第1节　函数及其表示方法.docx

1、第第 1 节节函数及其表示方法函数及其表示方法 知识梳理 1.函数的概念 函数 两个集合 A，B设 A，B 是两个非空实数集 对应关系 f： AB 如果对于集合 A 中的每一个实数 x， 在集合 B 中都有唯一确定 的实数 y 与 x 对应，则称 f 为定义在集合 A 上的一个函数 名称称 f：AB 为从集合 A 到集合 B 的一个函数 记法函数 yf(x)，xA 2.函数的定义域、值域 (1)在函数 yf(x)，xA 中，x 称为自变量，y 称为因变量，自变量取值的范围(即 数集 A)称为这个函数的定义域，所有函数值组成的集合yB|yf(x)，xA称 为函数的值域. (2)如果两个函数表达式

2、表示的函数定义域相同，对应关系也相同，则称这两个 函数表达式表示就是同一个函数. 3.函数的表示法 表示函数的常用方法有解析法、图像法和列表法. 4.分段函数 (1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子 来表示，这种函数称为分段函数.分段函数表示的是一个函数. (2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值 域的并集. 1.直线 xa(a 是常数)与函数 yf(x)的图像至多有 1 交点. 2.注意以下几个特殊函数的定义域 (1)分式型函数，分母不为零的实数集合. (2)偶次方根型函数，被开方式非负的实数集合. (3)f(x)为对数式时，

3、函数的定义域是真数为正数、底数为正且不为 1 的实数集合. (4)若 f(x)x0，则定义域为x|x0. (5)正切函数 ytan x 的定义域为 x|xk 2 ，kZ . 诊断自测 1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”) (1)函数 y1 与 yx0是同一函数.() (2)对于函数 f：AB，其值域是集合 B.() (3)f(x) x3 2x是一个函数.() (4)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等.() 答案(1)(2)(3)(4) 解析(1)错误.函数 y1 的定义域为 R， 而 yx0的定义域为x|x0， 其定义域 不同，故不是同一函数. (2)错误.值域 CB，不一

4、定有 CB. (3)错误.f(x) x3 2x中 x 不存在. (4)错误.若两个函数的定义域、对应关系均相同时，才是相等函数. 2.若函数 yf(x)的定义域为 Mx|2x2，值域为 Ny|0y2，则函数 yf(x)的图像可能是() 答案B 解析A 中函数定义域不是2， 2； C 中图像不表示函数； D 中函数值域不是0， 2. 3.(多选题)下列各组函数是同一函数的是() A.f(x)x22x1 与 g(s)s22s1 B.f(x) x3与 g(x)x x C.f(x)x x与 g(x) 1 x0 D.f(x)x 与 g(x) x2 答案AC 4.(2021长沙检测)已知函数 f(x) 3

5、x（x0） ， log3x（x0） ， 则 f f 1 2 () A.1B.2C. 3D.1 2 答案D 解析f 1 2 log31 20 1 30， 且 xk 2(kZ). 1x1 且 4kxk 2，kZ， 解得 4x1. 则函数的定义域为 4 ，1 . 4.已知函数 f(x) 3x1 ax2ax3的定义域是 R，则实数 a 的取值范围是( ) A. 1 3，B.(12，0 C.(12，0)D. ，1 3 答案B 解析因为函数 f(x) 3x1 ax2ax3的定义域是 R， 所以 ax 2ax30 对任意实数 x 都成立.当 a0 时，显然成立；当 a0 时，需a212a0，解得12a0.

6、综上所述，实数 a 的取值范围为121) (2)x22，x2，) (3)2 3 x1 3 解析(1)(换元法)令 t2 x1(t1)，则 x 2 t1， f(t)lg 2 t1，即 f(x)lg 2 x1(x1). (2)(配凑法)f x21 x2 x21 x2 2 2， f(x)x22，x2，). (3)(构造法)在 f(x)2f 1 x x1 中， 将 x 换成1 x，则 1 x换成 x， 得 f 1 x 2f(x) 1 x1， 由 f（x）2f 1 x x1， f 1 x 2f（x） 1 x1， 解得 f(x)2 3 x1 3. 感悟升华求函数解析式的常用方法 (1)待定系数法：若已知函

7、数的类型，可用待定系数法. (2)换元法：已知复合函数 fg(x)的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值 范围. (3)配凑法：由已知条件 f(g(x)F(x)，可将 F(x)改写成关于 g(x)的表达式，然后 以 x 替代 g(x)，便得 f(x)的解析式. (4)构造法：已知关于 f(x)与 f 1 x 或 f(x)的表达式，可根据已知条件再构造出另 外一个等式，通过解方程组求出 f(x). 【训练 1】 (1)已知 yf(x)是二次函数，若方程 f(x)0 有两个相等实根，且 f(x) 2x2，则 f(x)_. (2)若 f(x)满足 2f(x)f(x)3x，则 f(x)_. (3)

8、已知 f(1sin x)cos2x，则 f(x)_. 答案(1)x22x1(2)3x(3)2xx2，x0，2 解析(1)(待定系数法)设 f(x)ax2bxc(a0)， 则 f(x)2axb， 2axb2x2，则 a1，b2. 所以 f(x)x22xc0，且有两个相等实根. 44c0，则 c1.故 f(x)x22x1. (2)(构造法)因为 2f(x)f(x)3x， 所以将 x 用x 替换，得 2f(x)f(x)3x， 由解得 f(x)3x. (3)(换元法)设 1sin xt，t0，2， 则 sin x1t，f(1sin x)cos2x1sin2x， f(t)1(1t)22tt2，t0，2.

9、 即 f(x)2xx2，x0，2. 考点三分段函数 角度 1分段函数求值 【例 2】(2020河南部分重点高中联考)已知函数 f(x) 2xx，x0， x21，x0， 则 f(f(1) () A.2B.3C.4D.5 答案A 解析由于 f(x) 2xx，x0， x21，x1， x21，x1，则 f(x)f(x1)的解集 为() A.(1，)B.(1，1) C. 1 2，D. 1 2，1 (2)(多选题)已知 f(x) x2（x1） ， x2（1x2） ， 2x（x2） ， 若 f(x)1，则 x 的值是() A.1B.1 2 C. 3D.1 答案(1)C(2)AD 解析(1)当 x0 时，x1

10、1，f(x)f(x1)， 等价于 x21(x1)21，解得1 2x0， 当 01，此时 f(x)x210， f(x1)log2(x1)0， 0 x1 时，恒有 f(x)1 时，f(x)f(x1)log2xlog2(x1)恒成立， 综上知，不等式 f(x)f(x1)的解集为 1 2，. (2)由 x1， x21 得 x1； 由 1x2， x21 得 x1； 由 x2， 2x1 知无解. 感悟升华1.根据分段函数解析式求函数值，首先确定自变量的值属于哪个区间， 其次选定相应的解析式代入求解. 2.已知函数值或函数的取值范围求自变量的值或范围时，应根据每一段的解析式 分别求解， 但要注意检验所求自变

11、量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值 范围. 提醒当分段函数的自变量范围不确定时，应分类讨论. 【训练 2】 (1)(多选题)(2021烟台调研)函数 f(x) ex3，x0， ax1，x0，若 f(1)3，则不等式 f(x)5 的解集为() A.2，1B.3，3 C.2，2D.2，3 答案(1)ACD(2)D 解析(1)f(x) ex3，x1， ln x，x1， f(x)的定义域为 R， 值域为(3， e3)0， )， 且 e30， ax1，x0，f(1)3， 又f(1)a 113，则 a1 2. 所以 f(x) 2x1，x0， 1 2 x 1，x0， 由 f(x)5， 当 x0 时，2

12、x15，解得 00 时，每一个 x 对应 2 个 y，图像 B 中 x0对应 2 个 y，所以 A，B 均不是函数图像；图像 C，D 可以是函数图像. 3.(2021长沙检测)设 f(x) x2，x10， ff（x6），x10，则 f(5)的值为( ) A.10B.11C.12D.13 答案B 解析f(x) x2，x10， ff（x6），x0 且 1x1，解得 x1 且 x0， 所以函数 g(x)的定义域为(0，1). 6.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号， 用其名字命名的“高斯函数”为：设 xR，用x表示不超过 x 的最大整数，则 yx称为高斯函数.例如：0

13、.51，1.51.已知函数 f(x)1 24 x32x 4(0 x2)，则函数 yf(x)的值域为() A. 1 2， 3 2B.1，0，1 C.1，0，1，2D.0，1，2 答案B 解析令 t2x，t(1，4)， 则可设 f(x)g(t)1 2t 23t4，t(1，4)， 由二次函数性质，1 2g(t) 3 2. 因此g(t)1，0，1. 则函数 yf(x)的值域为1，0，1. 7.已知函数 f(x) x1，1x0. 当 0a1 时，由 f(a)f(a1)，即 2a a， 解得 a1 4，则 f 1 a f(4)8， 当 a1 时，由 f(a)f(a1)，得 2a2(a1)，无解. 综上可知

14、，f 1 a 8. 8.已知函数 f(x) x2x，x0， 3x，x0，则实数 a 的取值范围为 () A.(1，)B.(2，) C.(，1)(1，)D.(，2)(2，) 答案D 解析当 a0 时，显然不成立. 当 a0 时，不等式 af(a)f(a)0 等价于 a22a0，解得 a2. 当 a0 等价于a22a0，解得 a0， x0， 1x20 x0， x0， 1x1 02 的值域为_. 答案(5，3 解析当 x2 时，f(x)2x5 单调递增，则52 时，sin x1，1，则 f(x)3sin x3，3. 故 f(x)的值域是(5，3. 12.已知函数 f(x) x2 x3，x1， lg（

15、x21） ，x1， 则 f(f(3)_，f(x)的最小值是 _. 答案02 23 解析由题意知 f(3)lg(3)21lg 101， 所以 ff(3)f(1)0， 当 x1 时，f(x)x2 x32 23，当且仅当 x 2时，取等号，此时 f(x) min 2 230； 当 xg(10) C.t0N*，使 f(t0)g(t0) D.tN*，f(t)g(t) 答案D 解析由题图纵轴可知 f(t)与 g(t)的值域不相同；f(9)30g(10)；函数 f(t)的图像 在函数 g(t)图像的下方，所以不存在 t0N*，使 f(t0)g(t0)；由题图可以看出t N*，f(t)0. 则满足 f(x1)

16、f(2x)的 x 的取值范围是() A.(，1B.(0，) C.(1，0)D.(，0) 答案D 解析当 x0 时，函数 f(x)2 x 是减函数，则 f(x)f(0)1. 作出 f(x)的大致图像如图所示， 结合图像知， 要使 f(x1)f(2x)， 当且仅当 x10， 2x0， 2xx1 或 x10， 2x0， 解得 x1 或1x0，即 x0. 15.(多选题)(2020重庆质检)若一系列函数的解析式和值域相同， 但定义域不相同， 则称这些函数为“同值函数” ，例如函数 yx2，x1，2与函数 yx2，x2， 1即为“同值函数” ，给出下面四个函数，其中能够被用来构造“同值函数” 的是()

17、A.yx(x表示不超过 x 的最大整数，例如0.10) B.yx x1 C.y1 xlog 3x D.y|x 1 x1| 答案AD 解析根据题意， “同值函数”需满足：对于同一函数值，有不同的自变量与其 对应. 因此，能够被用来构造“同值函数”的函数必须满足在其定义域内不单调. 对于选项 A，yx，定义域为 R，在定义域内不是单调函数，有不同的自变量 对应同一函数值，故 A 可以构造“同值函数” ； 对于选项 B，yx x1，为定义在1，)上的单调增函数，故 B 不可以 构造“同值函数” ； 对于选项 C，y1 xlog 3x，为定义在(0，)上的单调减函数，故 C 不可以构 造“同值函数” ； 对于选项 D，y|x 1 x1|，不是定义域上的单调函数，有不同的自变量对应 同一函数值， 故 D 可以构造“同值函数”. 所以能够被用来构造“同值函数”的是 A，D. 16.设函数 f(x) x，x1（R） ， 2x，x1， 若对任意的 aR 都有 ff(a)2f(a)成立， 则的取值范围是_. 答案2，) 解析当 a1 时，2a2. ff(a)f(2a)22a2f(a)恒成立. 当 a1 时，ff(a)f(a)2f(a)2 a， a1，即a1 恒成立， 由题意(a1)max，2， 综上，的取值范围是2，).