湖北省宜昌市第二中学2019-2020学年高二下学期4月线上检测数学试题 Word版含解析.doc

1、高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 1 - 数学试卷数学试卷 一一 选择题选择题( (本题满分本题满分 6060 分，共有分，共有 1212 道小题，每小题道小题，每小题 5 5 分分) ) 1.设函数 ( )f x在 1x 处存在导数为 2，则 0 (1)(1) lim 3 x fxf x （）. A. 2 3 B. 6C. 1 3 D. 1 2 【答案】A 【解析】 【分析】 根据导数定义，化为导数表达式即可 【详解】根据导数定义， 0 0 (1)(1) lim 3 1(1)(1) lim 3 x x fxf x fxf x 12 2 33 所以选 A 【点睛】本题考查

2、了导数定义的简单应用，属于基础题 2.若直线l的一个方向向量为2,5,7a ，平面的一个法向量为1,1, 1u ，则（） A.lB.lC.lD.AC均有 可能 【答案】D 【解析】 【分析】 根据2,5,7a 为直线l的一个方向向量，1,1, 1u 为平面的一个法向量，判断两个 向量共线或垂直即可. 【详解】已知直线l的一个方向向量为2,5,7a ，平面的一个法向量为1,1, 1u ， 所以1 2 1 5170a u 所以a u 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 2 - 所以l或l 故选：D 【点睛】本题主要考查空间向量法判断直线与平面的位置关系，还考查了运算求解的能力，

3、 属于基础题. 3.曲线 3 1 23 3 yxx在点（1， 4 3 ）处的切线的倾斜角为（） A. 4 B. 3 C. 2 3 D. 3 4 【答案】D 【解析】 【分析】 首先对函数 3 1 23 3 yxx求导，求出 1 f 的值，根据导数的几何意义以及倾斜角与斜率 的关系即可求解. 【详解】由 3 1 23 3 yxx，则 2 2yx ， 所以 2 1 121 x y ，所以切线的斜率为 1， 由tan1k ，所以 3 4 ， 故选：D 【点睛】本题考查了导数的计算以及导数的几何意义、倾斜角与斜率的关系，属于基础题. 4.若函数( )2f xx的导函数为( )fx ，则( )fx （

4、） A. 1 2 2x B. 1 2 x C. 1 2 x D. 1 2 2x 【答案】C 【解析】 【分析】 根据函数的求导法则可得 11 22 1 ( )2 2 fxxx . 【详解】函数 1 2 ( )22f xxx 导函数为 11 22 1 ( )2 2 fxxx . 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 3 - 故选：C 【点睛】此题考查求函数的导函数，关键在于熟练掌握求导公式，根据公式和求导法则求导 函数. 5. 将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名 学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为 （ ） A. 18B. 24C

5、. 30D. 36 【答案】C 【解析】 23 43 (1)30CA 6.若函数 ln ( ) x x f x e =的导函数为( )fx ，则(1) f （） A. 1B. 2 e C. 1 e D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】 根据函数的求导法则， 2 11 l ( ) nln xx x x eexx xx x e e f ，代入即可求得导数值. 【详解】由题：函数 ln ( ) x x f x e =的导函数为 2 11 l ( ) nln xx x x eexx xx x e e f ， 所以(1) f 1 e . 故选：C 【点睛】此题考查求导数值，关键在于熟练掌握求导法则和

6、常见函数的导函数，根据法则准 确计算求解. 7.若连续函数 ( )f x的定义域为(0,)， 其导数为 ( )fx ， 且( )f xx( )0fx ，(1)0f则 函数( )0f x 的解集为（） A.(0,1)B.(1,)C.(0,)D.R 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 4 - 【答案】A 【解析】 【分析】 构造函数 ( )F xxf x，根据( )f xx( )0fx ，即可得到 ( )F xxf x的单调性，结合 1(1)0Ff解不等式. 【详解】由题：( )f xx( )0fx ，(0,)x 构造函数 ( )F xxf x，(0,)x， Fx ( )f x

7、x( )0fx ， 所以 ( )F xxf x在(0,)x单调递增， 1(1)0Ff， (0,)x，( )0f x 即 ( )F xxf x0，所以(0,1)x. 故选：A 【点睛】此题考查解抽象函数相关不等式，关键在于根据题意准确构造恰当的函数，根据单 调性和特殊值求解不等式. 8.已知函数 ( )f x的导函数为 ( )fx ，且 3 ( )(1)2f xfxx ，则(1) f （） A. 0B. 1C. 2D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】 根据题意求出导函数 2 ( )3(1)2fxfx ，令x=1，即可得解. 【详解】由题：函数 ( )f x的导函数为 ( )fx ，且 3 (

8、 )(1)2f xfxx ， 所以 2 ( )3(1)2fxfx ， 令1,(1)3(1)2xff ， 解得(1)1 f . 故选：B 【点睛】此题考查根据导函数求参数的取值，关键在于熟练掌握导函数的公式和求导法则， 根据法则进行计算求解. 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 5 - 9.函数( )sin24sin3f xxxx的零点个数为（） A. 0 个B. 1 个C. 2 个D. 3 个 【答案】B 【解析】 【分析】 求出导函数，根据导函数判定原函数单调递增，结合(0)0f，即可得到零点个数. 【详解】由题：( )sin24sin3f xxxx， 2 2 ( )2c

9、os24cos34cos4cos12cos10fxxxxxx ， 当且仅当 1 cos,2, 23 xxkkZ 时导函数等于 0， 所以( )sin24sin3f xxxx在R上单调递增， 又因为(0)0f 所以函数( )sin24sin3f xxxx有且仅有一个零点. 故选：B 【点睛】此题考查函数零点问题，根据导函数判断单调性，结合特殊值，判断函数零点的个 数. 10. 2018lnf xxx，若 0 2019fx，则 0 x等于（） A. 2 e B. 1C.ln2D. e 【答案】B 【解析】 【分析】 可求出导函数 ( )2019fxlnx ，从而根据 0 ()2019fx即可得出

10、0 x的值 【详解】 ( )12018fxlnx ， 00 ()20192019fxlnx ， 0 0lnx，解得 0 1x 故选：B 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 6 - 【点睛】本题主要考查了基本初等函数的求导公式，积的导数的计算公式，已知函数求值的 方法，考查了计算能力，属于容易题 11.已知函数 fx在R上有导函数， fx图象如图所示，则下列不等式正确的是（） A.( )( )( )faf bfc B.( )( )( )fbfcfa C.( )( )( )fafcfb D.( )( )( )fcfafb 【答案】A 【解析】 【分析】 由题意设函数 2, 0f

11、xaxa，则 2,0fxax a，则函数 fx为增函数，再利用 一次函数的增减性即可得解. 【详解】解：设函数 2, 0fxaxa， 则 2,0fxax a， 则函数 2,0fxax a为增函数， 又abc， 则( )( )( )faf bfc ， 故选：A. 【点睛】本题考查了导数的运算，重点考查了函数的单调性的应用，属基础题. 12.已知函数 lnf xaxx，若 1f x 在区间1,内恒成立，则实数a的取值范围是 （）. A.,1B.,1C.1,D.1, 【答案】D 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 7 - 【解析】 【详解】 lnf xaxx， 1fx 在1（，）

12、内恒成立， 1ln x a x 在1（，）内恒 成立，设 1ln x g x x ，1x（，）时， 2 ln 0 x gx x ，即g x（ ）在1（，）上是 单调递减的， 11g xg，1a ，即a的取值范围是1 ，），故选 D. 点睛：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，由 0fx ，得函数单调递增， 0fx 得函数单调递减； 考查恒成立问题， 正确分离参数是关键， 也是常用的一种手段 通 过分离参数可转化为 ah x或 ah x恒成立，即 max ahx或 min ahx即可，利用 导数知识结合单调性求出 max hx或 min hx即得解. 二二 填空题填空题( (本题满分本题满

13、分 2020 分，共有分，共有 4 4 道小题，每小题道小题，每小题 5 5 分分) ) 13.若函数( )sinf xx的图象在点(0,0)处的切线方程为_ 【答案】y x 【解析】 【分析】 求出导函数，根据导函数得切线斜率，即可求得切线方程. 【详解】( )sinf xx， ( )cos ,(0)1fxx f，即函数( )sinf xx的图象在点(0,0)处的切线斜率为 1， 所以切线方程为：y x . 故答案为：y x 【点睛】此题考查导数的几何意义，根据导函数求函数在某点处的切线方程，关键在于准确 求出导函数. 14.某老师一天上 3 个班级的课，每班一节，如果一天共 9 节课，且老

14、师不能连上 3 节课（第 5 节和第 6 节不算连上） ，那么这位老师一天的课表的所有排法有_种 【答案】474. 【解析】 【分析】 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 8 - 采用间接法，首先求解出任意安排3节课的排法种数；分别求出前5节课连排3节和后4节课 连排 3 节的排法种数；作差即可得到结果. 【详解】从9节课中任意安排3节共有： 3 9 504A 种 其中前5节课连排3节共有： 3 3 318A 种；后4节课连排 3 节共有： 3 3 212A 种 老师一天课表的所有排法共有：504 18 12474种 本题正确结果：474 【点睛】本题考查有限制条件的排列问

15、题的求解，对于限制条件较多的问题，通常采用间接 法来进行求解. 15.已知直线l的一个方向向量2,3,5d ，平面的一个法向量4,um n ，若l， 则mn_ 【答案】16 【解析】 【分析】 由题意得出 /d u ，由此可得出 4 235 mn ，解出实数m、n的值，由此可得出mn的值. 【详解】l， /d u ，且2,3,5d ，4,um n ， 4 235 mn ，解得6m ， 10n . 因此，16mn . 故答案为：16. 【点睛】本题考查利用直线与平面垂直求参数，将问题转化为直线的方向向量与平面法向量 共线，考查化归与转化思想的应用，属于基础题. 16.函数 32 ( )33(2)

16、4f xxaxax有极值，则a的取值范围是_ 【答案】 , 12, 【解析】 【分析】 三次函数 fx有极值，则 0fx 有两个不等的实根，则 ，可解得a的取值范围. 【详解】由题意可得： 2 3632fxxaxa. 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 9 - 若函数 fx有极值，则一元二次方程 2 36320 xaxa有两个不同的实数根， 所以 2 (6 )4 3 3(2)0aa ，整理可得：36(1)(2)0aa， 据此可知a的取值范围是2a 或1a 【点睛】本题考查导数与极值.函数的极值点必为导函数的零点，但在导函数的零点处函数不 一定取得极值，还需验证导函数验在零点

17、附近的正负.如果三次函数的导函数(二次函数)对应 的方程有两个相同的实根，那么三次函数是没有极值的. 三三 解答题解答题( (共共 6 6 道题，本题满分道题，本题满分 7070 分分) ) 17.已知集合3, 2, 1,0,1,2M ，若a，b，cM，则： （1） 2 yaxbxc可以表示多少个不同的二次函数？ （2） 2 yaxbxc可以表示多少个图象开口向上的二次函数？ 【答案】 （1）180； （2）72. 【解析】 【分析】 （1）根据 2 yaxbxc，表示二次函数，由此可判断a的取值情况，再分别判断b，c的 取值情况，然后利用分步乘法计数原理求解. （2）根据二次函数的性质，开口

18、向上，则0a ，由此可判断a的取值情况，再分别判断b， c的取值情况，然后利用分步乘法计数原理求解. 【详解】 （1）因为a不能取 0，所以有 5 种取法，b有 6 种取法，c有 6 种取法， 所以 2 yaxbxc可以表示5 6 6180 个不同的二次函数. （2） 2 yaxbxc的图象开口向上时，a不能取小于等于 0 的数，所以有 2 种取法，b有 6 种取法，c有 6 种取法， 所以 2 yaxbxc可以表示26672个图象开口向上的二次函数 【点睛】本题主要考查分步乘法计数原理，还考查了分析问题的能力，属于基础题. 18.长方体 1111 ABCDABC D中， 1 2,1,1ABB

19、CAA 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 10 - （1）求直线 1 AD与 1 B D所成角； （2）求直线 1 AD与平面 11 B BDD所成角的正弦. 【答案】 （1）直线 11 ADB D与所成角为 90； （2） 10 5 【解析】 试题分析： （1）建立空间直角坐标系，求出直线 AD1与 B1D 的方向向量，利用向量的夹角公式， 即可求直线 AD1与 B1D 所成角； （2）求出平面 B1BDD1的法向量，利用向量的夹角公式，即可求直线 AD1与平面 B1BDD1所成角的 正弦 解： （1）建立如图所示的直角坐标系，则 A（0，0，0） ，D1（1，0，1）

20、 ，B1（0，2，1） ，D（1， 0，0） ， cos= 1 1 26 =0， =90， 直线 AD1与 B1D 所成角为 90； （2）设平面 B1BDD1的法向量 =（x，y，z） ，则 ，=（1，2，0） ， ， 可取 =（2，1，0） ， 直线 AD1与平面 B1BDD1所成角的正弦为 2 25 = 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 11 - 考点：直线与平面所成的角；异面直线及其所成的角 19.设函数 2 ( )1 lnf xxx （1）求 ( )f x的单调区间； （2）求函数 ( )( )g xf xx 在区间 1 ,2 2 上的最小值 【答案】 （1）见

21、解析； （2）1 【解析】 【分析】 (1)利用导数求函数的单调区间.(2)利用导数先求函数的单调区间，即得函数的最小值. 【详解】 （1）定义域为0,， 1 2fxx x ，由 0fx 得 2 2 x ， fx的单调递减区间为 2 0, 2 ，单调递增区间为 2 + 2 ，； （2） 2 (l)1nxgxxx 2111 21 xx gxx xx ，由 0gx 得1x ， g x在 1 1 2 ，上单调递减，在（1，2）上单调递增， g x的最小值为 11g. 【点睛】(1)本题主要考查利用导数求函数单调区间和最值，意在考查学生对这些知识的掌握 水平和分析推理能力.（2）用导数求函数的单调区间

22、：求函数的定义域D求导 ( ) fx解不 等式 ( ) fx 0 得解集P求DP,得函数的单调递增（减）区间. 20.已知函数 32 3f xaxbx，在1x 时有极大值3. （1）求a、b的值； 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 12 - （2）求函数 fx在1,3上的最值. 【答案】 （1）2a ，3b ； （2）最大值115f ，最小值 381f . 【解析】 【分析】 （1）求出函数 yf x的导数 fx ，由题意得出 13 10 f f ，列出a、b的方程组，可 解出实数a、b的值； （2）由（1）得出 32 69fxxx ，利用导数求出函数 yf x在区间1,

23、3上的极值， 并与端点函数值比较大小，可得出函数 yf x在区间1,3上的最大值和最小值. 【详解】 （1） 32 3f xaxbxQ， 2 96fxaxbx， 由题意得 1333 1960 fab fab ，解得 2 3 a b ； （2）由（1）知 32 69f xxx ，则 2 1818181fxxxx x . 令 0fx ，得0 x 或1x ，列表如下： x 1 1,000,1 1 1,33 fx 00 fx15 极小值 0 极大值 3 81 因此，函数 yf x在区间1,3上的最大值115f ，最小值 381f . 【点睛】本题考查导数与导数的极值、以及利用导数求最值，解题时要注意导

24、数与极值、最 值之间的关系，同时要注意导数求函数最值的基本步骤，考查分析问题和解决问题的能力， 属于中等题. 21.已知函数f（x）x 2+2alnx. (1)若函数f（x）的图象在（2，f（2） ）处的切线斜率为 1，求实数a的值； 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 13 - (2)若函数 2 g xf x x 在1，2上是减函数，求实数a的取值范围. 【答案】 （1）3； （2） 7 2 a . 【解析】 【分析】 （1）求出函数的导数，由导数的几何意义得 21f，解方程即可； （2）根据函数的单调 性与导数的关系可得 0gx 在1，2上恒成立，等价于为 2 1 ax

25、 x 在1,2上恒成立,利 用导数求出函数 2 1 h xx x 在1，2上的最小值，从而可得出结论 【详解】(1)函数 2 2 lnf xxax的导数为 2 2 a fxx x ， 由已知f(2)=1，即 4+a=1，解得a=3. (2) 由 2 2 2 lng xxax x ，得 2 22 2 a gxx xx ， 由已知函数g(x)为1,2上的单调减函数， 则g(x)0 在1,2上恒成立， 即 2 22 20 a x xx 在1,2上恒成立， 即 2 1 ax x 在1,2上恒成立, 令 2 1 h xx x ,在1,2上 2 1 20hxx x ， 所以h(x)在1,2为减函数， mi

26、n 7 2 2 h xh ， 7 2 a . 【点睛】利用单调性求参数的范围的常见方法： 视参数为已知数，依据函数的图象或单调 性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数需注意若函数在区间, a b上是单 调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的; 利用导数转化为不等式 0fx 或 0fx 恒成立问题求参数范围 22.已知函数 32 1 , , 3 fxxaxbxc a b cR. (1)若函数 f x在1x 和2x 处取得极值，求, a b的值； 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 14 - (2)在(1)的条件下，当2,3x 时， 2f xc恒成立，求c的

27、取值范围. 【答案】 （1） 1 2 2 a b ； （2） 10 3 c . 【解析】 【分析】 （ 1 ） 由 题 意 得 2 ( )2fxxaxb， 然 后 再 根 据 题 意 得 到1x 和2x 是 方 程 2 20 xaxb 的两根，于是由二次方程根与系数的关系可得所求 （2）利用导数求出函数 ( )f x在区间 2,3上的最小值，进而可得所求范围 【详解】 （1） 32 1 ( ) 3 f xxaxbxc， 2 ( )2fxxaxb 又函数 f x在1x 和2x 处取得极值， 1x 和2x 是方程 2 20 xaxb 的两根， 1 22 12 a b ，解得 1 2 2 a b 经

28、检验得 1 ,2 2 ab 符合题意， 1 ,2 2 ab （2）由（1）得 2 ( )2(1)(2)fxxxxx， 当21x 或23x时，( )0,( )fxf x 单调递增； 当12x 时，( )0,( )fxf x 单调递减 又 210 ( 2),2 33 fcfc， 10 2 3 min fxfc 当2,3x 时， 2f xc恒成立， 10 2 3 cc，解得 10 3 c ， 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 15 - 实数c的取值范围为 10 (,) 3 【点睛】求函数 ( )f x在区间 , a b上的最值的方法： (1)若函数在区间 , a b上单调递增或递减，( )f a与( )f b一个为最大值，一个为最小值； (2)若函数在闭区间 , a b内有极值，要先求出 , a b上的极值，与( )f a，( )f b比较，最大的 是最大值，最小的是最小值，可列表完成； (3)函数 ( )f x在区间( , )a b上有唯一一个极值点，这个极值点就是最大(或小)值点，此结论在 导数的实际应用中经常用到 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 16 -