第6节　正弦定理和余弦定理.docx

1、第第 6 节节正弦定理和余弦定理正弦定理和余弦定理 知识梳理 1.正、余弦定理 在ABC 中，若角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，R 为ABC 外接圆半径， 则 定理正弦定理余弦定理 公式 a sin A b sin B c sin C2R a2b2c22bccos_A； b2c2a22cacos_B； c2a2b22abcos_C 常见变 形 (1)a2Rsin A，b2Rsin_B，c 2Rsin_C； (2)sin A a 2R，sin B b 2R，sin C c 2R； (3)abcsin_Asin_Bsin_C； (4)asin Bbsin A，bsin Ccsin B，

2、asin Ccsin A cos Ab 2c2a2 2bc ； cos Bc 2a2b2 2ac ； cos Ca 2b2c2 2ab 2.在ABC 中，已知 a，b 和 A 时，解的情况如下： A 为锐角A 为钝角或直角 图形 关系式absin Absin Aabab 解的个数一解两解一解一解无解 3.三角形常用面积公式 (1)S1 2ah a(ha表示 a 边上的高). (2)S1 2absin C 1 2acsin B 1 2bcsin A abc 4R . (3)S1 2r(abc)(r 为内切圆半径). 1.三角形中的三角函数关系 (1)sin(AB)sin C；(2)cos(AB)

3、cos C； (3)sinAB 2 cosC 2；(4)cos AB 2 sinC 2. 2.三角形中的射影定理 在ABC 中，abcos Cccos B；bacos Cccos A；cbcos Aacos B. 3.在ABC 中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，ABabsin A sin Bcos Asin B，则 AB.() (3)在ABC 的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素.() (4)当 b2c2a20 时，ABC 为锐角三角形；当 b2c2a20 时，ABC 为直 角三角形；当 b2c2a20 时，ABC 不一定为锐角三角形. 2.在ABC 中，a2，b3，c4，则

4、cos B() A.11 16 B.13 16 C.11 14 D.13 14 答案A 解析由余弦定理知 cos B2 24232 224 11 16. 3.在ABC 中，cos Acos B，则这个三角形的形状为_. 答案等腰三角形 解析因为在ABC 中，cos Acos B， 所以 AB，所以这个三角形为等腰三角形. 4.(2018全国卷)ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.若ABC 的面 积为a 2b2c2 4 ，则 C() A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 答案C 解析因为 a2b2c22abcos C， 且 SABCa 2b2c2 4 ， 所以 SABC2ab

5、cos C 4 1 2absin C，所以 tan C1. 又 C(0，)，故 C 4. 5.(2020全国卷)在ABC 中，cos C2 3，AC4，BC3，则 tan B( ) A. 5B.2 5C.4 5D.8 5 答案C 解析由余弦定理得 AB2AC2BC22ACBCcos C42322432 39， 得 AB3，所以 ABBC.过点 B 作 BDAC，交 AC 于点 D，则 AD1 2AC2， BD 3222 5，所以 tan ABDAD BD 2 5 2 5 5 ， 所以 tan ABC 2tan ABD 1tan2ABD4 5.故选 C. 6.(2019浙江卷)在ABC 中，AB

6、C90，AB4，BC3，点 D 在线段 AC 上. 若BDC45，则 BD_，cosABD_. 答案 12 2 5 7 2 10 解析如图，易知 sin C4 5， cos C3 5. 在BDC 中，由正弦定理可得 BD sin C BC sin BDC， BDBCsin C sin BDC 34 5 2 2 12 2 5 . 由ABCABDCBD90， 可得 cos ABDcos(90CBD)sin CBD sin(CBDC) sin(CBDC) sin Ccos BDCcos Csin BDC 4 5 2 2 3 5 2 2 7 2 10 . 考点一利用正、余弦定理解三角形 【例 1】 (

7、1)ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c， 已知 C60， b 6， c3，则 A_. 答案75 解析由正弦定理，得 sin Bbsin C c 6sin 60 3 2 2 ，所以 B45或 135，因 为 bc，所以 B0，所以 x 31， 所以 cosBDCcosABD 31. 感悟升华利用正弦定理可解决以下两类三角形问题： 一是已知两角和一角的对 边，求其他边与角；二是已知两边和一边的对角，求其他边与角(该三角形具有 不唯一性，常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断). 利用余弦定理可解决以下两类三角形问题：一是已知两边和它们的夹角，求其他 边与角；二是

8、已知三边求各个角.由于这两种情形下的三角形是唯一确定的，所 以其解也是唯一的. 【训练 1】 (1)(多选题)(2021烟台质检)在ABC 中，a5 2，c10，A30， 则角 B 的值可以是() A.105B.15C.45D.135 (2)如图所示，在ABC 中，D 是边 AC 上的点，且 ABAD， 2AB 3BD，BC2BD，则 sin C 的值为_. 答案(1)AB(2) 6 6 解析(1)a5 2，c10，A30， 由正弦定理可得， a sin A c sin C，即 5 2 1 2 10 sin C， 所以 sin C 2 2 ， ac，AC， 则 C45或 C135， 则 B10

9、5或 B15. (2)设 ABa，ABAD，2AB 3BD，BC2BD， ADa，BD2a 3，BC 4a 3. 在ABD 中，cosADB a24a 2 3 a2 2a2a 3 3 3 ， sinADB 6 3 ，sinBDC 6 3 . 在BDC 中， BD sin C BC sinBDC， sin CBDsinBDC BC 6 6 . 考点二判断三角形的形状 【例 2】 (1)在ABC 中，a，b，c 分别为角 A，B，C 所对的边，若 a2bcos C， 则此三角形一定是() A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等腰三角形或直角三角形 (2)(多选题)(2020山东

10、名校联考)在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b， c，若sin A 6 sin B 8 sin C m (mN*)，则当 m 取不同值时，关于ABC 的形状，说 法正确的是() A.当 m2 时，ABC 为锐角三角形 B.当 m4 时，ABC 为钝角三角形 C.当 m6 时，ABC 为等腰三角形 D.当 m10 时，ABC 为直角三角形 答案(1)C(2)BCD 解析(1)法一由余弦定理可得 a2ba 2b2c2 2ab ， 因此 a2a2b2c2，得 b2c2，于是 bc， 从而ABC 为等腰三角形. 法二由正弦定理可得 sin A2sin Bcos C， 因此 sin(BC)

11、2sin Bcos C， 即 sin Bcos Ccos Bsin C2sin Bcos C，于是 sin(BC)0，因此 BC0，即 BC， 故ABC 为等腰三角形. (2)因为sin A 6 sin B 8 sin C m ，可得 sin Asin Bsin C68m，由正弦定理 a sin A b sin B c sin C2R，可得 abc68m， 对于 A，m2 时，可得 abc341，可得 bac，这样的三角形不存 在，故 A 错误； 对于 B，m4 时，可得 abc342，可得 B 为最大角， 由余弦定理可得 cos Ba 2c2b2 2ac 1 4， 可得ABC 是钝角三角形，

12、 故 B 正确； 对于 C，m6 时，可得 abc343，可得 ac，ABC 为等腰三角形， 故 C 正确； 对于 D，m10 时，可得 abc345，可得 a2b2c2，ABC 为直角三 角形，故 D 正确.可选 BCD. 感悟升华1.判定三角形形状的途径：(1)化边为角，通过三角变换找出角之间的 关系；(2)化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥 梁. 2.无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式，要移项提取公因式，否则会有漏 掉一种形状的可能.注意挖掘隐含条件，重视角的范围对三角函数值的限制. 【训练 2】 (1)在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，

13、b，c，若c bcos A， 则ABC 为() A.钝角三角形B.直角三角形 C.锐角三角形D.等边三角形 (2)(多选题)(2021武汉调研)已知 a，b，c 分别是ABC 三个内角 A，B，C 的对 边，下列四个命题中正确的是() A.若 tan Atan Btan C0，则ABC 是锐角三角形 B.若 acos Abcos B，则ABC 是等腰三角形 C.若 bcos Cccos Bb，则ABC 是等腰三角形 D.若 a cos A b cos B c cos C，则ABC 是等边三角形 答案(1)A(2)ACD 解析(1)由c bcos A，得 sin C sin B0， 所以 sin

14、 Csin Bcos A， 即 sin(AB)sin Bcos A， 所以 sin Acos B0，所以 cos B0， 即 B 为钝角，所以ABC 为钝角三角形. (2)tan Atan Btan(AB)(1tan Atan B)， tan Atan Btan Ctan(AB)(1tan Atan B)tan Ctan C(1tan Atan B) tan Ctan Atan Btan C0，A，B，C 均为锐角，选项 A 正确； 由 acos Abcos B 及正弦定理，可得 sin 2Asin 2B，AB 或 AB 2， ABC 是等腰三角形或直角三角形，选项 B 错误； 由 bcos

15、Cccos Bb 及正弦定理， 可知 sin Bcos Csin Ccos Bsin B， sin Asin B，AB，则ABC 是等腰三角形，选项 C 正确； 由已知和正弦定理，易知 tan Atan Btan C，ABC，则ABC 是等边三角 形，选项 D 正确. 考点三和三角形面积有关的问题 【例 3】(2021湖北八校一联)在条件btan A(2cb)tan B，cos 2A2cos2A 2 1， 3sin B 1 tan A 1 tan B 2sin C 中任选一个，补充到下列问题中，并给出问 题解答. 在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，_，bc6，a2 6.

16、(1)求角 A 的值； (2)求ABC 的面积. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 解(1)若选，由于ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 btan A (2cb)tan B， 由正弦定理得 sin Bsin A cos A(2sin Csin B) sin B cos B. sin B0，sin Acos B2sin Ccos Asin Bcos A， 即 sin(AB)2sin Ccos A，即 sin C2sin Ccos A. sin C0，cos A1 2. 又 0A，A 3. 若选，cos 2A2cos2A 21， 化简可得 2cos2Acos

17、A1， 解得 cos A1 2或1，且 A(0，)，A 3. 若选， 3sin B 1 tan A 1 tan B 2sin C， 即3sin B cos A sin A cos B sin B 2sin C， 可得3sin B sin Bcos Acos Bsin A sin Asin B2sin C， 即3sin Bsin（AB） sin Asin B 2sin C，解得 sin A 3 2 . 又0A 2，A 3. (2)由(1)及余弦定理可得 a2b2c2bc(bc)23bc. 由题知 a2 6，bc6，bc4， SABC1 2bcsin A 1 24sin 3 3. 感悟升华与三角形

18、面积有关问题的解题策略：(1)利用正弦、余弦定理解三角 形，求出三角形的相关边、角之后，直接求三角形的面积；(2)把面积作为已知 条件之一，与正弦、余弦定理结合求出三角形的其他量. 【训练 3】(2020北京卷)在ABC 中，ab11，再从条件、条件这两个条 件中选择一个作为已知，求： (1)a 的值； (2)sin C 和ABC 的面积. 条件：c7，cos A1 7； 条件：cos A1 8，cos B 9 16. 注：如果选择条件和条件分别解答，按第一个解答计分. 解(从条件中任选一个即可) 选条件：c7，cos A1 7，且 ab11. (1)在ABC 中，由余弦定理，得 cos Ab

19、 2c2a2 2bc （11a） 272a2 2（11a）7 1 7， 解得 a8. (2)cos A1 7，A(0，)，sin A 1cos 2A 1 1 49 4 3 7 . 在ABC 中，由正弦定理，得 sin Ccsin A a 74 3 7 8 3 2 . ab11，a8，b3， SABC1 2absin C 1 283 3 2 6 3. 选条件：cos A1 8，cos B 9 16，且 ab11. (1)A(0，)，B(0，)，cos A1 8，cos B 9 16， sin A 1cos2A1 1 64 3 7 8 ，sin B 1cos2B1 9 16 2 5 7 16 .

20、在ABC 中，由正弦定理，可得 a b sin A sin B 3 7 8 5 7 16 6 5. 又ab11，a6，b5. (2)sin Csin(AB)sin(AB) sin Acos Bcos Asin B 3 7 8 9 16 1 8 5 7 16 32 7 128 7 4 . SABC1 2absin C 1 265 7 4 15 7 4 . 射影定理的活用赏析 设ABC 的三边是 a，b，c，它们所对的角分别是 A，B，C，则有：abcos C ccos B；bccos Aacos C；cacos Bbcos A. 注：以“abcos Cccos B”为例，b，c 在 a 上的射影

21、分别为 bcos C，ccos B， 故名射影定理. 证明如图，在ABC 中，ADBC， 则 bcos CCD，ccos BBD， 故 bcos Cccos BCDBDBCa， 即 abcos Cccos B， 同理可证 bccos Aacos C， cacos Bbcos A. 【例 1】在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.若ABC 为锐角三角 形，且满足 sin B(12cos C)2sin Acos Ccos A sin C，则下列等式成立的是 () A.a2bB.b2aC.A2BD.B2A 通法法一因为 sin B(12cos C)2sin Acos Ccos As

22、in C，所以 sin B 2sin Bcos Csin Acos Csin(AC)， 所以 sin B2sin Bcos Csin Acos Csin B， 即 cos C(2sin Bsin A)0， 所以 cos C0 或 2sin Bsin A， 即 C90或 2ba， 又ABC 为锐角三角形，所以 0Cc2，故 2ba，故选 A. 优解由正弦定理及 sin B(12cos C)2sin Acos Ccos Asin C 得 b2bcos C 2acos Cccos Aacos C(acos Cccos A)acos Cb，即 2bcos Cacos C， 又因为ABC 为锐角三角形，

23、所以 cos C0，则 2ba. 答案A 【例 2】ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 2bcos Bacos C ccos A，则 B_. 通法依题意得 2ba 2c2b2 2ac aa 2b2c2 2ab cb 2c2a2 2bc ，即 a2c2b2 ac，所以 2accos Bac，cos B1 2.又 0Ba，B60或 120. 若 B60，则 C90，c a2b22 5. 若 B120，则 C30，ac 5. 3.(2020全国卷)在ABC 中，cos C2 3，AC4，BC3，则 cos B( ) A.1 9 B.1 3 C.1 2 D.2 3 答案A 解析由

24、余弦定理得 AB2AC2BC22ACBCcos C42322432 39， 所以 AB3，所以 cos BAB 2BC2AC2 2ABBC 9916 233 1 9.故选 A. 4.(2021郑州调研)在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.已知 a 3b， AB 2，则角 C( ) A. 12 B. 6 C. 4 D. 3 答案B 解析由题意得 AB 2，所以 sin Asin B 2 cos B，又 a 3b，所以由正 弦定理得 sin A 3sin B，故 cos B 3sin B，所以 tan B 3 3 ，因为 B(0，)， 所以 B 6，所以 C 6 2 6 6.

25、5.(2021重庆诊断)在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 b2c2 3bca2，bc 3a2，则角 C 的大小是() A. 6或 2 3 B. 3 C.2 3 D. 6 答案A 解析由 b2c2 3bca2，得 b2c2a2 3bc， 则 cos Ab 2c2a2 2bc 3bc 2bc 3 2 ， 因为 0A，所以 A 6， 由 bc 3a2及正弦定理， 得 sin Bsin C 3sin2A 31 4 3 4 ， 即 4sin(CA)sin C 3， 即 4sin(CA)sin C4sin C 6 sin C 3， 整理得3cos 2Csin 2C，则 tan 2

26、C 3，又 02C0)， 则 AD3x，AC23x，BC2x， 易知 cosADCcosBDC. 9x 22（23x）2 2 23x x 22（2x）2 2 2x ， 解得 x1 3，故 AD1，AC1， cos AAD 2AC2CD2 2ADAC 0. 9.(2020长春二模改编)在ABC 中，C30，cos A2 3，AC 152，则 AC 边上的高为_. 答案5 解析依题意得 sin A 1cos2A 5 3 ，则 sin Bsin(AC)sin Acos C cos Asin C 5 3 3 2 2 3 1 2 152 6 . 由正弦定理得 BC sin A AC sin B，得 BC

27、 ACsin A sin B ，所以 AC 边上的高为 BCsin C ACsin Asin C sin B （ 152） 5 3 1 2 152 6 5. 三、解答题 10.(2020山东实验中学模拟)请给出一个 b(bN*)的值，补充在下面的问题中， 并解答该问题. 已知ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c， a 6， cos A 3 3 ， b_， 求ABC 的面积. 注：只需给出一个 b 的值即可，若给出了多个值分别解答，按第一个解答计分. 解因为 cos A 3 3 ，A(0，)，所以 sin A 6 3 ， 由正弦定理 a sin A b sin B，得 s

28、in B bsin A a b 3， 因为 0sin B1，所以 0b3， 又因为 bN*，故 b 只能取 1，2，3. 若 b1，则 sin B1 3，因为 ba，所以 cos B 2 2 3 ， 所以 sin Csin(AB)sin Acos Bcos Asin B5 3 9 ， 所以 SABC1 2absin C 1 2 61 5 3 9 5 2 6 . 若 b2，则 sin B2 3，因为 ba，所以 cos B 5 3 ， 所以 sin Csin(AB)sin Acos Bcos Asin B 302 3 9 ， 所以 SABC1 2absin C 1 2 62 302 3 9 2

29、22 5 3 . 若 b3，则 sin B1，所以B90， 所以 c b2a2 3， 所以 SABC1 2ac 1 2 6 3 3 2 2 . 11.(2020全国卷)ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.已知 B150. (1)若 a 3c，b2 7，求ABC 的面积； (2)若 sin A 3sin C 2 2 ，求 C. 解(1)由题设及余弦定理， 得 283c2c22 3c2cos 150， 解得 c2(舍去)或 c2，从而 a2 3. 因此ABC 的面积为1 22 32sin 150 3. (2)在ABC 中，A180BC30C， 所以 sin A 3sin Csin

30、(30C) 3sin C sin(30C)， 故 sin(30C) 2 2 . 而 0C30，所以 3030C60， 所以 30C45，故 C15. B 级能力提升 12.(多选题)(2021山东新高考模拟)已知ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c 且 a6，4sin B5sin C，以下四个命题中正确的是() A.ABC 的面积的最大值为 40 B.满足条件的ABC 不可能是直角三角形 C.当 A2C 时，ABC 的周长为 15 D.当 A2C 时，若 O 为ABC 的内心，则AOB 的面积为 7 答案ACD 解析以 BC 的中点为坐标原点，BC 所在直线为 x 轴，建立平

31、面直角坐标系， 可得 B(3，0)，C(3，0)， 4sin B5sin C，可得 4b5c，设 A(m，n)， 可得 4 （m3）2n25 （m3）2n2， 平方可得 16(m2n26m9)25(m2n26m9)， 即有 m2n282 3 m90， 化为 m41 3 2 n2 40 3 2 ， 则 A 的轨迹为以 41 3 ，0 为圆心，半径为40 3 的圆(除去与 x 轴的交点)， 可得ABC 的面积的最大值为1 26 40 3 40，故 A 正确； a6，4sin B5sin C， 即 4b5c，设 b5t，c4t， 由 3616t225t2，可得 t2， 满足条件的ABC 可能是直角三

32、角形，故 B 错误； a6，4sin B5sin C，A2C，可得 B3C， 由正弦定理可得 4b5c，可得 b5c 4 ， 由 b sin B c sin C，可得 5c 4 sin（3C） c sin C 5c 4 sin C（4cos2C1） ， 由 sin C0，可得 4cos2C15 4， 解得 cos C3 4或 3 4(舍去)， sin C 1cos2C 7 4 ， 可得 sin A2sin Ccos C23 4 7 4 3 7 8 ， 由 6 3 7 8 c 7 4 ，可得 c4，b5， 则 abc15，故 C 正确； 当 A2C 时，c4，b5，a6，sin A3 7 8 ，

33、 SABC1 2bcsin A 1 254 3 7 8 15 7 4 . 设ABC 的内切圆半径为 R，则 R 2S abc 215 7 4 456 7 2 ， SABO1 2cR 1 24 7 2 7.故 D 正确. 13.已知在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 a2b2c2bc， a3，则ABC 的周长的最大值为_. 答案9 解析a2b2c2bc，bcb2c2a2， cos Ab 2c2a2 2bc 1 2，A(0，)，A 3. 法一a3， 由正弦定理得 a sin A b sin B c sin C 3 3 2 2 3， b2 3sin B，c2 3sin C，

34、 则 abc32 3sin B2 3sin C 32 3sin B2 3sin 2 3 B 33 3sin B3cos B36sin B 6 ， B 0，2 3 ，当 B 3时，周长取得最大值 9. 法二a3， 由余弦定理得 9b2c2bc， (bc)23bc9， (bc)293bc3 bc 2 2 ， (bc)236， bc0，0bc6，当且仅当 bc 时取“” ， abc9，ABC 的周长最大值为 9. 14.(2020山东三校一联)在 3cos C(acos Bbcos A)csin C，asinAB 2 csin A，(sin Bsin A)2sin2Csin Bsin A 这三个条件

35、中任选一个，补充在下面 问题中. 已知ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，当_时，求 sin A sin B 的最大值. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 解若选，由正弦定理得 3cos C(sin Acos Bsin Bcos A)sin Csin C， 即3cos Csin(AB)sin Csin C， sin C0，tan C 3， C(0，)，C 3. AB2 3 ， sin Asin Bsin Asin 2 3 A sin A 3 2 cos A1 2sin A 3 2 sin Acos A1 2sin 2A 3 4 sin 2A1 4(1cos 2A) 1 2sin 2A 6 1 4， A 0，2 3 ，2A 6 6， 7 6 ， 当 A 3时，sin Asin B 取得最大值为 3 4. 若选，由正弦定理得 sin Asin C 2 sin Csin A， sin A0，cos C 2sin C2sin C 2cos C 2， cos C 20，sin C 2 1 2， C(0，)，C 3. 余下同. 若选，由正弦定理得(ba)2c2ba， 即 a2b2c2ba，cos Ca 2b2c2 2ab ab 2ab 1 2， C(0，)，C 3. 余下同.