第1节　坐标法、直线及其方程.docx

1、第 1 节坐标法、直线及其方程 知识梳理 1.平面直角坐标系中的基本公式 (1)两点间的距离公式 如图，已知 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|AB | （x2x1）2（y2y1）2. (2)中点坐标公式 若 M(x，y)是线段 AB 的中点，则AM MB ，从而可以得到 xx1x2 2 ，yy1y2 2 . 2.直线的倾斜角与斜率 (1)直线的倾斜角 一般地，给定平面直角坐标系中的一条直线，如果这条直线与 x 轴相交，将 x 轴 绕着它们的交点按逆时针方向旋转到与直线重合时所转的最小正角记为， 则称 为这条直线的倾斜角；倾斜角的取值范围是0，). (2)斜率公式 一般地，如果直线

2、 l 的倾斜角为，则当90时，称 ktan_为直线 l 的斜 率；当90时，称直线 l 的斜率不存在. 若 A(x1，y1)，B(x2，y2)是直线 l 上两个不同的点，则当 x1x2时，直线 l 的斜 率为 ky2y1 x2x1；当 x 1x2时，直线 l 的斜率不存在. 3.直线的方向向量、法向量 (1)直线的方向向量的定义 一般地，如果表示非零向量 a 的有向线段所在的直线与直线 l 平行或重合，则称 向量 a 为直线 l 的一个方向向量，记作 al. (2)直线方向向量的有关结论 如果 A(x1，y1)，B(x2，y2)是直线 l 上两个不同的点，则AB (x2x1，y2y1)是 直线

3、 l 的一个方向向量. 如果直线 l 的斜率为 k，则(1，k)是直线 l 的一个方向向量. 若直线的方向向量为 a(x，y)(x0)，则直线的斜率 ky x. (3)直线的法向量的定义 一般地，如果表示非零向量 v 的有向线段所在直线与直线 l 垂直，则称向量 v 为 直线 l 的一个法向量，记作 vl.一条直线的方向向量与法向量互相垂直. 4.直线方程的五种形式 名称已知条件方程使用范围 斜截式纵截距、斜率ykxb 与 x 轴不垂直的直线 点斜式过一点、斜率yy0k(xx0) 两点式过两点 yy1 y2y1 xx1 x2x1 与两坐标轴均不垂直 的直线 截距式纵、横截距 x a y b1

4、不过原点且与两坐标 轴均不垂直的直线 一般式 AxByC0 (A2B20) 所有直线 5.通过建立平面直角坐标系，将几何问题转化为代数问题，然后通过代数运算等 解决问题.这种解决问题的方法称为坐标法. 1.直线的倾斜角和斜率 k 之间的对应关系： 00 2 2 20不存在k0； 当 k0 时，直线为 y1，符合题意，故 k 的取值范围是0，) (3)解由题意可知 k0，再由 l 的方程， 得 A 12k k ，0 ，B(0，12k) 依题意得 12k k 0， 解得 k0. S1 2|OA|OB| 1 2| 12k k |12k| 1 2 （12k）2 k 1 2 4k1 k4 1 2(224

5、)4， “”成立的条件是 k0 且 4k1 k，即 k 1 2， Smin4，此时直线 l 的方程为 x2y40. 感悟升华1.含有参数的直线方程可看作直线系方程，这时要能够整理成过定点 的直线系，能够看出“动中有定” 若直线的方程为 yk(x1)2，则直线过定 点(1，2) 2求解与直线方程有关的面积问题，应根据直线方程求解相应坐标或者相关长 度，进而求得多边形面积 3求参数值或范围注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函 数的单调性或基本不等式求解 【训练 3】 (1)已知 kR，写出以下动直线所过的定点坐标： 若直线方程为 ykx3，则直线过定点_； 若直线方程为 ykx3k，

6、则直线过定点_； 若直线方程为 xky3，则直线过定点_ (2)曲线 xyx2y50 在点 A(1，2)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面 积为() A9B.49 6 C.9 2 D.11 3 答案(1)(0，3)(3，0)(3，0)(2)B 解析(1)当 x0 时，y3，所以直线过定点(0，3) 直线方程可化为 yk(x3)，故直线过定点(3，0) 当 y0 时，x3，所以直线过定点(3，0) (2)由 xyx2y50，得 yf(x)x5 x2， f(x) 3 （x2）2，f(1) 1 3， 曲线在点 A(1，2)处的切线方程为 y21 3(x1) 令 x0，得 y7 3；令 y0 得 x

7、7. 切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为 S1 2 7 37 49 6 . A 级基础巩固 一、选择题 1(多选题)(2021惠州调研)如图， 直线 l1，l2，l3的斜率分别为 k1，k2，k3，倾斜角分别为1，2，3，则下列选项 正确的是() Ak1k3k2Bk3k2k1 C132D321 答案AD 解析如图，直线 l1，l2，l3的斜率分别为 k1，k2，k3，倾斜角分别为1，2，3， 则 k2k30，k10，故 2 230，且1为钝角，故选 AD. 2若平面内三点 A(1，a)，B(2，a2)，C(3，a3)共线，则 a() A1 2或 0B.2 5 2 或 0 C.2 5 2 D.

8、2 5 2 或 0 答案A 解析由题意知 kABkAC，即a 2a 21 a 3a 31 ，即 a(a22a1)0，解得 a0 或 a 1 2. 3如果 AB0，BC0，那么直线 AxByC0 不经过的象限是() A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限 答案D 解析因为直线在 x 轴、y 轴上的截距分别为C A0，所以直线 AxBy C0 不经过的象限是第四象限故选 D. 4(多选题)(2020临沂质检)设直线 l 经过点 A(2，1)，且在两坐标轴上的截距相 等，则直线 l 的方程为() Ax2y0Bxy30 Cxy10Dx2y0 答案AB 解析当截距都为零，则经过坐标原点，设直线方程为

9、ykx，则 2k1，k1 2， 所以直线方程为 y1 2x，即 x2y0； 当截距都不为零，则设直线方程为 xya(a0)，则 21a(a0)，所以直线 方程为 xy3，即 xy30，综上直线方程为 x2y0 或 xy30. 5(2021福建六校联考)在同一平面直角坐标系中，直线 l1：axyb0 和直线 l2：bxya0 有可能是() 答案B 解析当 a0，b0 时，a0，b0，结合选项知 B 符合，其他均不符合 6已知直线 l：axy2a0 在 x 轴和 y 轴上的截距相等，则 a 的值是() A1B1C2 或1D2 或 1 答案D 解析令 x0，y2a， 令 y0，x2a a ，则 2a

10、2a a . 即(a2)(a1)0，a2 或 a1. 7直线 2xcos y30 6， 3 的倾斜角的取值范围是() A. 6， 3B. 4， 3C. 4， 2D. 4， 2 3 答案B 解析直线 2xcos y30 的斜率 k2cos ， 因为 6， 3 ，所以1 2cos 3 2 ， 因此 k2cos 1， 3 设直线的倾斜角为，则有 tan 1， 3 又0，)，所以 4， 3 ， 即倾斜角的取值范围是 4， 3 . 8(2020安阳模拟)已知点 A(1，3)，B(2，1)若直线 l：yk(x2)1 与线 段 AB 恒相交，则 k 的取值范围是() Ak1 2 Bk2 Ck1 2或 k2

11、D2k1 2 答案D 解析直线 l：yk(x2)1 经过定点 P(2，1)， kPA31 122，k PB11 22 1 2， 又直线 l：yk(x2)1 与线段 AB 恒相交， 2k1 2. 二、填空题 9把直线 xy 310 绕点(1， 3)逆时针旋转 15后，所得直线 l 的方程是 _ 答案y 3x 解析已知直线的斜率为 1，则其倾斜角为 45，绕点逆时针旋转 15后，得到的 直线 l 的倾斜角451560，直线 l 的斜率为 tan tan 60 3，直线 l 的方程为 y 3 3(x1)，即 y 3x. 10(2020沈阳模拟)过点 1，1 4 且在两坐标轴上的截距互为倒数的直线方程

12、为 _ 答案x4y20 解析因为两坐标轴上的截距互为倒数，所以截距不为零， 可设直线方程为x aay1， 因为x aay1 过点 1，1 4 ， 所以1 a 1 4a1，解得 a2， 所以，所求直线方程为 1 2x2y1，化为 x4y20. 11(2021重庆质检)若直线 l 与直线 y1，x7 分别交于点 P，Q，且线段 PQ 的中点坐标为(1，1)，则直线 l 的斜率为_ 答案1 3 解析依题意，设点 P(a，1)，Q(7，b)， 则有 a72， b12，解得 a5， b3， 从而可知直线 l 的斜率为31 75 1 3. 12在平面直角坐标系 xOy 中，经过点 P(1，1)的直线 l

13、与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B.若2，则直线 l 的方程是_ 答案x2y30 解析设 A(a，0)，B(0，b)，由2，可得 a12(01)，012(b 1)，则 a3，b3 2，由截距式可得直线 l 的方程为 x 3 y 3 2 1，即 x2y30. B 级能力提升 13(2021东北三省三校调研)设 P 为曲线 C：yx22x3 上的点，且曲线 C 在点 P 处的切线倾斜角的取值范围为 0， 4 ，则点 P 横坐标的取值范围为() A. 1，1 2B1，0C0，1D. 1 2，1 答案A 解析由题意知，y2x2， 设 P(x0，y0)，则在点 P 处的切线的斜率 k2x02.

14、因为曲线 C 在点 P 处的切线倾斜角的取值范围为 0， 4 ，则 0k1，即 02x0 21， 故1x01 2. 14已知 A，B 是 x 轴上的不同两点，点 P 的横坐标为 2，且|PA|PB|，若直线 PA 的方程为 xy10，则直线 PB 的方程是() A2xy70Bxy50 C2yx40D2xy10 答案B 解析因为点 P 的横坐标为 2，且点 P 在直线 xy10 上，所以点 P 的纵坐 标为 3，所以 P(2，3)又因为|PA|PB|，所以直线 PA，PB 的斜率互为相反数， 所以直线 PB 的斜率为1，则直线 PB 的方程是 y3(x2)，即 xy50. 故选 B. 15已知直

15、线 l1：ax2y2a4，l2：2xa2y2a24，当 0a2 时，直线 l1， l2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，则 a_ 答案 1 2 解析由题意知直线 l1，l2恒过定点 P(2，2)，直线 l1的纵截距为 2a，直线 l2 的横截距为 a22，所以四边形的面积 S1 22(2a) 1 22(a 22)a2a4 a1 2 2 15 4 ，又 0a2，所以当 a1 2时，面积最小 16在ABC 中，ACB90，BC3，AC4，P 是线段 AB 上的点，则 P 到 AC，BC 的距离的乘积的最大值为_ 答案3 解析 以 C 为坐标原点，CB 所在直线为 x 轴建立直角坐标系(如图所示)，则 A(0，4)， B(3，0)， 直线 AB 的方程为x 3 y 41. 设 P(x， y)(0 x3)， 所以 P 到 AC， BC 的距离的乘积为 xy， 因为x 3 y 42 x 3 y 4， 当且仅当x 3 y 4 1 2时取等号，所以 xy3， 所以 xy 的最大值为 3.