江西省上饶市横峰中学2019-2020学年高二下学期开学考试数学（理）试题 Word版含解析.doc

1、高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 1 - 横峰中学横峰中学 2019202020192020 学年高二下学期开学检测学年高二下学期开学检测 数学（理）试卷数学（理）试卷 一、单选题（共计一、单选题（共计 6060 分，每小题分，每小题 5 5 分）分） 1.复数2zii的实部与虚部的和等于 A.1 2iB.1 2iC. 1D. 3 【答案】D 【解析】 分析：先化简复数 z,再写出复数 z 的实部与虚部，最后求其实部与虚部的和. 详解：由题得 z=1+2i 所以复数 z 的实部是 1，虚部是 2， 所以其实部与虚部的和为 3. 故选 D. 点睛：本题主要考查复数的运算、复

2、数的实部与虚部，属于基础题.注意复数的虚部是 “i”的系数，不包含“i”. 2.若复数1zii ，则z （） A. 2 B.2C. 5 D.5 【答案】C 【解析】 由题意得，215ziz ，故选 C. 3.二项式 5 ()Mx（M为常数）展开式中含 2 x项的系数等于 10，则常数M （ ） A. 2B.C. -1D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】 利用通项公式求出 2 x的系数（与M有关） ，令其为 10，可得M的值. 【详解】 5 15 rrr r TC Mx ，令2r = =，则 2 x的系数为 23 5 C M 故 23 5 10C M，所以1M .故选 D. 高考资源网（）您

3、身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 2 - 【点睛】二项展开式中指定项的系数，可利用二项展开式的通项公式来求而对于展开式中 的若干系数和的讨论，则可利用赋值法来解决. 4.某地甲、乙、丙三所学校举行高三联考，三所学校参加联考的人数分别为 300，400，500， 现为了调查联考数学学科的成绩，采用分层抽样的方法在这三所学校中抽取一个容量为 120 的样本，那么在乙学校中抽取的数学成绩的份数为（） A. 30B. 40C. 50D. 80 【答案】B 【解析】 【分析】 由已知各校参考人数求得乙学校数学成绩所占的比例，用该比例乘以样本容量，既得答案. 【详解】因为乙学校数学成绩所占的比例为

4、4001 12003 所以乙学校中抽取的数学成绩的份数为 1 12040 3 份 故选：B 【点睛】本题考查分层抽样中求某层样本数，属于基础题. 5.在区间0,4上随机地取一个数x，则事件“ 2 0log11x”发生的概率为（） A. 1 5 B. 1 4 C. 2 5 D. 2 4 【答案】B 【解析】 【分析】 先解不等式，再利用解得的区间长度与区间0,4的长度求比值即可. 【详解】由不等式 2 0log11x，即 222 log 1log1log 2x，得23x， 所以事件“ 2 0log11x”发生的概率为 321 404 P . 故选：B. 【点睛】本题考查了几何概型的应用问题，对数

5、函数的图象与性质的应用问题，属于基础题 6. 如图所示的程序框图，运行后输出的结果为（ ） 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 3 - A. 2B. 4C. 8D. 16 【答案】D 【解析】 试题分析：1,1nb； 1 22,2bn； 2 24,3bn； 4 216,4bn；所以输出 16b 考点：程序框图 7.计算： 2015 2015 (sin1)xdx （ ） A. 2015B. 2015C. 4030D. 4030 【答案】C 【解析】 试题分析： . 考点：定积分. 8.若椭圆 2 2 1 2 y x 的两个焦点是 1 F， 2 F，点P在椭圆上，且 112 P

6、FFF，那么 2 PF （） A. 2B. 4C. 5 2 2 D. 3 2 2 【答案】D 【解析】 【分析】 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 4 - 由题意可得， 2 1 2 11 a b c ， 222 1122 12 2 PFFFPF PFPFa ，代入数据解方程组即可 【详解】解：由题意可得， 2 1 2 11 a b c ， 112 PFFF， 222 1122 12 2 PFFFPF PFPFa ，即 22 12 12 4 2 2 PFPF PFPF ， 解得 1 2 2 2 3 2 2 PF PF ， 故选：D 【点睛】本题主要考查椭圆的几何性质，属于基

7、础题 9.已知双曲线 22 22 1 xy ab （a0，b0）的离心率为 4，则双曲线的渐近线方程为 A. 15 15 yx B.15yx C. 4yx D. 1 4 yx 【答案】B 【解析】 双曲线 C 方程为： 22 22 xy ab =1（a0，b0） 双曲线的渐近线方程为 y= b a x 又双曲线离心率为4， c=4a，可得 b= 22 ca = 15a 因此，双曲线的渐近线方程为 y= 15x 故选 B 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 5 - 10.如图，若在矩形OABC中随机撒一粒豆子，则豆子落在图中阴影部分的概率为（） A. 2 1 B. 2 C.

8、2 2 D. 2 2 1 【答案】A 【解析】 【分析】 分别求出矩形和阴影部分的面积，即可求出豆子落在图中阴影部分的概率. 【详解】 1S 矩形 ， 又 0 0 sincos |coscos02dxx ， 2S 阴影 ， 豆子落在图中阴影部分的概率为 22 1 . 故选 A. 【点睛】本题考查几何概率的求解，属于基础题，难度不大，正确求面积是关键. 11.函数 32 11 221 32 f xaxaxaxa的图象经过四个象限，则实数a的取值范围是 （ ） A. 63 516 aB. 83 516 a C. 81 516 a D. 63 516 a 【答案】D 【解析】 试题分析： 2 212

9、fxaxaxaa xx 若 a0，则当 x-2 或 x1 时，f（x）0，当-2x1 时，f（x）0，从而有 f（-2） 0， 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 6 - 且 f（1）0，即： 82430 1 1 10 32 aa aa 63 516 a 若 a0，则当 x-2 或 x1 时，f（x）0，当-2x1 时，f（x）0，从而有 f（-2） 0， 且 f（1）0，无解， 综合以上： 63 516 a 考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性 12.已知函数( ) x x f x e ，则下列说法正确的是（） A. 函数 ( )f x是奇函数，且在(,

10、 1) 上是减函数 B. 函数 ( )f x是奇函数，且在(, 1) 上是增函数 C. 函数 ( )f x是偶函数，且在(, 1) 上是减函数 D. 函数 ( )f x是偶函数，且在(, 1) 上是增函数 【答案】A 【解析】 【分析】 由题意，根据函数的奇偶性的定义可判定函数 fx是奇函数，再利用导数，即可判定函数 fx在(, 1) 上单调递减，即可得到答案. 【详解】 由题意， 函数( ) x x f x e ， 可得其定义域为R， 又由()( ) xx xx fxf x ee ， 即()( )fxf x ，所以函数 fx是奇函数， 当(, 1)x 时，( ) x x x f xx e e

11、 ，则( )(1) xxx fxexex e，则 0fx ， 函数函数 fx在(, 1) 上单调递减，故选 A. 【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性的判定，及利用导数研究函数的单调性问题，其中解 答中熟记函数的奇偶性的定义，以及函数的导数与函数的单调性的关系是解答的关键，着重 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 7 - 考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题. 二、填空题（共计二、填空题（共计 2020 分，每小题分，每小题 5 5 分）分） 13.设随机变量服从正态分布0,1N，1Pp，则10P _ 【答案】 1 2 p 【解析】 依题意有10010.510.5PPP

12、p . 14.若z是1 i的共轭复数，则 1 z z _. 【答案】 13 22 i 【解析】 【分析】 写出z，代入计算即可 【详解】由题意 1113 1,1 222 i zi zii z . 故答案为： 13 22 i 【点睛】本题考查共轭复数的概念，考查复数的运算，属于基础题 15.若函数 32 ( )1f xxaxx在2,上单调递增，则实数a的取值范围是 _. 【答案】 13 , 4 【解析】 【分析】 求出函数的导函数 fx ， 利用导函数与函数单调性的关系只需在2,上 0fx 即可. 【详解】由函数 32 ( )1f xxaxx，所以 2 321fxxax， 函数 fx在2,上单调

13、递增， 则 0fx ，即 2 3210 xax ，所以 31 22 x a x ， 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 8 - 令 1 313 3 222 x g xx xx ，因为2,x， 由对勾函数的单调性可知 g x在2,单调递增， 故 13 2 4 g xg，故 13 4 a ，即实数a的取值范围是 13 , 4 故答案为： 13 , 4 . 【点睛】本题考查了导函数在函数单调性的应用，考查了分离参数法求参数的取值范围，属 于中档题. 16.双曲线C的左右焦点分别为 1 F， 2 F，以 1 F为圆心， 12 |FF为半径的圆与C的左支相交于 M，N两点，若 2 M

14、NF的一个内角为60，则C的离心率为_ 【答案】 31 2 【解析】 分析：画出图形，由题意求得点 M 的坐标，利用点 M 在双曲线上可得关于, ,a b c的方程，解方 程后可得离心率的值 详解：画出图形如图所示，设双曲线方程为 22 22 1(0,0) xy ab ab 由题意得 2 MNF是等边三角形，点M，N关于 x 轴对称，且 11 |2FMFNc， 1 120MFN 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 9 - 点 M 的横坐标为2cos602ccc ，纵坐标为2 sin603cc ， 故点( 2 , 3 )Mcc 又点 M 在双曲线 22 22 1(0,0) x

15、y ab ab 上， 22 22 43 1 cc ab ，即 22 222 43 1 cc aca ， 整理得 4224 480cc aa ， 42 4810ee ， 解得 2 84842 3 84 e ， 31 2 e ， 又1e ，故 31 2 e 点睛： 求离心率是双曲线中的重要题型， 解题时要把所给的几何特征转化为, ,a b c的关系式 求 离心率的常用方法有： （1）根据条件求得, ,a b c，利用 c e a 或 2 2 1 b e a 求解； （2）根据条件得到关于, ,a b c的方程或不等式，利用 c e a 将其化为关于e的方程或不等式， 然后解方程或不等式即可得到离心

16、率或其范围 三、解答题（共计三、解答题（共计 7070 分，第分，第 1717 题题 1010 分，分，18221822 每小题每小题 1212 分）分） 17.计算： （1）(23 )( 32)( 32) ii； （2） 2 |3| (2)iiii 【答案】 （1） 32i ； （2）12i 【解析】 【分析】 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 10 - 直接根据复数代数形式的四则运算及复数的模求解即可 【详解】解： （1）原式2( 32) 3( 32)i 32i ； （2）原式 22 ( 1)( 1)( 3)( 2)ii 1221 2iii 【点睛】本题主要考查复数代

17、数形式的四则运算及复数的模，属于基础题 18.某校高二年级学生会有理科生 4 名，其中 3 名男同学；文科生 3 名，其中有 1 名男同学. 从这 7 名成员中随机抽 4 人参加高中示范校验收活动问卷调查. （）设A为事件“选出的 4 人中既有文科生又有理科生”，求事件A的概率； （）设X为选出的 4 人中男生人数与女生人数差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学 期望. 【答案】 （1） 34 35 （2） 36 35 【解析】 试题分析： （）根据古典概型结合排列组合知识求出所选四人全部是理科的概率，再根据对 立事件的概率公式求解； （）随机变量X的所有可能值为0,2,4，利用古典概型概率公

18、式， 分别求出对应概率，进而得分布列，根据期望公式可得结果. 试题解析： （） 4 4 4 7 34 1 35 C P A C ，故事件A发生的概率为 34 35 . （）随机变量X的所有可能值为 0，2，4. 40 43 4 7 1 4 35 C C P X C 3113 4343 4 7 16 2 35 C CC C P X C 22 43 4 7 18 0 35 C C P X C 所以随机变量X的分布列为 X024 P 18 35 16 35 1 35 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 11 - 随机变量X的数学期望 1816 02 3535 E X 136 4

19、3535 19.已知椭圆经过点3,0P 和点0, 2Q，一直线与椭圆相交于A、B两点，弦AB的中点坐 标为1,1M. （1）求椭圆的方程. （2）求弦AB所在的直线方程. 【答案】 （1） 22 1 94 xy ； （2）4 9130 xy 【解析】 【分析】 （1）椭圆经过点3,0P 和点0, 2Q，可得, a b，求出椭圆方程； （2）根据题意 设出直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理及弦AB的中点坐标为1,1M， 求出斜率，即可求得直线AB的方程. 【详解】 （1）由题意知，点3,0P ，0, 2Q分别是椭圆的长轴和短轴的一个端点，且椭 圆的焦点在x轴上，所以3a ，2b ，故所求椭圆的标

20、准方程为 22 1 94 xy ； （2）解：设经过点1,1M的直线方程为11yk x，代入椭圆方程， 整理得 2 22 941819 1360kxkk xk， 设A、B的横坐标分别为 1 x、 2 x， 则 12 2 181 1 22 94 kkxx k ， 解之得 4 9 k ， 故AB方程为 4 11 9 yx ，即所求的方程为49130 xy. 【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系，考查弦中点问题，解题的关键是直线方程代入椭 圆方程，利用韦达定理求解，是基础题. 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 12 - 20.已知曲线C的方程是 32 32yxxx （1）求曲线

21、在1x 处的切线方程 1 l； （2）若 2: lykx，且直线 2 l与曲线C相切于点 000 ,0 xyx ，求直线 2 l的方程及切点坐 标 【答案】 （1）10 xy ； （2）直线 2 l的方程为 1 4 yx ，切点坐标为 33 , 28 【解析】 【分析】 （1）求导得 2 362yxx，再将1x 代入求出斜率（即导数值）及切点，由此可求出答 案； （2）由切点和原点可得 2 0 00 0 32 y kxx x ，根据导数有 2 00 362kxx，则 22 0 0000 0 36232 y xxxx x ，整理得 2 00 230 xx，解方程即可求出答案 【详解】解： （1）

22、 32 32yxxx， 2 362yxx， 1 3 1 6 1 21 x y ， 1 l的斜率为 1，且过点 1,0， 直线 1 l的方程为(1)yx ，即10 xy ； （2）直线 2 l过原点，则 0 0 0 0 y kx x ，由点 00 ,xy在曲线C上， 得 32 0000 32yxxx， 2 0 00 0 32 y xx x ， 又 2 362yxx，所以 2 00 362kxx， 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 13 - 又 0 0 k y x ， 22 0 0000 0 36232 y xxxx x ，整理得 2 00 230 xx， 0 0 x ， 0

23、 3 2 x ，此时 0 3 8 y ， 1 4 k ， 直线 2 l的方程为 1 4 yx ，切点坐标为 33 , 28 【点睛】本题主要考查利用导数求曲线在某点和过某点的切线方程，属于基础题 21.如图，等边三角形 OAB 的边长为8 3，且其三个顶点均在抛物线 E：x 2=2py（p0）上 （1）求抛物线 E 的方程； （2）设动直线 l 与抛物线 E 相切于点 P，与直线 y=-1 相交于点 Q证明以 PQ 为直径的圆 恒过 y 轴上某定点 【答案】 2 4xy 【考点定位】本题主要考察抛物线的定义性质、圆的性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基 本知识，考查运用求解能力、推理论证能力、数

24、形结合思想、转化与化归思想、特殊与一般 思想 【解析】 (1)依题意，|OB|8 3，BOy30 设 B(x，y)，则 x|OB|sin304 3，y|OB|cos3012 因为点 B(4 3，12)在 x 22py 上，所以(4 3) 22p12，解得 p2故抛物线 E 的方程为 x 24y (2)方法一：由(1)知 y 1 4 x 2，y1 2 x 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 14 - 设 P(x0，y0)，则 x00，且 l 的方程为 yy0 1 2 x0(xx0)，即 y 1 2 x0 x 1 4 2 0 x 由 2 00 11 24 1 yx xx y ，

25、得 2 0 0 4 2 1 x x x y 所以 Q( 2 0 0 4 2 x x ，1) 设 M(0，y1)，令MP MQ 0 对满足 y0 1 4 2 0 x(x00)的点(x0，y0)恒成立 由于MP (x0，y0y1)，MQ ( 2 0 0 4 2 x x ，1y1)， 由MP MQ 0，得 2 0 4 2 x y0y0y1y1 2 1 y0， 即( 2 1 yy12)(1y1)y00(*) 由于(*)式对满足 y0 1 4 2 0 x(x00)的 y0恒成立， 所以 1 2 11 10 20 y yy ，解得 y11 故以 PQ 为直径的圆恒过 y 轴上的定点 M(0,1) 22.已

26、知函数 f xlnxa x aR 1求 f x的单调区间和极值； 2当a4时，若 12 xx，且 12 f xf x，证明： 12 f xf x80 【答案】 （1）见解析； （2）见解析 【解析】 【分析】 （1）求出函数的导数，通过讨论 a 的范围，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可； （2）代入 a 的值，求出函数的导数，结合均值不等式以及函数的单调性证明即可 【详解】 1函数 f x的定义域为0,， 2a x f x 2x ， 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 15 - 当a0时， f x0， f x在0,上单调递增， f x无极值； 当a0时，由 f x

27、0，得 2 4 x a ， 当 2 4 0 x a 时， f x0，得 f x的单调递增区间是 2 4 0, a ； 当 2 4 x a 时， f x0，得 f x的单调递减区间是 2 4 , a ， 故 f x的极大值为 22 44 fln2 aa ， f x无极小值, 综上：当a0时，单调递增区间是0,，无减区间； f x无极值； 当a0时，单调递增区间是 2 4 0, a ，单调递减区间是 2 4 , a ，极大值为 2 4 ln2 a ，无 极小值. 2当a4时， f xlnx4 x， 12 f x(x0) xx ， 依题意， 12 12 1212 xxxx ，则 12 12 1122

28、 xxxx ， 所以 12 11 2 xx ，即 12121212 xx2 x x (x ,x0,xx ). 由均值不等式可得 1212 xx2xx， 所以 1212 2xx2 x x，则有 12 x x1 而 1211221212 f xf x8lnx4 xlnx4 x8lnx x4xx8， 将代入上式得 121212 f xf x8lnx x8 x x8， 令 12 x xt(t1)，则 g tlnt8 t8， 14 t g t t ， t1，1 4 t0 ，即 g t0， g t在1,上单调递减， 于是 g tg 10 8 80 ，即 12 f xf x80 ，得证 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 16 - 【点睛】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思 想，是一道综合题,注意变量集中的运用，变量 12 x x1. 的确定，是易错点 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 17 -