第1节　导数的概念及运算.docx

1、第第 1 节节导数的概念及运算导数的概念及运算 知识梳理 1.函数 yf(x)在 xx0处的导数 (1)定义：称函数 yf(x)在 xx0处的瞬时变化率 0 lim x f（x0 x）f（x0） x 为函 数 yf(x)在 xx0处的导数，记作 f(x0)，即 f(x0) 0 lim x _f（x0 x）f（x0） x . (2)几何意义：f(x0)是曲线 yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线的斜率，从而在点(x0， f(x0)处的切线方程为 yf(x0)f(x0)(xx0). 2.函数 yf(x)的导函数 在 f(x)的定义域内，f(x)是一个函数，这个函数通常称为函数 yf(x)的导函

2、数， 记作 f(x)(或 y，yx)，即 f(x)yyx 0 lim x f（xx）f（x） x ，导函数也简称 为导数. 3.基本初等函数的导数公式 (1)C0；(2)(x)x 1；(3)(ax)axln_a； (4)(logax) 1 xln a；(5)(sin x)cos_x；(6)(cos x) sin_x；(7)(ex)ex；(8)(ln x)1 x. 4.导数的运算法则 如果 f(x)，g(x)都可导，则有： (1)f(x)g(x)f(x)g(x)； (2)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)； (3) f（x） g（x） f（x）g（x）f（x）g（x） g（x）2

3、(g(x)0). 5.复合函数的导数 如果函数yf(u)与ug(x)的复合函数为yh(x)f(g(x)， 则复合函数的导数h(x) 与 f(u)，g(x)之间的关系为 h(x)f(g(x)f(u)g(x)f(g(x)g(x)，即 yxyuux. 1.f(x0)代表函数 f(x)在 xx0处的导数值；(f(x0)是函数值 f(x0)的导数，且(f(x0) 0. 2. 1 f（x） f（x） f（x）2(f(x)0). 3.曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只 有一个公共点. 4.函数 yf(x)的导数 f(x)反映了函数 f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化

4、 的方向， 其大小|f(x)|反映了变化的快慢， |f(x)|越大， 曲线在这点处的切线越 “陡” . 诊断自测 1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”) (1)f(x0)是函数 yf(x)在 xx0附近的平均变化率.() (2)函数 f(x)sin(x)的导数 f(x)cos x.() (3)求 f(x0)时，可先求 f(x0)，再求 f(x0).() (4)曲线 yf(x)在某点处的切线与曲线 yf(x)过某点的切线意义是相同的.() 答案(1)(2)(3)(4) 解析(1)f(x0)表示 yf(x)在 xx0处的瞬时变化率，(1)错. (2)f(x)sin(x)sin x，则 f(x

5、)cos x，(2)错. (3)求 f(x0)时，应先求 f(x)，再代入求值，(3)错. (4)“在某点”的切线是指以该点为切点的切线，因此此点横坐标处的导数值为 切线的斜率；而对于“过某点”的切线，则该点不一定是切点，要利用解方程组 的思想求切线的方程，在曲线上某点处的切线只有一条，但过某点的切线可以不 止一条，(4)错. 2.已知函数 f(x) x x2，则函数在 x1 处的切线方程是( ) A.2xy10B.x2y20 C.2xy10D.x2y20 答案A 解析由 f(x) x x2，得 f(x) 2 （x2）2， 又 f(1)1，f(1)2. 因此函数在 x1 处的切线方程为 y12

6、(x1)，即 2xy10. 3.若曲线 y(ax1)ex在点(0，1)处的切线的斜率为2，则 a_. 答案3 解析yaex(ax1)ex，则 y|x0a12，所以 a3. 4.(2020全国卷)函数 f(x)x42x3的图像在点(1，f(1)处的切线方程为() A.y2x1B.y2x1 C.y2x3D.y2x1 答案B 解析f(1)121，切点坐标为(1，1)， 又 f(x)4x36x2， 所以切线的斜率 kf(1)4136122， 切线方程为 y12(x1)，即 y2x1.故选 B. 5.(多选题)(2020聊城模拟)若函数 f(x)的导函数 f(x)的图像关于 y 轴对称，则 f(x) 的

7、解析式可能为() A.f(x)3cos xB.f(x)x3x C.f(x)x1 x D.f(x)exx 答案BC 解析对于 A，f(x)3cos x，其导数 f(x)3sin x，其导函数为奇函数，图像不 关于 y 轴对称，不符合题意；对于 B，f(x)x3x，其导数 f(x)3x21，其导函 数为偶函数，图像关于 y 轴对称，符合题意；对于 C，f(x)x1 x，其导数 f(x) 1 1 x2，其导函数为偶函数，图像关于 y 轴对称，符合题意；对于 D，f(x)e x x，其导数 f(x)ex1，其导函数不是偶函数，图像不关于 y 轴对称，不符合 题意. 6.(2021武汉检测)设 f(x)

8、ln(32x)cos 2x，则 f(0)_. 答案2 3 解析因为 f(x) 2 32x2sin 2x， 所以 f(0)2 3. 考点一导数的运算 1.(多选题)(2021济南检测)下列求导运算正确的是() A. 1 ln x 1 xln2x B.(x2ex)2xex C.(xcos x)sin xD. x1 x 1 1 x2 答案AD 解析对于 A， 1 ln x 1 ln2x(ln x) 1 xln2x，对于 B，(x 2ex)(x22x)ex，对于 C，(xcos x)cos xxsin x，对于 D， x1 x 1 1 x2. 2.若 f(x)x 32xx2ln x1 x2 ，则 f(

9、x)_. 答案11 x 2 x2 2 x3 解析由已知 f(x)xln x2 x 1 x2. f(x)11 x 2 x2 2 x3. 3.(2020全国卷)设函数 f(x) ex xa.若 f(1) e 4，则 a_. 答案1 解析由 f(x)e x（xa）ex （xa）2 ，可得 f(1) ea （1a）2 e 4，即 a （1a）2 1 4，解 得 a1. 4.已知函数 f(x)的导函数为 f(x)，且满足关系式 f(x)x23xf(2)ln x，则 f(1) _. 答案23 4 解析因为 f(x)x23xf(2)ln x， f(x)2x3f(2)1 x. 令 x2，得 f(2)43f(2

10、)1 2，则 f(2) 9 4. f(1)131 9 4 023 4 . 感悟升华1.求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、 商，再利用运算法则求导. 2.抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解. 3.复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元. 考点二导数的几何意义 角度 1求切线的方程 【例 1】 (1)曲线 y3(x2x)ex在点(0，0)处的切线方程为_. (2)(2020全国卷)曲线 yln xx1 的一条切线的斜率为 2，则该切线的方程 为_. 答案(1)3xy0(2)2xy0 解析(1)y3(2x1)ex3(x2x)ex3ex(x23x1)

11、， 所以曲线在点(0，0)处的切线的斜率 ke033，所以所求切线方程为 3xy 0. (2)设切点坐标为(x0，y0)， 因为 yln xx1，所以 y1 x1， 所以切线的斜率为 1 x012，解得 x 01. 所以 y0ln 1112，即切点坐标为(1，2)， 所以切线方程为 y22(x1)，即 2xy0. 角度 2求曲线的切点坐标 【例 2】(2019江苏卷改编)在平面直角坐标系 xOy 中，点 A 在曲线 yln x 上， 且该曲线在点 A 处的切线经过点(e，1)(e 为自然对数的底数)，则点 A 的坐 标是_，此时切线方程为_. 答案(e，1)xey0 解析设 A(m，n)，则曲

12、线 yln x 在点 A 处的切线方程为 yn1 m(xm). 又切线过点(e，1)，所以有 n11 m(me). 再由 nln m，解得 me，n1. 故点 A 的坐标为(e，1)， 切线方程为 xey0. 角度 3导数与函数图像问题 【例 3】已知 yf(x)是可导函数，如图，直线 ykx2 是曲 线 yf(x)在 x3 处的切线，令 g(x)xf(x)，g(x)是 g(x)的导 函数，则 g(3)_. 答案0 解析由题图可知曲线 yf(x)在 x3 处切线的斜率等于1 3，f(3) 1 3. g(x)xf(x)，g(x)f(x)xf(x)， g(3)f(3)3f(3)，又由题意可知 f(

13、3)1， g(3)13 1 3 0. 感悟升华1.求曲线在点 P(x0，y0)处的切线，则表明 P 点是切点，只需求出函数 在 P 处的导数，然后利用点斜式写出切线方程，若在该点 P 处的导数不存在， 则切线垂直于 x 轴，切线方程为 xx0. 2.求曲线的切线方程要分清“在点处”与“过点处”的切线方程的不同.切点坐标 不知道，要设出切点坐标，根据斜率相等建立方程(组)求解，求出切点坐标是解 题的关键. 【训练 1】(1)(2021重庆诊断)已知 f(x)是奇函数，且当 x0 时，f(x)ex1，则 曲线 yf(x)在 x1 处的切线方程为 () Aexy10Bexy10 Cexy10Dexy

14、10 (2)(2020长沙检测)如图所示，yf(x)是可导函数，直线 l：y kx3 是曲线 yf(x)在 x1 处的切线，令 h(x)f（x） x ，h(x) 是 h(x)的导函数，则 h(1)的值是() A.2B.1C.1D.3 答案(1)A(2)D 解析(1)令 x0，则 f(x)e x1，因为 f(x)是奇函数， 所以 f(x)f(x)e x1，x0)与 g(x)2x2m(m0)的图像在第一象 限有公共点，且在该点处的切线相同，当实数 m 变化时，实数 a 的取值范围为 () A. 4 e2，B. 8 e2， C. 0， 4 e2D. 0， 8 e2 答案(1)AD(2)D 解析(1)

15、由题意知 f(x) 1 2 x 1 x(x0)，因为 f(x)在 xx 1和 xx2(x1x2)处切线 平行， 所以 f(x1)f(x2)， 即 1 2 x1 1 x1 1 2 x2 1 x2， 化简得 1 x1 1 x2 1 2， 故 A 正确； 由均值不等式及 x1x2可得， 1 2 1 x1 1 x22 1 x1x2， 即 x 1x2256， 故 B 错误； x1x22 x1x232，故 C 错误；x21x222x1x2512，故 D 正确.故选 AD. (2)设在第一象限的切点为 A(x0，y0)， 所以 aex02x20m， aex04x0， 整理得 4x02x20m， x00， m

16、0， 由 m2x204x00 和 x00，解得 x02. 由上可知 a4x0 ex0 ，令 h(x)4x ex ，x2， 则 h(x)4（1x） ex . 因为 x2，所以 h(x)4（1x） ex 0， h(x)4x ex 在(2，)上单调递减， 所以 0h(x) 8 e2，即 a 0，8 e2. 感悟升华1.处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关 系列出参数的方程(组)并解出参数：(1)切点处的导数是切线的斜率；(2)切点在切 线上；(3)切点在曲线上. 2.利用导数的几何意义求参数范围时，注意化归与转化思想的应用. 【训练 2】 (1)(2021洛阳检测)函数 f(x

17、)ln xax 在 x2 处的切线与直线 axy 10 平行，则实数 a() A.1B.1 4 C.1 2 D.1 (2)若函数 y2x31 与 y3x2b 的图像在一个公共点处的切线相同，则实数 b _. 答案(1)B(2)0 或1 解析(1)f(x)ln xax，f(x)1 xa. 曲线 yf(x)在 x2 处切线的斜率 kf(2)， 因此1 2aa，a 1 4. (2)设公共切点的横坐标为 x0，函数 y2x31 的导函数为 y6x2，y3x2b 的 导函数为 y6x，由图像在一个公共点处的切线相同，可得 6x206x0且 12x30 3x20b，解得 x00，b1 或 x01，b0.故

18、实数 b0 或1. A 级基础巩固 一、选择题 1.(多选题)下列求导数的运算中正确的是() A.(3x)3xln 3B.(x2ln x)2xln xx C. cos x xxsin xcos x x2 D.(sin xcos x)cos 2x 答案ABD 解析因为 cos x xxsin xcos x x2 ，C 项错误.其余项均正确. 2.(2021北师大附中月考)曲线 yx1 x1在点(3，2)处的切线的斜率是( ) A.2B.2C.1 2 D.1 2 答案D 解析y（x1）（x1）（x1） （x1） （x1）2 2 （x1）2， 故曲线在点(3，2)处的切线的斜率 ky|x3 2 （3

19、1）2 1 2. 3.若函数 f(x)在 R 上可导，且 f(x)x22f(1)x3，则() A.f(0)f(4)D.以上都不对 答案B 解析函数 f(x)的导数 f(x)2x2f(1)， 令 x1，得 f(1)22f(1)，即 f(1)2， 故 f(x)x24x3(x2)21， 所以 f(0)f(4)3. 4.(2020豫北十校联考)已知 f(x)x2，则过点 P(1，0)，曲线 yf(x)的切线方程 为() A.y0B.4xy40 C.4xy40D.y0 或 4xy40 答案D 解析易知点 P(1，0)不在 f(x)x2上， 设切点坐标为(x0，x20)，由 f(x)x2可得 f(x)2x

20、， 切线的斜率 kf(x0)2x0. 切线过点 P(1，0)， k x20 x012x 0，解得 x00 或 x02， k0 或4， 故所求切线方程为 y0 或 4xy40. 5.(2021长沙模拟)若直线 yax 与曲线 yln x1 相切，则 a() A.eB.1C.1 e D.1 e2 答案D 解析由 yln x1，得 y1 x，设切点为(x 0，ln x01)， 则 ax0ln x01， a1 x0， 解得 a 1 e2. 6.已知函数 f(x)在 R 上可导，其部分图像如图所示，设 f（4）f（2） 42 a，则下列不等式正确的是() A.af(2)f(4) B.f(2)af(4)

21、C.f(4)f(2)a D.f(2)f(4)a 答案B 解析由函数 f(x)的图像可知，在0，)上，函数值的增长越来越快，故该函 数图像在0，)上的切线斜率也越来越大. 因为f（4）f（2） 42 a，所以 f(2)a0. 又 4x1 x2 4x1 x4，当且仅当 x 1 2时取“”. a422. 8.(多选题)(2021淄博调研)已知函数 f(x)及其导函数 f(x)， 若存在 x0R 使得 f(x0) f(x0)， 则称 x0是 f(x)的一个 “巧值点” .下列选项中有 “巧值点” 的函数是() A.f(x)x2B.f(x)e x C.f(x)ln xD.f(x)tan x 答案AC 解

22、析若 f(x)x2，则 f(x)2x，令 x22x，得 x0 或 x2，方程显然有解，故 A 符合要求；若 f(x)e x，则 f(x)ex，令 exex，此方程无解，故 B 不 符合要求；若 f(x)ln x，则 f(x)1 x，令 ln x 1 x，在同一直角坐标系内作出函数 yln x 与 y1 x的图像(作图略)，可得两函数的图像有一个交点，所以方程 f(x) f(x)存在实数解，故 C 符合要求；若 f(x)tan x，则 f (x) sin x cos x 1 cos2x，令 tan x 1 cos2x，化简得 sin xcos x1，变形可得 sin 2x2，无解，故 D 不符合

23、要求. 故选 AC. 二、填空题 9.曲线 ycos xx 2在点(0，1)处的切线方程为_. 答案x2y20 解析ysin x1 2，将 x0 代入， 可得切线斜率为1 2. 所以切线方程为 y11 2x，即 x2y20. 10.(2020江南十校联考)函数 f(x)(2x1)ex的图像在点(0，f(0)处的切线的倾斜 角为_. 答案 4 解析由 f(x)(2x1)ex，得 f(x)(2x1)ex， f(0)1，则切线的斜率 k1， 又切线倾斜角0，)， 因此切线的倾斜角 4. 11.(2020济南检测)曲线 yf(x)在点 P(1，f(1)处的切线 l 如图所示，则 f( 1)f(1)_.

24、 答案2 解析直线 l 过点(2，0)和 (0，2)， 直线 l 的斜率 f(1) 02 201，直线 l 的方程为 yx2. 则 f(1)121. 故 f(1)f(1)112. 12.已知直线 y1 m是曲线 yxe x的一条切线，则实数 m 的值为_. 答案e 解析设切点坐标为 n，1 m ， 由 yxex，得 y(xex)exxex. 若直线 y1 m是曲线 yxe x的一条切线， y|xnennen0，解得 n1， 因此1 mne n1 e，故 me. B 级能力提升 13.若曲线 yex在 x0 处的切线也是曲线 yln xb 的切线，则 b() A.1B.1C.2D.e 答案C 解

25、析yex的导数为 yex，则曲线 yex在 x0 处的切线斜率 k1， 则曲线 yex在 x0 处的切线方程为 y1x，即 yx1. 设 yx1 与 yln xb 相切的切点为(m，m1). 又 y1 x，则 1 m1，解得 m1.所以切点坐标为(1，2)， 则 2bln 1，得 b2. 14.(多选题)(2020重庆抽测)若函数 yf(x)的图像上存在不同的两点， 使得函数的 图像在这两点处的切线的斜率之和等于常数 t，则称函数 yf(x)为“t 函数”.下 列函数中可以称为“2 函数”的是() A.yxx3B.yxex C.yxln xD.yxcos x 答案CD 解析设切点的横坐标分别为

26、 x1，x2，对于 A，y13x2，所以两条切线的斜 率之和为 23(x21x22)，由于 x1，x2不能同时为零，所以 23(x21x22)2，不符 合题意；对于 B，y1ex，所以两条切线的斜率之和为 2ex1ex22，不符 合题意；对于 C，yln x1，所以两条切线的斜率之和为 2ln x1ln x22 ln(x1x2)，当 x1，x2互为倒数时，两切线的斜率之和为 2，符合题意；对于 D，y 1sin x，所以两条切线的斜率之和为 2sin x1sin x2，当 sin x1sin x20， 即 x12kx2或 x12 k1 2 x2(kZ)时，两条切线的斜率之和为 2，符合题 意.

27、综上所述，故选 CD. 15.(2021武汉调研)若曲线 y2x与函数 f(x)aex在公共点处有相同的切线，则 实数 a 的值为_. 答案 2e e 解析由 y2 x，得 y 1 x，且 f(x)ae x， 设两曲线的公共点为(x0，y0)， 则 1 x0ae x0， 2 x0aex0， 所以 x01 2， a 2e e . 16.曲线 yx2ln x 上的点到直线 xy20 的最短距离是_. 答案2 解析设曲线在点 P(x0，y0)(x00)处的切线与直线 xy20 平行， 则 y|xx0 2x1 x | xx02x0 1 x01. x01，y01，则 P(1，1)， 则曲线yx2ln x上的点到直线xy20的最短距离d |112| 12（1）2 2.