第3节第1课时　两角和与差的正弦、余弦和正切公式.docx

1、第第 3 节节三角恒等变换三角恒等变换 知识梳理 1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式 sin()sin_cos_cos_sin_. cos()cos_cos_sin_sin_. tan() tan tan 1tantan. 2.二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 22sin_cos_. cos 2cos2sin22cos2112sin2. tan 2 2tan 1tan2. 3.函数 f(x)asin xbcos x(a，b 为常数)，可以化为 f(x)a2b2sin(x ) 其中 tan b a 或 f(x) a2b2cos(x) 其中 tan a b . 4.半角公式 (1)S 2：s

2、in 2 1cos 2 ，sin2 2 1cos 2 ； (2)C 2：cos 2 1cos 2 ，cos2 2 1cos 2 ； (3)T 2 ：tan 2 1cos 1cos (无理形式)，tan2 2 1cos 1cos ；tan 2 sin 1cos 1cos sin (有理形式). 1.tan tan tan()(1tantan). 2.cos21cos 2 2 ，sin21cos 2 2 . 3.1sin 2(sin cos )2，1sin 2(sin cos )2， sin cos 2sin 4 . 诊断自测 1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”) (1)两角和与差的正弦、

3、余弦公式中的角，是任意的.() (2)存在实数，使等式 sin()sin sin 成立.() (3)公式 tan() tan tan 1tantan 可以变形为 tan tan tan()(1tan tan )，且对任意角，都成立.() (4)存在实数，使 tan 22tan .() 答案(1)(2)(3)(4) 解析(3)变形可以，但不是对任意的，都成立， 2k(kZ). 2.已知 cos 4 5， ，3 2 ，则 sin 4 等于() A. 2 10 B. 2 10 C.7 2 10 D.7 2 10 答案C 解析 ，3 2 ，且 cos 4 5，sin 3 5， sin 4 3 5 2

4、2 4 5 2 2 7 2 10 . 3.已知 tan 4 2，则 tan () A.1 3 B.1 3 C.4 3 D.4 3 答案A 解析tan 4 1tan 1tan 2，解得 tan 1 3. 4.(2020全国卷)若 sin x2 3，则 cos 2x_. 答案 1 9 解析因为 sin x2 3，所以 cos 2x12sin 2x1 9. 5.(2020江苏卷)已知 sin2 42 3，则 sin 2的值是_. 答案 1 3 解析因为 sin2 42 3，所以 1cos 22 2 2 3，即 1sin 2 2 2 3，所以 sin 2 1 3. 6.(2021全国大联考)已知 co

5、s 6 sin 4 3 5 ，则 sin 11 6_. 答案4 5 解析由 cos 6 sin 3 2 cos 1 2sin sin 3 2 cos 3 2sin 3 1 2cos 3 2 sin 3cos 3 3sin 64 3 5 ， 得 sin 64 5. sin 11 6sin 2 11 6 sin 64 5. 第一课时第一课时两角和与差的正弦、余弦和正切公式两角和与差的正弦、余弦和正切公式 考点一公式的基本应用 1.(2019全国卷)tan 255() A.2 3B.2 3 C.2 3D.2 3 答案D 解析tan 255tan(18075)tan 75tan(3045) tan 3

6、0tan 45 1tan 30tan 45 3 3 1 1 3 3 2 3.故选 D. 2.(2021武汉模拟)已知角，的顶点为坐标原点，始边与 x 轴的非负半轴重合， 若角，的终边分别与单位圆交于点 A x1，1 3 ， B x2，2 3 ， 其中 x10 x2， 则 cos(2 )() A.7 58 2 27 B.8 27 5 27 C.7 58 2 27 D.7 58 2 27 答案C 解析由题意可知，sin 1 3，sin 2 3，由 x 10 x2可知 cos 1sin2 2 2 3 ，cos 1sin2 5 3 ，所以 cos 2 2 2 3 2 1 3 2 7 9，sin 22

7、2 2 31 3 4 2 9 ，所以 cos(2)cos 2cos sin 2sin 7 58 2 27 . 3.(多选题)(2021北京西城区模拟)下面各式中，正确的是() A.sin 4 3 sin 4cos 3 3 2 cos 4 B.cos 5 12 2 2 sin 3cos 4cos 3 C.cos 12 cos 4cos 3 6 4 D.cos 12cos 3cos 4 答案ABC 解析sin 4 3 sin 4cos 3cos 4sin 3sin 4cos 3 3 2 cos 4，A 正确； cos 5 12cos 7 12cos 3 4 2 2 sin 3cos 4cos 3，

8、B 正确； cos 12 cos 4 3 cos 4cos 3 6 4 ， C 正确； cos 12cos 3 4 cos 3cos 4，D 不正确.故选 ABC. 4.已知 tan 2，则 cos 2 2 _. 答案4 5 解析cos 2 2 sin 22sin cos 2sin cos sin2cos2 2tan tan21 4 5. 感悟升华1.使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征. 2.使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值. 考点二公式的逆用及变形 【例 1】 (1)下列式子化简正确的是() A.cos 82sin 52sin 82cos 521 2

9、B.sin 15sin 30sin 751 4 C.tan 48tan 72 1tan 48tan 72 3 D.cos215sin215 3 2 (2)(2020杭州模拟)函数 f(x)cos xsin x 6 sin x 6 在0， 的值域为() A.1，1B.2，1 C.2，2D. 1 2，1 (3)(1tan 17)(1tan 28)的值为_. 答案(1)D(2)B(3)2 解析(1)选项 A 中，cos 82sin 52sin 82cos 52sin(5282)sin(30) sin 301 2，故 A 错误； 选项 B 中，sin 15sin 30sin 751 2sin 15co

10、s 15 1 4sin 30 1 8，故 B 错误； 选项 C 中， tan 48tan 72 1tan 48tan 72tan (4872)tan 120 3，故 C 错误； 选项 D 中，cos215sin215cos 30 3 2 ，故 D 正确. (2)f(x)cos x 3 2 sin x1 2cos x 3 2 sin x1 2cos xcos x 3sin x2cos x 3 . 0 x， 3x 3 4 3 ， 则当 x 3时，函数取得最小值 2cos 2，当 x 3 3时，函数取得最大值 2cos 32 1 21， 即函数的值域为2，1.故选 B. (3)原式1tan 17ta

11、n 28tan 17tan 281tan 45(1tan 17tan 28) tan 17tan 28112. 感悟升华运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟悉公式的正用，还要熟 悉公式的逆用及变形应用，如 tan tantan()(1tan tan )和二倍角 的余弦公式的多种变形等.公式的逆用和变形应用更能拓展思路，培养从正向思 维向逆向思维转化的能力. 【训练 1】 (1)(多选题)(2021聊城质检)下列选项中，值为1 4的是( ) A.sin 12sin 5 12 B.1 3 2 3cos 215 C. 1 sin 50 3 cos 50 D.cos 72cos 36 (2)若2

12、3 ，则3tan tan tan tan 的值为_. 答案(1)AD(2) 3 解析(1)对于 A，sin 12sin 5 12sin 12cos 12 1 2sin 6 1 4，故 A 正确； 对于 B，1 3 2 3cos 2151 3(2cos 2151)1 3cos 30 3 6 ，故 B 错误； 对于 C，原式cos 50 3sin 50 sin 50cos 50 2 3 2 sin 501 2cos 50 1 2sin 100 2sin 80 1 2sin 100 2sin 80 1 2sin 80 4，故 C 错误； 对于 D， cos 36cos 722sin 36cos 36

13、cos 72 2sin 36 2sin 72cos 72 4sin 36 sin 144 4sin 36 1 4， 故 D 正确.综上，选 AD. (2)2 3 ， tan() tan tan 1tan tan tan 3 3， 可得 tan tan 3(1tan tan )， 3tan tan tan tan 3tan tan (tan tan ) 3tan tan 3 3tan tan 3. 考点三角的变换 【例 2】 (1)(2020全国卷)已知 sin sin 3 1，则 sin 6 () A.1 2 B. 3 3 C.2 3 D. 2 2 (2)若 0 2， 20，cos 41 3，

14、cos 4 2 3 3 ，则 cos 2 等于() A. 3 3 B. 3 3 C.5 3 9 D. 6 9 (3)(2021长春质量监测)若 sin 8 1 3，则 sin 2 4 _. 答案(1)B(2)C(3)7 9 解析(1)因为 sin sin 3 sin 6 6 sin 6 6 sin 6 cos 6 cos 6 sin 6sin 6 cos 6cos 6 sin 62sin 6 cos 6 3sin 6 1，所以 sin 6 3 3 .故选 B. (2)cos 2 cos 4 4 2 cos 4cos 4 2 sin 4sin 4 2 . 0 2，则 4 4 3 4 ， sin

15、42 2 3 . 又 20，则 4 4 20，2cos sin ，cos 0，结合 sin2cos21，得 cos 5 5 . 5.已知 cos 6 sin 4 3 5 ，则 sin 7 6 的值是() A.2 3 5 B.2 3 5 C.4 5 D.4 5 答案C 解析cos 6 sin cos cos 6sin sin 6sin 3 2 cos 1 2sin sin 3 2 cos 3 2sin 4 3 5 ， 1 2cos 3 2 sin 4 5， sin 7 6 sin 6 3 2 sin 1 2cos 4 5，故选 C. 6.(2021全国大联考)已知 sin(15)3 5，则 co

16、s(30)( ) A.7 2 10 B. 2 10 C.7 2 10 或 2 10 D.7 2 10 或 2 10 答案D 解析sin(15)3 5，cos(15) 4 5或 4 5.当 cos(15) 4 5时，cos( 30)cos(15)45cos(15)cos 45sin(15)sin 45 2 2 4 5 3 5 7 2 10 ；当 cos(15)4 5时，cos(30)cos(15)45cos(15) cos 45sin(15)sin 45 2 2 4 5 3 5 2 10，cos(30) 7 2 10 或 2 10， 故选 D. 二、填空题 7.sin()cos()cos()si

17、n()_. 答案sin() 解析sin()cos()cos()sin() sin()cos ()cos()sin() sin()()sin(). 8.(2021北京东城区模拟)已知 cos 21 3，则 cos 2 22cos2()的值为 _. 答案1 解析cos2 22cos2()(sin )22(cos )2sin22cos2 1cos 2 2 (1cos 2) 11 3 2 11 3 1. 9.tan 20tan 40 3tan 20tan 40_. 答案3 解析tan 60tan(2040) tan 20tan 40 1tan 20tan 40， tan20tan 40tan 60(1

18、tan 20tan 40) 3 3tan 20tan 40， 原式 3 3tan 20tan 40 3tan 20tan 40 3. 三、解答题 10.(2021衡阳质检)已知函数 f(x)cos 2xsin 2x 6 . (1)求函数 f(x)的最小正周期； (2)若 0， 2 ，f()1 3，求 cos 2. 解(1)f(x)cos 2x 3 2 sin 2x1 2cos 2x 3 2 sin 2x1 2cos 2xsin 2x 6 ， 函数 f(x)的最小正周期 T2 2 . (2)由 f()1 3，可得 sin 2 6 1 3. 0， 2 ，2 6 6， 7 6 . 又0sin 2 6

19、 1 3 1 2，2 6 5 6 ， . cos 2 6 2 2 3 . cos 2cos 2 6 6cos 2 6 cos 6sin 2 6 sin 6 12 6 6 . 11.已知 cos 2 1 9，sin 22 3，且 2，0 2，求 cos(). 解由已知，得 2 2，0 2 2， sin 2 4 5 9 ，cos 2 5 3 ， cos 2 cos 2 2 cos 2 cos 2sin 2 sin 2 1 9 5 3 4 5 9 2 3 7 5 27 . 则 cos()2cos2 2 1239 729. B 级能力提升 12.(多选题)(2021潍坊调研)下列四个选项中，化简正确的

20、是() A.cos(15) 6 2 4 B.cos 15cos 105sin 15sin 1050 C.cos(35)cos(25)sin(35)sin(25)1 2 D.sin 14cos 16sin 76cos 741 2 答案BCD 解析对于 A， 法一原式cos(3045)cos 30cos 45sin 30sin 45 3 2 2 2 1 2 2 2 6 2 4 ，A 错误. 法二原式cos 15cos(4530)cos 45cos 30sin 45sin 30 2 2 3 2 2 2 1 2 6 2 4 . 对于 B，原式cos(15105)cos(90)cos 900，B 正确.

21、 对于 C，原式cos(35)(25)cos(60)cos 601 2. 对于 D，原式cos 76cos 16sin 76sin 16cos(7616)cos 601 2. 13.(2020浙江卷)已知 tan 2，则 cos 2_，tan 4 _. 答案3 5 1 3 解析由题意，cos 2cos2sin2 cos 2sin2 cos2sin2 1tan2 1tan2 14 14 3 5. tan 4 tan tan 4 1tan tan 4 tan 1 1tan 21 12 1 3. 14.已知，为锐角，tan 4 3，cos() 5 5 . (1)求 cos 2的值； (2)求 tan()的值. 解(1)因为 tan 4 3，tan sin cos ， 所以 sin 4 3cos . 因为 sin2cos21，所以 cos2 9 25， 因此，cos 22cos21 7 25. (2)因为，为锐角，所以(0，). 又因为 cos() 5 5 ， 所以 sin() 1cos2（）2 5 5 ， 因此 tan()2. 因为 tan 4 3，所以 tan 2 2tan 1tan2 24 7 ， 因此，tan()tan2() tan 2tan（） 1tan 2tan（） 2 11.