第6节　对数与对数函数.docx

1、第第 6 节节对数与对数函数对数与对数函数 知识梳理 1.对数的概念 在表达式 abN(a0 且 a1，N(0，)中，当 a 与 N 确定之后，只有唯一 的 b 能满足这个式子，此时，幂指数 b 称为以 a 为底 N 的对数，记作 blogaN， 其中 a 称为对数的底数，N 称为对数的真数. 2.对数的性质、运算性质与换底公式 (1)对数的性质：alogaNN；logaabb(a0，且 a1). (2)对数的运算性质 loga(MN)logaMlogaN， logaMlogaM， logaM Nlog aMlogaN. 其中，a0 且 a1，M0，N0，R. (3)换底公式：logablog

2、cb logca(a0 且 a1，b0，c0 且 c1). 3.对数函数及其性质 (1)概念：一般地，函数 ylogax 称为对数函数，其中 a 是常数，a0 且 a1. (2)对数函数的图像与性质 a10a1 图像 性 质 定义域定义域为(0，)，图像在 y 轴的右边 值域值域为 R 过定点过定点(1，0)，即 x1 时，y0 函数值的当 0 x1 时，y1 时，y0当 0 x0， 变化当 x1 时，y0，且 a1)与对数函数 ylogax(a0，且 a1)互为反函数， 它们的图像关于直线 yx 对称. 1.换底公式的两个重要结论 (1)logab 1 logba(a0，且 a1；b0，且

3、b1). (2)logambnn mlog ab(a0，且 a1；b0；m，nR，且 m0). 2.在第一象限内，不同底的对数函数的图像从左到右底数逐渐增大. 3.对数函数 ylogax(a0，且 a1)的图像过定点(1，0)，且过点(a，1)， 1 a，1， 函数图像只在第一、四象限. 诊断自测 1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”) (1)log2x22log2x.() (2)函数 ylog2(x1)是对数函数.() (3)函数 yln 1x 1x与 yln(1x)ln(1x)的定义域相同.( ) (4)当 x1 时，若 logaxlogbx，则 ab.() 答案(1)(2)(3)(

4、4) 解析(1)log2x22log2|x|，故(1)错误. (2)形如 ylogax(a0，且 a1)为对数函数，故(2)错误. (4)若 0b10，且 a1)的图像恒过的定点是_. 答案(2，2) 解析当 x2 时，函数 yloga(x1)2(a0，且 a1)的值为 2，所以图像恒过 定点(2，2). 4.(2020全国卷)设 alog342，则 4 a( ) A. 1 16 B.1 9 C.1 8 D.1 6 答案B 解析法一因为 alog342，所以 log34a2，则 4a329，所以 4 a1 4a 1 9. 故选 B. 法二因为 alog342，所以 a 2 log342log

5、43log432log49，所以 4 a4log49 4log49 1911 9.故选 B. 5.(2019天津卷)已知 alog27，blog38，c0.30.2，则 a，b，c 的大小关系为 () A.cbaB.abc C.bcaD.cab 答案A 解析显然 c0.30.2(0，1). 因为 log33log38log39，所以 1blog242，所以 a2. 故 cbb1，若 logablogba5 2，a bba，则 a_，b_. 答案42 解析设 logbat，则 t1，因为 t1 t 5 2， 所以 t2，则 ab2.又 abba， 所以 b2bbb2，即 2bb2， 又 ab1，

6、解得 b2，a4. 感悟升华1.在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数 指数幂的形式，使幂的底数最简，然后用对数运算法则化简合并. 2.先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则， 转化为同底对数真数的积、商、幂再运算. 3.abNblogaN(a0，且 a1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运 算中应注意互化. 考点二对数函数的图像及应用 【例 1】 (1)在同一直角坐标系中，函数 y 1 ax，ylog a x1 2 (a0，且 a1)的图 像可能是() (2)已知函数f(x) log2x，x0， 3x，x0， 且关于x的方程f(x)xa0

7、有且只有一个实根， 则实数 a 的取值范围是_. 答案(1)D(2)(1，) 解析(1)若 a1，则 y 1 ax单调递减，A，B，D 不符合，且 ylog a x1 2 过定点 1 2，0，C 项不符合，因此 0a1. 当 0a1 时， 直线 yxa 与 yf(x)只有一个交 点. 感悟升华1.在识别函数图像时，要善于利用已知函数的性质、函数图像上的特 殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项. 2.一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图像问题，利用数形结合法 求解. 【训练 1】 (1)(多选题)函数 yloga(xc)(a，c 为常数，其中 a 0，a1)的图

8、像如图所示，则下列结论成立的是() A.a1B.0c1 C.0a1D.c1 (2)(2021西安调研)设 x1，x2，x3均为实数，且 e x1ln x1，ex2ln(x21)，ex3 lg x3，则() A.x1x2x3B.x1x3x2 C.x2x3x1D.x2x1x3 答案(1)BC(2)D 解析(1)由图像可知函数为减函数，所以 0a1， 令 y0 得 loga(xc)0， xc1，x1c.由图像知 01c1，0c1. (2)画出函数 y 1 e x ，yln x，yln(x1)，ylg x 的图像，如图所示： 由图像直观性，知 x2x1x3. 考点三解决与对数函数性质有关的问题 角度

9、1比较对数值大小 【例 2】 (1)(2020全国卷)设 alog32，blog53，c2 3，则( ) A.acbB.abc C.bcaD.cab (2)(2021衡水检测)已知 a 1 2 0.2 ， blog 1 2 0.2， cab， 则 a， b， c 的大小关系是() A.abcB.cab C.acbD.bca 答案(1)A(2)B 解析(1)3log32log382，log322 3，即 a2，log532 3，即 bc. acb.故选 A. (2)函数 y 1 2 x 与 ylog 1 2 x 的图像关于直线 yx 对称，则 0 1 2 0.2 1log 1 2 0.2， ab

10、. 又 cab 1 2 0.2log1 2 0.2 1 2 log1 2 0.20.2 0.20.2ac. 角度 2解简单的对数不等式 【例 3】已知定义域为 R 的偶函数 f(x)在(，0上是减函数，且 f(1)2，则不 等式 f(log2x)2 的解集为() A.(2，)B. 0，1 2 (2，) C. 0， 2 2 ( 2，)D.( 2，) 答案B 解析因为偶函数 f(x)在(，0上是减函数，所以 f(x)在(0，)上是增函数. 又 f(1)2，所以不等式 f(log2x)2f(1)， 即|log2x|1，解得 0 x2. 角度 3对数型函数性质的综合应用 【例 4】(2020武汉调研)

11、已知函数 f(x)log2 1 2xa. (1)若函数 f(x)是 R 上的奇函数，求 a 的值； (2)若函数 f(x)的定义域是一切实数，求 a 的取值范围； (3)若函数 f(x)在区间0，1上的最大值与最小值的差不小于 2，求实数 a 的取值 范围. 解(1)若函数 f(x)是 R 上的奇函数，则 f(0)0， log2(1a)0，a0. 当 a0 时，f(x)x 是 R 上的奇函数. 所以 a0. (2)若函数 f(x)的定义域是一切实数，则 1 2xa0 恒成立. 即 a 1 2x恒成立，由于 1 2x(，0)， 故只要 a0，则 a 的取值范围是0，). (3)由已知得函数 f(

12、x)是减函数，故 f(x)在区间0，1上的最大值是 f(0) log2(1a)，最小值是 f(1)log2 1 2a. 由题设得 log2(1a)log2 1 2a2， 则 log2(1a)log2(4a2). 1a4a2， 4a20， 解得1 2logag(x)的不等式，主要是应用 函数的单调性求解，如果 a 的取值不确定，需要分 a1 与 0a1 两种情况讨论. 2.与对数函数有关的复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问题：一是定义 域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与 1 的大小关系；三是复合函数 的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的. 【训练 2】 (1)已知 alog

13、23log23，blog29log23，clog32，则 a，b，c 的大小关系是() A.abcC.abbc (2)已知函数 f(x)loga(8ax)(a0，且 a1)，若 f(x)1 在区间1，2上恒成立， 则实数 a 的取值范围是_. 答案(1)B(2) 1，8 3 解析(1)因为 alog23log23log23 33 2log 231，blog29log23 log23 3a，clog32c. (2)当 a1 时，f(x)loga(8ax)在1，2上是减函数，由 f(x)1 在区间1，2上恒 成立， 则 f(x)minf(2)loga(82a)1， 即 82aa，且 82a0， 解

14、得 1a8 3. 当 0a1 在区间1，2上恒成立， 知 f(x)minf(1)loga(8a)1，且 82a0. 8a0，此时解集为. 综上可知，实数 a 的取值范围是 1，8 3 . A 级基础巩固 一、选择题 1.设 alog0.20.3，blog20.3，则() A.abab0B.abab0 C.ab0abD.ab00，1 blog 0.320. 01 a 1 blog 0.30.41，即 0ab ab 0，b0，故 abab0，且 a1)在区间 1 2，内恒有 f(x)0，则 f(x) 的单调递增区间为() A.(0，)B.(2，) C.(1，)D. 1 2， 答案A 解析令 Mx2

15、3 2x， 当 x 1 2，时， M(1， )， 恒有 f(x)0， 所以 a1， 所以函数 ylogaM 为增函数，又 M x3 4 2 9 16， 因为 M 的单调递增区间为 3 4，. 又 x23 2x0，所以 x0 或 x0 且 a1)的图像恒过定点 A， 若点 A 也在函数 f(x)3xb 的图像上，则 b_. 答案7 解析令 2x31，得 x2，定点为 A(2，2)，将定点 A 的坐标代入函数 f(x) 中，得 232b，解得 b7. 9.已知函数 f(x)loga(2xa)在区间 1 2， 2 3 上恒有 f(x)0，则实数 a 的取值范围是 _. 答案 1 3，1 解析当 0a

16、0，即 04 3a1， 解得1 3a 4 3，故 1 3a1 时，函数 f(x)在区间 1 2， 2 3 上是增函数，所以 loga(1a)0，即 1a1， 解得 a0，且 a 1). (1)求函数 f(x)的解析式； (2)若1f(1)1，求实数 a 的取值范围. 解(1)当 x0， 由题意知 f(x)loga(x1)， 又 f(x)是定义在 R 上的偶函数，所以 f(x)f(x). 所以当 x0 时，f(x)loga(x1)， 所以函数 f(x)的解析式为 f(x) loga（x1） ，x0， loga（x1） ，x0. (2)因为1f(1)1，所以1loga21， 所以 loga1 al

17、og a21 时，原不等式等价于 1 a2， 解得 a2； 当 0a2， a2， 解得 0am 恒成立，求实数 m 的取值范围. 解(1)因为函数 f(x)log2 1ax x1 是奇函数， 所以 f(x)f(x)， 所以 log2 1ax x1log 21ax x1 ， 即 log2ax1 x1 log2 x1 1ax， 所以 a1，f(x)log21x x1， 令1x x10，解得 x1， 所以函数的定义域为x|x1. (2)f(x)log2(x1)log2(1x)， 当 x1 时，x12，所以 log2(1x)log221. 因为 x(1，)时，f(x)log2(x1)m 恒成立， 所以

18、 m1，所以 m 的取值范围是(，1. B 级能力提升 12.(2021重庆调研)设函数 f(x)的定义域为 D，若满足：f(x)在 D 内是单调增函 数；存在m，nD(nm)，使得 f(x)在m，n上的值域为m，n，那么就称 y f(x)是定义域为 D 的“成功函数”.若函数 g(x)loga(a2xt)(a0 且 a1)是定 义域为 R 的“成功函数” ，则 t 的取值范围是() A. 0，1 4B. 0，1 4 C. ，1 4D. 1 4， 答案A 解析因为 g(x)loga(a2xt)是定义在 R 上的“成功函数” ， 所以 g(x)为增函数，且 g(x)在m，n上的值域为m，n，故

19、g(m)m，g(n)n， 即 g(x)x 有两个不相同的实数根. 又 loga(a2xt)x，即 a2xaxt0. 令 sax，s0， 即 s2st0 有两个不同的正数根， 可得 t0， 14t0. 解得 0tkg(x)恒成立，求实数 k 的取值范 围. 解(1)h(x)(42log2x)log2x22(log2x1)2. 因为 x1，4，所以 log2x0，2， 故函数 h(x)的值域为0，2. (2)由 f(x2)f( x)kg(x)， 得(34log2x)(3log2x)klog2x， 令 tlog2x，因为 x1，4， 所以 tlog2x0，2， 所以(34t)(3t)kt 对一切 t0，2恒成立， 当 t0 时，kR； 当 t(0，2时，k（34t） （3t） t 恒成立， 即 k4t9 t 15， 因为 4t9 t 12，当且仅当 4t9 t ，即 t3 2时取等号， 所以 4t9 t 15 的最小值为3. 所以 k3. 综上，实数 k 的取值范围为(，3).