第3节　充分条件、必要条件.docx

1、第第 3 节节充分条件、必要条件充分条件、必要条件 知识梳理 充分条件、必要条件与充要条件的概念 若 pq，则 p 是 q 的充分条件，q 是 p 的必要条件 pq 且 qpp 是 q 的充分不必要条件 p q 且 qpp 是 q 的必要不充分条件 pqp 是 q 的充要条件 pq 且 qpp 是 q 的既不充分也不必要条件 1.区别A是B的充分不必要条件(AB且BA)， 与A的充分不必要条件是B(BA 且 AB)两者的不同. 2.充要关系与集合的子集之间的关系，设 Ax|p(x)，Bx|q(x)， (1)若 AB，则 p 是 q 的充分条件，q 是 p 的必要条件. (2)若 AB，则 p

2、是 q 的充分不必要条件，q 是 p 的必要不充分条件. (3)若 AB，则 p 是 q 的充要条件. 3.p 是 q 的充分不必要条件，等价于綈 q 是綈 p 的充分不必要条件. 诊断自测 1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”) (1)若已知 p：x1 和 q：x1，则 p 是 q 的充分不必要条件.() (2)已知集合 A，B，则 ABAB 的充要条件是 AB.() (3)当 q 是 p 的必要条件时，p 是 q 的充分条件.() (4)若 a，bR，则“a2b20”是“a，b 不全为 0”的充要条件.() 答案(1)(2)(3)(4) 2.设 a，bR 且 ab0，则 ab1 是

3、a1 b的( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 答案D 解析若“ab1”，当 a2，b1 时，不能得到“a1 b” ， 若“a1 b” ，例如当 a1，b1 时，不能得到“ab1”， 故“ab1”是“a1 b”的既不充分也不必要条件. 3.函数 f(x)x2mx1 的图像关于直线 x1 对称的充要条件是_. 答案m2 4.(多选题)(2020临沂质检)设 xR，则 x2 的一个必要不充分条件是() A.x1B.x1C.x1D.x3 答案BC 5.(2020天津卷)设 aR，则“a1”是“a2a”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充

4、要条件 D.既不充分也不必要条件 答案A 解析由 a2a，得 a2a0，解得 a1 或 a0， “a1”是“a2a”的充分不必要条件. 6.(2021合肥七校联考)已知集合 Ax|1 33 x27，xR，Bx|1xm1，m R，若 xB 成立的一个充分不必要条件是 xA，则实数 m 的取值范围是 _. 答案(2，) 解析A x|1 33 x27，xR x|1x3，即 m2. 考点一充分条件与必要条件的判定 【例 1】 (1)(2020浙江卷)已知空间中不过同一点的三条直线 l，m，n.“l，m，n 共面”是“l，m，n 两两相交”的() A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充分必要条件D

5、.既不充分也不必要条件 (2)已知条件 p：xy2，条件 q：x，y 不都是1，则 p 是 q 的() A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 答案(1)B(2)A 解析(1)由 m，n，l 在同一平面内，可能有 m，n，l 两两平行，所以 m，n，l 可能没有公共点，所以不能推出 m，n，l 两两相交.由 m，n，l 两两相交且 m，n， l 不经过同一点，可设 lmA，lnB，mnC，且 An，所以点 A 和直线 n 确定平面，而 B，Cn，所以 B，C，所以 l，m，所以 m，n，l 在同 一平面内.故选 B. (2)因为 p：xy2，q：x1 或 y

6、1， 所以綈 p：xy2，綈 q：x1 且 y1， 因为綈 q綈 p，但綈 p綈 q，所以綈 q 是綈 p 的充分不必要条件，即 p 是 q 的 充分不必要条件. 感悟升华充要条件的三种判断方法 (1)定义法：根据 pq，qp 进行判断. (2)集合法：根据使 p，q 成立的对象的集合之间的包含关系进行判断. (3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把要判断的命题转化为 其逆否命题进行判断.这个方法特别适合以否定形式给出的问题. 【训练 1】 (1)(多选题)(2021山东新高考模拟)已知两条直线 l，m 及三个平面， ，则的充分条件是() A.l，lB.l，m，lm C.，D.l

7、，m，lm (2)(2020北京卷)已知，R，则“存在 kZ 使得k(1)k”是“sin sin ”的() A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 答案(1)ABC(2)C 解析(1)由面面垂直的判定可以判断 A，B，C 符合题意，对于选项 D，l， m，lm，也可以得到，D 不符合题意.故选 ABC. (2)若存在 kZ 使得k(1)k，则当 k2n(nZ)，2n，有 sin sin(2n)sin ；当 k2n1(nZ)，(2n1)，有 sin sin(2n1) sin . 若 sin sin ，则2k或2k(kZ)， 即k(1)k(kZ).故选

8、C. 考点二充分、必要条件的应用 【例 2】(经典母题)已知 Px|x28x200，非空集合 Sx|1mx1 m.若 xP 是 xS 的必要条件，求实数 m 的取值范围. 解由 x28x200，得2x10， Px|2x10. xP 是 xS 的必要条件，则 SP. 1m2， 1m10， 解得 m3. 又S 为非空集合，1m1m，解得 m0. 综上，m 的取值范围是0，3. 【迁移 1】本例条件不变，问是否存在实数 m，使 xP 是 xS 的充要条件？并 说明理由. 解由例题知 Px|2x10. 若 xP 是 xS 的充要条件，则 PS， 1m2， 1m10， m3， m9， 这样的 m 不存在

9、. 【迁移 2】设 p：Px|x28x200，q：非空集合 Sx|1mx1m， 且綈 p 是綈 q 的必要不充分条件，求实数 m 的取值范围. 解由例题知 Px|2x10. 綈 p 是綈 q 的必要不充分条件， p 是 q 的充分不必要条件. pq 且 qp，即 PS. 1m2， 1m10 或 1m2， 1m10， m9，又因为 S 为非空集合， 所以 1m1m，解得 m0， 综上，实数 m 的取值范围是9，). 感悟升华1.根据充分、必要条件求解参数取值范围需抓住“两”关键 (1)把充分、必要条件转化为集合之间的关系. (2)根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解. 2.解题时要注

10、意区间端点值的检验.尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的 取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解 或增解的现象. 【训练 2】设 p：ln(2x1)0，q：(xa)x(a1)0，若 q 是 p 的必要不充 分条件，则实数 a 的取值范围是_. 答案 0，1 2 解析p 对应的集合 Ax|yln(2x1)0 x|1 2x1， q 对应的集合 Bx|(x a)x(a1)0 x|axa1. 由 q 是 p 的必要而不充分条件，知 AB. 所以 a1 2且 a11，因此 0a 1 2. 考点三充要条件的探求 【例 3】已知两个关于 x 的一元二次方程 mx24x40

11、和 x24mx4m24m 50，求两方程的根都是整数的充要条件. 解因为 mx24x40 是一元二次方程，所以 m0. 又另一方程为 x24mx4m24m50，且两方程都要有实根， 所以 116（1m）0， 216m24（4m24m5）0， 解得 m 5 4，1. 因为两方程的根都是整数， 故其根的和与积也为整数， 所以 4 mZ， 4mZ， 4m24m5Z. 所以 m 为 4 的约数. 又因为 m 5 4，1， 所以 m1 或 1. 当 m1 时，第一个方程 x24x40 的根不是整数； 而当 m1 时，两方程的根均为整数， 所以两方程的根均为整数的充要条件是 m1. 感悟升华探求充要条件的

12、关键在于转化的等价性， 解题时要考虑条件包含的各 种情况，保证条件的充分性和必要性. 【训练 3】 (1)命题“对任意 x1，2)，x2a0”为真命题的一个充分不必要 条件可以是() A.a4B.a4C.a1D.a1 (2)(2021武汉质检)关于 x 的方程 ax2bxc0(a0)有一个正根和一个负根的 充要条件是_. 答案(1)B(2)ac0 解析(1)要使“对任意 x1，2)，x2a0”为真命题，只需要 a4，所以 a 4 是命题为真的充分不必要条件. (2)ax2bxc0(a0)有一个正根和一个负根的充要条件是 b24ac0， c a0， 即 ac0. A 级基础巩固 一、选择题 1.

13、设 xR，则“0 x5”是“|x1|1”的() A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案B 解析由|x1|1 可得 0 x2，由“0 x5”不能推出“0 x2”，但由“0 x2”可以推 出“0 x5”. 故“0 x5”是“|x1|1”的必要而不充分条件. 2.王安石在游褒禅山记中写道“世之奇伟、瑰怪，非常之观，常在于险远， 而人之所罕至焉，故非有志者不能至也” ，请问“有志”是到达“奇伟、瑰怪， 非常之观”的() A.充要条件B.既不充分也不必要条件 C.充分不必要条件D.必要不充分条件 答案D 解析非有志者不能至，是必要条件；但“有志”也不一定

14、“能至” ，不是充分 条件. 3.(多选题)(2021长沙质检)若 x2x20 是2xa 的充分不必要条件， 则实 数 a 的值可以是() A.1B.2C.3D.4 答案BCD 解析由 x2x20，解得1x2. x2x20 是2xa 的充分不必要条件， (1，2)(2，a)，a2. 实数 a 的值可以是 2，3，4. 4.(2019北京卷)设函数 f(x)cos xbsin x(b 为常数)，则“b0”是“f(x)为偶函 数”的() A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 答案C 解析当 b0 时，f(x)cos x 为偶函数；若 f(x)为偶函数，

15、则 f(x)cos(x) bsin(x)cos xbsin xf(x)， bsin xbsin x 对 xR 恒成立，b0. 故“b0”是“f(x)为偶函数”的充分必要条件. 5.“log2(2x3)1”是“4x8”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案A 解析由 log2(2x3)102x323 2x 5 2，4 x82x3x3 2，所以 “log2(2x3)1”是“4x8”的充分不必要条件，故选 A. 6.(2021湖南雅礼中学月考)若关于 x 的不等式|x1|a 成立的充分条件是 0 x4， 则实数 a 的取值范围是() A.(，1B

16、.(，1) C.(3，)D.3，) 答案D 解析|x1|a1ax1a，因为不等式|x1|a 成立的充分条件是 0 x4， 所以(0，4)(1a，1a)，所以 1a0， 1a4，解得 a3. 7.(2020东莞模拟)若实数 a，b 满足 a0，b0，则“ab”是“aln ab ln b”的() A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 答案C 解析设 f(x)xln x，显然 f(x)在(0，)上单调递增， ab，f(a)f(b)， aln abln b，充分性成立； aln abln b， f(a)f(b)，ab，必要性成立， 故“ab”是“aln abln

17、b”的充要条件，故选 C. 8.已知命题 p：x22x30；命题 q：xa，且綈 q 的一个充分不必要条件是 綈 p，则 a 的取值范围是() A.1，)B.(，1 C.1，)D.(，3 答案A 解析由 x22x30，得 x3 或 x1，由綈 q 的一个充分不必要条件是 綈 p，可知綈 p 是綈 q 的充分不必要条件，等价于 q 是 p 的充分不必要条件.故 a1. 二、填空题 9.“sin sin ”是“”的_条件(选填“充分不必要” “必要不充分” “充要” “既不充分也不必要”). 答案必要不充分 10.直线 xyk0 与圆(x1)2y22 有两个不同交点的充要条件是_. 答案1k3 解

18、析直线xyk0与圆(x1)2y22有两个不同交点等价于|10k| 2 2， 解得1k4；命题 q：x25x40，那么 p 是 q 的 _条件(填“充分不必要” “必要不充分” “充要” “既不充分也不 必要”). 答案充分不必要 解析由x25x40 得x1或x4， 可知x|x4是x|x1 或x4的真子集， p 是 q 的充分不必要条件. 12.已知 p：实数 m 满足 3am0)，q：方程 x2 m1 y2 2m1 表示焦点在 y 轴上的椭圆，若 p 是 q 的充分条件，则 a 的取值范围是_. 答案 1 3， 3 8 解析由 2mm10， 得 1m3 2，即 q：1m 3 2. 因为 p 是

19、 q 的充分条件，所以 3a1， 4a3 2， 解得1 3a 3 8. B 级能力提升 13.(多选题)(2021青岛调研)下列叙述正确的是() A.“a1”是“方程 x2xa0 有一个正根和一个负根”的必要不充分条件 B.若 a，b，cR，则“ab2cb2”的充要条件是“ac” C.“a1”是“1 a1”的充分不必要条件 D.若 a，b，cR，则“ax2bxc0”的充要条件是“b24ac0” 答案AC 解析若方程 x2xa0 有一个正根和一个负根， 则14a0， x1x2a0， a0，“a1”是“方程 x2xa0 有一个正根和一个负根”的必要不充 分条件，故 A 正确. ac 且 b0 时，

20、推不出 ab2cb2，故 B 不正确. a11 a1， 1 a1/ a1，“a1”是“ 1 a1”的充分不必要条件，C 正确. 当 a0，b0，c0 时，满足 b24ac0，但此时 ax2bxc0 不成立，所 以 D 不正确. 14.(2020福州模拟)已知 f(x)是 R 上的奇函数， 则 “x1x20” 是 “f(x1)f(x2)0” 的_条件(选填 “充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要” ). 答案充分不必要 解析函数 f(x)是奇函数，若 x1x20，则 x1x2，则 f(x1)f(x2) f(x2)，即 f(x1)f(x2)0 成立，即充分性成立； 若 f(x)0，

21、满足 f(x)是奇函数，当 x1x22 时，满足 f(x1)f(x2)0，此时满足 f(x1)f(x2)0，但 x1x240，即必要性不成立.故“x1x20”是“f(x1)f(x2) 0”的充分不必要条件. 15.已知集合 A x| 1 3 x2x6 1 ，Bx|log3(xa)1.若“xA”是“xB”的 必要不充分条件，则实数 a 的取值范围是_. 答案(，0 解析由 x| 1 3 x2x6 1 ，得 x2x60，解得 x2 或 x3，则 Ax|x 2 或 x3. 由 log3(xa)1，得 xa3，即 x3a，则 Bx|x3a. 由题意知 BA，所以 3a3，解得 a0. 16.ax22x10 至少有一个负实根的充要条件是_. 答案a1 解析(1)当 a0 时，为一元一次方程，其根为 x1 2，符合题目要求. (2)当 a0 时，为一元二次方程，它有实根的充要条件是判别式0，即 44a 0，从而 a1. 又设方程 ax22x10 的两根为 x1，x2，则由根与系数的关系得 x1x22 a， x1x21 a. 方程 ax22x10 有一个负实根的充要条件是 a1， 1 a0， 得 a0. 方程 ax22x10 有两个负实根的充要条件是 a1， 2 a0， 1 a0， 得 0a1. 综上，ax22x10 至少有一个负实根的充要条件是 a1.