如表所 示： 组别30，40)40，50)50，60)60，70)70，80)80，90)90， 100) 频数212202524134 (1)由频数分布表可以大致认为，此次问卷调查的得分 ZN(，198)，近似为这 100 人得分的

29、平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)，利用该正态 分布，求 P(38.2Z80.2)； (2)在(1)的条件下，“创城办”为此次参加问卷调查的市民制订如下奖励方案： 得分不低于的可以获赠 2 次随机话费，得分低于的可以获赠 1 次随机话费； 每次获赠的随机话费和对应的概率为： 赠送话费的金额(单位：元)2050 概率 3 4 1 4 现有市民甲参加此次问卷调查，记 X(单位：元)为该市民参加问卷调查获赠的话 费，求 X 的分布列与数学期望 附： 参考数据与公式： 19814，若 XN(，2)，则 P(X)0.6827； P(2X2)0.9545，P(3X3)0.9973. 解(1)

30、350.02450.12550.20650.25750.24850.13 950.0466.2. 故 ZN(66.2，198)， 19814， P(Z80.2)11P（66.214Z66.214） 2 110.6827 2 0.84135. 又 P(Z38.2)1P（66.2214Z66.2214） 2 10.9545 2 0.02275. 故 P(38.2Z80.2)P(Z80.2)P(Z38.2)0.8186. (2)由题意知一位市民得分高于或低于的概率都为1 2. 该市民参加问卷调查获赠的话费 X 的可能取值为 20，40，50，70，100. P(X20)1 2 3 4 3 8； P(X40)1 2 3 4 3 4 9 32； P(X50)1 2 1 4 1 8； P(X70)1 2 3 4 1 42 3 16； P(X100)1 2 1 4 1 4 1 32. 故 X 的分布列为 X20405070100 P 3 8 9 32 1 8 3 16 1 32 所以 E(X)203 840 9 3250 1 870 3 16100 1 3241.25. 故该市民参加问卷调查获赠话费的数学期望为 41.25 元