第4节 复数.docx

1、第第 4 节节复复数数 知识梳理 1.复数的有关概念 (1)定义：一般地，当 a 与 b 都是实数时，称 abi 为复数.复数一般用小写字母 z 表示，即 zabi(a，bR)，其中 a 称为 z 的实部，b 称为 z 的虚部. (2)分类： 项目满足条件(a，b 为实数) 复数的分类 abi 为实数b0 abi 为虚数b0 abi 为纯虚数a0 且 b0 (3)复数相等：abicdiac 且 bd(a，b，c，dR). (4)共轭复数：如果两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则称这两个复数 互为共轭复数，复数 z 的共轭复数用z _表示. (5)复数的模： 向量OZ (a， b)的长度称为

2、复数 zabi(a， bR)的模(或绝对值)， 复数 z 的模用|z|表示，因此|z| a2b2.当 b0 时，|z| a2|a|. 2.复数的几何意义 (1)复数 zabi复平面内的点 Z(a，b)(a，bR). (2)复数 zabi(a，bR)平面向量OZ =（a,b）. 3.复数的运算 (1)运算法则：设 z1abi，z2cdi，a，b，c，dR. z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i. z1z2(abi)(cdi)(acbd)(bcad)i. z1 z2 abi cdi acbd c2d2 bcad c2d2 i(cdi0). (2)复数加减法的几何意义：复数加减法可按向量的

3、平行四边形或三角形法则进 行. 如图所示给出的平行四边形 OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加减法的几何意义， 即OZ OZ1 OZ2 ，Z1Z2 OZ2 OZ1 . (3)由复数减法的几何意义可得|z1|z2|z1z2|z1|z2|. 1.i 的乘方具有周期性 i4n1，i4n 1i，i4n21，i4n3i，i4ni4n1i4n2i4n30，nN*. 2.(1i)22i，1i 1ii； 1i 1ii. 3.复数的模与共轭复数的关系 zz |z|2|z |2. 4.两个注意点 (1)两个虚数不能比较大小； (2)利用复数相等 abicdi 列方程时，注意 a，b，c，dR 的前提条件. 诊断自测

4、 1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”) (1)复数 zabi(a，bR)中，虚部为 bi.() (2)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小.() (3)原点是实轴与虚轴的交点.() (4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应 的向量的模.() 答案(1)(2)(3)(4) 解析(1)虚部为 b；(2)虚数不可以比较大小. 2.已知 i 为虚数单位，a 为实数，复数 z 满足 z3iaai，若复数 z 是纯虚数， 则() A.a3B.a0 C.a0D.a0 答案B 解析由 z3iaai，得 za(a3)i. 又因为复数 z 是纯虚数，所以 a0， a

5、30，解得 a0. 3.已知(12i)z 43i，则 z_. 答案2i 解析因为z 43i 12i （43i） （12i） （12i） （12i） 105i 5 2i，所以 z2i. 4.(2020北京卷)在复平面内，复数 z 对应的点的坐标是(1，2)，则 iz() A.12iB.2iC.12iD.2i 答案B 解析z12i，izi(12i)2i.故选 B. 5(多选题)(2021武汉质检)对于两个复数1i，1i，下列四个结论中 正确的是() A1B i C| |1D220 答案BCD 解析A 项，(1i)(1i)2，故 A 不正确； B 项， 1i 1i （1i） （1i） （1i） （1

6、i） 2i 2 i，故 B 正确； C 项，| |i|1，故 C 正确； D 项，22(1i)2(1i)22i2i0， 故 D 正确 故正确的结论为 BCD. 6.(2020安庆月考)已知复数 z 2i （1i）3， 则z 在复平面内对应的点所在的象限为 第_象限. 答案二 解析z 2i （1i）3 （1i）2 （1i）3 1 1i 1 2 i 2， z 1 2 i 2对应的点 1 2， 1 2 位于第二象限. 考点一复数的相关概念 1.(2020浙江卷)已知 aR， 若 a1(a2)i(i 为虚数单位)是实数， 则 a() A.1B.1C.2D.2 答案C 解析由题可知复数的虚部为 a2，若

7、该复数为实数，则 a20，即 a2.故 选 C. 2.设 zi(2i)，则z () A.12iB.12i C.12iD.12i 答案D 解析zi(2i)12i，z 12i.故选 D. 3.(多选题)(2021新高考 8 省联考)设 z1，z2，z3为复数，z10.下列命题中正确的 是() A.若|z2|z3|，则 z2z3 B.若 z1z2z1z3，则 z2z3 C.若 z 2z3，则|z1z2|z1z3| D.若 z1z2|z1|2，则 z1z2 答案BC 解析由|i|1|，知 A 错误； z1z2z1z3，则 z1(z2z3)0，又 z10，所以 z2z3，故 B 正确； |z1z2|z1

8、|z2|，|z1z3|z1|z3|， 又 z 2z3，所以|z2|z 2|z3|，故 C 正确， 令 z1i，z2i，满足 z1z2|z1|2，不满足 z1z2，故选 BC. 4.(多选题)(2021烟台调研)若复数 z 2 1i，其中 i 为虚数单位，则下列结论正确 的是() A.z 的虚部为1B.|z| 2 C.z2为纯虚数D.z 的共轭复数为1i 答案ABC 解析由题意得 z 2 1i 2（1i） （1i） （1i）1i. 对于 A，由 z1i 得复数 z 的虚部为1，故 A 正确； 对于 B，|z|1i| 2，故 B 正确； 对于 C，由于 z2(1i)22i，所以 z2为纯虚数，故

9、C 正确； 对于 D，z1i 的共轭复数z 1i，故 D 不正确.故选 ABC. 感悟升华1.复数 zabi(a，bR)，其中 a，b 分别是它的实部和虚部.若 z 为 实数，则虚部 b0，与实部 a 无关；若 z 为虚数，则虚部 b0，与实部 a 无关； 若 z 为纯虚数，当且仅当 a0 且 b0. 2.复数 zabi(a，bR)的模记作|z|或|abi|，即|z|abi| a2b2. 3.复数 zabi(a，bR)的共轭复数为z abi，则 zz |z|2|z |2，即|z|z | zz ，若 zR，则z z. 利用上述结论，可快速、简洁地解决有关复数问题. 考点二复数的几何意义 【例 1

10、】 (1)设复数 z 满足|zi|1，z 在复平面内对应的点为(x，y)，则() A.(x1)2y21B.(x1)2y21 C.x2(y1)21D.x2(y1)21 (2)(2021临沂质检)已知 a 1i1bi，其中 a，b 是实数，则复数 abi 在复平 面内对应的点位于() A.第一象限B.第二象限 C.第三象限D.第四象限 答案(1)C(2)B 解析(1)由已知条件，可设 zxyi(x，yR). |zi|1，|xyii|1， x2(y1)21.故选 C. (2)由 a 1i1bi， 得 a(1bi)(1i)(b1)(b1)i， b10， ab1，即 a2，b1， 复数 abi2i 在复

11、平面内对应点(2，1)，位于第二象限. 感悟升华1.复数 zabi(a，bR)Z(a，b)OZ (a，b). 2.由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此解题时可运用数形结合 的方法，可把复数、向量与解析几何联系在一起，使问题的解决更加直观. 【训练1】(1)若复数z(2ai)(ai)在复平面内对应的点在第三象限， 其中aR， i 为虚数单位，则实数 a 的取值范围为() A.( 2， 2)B.( 2，0) C.(0， 2)D.0， 2) (2)(2020郑州模拟)已知复数 z12i 2i在复平面内对应的点为 A， 复数 z 2在复平面 内对应的点为 B，若向量AB 与虚轴垂直，则 z

12、2 的虚部为_. 答案(1)B(2)4 5 解析(1)z(2ai)(ai)3a(a22)i 在复平面内对应的点在第三象限， 3a0， a220，解得 2a0. (2)z12i 2i （2i）2 （2i） （2i） 3 5 4 5i， 所以 A 3 5， 4 5 ， 设复数 z2对应的点 B(x0，y0)，则AB x03 5，y 04 5 ， 又向量AB 与虚轴垂直， y04 50，故 z 2的虚部 y04 5. 考点三复数的运算 【例 2】 (1)(2020全国卷)若 z1i，则|z22z|() A.0B.1C. 2D.2 (2)在数学中， 记表达式adbc为由|a b cd|所确定的二阶行列

13、式.若在复数域内， z11i，z22i 1i，z 3z 2，则当|z 1z2 z3z4| 1 2i 时，z 4的虚部为_. 答案(1)D(2)2 解析(1)法一z22z(1i)22(1i)2，|z22z|2|2. 法二|z22z|(1i)22(1i)|(1i)(1i)| |1i|1i|2. 故选 D. (2)依题意，|z 1z2 z3z4|z 1z4z2z3， 因为 z3z 2，且 z22i 1i （2i） （1i） 2 13i 2 ， 所以 z2z3|z2|25 2， 因此有(1i)z45 2 1 2i，即(1i)z 43i， 故 z43i 1i （3i） （1i） 2 12i. 所以 z4

14、的虚部是2. 感悟升华1.复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算，除法关键是分 子分母同乘以分母的共轭复数，注意要把 i 的幂写成最简形式. 2.记住以下结论，可提高运算速度： (1)(1i)22i；(2)1i 1ii；(3) 1i 1ii；(4)baii(abi)；(5)i 4n1，i4n1 i，i4n 21，i4n3i(nN). 【训练 2】 (1)(2020新高考山东卷) 2i 12i( ) A.1B.1C.iD.i (2)(2020全国卷)设复数 z1，z2满足|z1|z2|2，z1z2 3i，则|z1z2| _. 答案(1)D(2)2 3 解析(1) 2i 12i （2i） （

15、12i） （12i） （12i） 5i 5 i.故选 D. (2)法一设 z1abi(a，bR)，则 z2 3a(1b)i， 则 |z1|2a2b24， |z2|2（ 3a）2（1b）24，即 a2b24， 3ab2. |z1z2|2(2a 3)2(2b1)2 4(a2b2)4( 3ab)412. 因此|z1z2|2 3. 法二设复数 z1，z2对应的向量为 a，b， 则复数 z1z2，z1z2对应向量为 ab，ab， 依题意|a|b|2，|ab|2， 又因为|ab|2|ab|22|a|22|b|2， 所以|ab|212，故|z1z2|ab|2 3. 法三设 z1z2z 3i，则 z 在复平面

16、上对应的点为 P( 3，1)，所以|z1z2| |z|2，由平行四边形法则知 OAPB 是边长为 2，一条对角线也为 2 的菱形，则 另一条对角线的长为|z1z2|2 3 2 22 3. A 级基础巩固 一、选择题 1.设 z32i，则在复平面内z 对应的点位于() A.第一象限B.第二象限 C.第三象限D.第四象限 答案C 解析z 32i，故z 对应的点(3，2)位于第三象限. 2.复数 1 13i的虚部是( ) A. 3 10 B. 1 10 C. 1 10 D. 3 10 答案D 解析z 1 13i 13i （13i） （13i） 1 10 3 10i，虚部为 3 10.故选 D. 3.

17、(2020全国卷)若z (1i)1i，则 z() A.1iB.1iC.iD.i 答案D 解析因为z 1i 1i （1i）2 （1i） （1i）i，所以 zi.故选 D. 4.(2021全国大联考)如图， 复数 z1， z2在复平面上分别对应点 A， B，则 z1z2() A.0B.2i C.2iD.12i 答案C 解析由复数几何意义，知 z112i，z2i， z1z2i(12i)2i. 5.设复数 z 满足|z3|2， z 在复平面内对应的点为 M(a， b)， 则 M 不可能为() A.(2， 3)B.(3，2) C.(5，0)D.(4，1) 答案D 解析设 zabi(a，bR)，则 z3(

18、a3)bi， (a3)2b24，验证点 M(4，1)，不满足. 6.若复数 a|34i| 2i (aR)是纯虚数，则 a() A.3B.2C.2D.3 答案B 解析a|34i| 2i a 5（2i） （2i） （2i）a2i 为纯虚数.则 a20，解得 a 2. 7.设2i i12iabi( a，bR，i 为虚数单位)，则 bai( ) A.5 2 3 2i B.5 2 3 2i C.5 2 3 2i D.5 2 3 2i 答案A 解析因为2i i12i （2i） （1i） （i1） （1i）2i 3 2 5 2iabi，所以 a 3 2，b 5 2， 因此 bai5 2 3 2i.故选 A.

19、 8.(多选题)(2021重庆质检)已知 i 为虚数单位， 复数 z32i 2i ， 则以下说法正确的 是() A.z 在复平面内对应的点在第一象限 B.z 的虚部是7 5 C.|z|3 5 D.若复数 z1满足|z1z|1，则|z1|的最大值为 1 65 5 答案AD 解析z32i 2i （32i） （2i） （2i） （2i） 4 5 7 5i， z 在复平面内对应的点为 4 5， 7 5 ， 在第一象限，故 A 正确； z 的虚部是7 5，故 B 不正确； |z| 4 5 2 7 5 2 65 5 ，故 C 不正确； 设 z1xyi， x， yR， 由|z1z|1 得 x4 5 2 y7

20、 5 2 1， 则点(x， y)在以 4 5， 7 5 为圆心， 以 1 为半径的圆上， 则(x， y)到(0， 0)的距离的最大值为 1 4 5 2 7 5 2 1 65 5 ，即|z1|的最大值为 1 65 5 ，故 D 正确. 二、填空题 9.(2020天津卷)i 是虚数单位，复数8i 2i_. 答案32i 解析 8i 2i （8i） （2i） （2i） （2i） 16i210i 5 1510i 5 32i. 10.在复平面内，O 为原点，向量OA 对应的复数为12i，若点 A 关于直线 y x 的对称点为 B，则向量OB 对应的复数为_. 答案2i 解析因为 A(1，2)关于直线 yx

21、 的对称点 B(2，1)，所以向量OB 对应的 复数为2i. 11.已知复数 z12i 1i 2iz，则|z|等于_. 答案 2 2 解析由 z12i 1i 2iz 得 z 12i （1i） （12i） 12i 3i （12i） （3i） （3i） （3i） 17i 10 ， 故|z| 1 10 1272 2 2 . 12.已知 i 为虚数单位，若复数 z1ai 1i (aR)的实部为3，则|z|_， 复数 z 的共轭复数z _. 答案534i 解析因为 z1ai 1i （1ai） （1i） （1i） （1i） 1a（a1）i 2 的实部为3， 所以1a 2 3，解得 a7. 所以 z34i，

22、 故|z| （3）2（4）25，且共轭复数z 34i. B 级能力提升 13.(多选题)(2021武汉质检)下列说法正确的是() A.若复数 z1，z2的模相等，则 z1，z2是共轭复数 B.z1，z2都是复数，若 z1z2是虚数，则 z1不是 z2的共轭复数 C.复数 z 是实数的充要条件是 zz (z 是 z 的共轭复数) D.已知复数 z112i，z21i，z332i(i 是虚数单位)，它们对应的点分别 为 A，B，C，O 为坐标原点，若OC xOA yOB (x，yR)，则 xy1 答案BC 解析对于 A，z1和 z2可能是相等的复数，故 A 错误； 对于 B，若 z1和 z2是共轭复

23、数，则相加为实数，不会为虚数，故 B 正确； 对于 C，由 abiabi 得 b0，故 C 正确； 对于 D，由题可知，A(1，2)，B(1，1)，C(3，2)，建立等式(3，2)( xy，2xy)，即 xy3， 2xy2，解得 x1， y4，故 D 错误.故选 BC. 14.(2020哈尔滨调研)已知 z 的共轭复数是z ，且|z|z 12i(i 为虚数单位)，则 复数 z 在复平面内对应的点位于() A.第一象限B.第二象限 C.第三象限D.第四象限 答案D 解析设 zxyi(x，yR)，因为|z|z 12i，所以 x2y2xyi12i(x 1)(y2)i，所以 x2y2x1， y20， 解得 x3 2， y2. 所以复数 z 在复平面内对应的点为 3 2，2，此点位于第四象限. 15. 1i 1i 6 2 3i 3 2i_. 答案1i 解析原式 （1i）2 2 6 （ 2 3i） （ 3 2i） （ 3）2（ 2）2 i6 62i3i 6 5 1i. 16.已知复数 zxyi(x，yR)，且|z2| 3，则y x的最大值为_. 答案3 解析因为|z2| （x2）2y2 3， 所以(x2)2y23. 由图可知 y x max 3 1 3.