四川省成都市青白江区南开为明学校2019-2020学年高二下学期第三次月考数学（理）试卷 Word版含解析.doc

1、高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 1 - 数学试题（理科）数学试题（理科） 一、选择题一、选择题( (本大题共本大题共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 6060 分分.).) 1.复数 32 23 i i A.1B.1C.iD.i 【答案】C 【解析】 32 23 i i 3223 2323 ii ii 6946 13 ii i ，故选 D. 2.设 fx是可导函数，且 00 0 2 lim2 x fxxfx x ，则 0 fx（） A. 1 2 B. -1C. 0D. -2 【答案】B 【解析】 试题分析：因为 0000 0 00 (2)()(

2、2)() lim2 lim22 2 xx f xxf xf xxf x fx xx 所以 0 1fx ，故选 B. 考点：导数的概念. 3.函数 2 2lnf xxx的部分图像大致为（） A.B. C.D. 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 2 - 【答案】A 【解析】 【分析】 由函数的表达式确定函数的性质，运用导数求出极值，从而利用数形结合确定函数的图象的 形状 【详解】解： 2 ( )2()f xxln xfx， 函数( )f x是偶函数， ( )f x的图象关于y轴对称， 故排除 B， 又 0 lim( ) x f x ， 故排除 D. fx在 0fx 时取最小值

3、，即 1 40 x x 时取最小值，解得 x= 1 2 ，此时 1 1 ln0 2 fx 故排除 C. 故选:A. 【点睛】本题考查了函数性质的判断与数形结合的思想应用，同时考查了排除法以及导数在 函数极值判断中的应用,属于中档题. 4.已知函数( )( )lnf xfexx ，则 11f f （） A.1eB. 3C.2eD. 2 【答案】B 【解析】 【分析】 先求函数的导函数，然后求出 2fe ，再求值即可. 【详解】解：由( )( )lnf xfexx ，求导可得 ln1fxx ， 则 ln12fee ， 则函数的解析式为 2lnf xxx， 所以 12f， 11 f ， 高考资源网（

4、）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 3 - 则 113f f ， 故选：B. 【点睛】本题考查了导函数的求法，属基础题. 5.曲线 3 24yxx在点(13)，处的切线的倾斜角为（ ） A. 30B. 60C. 45D. 120 【答案】C 【解析】 【详解】 3 24yxx求导得： 2 32yx 在点(1,3)处的切线斜率即为导数值 1. 所以倾斜角为 45. 故选 C. 6.函数 fx的定义域为, a b，导函数 fx 在, a b内的图象如图所示则函数 fx在 , a b内有几个极小值点（） A. 1B. 2C. 3D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】 直接利用极小值点两侧函

5、数的单调性是先减后增，对应导函数值是先负后正，再结合图像即 可得出结论. 【详解】因为极小值点两侧函数的单调性是先减后增，对应导函数值是先负后正， 由图得：导函数值先负后正的点只有一个， 故函数 fx在, a b内极小值点的个数是 1. 故选：A 【点睛】本题考查了极小值点的概念，需熟记极小值点的定义，属于基础题. 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 4 - 7.已知点2, ,Mt t，1,1,Ntt ttR，则MN的最小值为（） A. 11 5 B. 5 5 C. 3 5 5 D. 55 5 【答案】C 【解析】 【分析】 先写出MN的表达式，然后分析最小值. 【详解】因

6、为 2 22 22 19 12105225 55 MNttttt ，所以当 1 5 t 时有最小值 9 5 3 5 5 ， 故选 C. 【点睛】本题考查空间中的点到点的距离公式的运用，难度较易. 空间中有点 111222 ,A x y zB xy z，则 222 121212 ABxxyyzz . 8.已知函数 2 ln1fxxax在1,3内不是单调函数，则实数a的取值范围是（） A.2,18B.2,18C. ,218,D.2,18 【答案】A 【解析】 【分析】 求出( )fx ，根据已知( )0fx 在1,3存在变号零点，即可求解. 【详解】 2 a fxx x ， 2 ln1fxxax在

7、1,3内不是单调函数， 故20 a x x 在1,3存在变号零点，即 2 2ax 在1,3存在零点， 218a. 故选：A. 【点睛】本题考查函数导数与函数单调性的关系，考查计算求解能力，属于基础题. 9.点P是曲线 2 lnyxx上任意一点，曲线在点P处的切线与1yx平行，则P的横坐 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 5 - 标为（） A. 1B. 2 C. 2 2 D. 2 2 【答案】A 【解析】 【分析】 先设 00 ,P xy， 0 0 x ，对函数求导，得到 1 2yx x ，根据题意，得出 0 0 1 21x x ，求 解，即可得出结果. 【详解】由题意，设

8、 00 ,P xy， 0 0 x ， 由 2 lnyxx得 1 2yx x ，则 0 0 0 1 2 x x yx x ， 因为曲线在点P处的切线与1yx平行， 所以 0 0 1 21x x ，解得： 0 1x 或 0 1 2 x （舍） 故选：A. 【点睛】本题主要考查已知曲线上某点处的切线斜率求参数的问题，熟记导数的几何意义即 可，属于常考题型. 10.某产品的销售收入 1 y（万元）关于产量x（千台）的函数为 1 150yx x；生产成本 2 y（万元）关于产量x（千台）的函数为 2 2 0 3 yxxx x，为使利润最大，应生产 产品() A. 9 千台B. 8 千台C. 7 千台D.

9、 6 千台 【答案】B 【解析】 【分析】 根据题意得到利润关于产量的函数式，再由导数求得使利润最大时的产量，即可求解出答案 【详解】设利润为y万元，则 12 2 160 3 yyyxxx x， 8x y x ， 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 6 - 令0y ，得08x，令0y，得8x ， 当8x 时，y取最大值，故为使利润最大，应生产 8 千台选 B. 【点睛】本题主要考查了利用导数的性质求函数的最值来解决实际问题 11.已知函数 32 11 ( )1 32 x f xxexx极值点的个数为（） A. 0B. 1C. 2D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】 对函

10、数求导，结合导数的符号判断函数的单调性，进而求解函数的极值点的个数. 【详解】 解： 由 32 11 ( )1 32 x f xxexx， 可得 2( ) (1)() xxx fxexexxxex， 由1 x ex ，可得 0 x ex ，令 ( ) 0fx ，可得1x ， 当(, 1)x 时， ( ) 0fx ，函数单调递减； 当( 1,)x 时， ( ) 0fx ，函数单调递增； 故可得函数存在一个极值点， 故选：B. 【点睛】本题主要考查利用导数求函数极值点的个数，考查学生的综合计算能力，属于基础 题. 12.函数 2 ( )ln0f xxxax恰有两个整数解，则实数a的取值范围为（）

11、A. ln2 21 2 a B.21a C.31a D. ln3ln2 32 32 a 【答案】D 【解析】 【分析】 根据题意有 lnx ax x 恰有两个整数解，令 g x lnx x x ，求导得到函数的单调性从而得 g 32ag，即可得解. 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 7 - 【详解】函数 2 ln0f xxxax恰有两个整数解，即 lnx ax x 恰有两个整数解， 令 g x lnx x x ，得 2 2 1 g x lnxx x ，令 2 h x1 lnxx ，易知 h x为减函数. 当0,1x, h x0,x0g ， g x单调递增； 当1,x, h

12、 x0,x0g ， g x单调递减. ln2ln3 g 11g 22,33 23 g ，. 由题意可得： g 32ag， ，所以 ln3ln2 32 32 a. 故选 D. 【点睛】本题主要考查了函数的导数的应用，利用导数分析函数的单调性，考查了学生的转 化与化归的能力，属于难题. 二、填空题二、填空题( (本大题共本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分分) ) 13.函数( )lnf xxx的单调递增区间为_. 【答案】 【解析】 函数有意义，则：0 x ，且： 1 1fx x ，由 0fx 结合函数的定义域可得函数 的单调递增区间为0,1，故答案为0

13、,1. 14.用数学归纳法证明“ * 111 1,1 2321 n n nNn ”时，由(1)nk k不等式 成立，推证1nk时，则不等式左边增加的项数共_项 【答案】2k 【解析】 【分析】 由题意有：由 (1)nk k 不等式成立，推证1nk时，则不等式左边增加的项数共 1 2121 kk 项，得解. 【详解】解：当 (1)nk k 时，不等式左边为 111 1 2321 k ， 当 1(1)nkk 时，不等式左边为 1 11111 1 2321221 kkk ， 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 8 - 则由 (1)nk k 不等式成立，推证1nk时，则不等式左边增

14、加的项数共 1 21212 kkk 项， 故答案为：2k. 【点睛】本题考查了数学归纳法，重点考查了运算能力，属基础题. 15.已知函数 f（x）=x（xc） 2在 x=2 处有极小值，则实数 c 的值为_ 【答案】2 【解析】 【分析】 求出 fx， 由函数 f （x） =x （xc） 2在 x=2 处有极小值列方程 20f， 解得2c 或6c ， 验证当6c 时， ，不满足 函数 f（x）=x（x6） 2在 x=2 处有极小值，问题得解 【详解】由题可得： 2 23fxxcx xcxcxc 因为函数 f（x）=x（xc） 2在 x=2 处有极小值， 所以 2260fcc，解得：2c 或6c

15、 ， 当6c 时， 2 236320fxxxx恒成立， 不满足 函数 f（x）=x（x6） 2在 x=2 处有极小值，故舍去 所以2c . 【点睛】本题主要考查了极值的概念及方程思想，考查计算能力，属于基础题 16.设函数 e1 x fxx， 函数 g xmx， 若对于任意的 1 2,2x ， 总存在 2 1,2x ， 使得 12 f xg x，则实数m的取值范围是_ 【答案】 1 (,) 2 【解析】 【分析】 由题意可知， fx在2 2 ,上的最小值大于 g x在1,2上的最小值， 分别求出两个函数的 最小值，即可求出m的取值范围. 【详解】由题意可知， fx在2 2 ,上的最小值大于 g

16、 x在1,2上的最小值. e x fxx，当2,0 x 时， 0fx，此时函数 fx单调递减； 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 9 - 当0,2x时， 0fx ，此时函数 fx单调递增. 0 0e0 11f ，即函数 fx在2 2 ,上的最小值为-1. 函数 g xmx为直线， 当0m 时， 0g x ，显然10 不符合题意； 当0m 时， g x在1,2上单调递增， g x的最小值为 1gm，则1m ，与0m 矛 盾； 当0m时， g x在1,2上单调递减， g x的最小值为 22gm，则12m ，即 1 2 m ，符合题意. 故实数m的取值范围是 1 , 2 . 【

17、点睛】本题考查了不等式恒成立问题与存在解问题，考查了函数的单调性的应用，考查了 函数的最值，属于中档题. 三、解答题三、解答题( (本大题共本大题共 6 6 小题，共小题，共 7070 分，分，1717 题题 1010 分，分，18182222 题，每题题，每题 1212 分分.).) 17.已知函数 3 ( )31f xxx. （1）求 ( )f x的单调区间； （2）求函数的极值；(要列表). 【答案】 （1）增区间为 , 1 , 1, ，减区间为 1,1 ； （2）极大值为3，极小值为1. 【解析】 【分析】 （1）求导数，根据导数的正负确定函数的单调区间； （2）根据导数的正负列表，从

18、而判断极 大极小值，代入求值即可. 【详解】 （1） 3 ( )31 f xxx， /2 ( )333(1)(1)fxxxx， 设( )0fx 可得1x 或1x . 当 /( ) 0fx 时，1x 或1x ； 当 /( ) 0fx 时，11x ， 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 10 - 所以 ( )f x的单调增区间为 , 1 , 1, ，单调减区间为： 1,1 . （2）由（1）可得，当x变化时， /( ) fx， ( )f x的变化情况如下表： 当1x 时， ( )f x有极大值，并且极大值为( 1)3f 当1x 时， ( )f x有极小值，并且极小值为(1)1f

19、 . 【点睛】本题考查利用导数求函数的单调区间和极值，属于基础题. 18.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是直角三角形，AC=BC=AA1=2，D为侧棱AA1的中点 （1）求异面直线DC1，B1C所成角的余弦值； （2）求二面角B1-DC-C1的平面角的余弦值 【答案】 （1） 10 10 （2） 2 3 【解析】 【分析】 （1）以C为原点，CA、CB、CC1为坐标轴，建立空间直角坐标系Cxyz，写出要用的点的坐 标，写出两个向量的方向向量，根据两个向量所成的角得到两条异面直线所成的角 （2）先求两个平面的法向量，在第一问的基础上，有一个平面的法向量是已知的，只要写出 向量的表示

20、形式就可以，另一个平面的向量需要求出，根据两个法向量所成的角得到结果 【详解】 （1）如图所示，以C为原点，CA、CB、CC1为坐标轴，建立空间直角坐标系 Cxyz 则C（0，0，0） ，A（2，0，0） ，B（0，2，0） ，C1（0，0，2） ，B1（0，2，2） ，D（2，0，1） 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 11 - 所以 1 DC （2，0，1） ， 1 BC （0，2，2） 所以cos 11 11 11 210 1058 DC BC DC BC DC BC ， 即异面直线DC1与B1C所成角的余弦值为 10 10 （2）因为CB （0，2，0） ，CA

21、（2，0，0） ， 1 CC （0，0，2） ， 所以CB CA 0，CB 1 CC 0， 所以CB 为平面ACC1A1的一个法向量 因为 1 BC （0，2，2） ，CD （2，0，1） ， 设平面B1DC的一个法向量为n，n（x，y，z） 由 1 0 0 n BC n CD ，得 220 20 yz xz 令x1，则y2，z2，n（1，2，2） 所以cosn， 42 3 23 n CB CB n CB 所以二面角B1DCC1的余弦值为 2 3 【点睛】本题考查利用空间向量解决几何体中的夹角问题，包括两条异面直线的夹角和两个 平面的夹角，本题解题的关键是建立坐标系 19.某学校为了了解学生使

22、用手机的情况，分别在高一和高二两个年级各随机抽取了 100 名学 生进行调查.下面是根据调查结果绘制的学生日均使用手机时间的频数分布表和频率分布直 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 12 - 方图，将使用手机时间不低于 80 分钟的学生称为“手机迷”. （I）将频率视为概率，估计哪个年级的学生是“手机迷”的概率大？请说明理由. （II）在高二的抽查中，已知随机抽到的女生共有 55 名，其中 10 名为“手机迷”.根据已知 条件完成下面的 22 列联表，并据此资料你有多大的把握认为“手机迷”与性别有关？ 非手机迷手机迷合计 男 女 合计 附：随机变量 2 2 () ()()

23、()() n adbc k ab cd ac bd （其中nabcd 为样本总量）. 参考数据 2 0 ()P kx0.150.100.050.025 0 x2.0722.7063.8415.024 【答案】 （）高一年级，理由见解析； （）列联表见解析，90% 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 13 - 【解析】 【分析】 （）根据频数分布表和频率分布直方图，分别计算两个年级学生是“手机迷”的概率，即 可比较，作出判断. （）根据题意，求出手机迷人数和非手机迷人数，完善列联表，即可由独立性检验的公式 求得 2 K ，进而作出判断即可. 【详解】 （）由频数分布表可知，高

24、一学生是“手机迷”的概率为 1 224 0.26 100 P 由频率分布直方图可知，高二学生是“手机迷”的概率为 2 P=（0.0025+0.010）20=0.25 因为 P1P2，所以高一年级的学生是“手机迷”的概率大. （）由频率分布直方图可知，在抽取的 100 人中， “手机迷”有（0.010+0.0025）20100=25（人） ， 非手机迷有 10025=75（人）. 从而 22 列联表如下： 非手机迷手机迷合计 男301545 女451055 合计7525100 将 22 列联表中的数据代入公式计算， 得 2 2 n adbc K abcdacbd 2 100 (30 1045 1

25、5)100 3.030 75 25 45 5533 结合参考数据，可知 3.0302.706，所以有 90%的把握认为“手机迷”与性别有关. 【点睛】本题考查了频率分布表与频率分布直方图的简单应用，独立性检验中卡方计算与简 单应用，属于基础题. 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 14 - 20.已知函数) (0)( kx f xxek. （1）求曲线( )yf x在点) 0,(0)f处的切线方程； （2）讨论 f x的单调性. 【答案】 （1）y x ； （2）见解析； 【解析】 【分析】 （1）求出在0 x 处的导数值和函数值，代入可求出切线方程； （2）求出 1 kx

26、 fxkx e， 讨论1kx的正负，从而求得 f x的单调性. 【详解】 （1）( )(1) kx fxkx e， 因为 00f,且 01f ， 所以曲线 yf x在点 0,0f处的切线方程为：y x . （2）当0k 时, 令 10 kx fxkx e，10kx， 1 x k ， 令 10 kx fxkx e，10kx， 1 x k ， 此时 fx在 1 , k 上单调递减,在 1 , k 上单调递增； 当k0时, 令 10 kx fxkx e，10kx， 1 x k ， 令 10 kx fxkx e，10kx， 1 x k ， ， 此时 fx在 1 , k 上单调递增,在 1 , k 上单

27、调递减. 【点睛】本题考查利用导数求函数在某点处的切线，考查利用导数求函数的单调区间，考查 了学生分类讨论的思想，属于中档题. 21.已知函数 2 lnfxaxxbx在1x 处取到极值2. （1）求函数 fx的解析式； 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 15 - （2）求 fx在0,2上的最大值. 【答案】 （1） 2 ln3fxxxx（2）ln2 2 【解析】 【分析】 （1）由 (1)0 (1)2 f f ，即可得出函数 fx的解析式； （2）利用导数求解即可. 【详解】 （1）( )2 a fxxb x 由题意得 20(1)0 12(1)2 abf bf ，解得1,

28、3ab 即 2 ln3fxxxx （2） 2 1231(21)(1) ( )23 xxxx fxx xxx 1 ( )00 2 fxx 或12x 1 ( )01 2 fxx ( )f x在区间 1 0, 2 上单调递增，在区间 1 ,1 2 上单调递减，在区间(1,2)上单调递增 15 ln2,(2)ln22 24 ff 1 (2) 2 ff max ( )( )ln22f xf x 【点睛】本题主要考查了由函数的极值求参数以及利用导数求最值，属于中档题. 22.已知函数 2 1 1 2 f xxx， x g xe. （1）证明：xR ，都有 1g xx； （2）令 F xf xg x，讨论

29、F x的零点个数. 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 16 - 【答案】 （1）证明见详解； （2）1 个. 【解析】 【分析】 （1）令 1 x h xex，对其求导，求出函数单调性，得出最值，即可证明结论成立； （2）先对函数 F x求导，得到 1 x Fxxe ，对其求导，用导数的方法研究其单调性， 确定最值，得出(0)0)uu x 恒成立，判断出函数 F x的单调性，进而可得出结果. 【详解】 （1）令 1 x h xex，则( )1 x h xe， 由( )0h x 得0 x ；由( )0h x 得0 x ； 所以函数 h x在,0上单调递减，在0,上单调递增；

30、 因此 min 00h xh， 即10 x ex ，即 1g xx，xR 恒成立； （2）因为 2 1 1 2 x F xfxexxxg ， 所以 1 x Fxxe ， 令1( ) x xu xe，则)1( x eu x ， 由10( ) x eu x得0 x ；由( )0u x 得0 x ； 则1( ) x xu xe在,0上单调递增，在0,上单调递减； 因此(0)0)uu x ， 所以10( ) x xxeu 在R上恒成立，即 0Fx 在R上恒成立， 所以函数 2 1 1 2 x xF xxe 在R上单调递减， 又 00F， 所以函数 F x有 1 个零点. 【点睛】本题主要考查导数的方法研究函数的零点，以及导数的方法证明不等式，通常需要 对函数求导，用导数的方法研究函数单调性与最值等，属于常考题型. 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 17 -