河南省洛阳市2019-2020学年高二下学期期中考试数学（理）试题 Word版含解析.doc

1、高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 1 - 洛阳市洛阳市 2019201920202020 学年第二学期期中考试学年第二学期期中考试 高二数学试卷高二数学试卷( (理理) ) 一一 选择题选择题 1.若复数z满足1i zi ，则z的共轭复数的虚部是（） A.iB.iC. 1D.1 【答案】C 【解析】 【分析】 由题意结合复数的除法法则可得1zi ，再根据共轭复数、复数虚部的概念即可得解. 【详解】由题意 2 11 11 iii zii ii ， 所以z的共轭复数 1zi ，则z的共轭复数的虚部为 1. 故选：C. 【点睛】本题考查了复数的运算，考查了共轭复数及复数虚部的概

2、念，属于基础题. 2.用反证法证明命题：“设a，b，c为实数，满足abc 是无理数，则a，b，c至少有一 个是无理数”时，假设正确的是（） A. 假设a，b，c都是有理数B. 假设a，b，c至少有一个是有理数 C. 假设a，b，c不都是无理数D. 假设a，b，c至少有一个不是无理数 【答案】A 【解析】 【分析】 由题意结合反证法的概念直接写出原命题的否定，即可得解. 【详解】用反证法证明命题时，需要假设命题的否定是正确的， 原命题的否定是“设a，b，c为实数，满足abc 是无理数，则a，b，c都不是无理数” 即“设a，b，c为实数，满足abc 是无理数，则a，b，c都是有理数”. 所以需要假

3、设a，b，c都是有理数. 故选：A. 【点睛】本题考查了反证法的概念辨析，关键是对于反证法概念的掌握，属于基础题. 3.函数 fx的图象如下图，则函数 fx在下列区间上平均变化率最大的是（） 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 2 - A. 1,2 B.2,3C.3,4D.4,7 【答案】C 【解析】 【分析】 由题意结合平均变化率的概念即可得解. 【详解】函数 fx在区间上的平均变化率为 y x ， 由函数图象可得， 在区间4,7上，0 y x 即函数 fx在区间4,7上的平均变化率小于 0； 在区间 1,2、 2,3、3,4上时，0 y x 且x相同，由图象可知函数在区

4、间3,4上的 y x 最大. 所以函数 fx在区间3,4上的平均变化率最大. 故选：C. 【点睛】本题考查了平均变化率的概念，关键是对知识点的准确掌握，属于基础题. 4.有一段演绎推理： “若数列 n a的前n项和为 n S， 则通项公式 -1nnn aSS.已知数列 n a 的前n项和为 2 1 n Sn， 则通项公式 1 21 nnn aSSn”.对该演绎推理描述正确的是 （） A. 大前提错误，导致结论错误B. 小前提错误，导致结论错误 C. 推理形式错误，导致结论错误D. 以上演绎推理是正确的 【答案】A 【解析】 【分析】 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 3

5、- 根据演绎推理：三段论的推理过程即可判断. 【详解】若数列 n a的前n项和为 n S，则通项公式 -1nnn aSS， 需2n ， 所以 2 1 n Sn，则通项公式 1 21 nnn aSSn，2n ， 当1n 时， 1 2a ，不满足通项公式， 即大前提错误，导致结论错误. 故选：A 【点睛】本题考查了演绎推理的三段论的推理过程，属于基础题. 5.函数 cossin0f xxxx x的单调递增区间为（） A. * 3 (,)() 22 nNnn B. * (1) (,)() 22 N nn n C. * () )(,1)nnNnD. * ()21,2(nnNn 【答案】D 【解析】 【

6、分析】 先求导，进而利用导数与函数的单调性的关系即可求解. 【详解】函数 cossin0f xxxx x， cossincossinyxxxxxx ， 由sin0 xx，0 x ，可得sin0 x ， 解得22nxnkZ， 所以函数的单调递增区间为 * ()21,2(nnNn. 故选：D 【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性、解三角不等式，解题的关键是利用导数的 运算法则求出导函数，属于基础题. 6.已知过原点的直线l与曲线 x ye相切，则由曲线 x ye，y轴和直线l所围成的平面图形 的面积是（） 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 4 - A. e 1 2 B.

7、1eC. 2 e D.1e 【答案】A 【解析】 【分析】 根据导数的几何意义求出直线l的方程，再确定出积分区间和被积函数，利用导数和积分的 关系完成本题的求解. 【详解】解：由已知 x ye的导函数为 exy ， 设过原点的直线l与曲线 x ye相切于点, a a e， 则 | a x a ye ， 直线l的方程为 aa yexae，即 aaa ye xaee， 又直线l过原点，则 0 aa aee ，解得1a ， 所以直线l的方程为y ex ， 由曲线 x ye，y轴和直线l所围成的平面图形的面积为 1 2 0 1 111 11 0222 xx eex dxeexeee . 故选：A. 【

8、点睛】本题考查曲边图形面积的计算问题，考查学生分析问题解决问题的能力和意识，考 查学生的转化与化归能力和运算能力，考查学生对定积分与导数的联系的认识，求定积分关 键要找准被积函数的原函数，属于定积分的简单应用问题. 7.如图：图O内切于正三角形ABC，则3 ABCOABOACOBCOBC SSSSS ，即 11 |3| 22 BChrBC ，3hr，从而得到结论：“正三角形的高等于它的内切圆的半 径的 3 倍”；类比该结论到正四面体，可得到结论：“正四面体的高等于它的内切球的半径 的a倍”，则实数a （） 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 5 - A. 5B. 4C. 3

9、D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】 利用等体积，即可得出结论. 【详解】解：设正四面体的高为h，底面积为S，内切球的半径为r， 则 11 4 33 VShSr， 4hr ， 则4a . 故选：B. 【点睛】本题考查类比推理，考查等体积方法的运用，考查学生的计算能力，比较基础. 8.若函数 2 2ln 2 x a f xxx存在极值，则实数a的取值范围是（） A.,1B.,1C.0,1D.0,1 【答案】A 【解析】 【分析】 由题意可知，函数 yf x在定义域0,上存在极值点，令 0fx 可得 2 21 a xx ， 换元 1 0t x ，可得 2 20tta，则实数a的取值范围为函数

10、2 2ytt=-在0,上的值 域且满足 ，由此可求得实数a的取值范围. 【详解】函数 2 2ln 2 x a f xxx的定义域为0,，且 1 2fxax x . 由题意可知，函数 yf x在定义域0,上存在极值点， 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 6 - 由 0fx 可得 2 21 a xx ，令 1 0t x ，则 2 2att ， 则实数a的取值范围为函数 2 2ytt=-在0,上的值域且满足 ， 对于二次函数 2 2 211yttt ，当0t 时， 2 2 211 1yttt ， 对于二次方程 2 2att ，即 2 20tta，440a ，解得1a . 因此，

11、实数a的取值范围是,1. 故选：A. 【点睛】本题考查利用函数的极值点求参数，一般转化为导函数的零点，但要注意导函数的 图象与x轴不能相切，考查化归与转化思想的应用，属于中等题. 9.若1ab， b Pae ， a Qbe，则P，Q的大小关系是（） A.P Q B.PQC.PQD. 不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】 对P，Q作商并化简，构造函数 x e fx x ，根据函数的单调性判断 P Q 与 1 的大小关系，即可 得出P，Q的大小关系. 【详解】P，Q作商可得 aa b b e Pae b eQbe a ，令 x e fx x ，则 2 1 x ex fx x ，当1x 时， 0

12、fx ， 所以 x e fx x 在 1,上单调递增，因为1ab，所以 ba ee ba ，又0 b e b ，0 a e a ， 所以1 a b e b e a ，所以PQ. 故选：C 【点睛】本题主要考查作商法比较大小，解题的关键是会构造函数并判断单调性. 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 7 - 10.部分与整体以某种相似的方式呈现称为分形，一个数学意义上分形的生成是基于一个不断 迭代的方程式，即一种基于递归的反馈系统，分形几何学不仅让人们感悟到科学与艺术的融 合，数学与艺术审美的统一，而且还有其深刻的科学方法论意义，如图，由波兰数学家谢尔 宾斯基 1915 年提出

13、的谢尔宾斯基三角形就属于一种分形，具体作法是取一个实心三角形，沿 三角形的三边中点连线.将它分成 4 个小三角形，去掉中间的那一个小三角形后，对其余 3 个 小三角形重复上述过程逐次得到各个图形， 若记图三角形的面积为 3 4 ， 则第n个图中阴影 部分的面积为（） A. 1 33 () 92 n B. 33 ( ) 62 n C. 33 ( ) 44 n D. 33 ( ) 34 n 【答案】D 【解析】 【分析】 每一个图形的面积是前一个图形面积的 3 4 ，根据等比数列公式得到答案. 【详解】根据题意：每一个图形的面积是前一个图形面积的 3 4 ，即面积为首项为 3 4 ，公比 为 3

14、4 的等比数列， 故第n个图中阴影部分的面积为 1 3333 ( ) 4434 n n . 故选：D. 【点睛】本题考查了等比数列的应用，意在考查学生的计算能力和应用能力. 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 8 - 11.已知b为正实数，直线y xa 与曲线 x b ye 相切，则 2 a b 的取值范围是（） A.), e B. 2 ,)eC.2,)D.4,) 【答案】D 【解析】 【分析】 取导数为 1 计算得到切点为,1b，将切点代入直线，得到1ba ，换元利用均值不等式 得到答案. 【详解】 x b ye ，则 1 x b ye ，则xb ，当xb ，1y ，故切

15、点为,1b， 将切点代入直线得到1ba ， 2 2 111 2224 ba bb bbbb ， 当1b 时等号成立. 故选：D. 【点睛】本题考查了根据切线求参数，均值不等式，意在考查学生的计算能力和应用能力， 确定1ba 是解题的关键. 12.关于x的方程 ln ln 0 x m x x xx 有三个不等的实数解 1 x， 2 x， 3 x， 且 123 1xxx ， 则 2 123 123 lnlnl (1) (1)(1 n ) x x x xx x 的值为（） A.eB. 1C.1 mD.1m 【答案】B 【解析】 【分析】 设 ln x fx x ，求导计算单调区间，画出函数图像，设

16、ln x t x ，代入化简得到二次方程， 计算根与系数关系，代入式子计算得到答案. 【详解】设 ln x fx x ，则 2 1lnx fx x ， 故函数在0,e上单调递增，在, e 上单调递减， 1 f e e ，画出函数图像，如图所示： 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 9 - 设 ln x t x ， ln ln 0 x m x x xx ，则 ln n 0 1 1 l x x x m x ，即 1 0 1 tm t ， 化简整理得到： 2 110tmtm ， 故 12 1ttm ，1 21t tm ， 且 1 0t ， 2 1 0t e ， 2 22 2 31

17、2 121 212 123 (1) (1)(1 lnlnln )1111ttt tt xxx t xxx . 故选：B. 【点睛】本题考查了求利用导数研究方程的解，意在考查学生的计算能力和应用能力，换元 是解题的关键. 二二 填空题填空题 13.设复数1zi ，则 2 2 |z z _. 【答案】 5 【解析】 【分析】 利用复数运算化简得到 2 2 12zi z ，再计算复数模得到答案. 【详解】1zi ，则 22 22 111 1 1 2 2 2 i i ziiiii z ， 则 22 2 2 215z z . 故答案为： 5. 【点睛】本题考查了复数的计算，复数的模，意在考查学生的计算能

18、力和转化能力. 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 10 - 14. 2 32 2( 4)xxdx _ 【答案】2 【解析】 【分析】 3 yx为奇函数， 2 3 2 0 x dx ，再利用定积分的几何意义计算得到答案. 【详解】 3 yx为奇函数，故 2222 32322 2222 (4)44xx dxx dxx dxx dx ， 设 2 4yx ，即 22 4xy，0y，对应半圆的面积为 2 1 22 2 ， 故 2 32 2( 4)2xxdx . 故答案为：2. 【点睛】本题考查了定积分的计算，意在考查学生的计算能力和应用能力，转化为对应半圆 的面积是解题的关键. 1

19、5.已知函数sin 1 ( ) x x fxxxe e ，其中e是自然对数的底数.若 2 ()(23)0f afa，则实数a的取值范围是_. 【答案】3,1 【解析】 【分析】 确定函数为奇函数，增函数，将不等式转化为 2 ()32f afa，根据函数单调性计算得到 答案. 【详解】sin 1 ( ) x x fxxxe e ，则 1 sin() x x fxx e xefx ，故函数为奇 函数. cosco 11 ( )11 21 cos0s xx xx fxexxex ee ，函数单调递增， 2 ()(23)0f afa，故 2 ()(23)32f afafa ，故 2 32aa ， 解得

20、31a . 故答案为：3,1. 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 11 - 【点睛】本题考查了利用导数确定单调性，利用单调性和奇偶性解不等式，意在考查学生对 于函数性质的灵活运用. 16.已知函数 23f xx， lng xxx，若 12 f xg x，则 21 xx的最小值为 _. 【答案】2 【解析】 【分析】 求导得到 1 1gx x ，取 1 12gx x 得到1x ，计算切线得到答案. 【详解】 lng xxx，则 1 1gx x ，取 1 12gx x ，故1x ， 11g， 故切线方程为21yx，取231yx，解得1x ， 故 21 xx的最小值112 .

21、故答案为：2. 【点睛】本题考查了利用导数求最值，意在考查学生的计算能力和应用能力，转化为切线方 程是解题的关键. 三三 解答题解答题 17.已知m为实数，设复数 22 (56)(253)zmmmmi. （1）当复数z为纯虚数时，求m的值； 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 12 - （2）当复数z对应的点在直线70 xy的上方，求m的取值范围. 【答案】 （1）2.（2）(, 4)(4,) 【解析】 【分析】 （1）直接根据复数的类型得到方程，解得答案. （2）直线70 xy的上方的点的坐标, x y应满足70 xy，代入数据解不等式得 到答案. 【详解】 （1）由题意

22、得： 2 2 560 2530, mm mm ，解得2m . （2）复数z对应的点的坐标为 22 56,253mmmm， 直线70 xy的上方的点的坐标, x y应满足70 xy， 即： 22 (56)(253)70mmmm，解得4m或4m ， m的取值范围为(, 4)(4,) . 【点睛】本题考查了根据复数的类型和复数的对应点的位置求参数，意在考查学生的计算能 力和转化能力. 18.（1）已知0ab，求证： 3322 22ababa b ； （2）若x，y都是正实数，且2xy，用反证法证明：12 x y 与 1 2 y x 中至少有一个 成立. 【答案】 （1）证明见解析.（2）证明见解析

23、【解析】 【分析】 （1）利用作差法即可证明. （2）假设 1 2 x y ， 1 2 y x ，从而可得12xy，12yx，两不等式相加即可找出 矛盾点，即证. 【详解】 （1） 33222222 222 ()()ababa ba abb ab 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 13 - ()()(2)ab abab， 0ab， 0ab，0ab，20ab， 从而：20ababab， 3322 22ababa b . （2）假设 1 2 x y ， 1 2 y x ， 则12xy，12yx， 所以1122xyyx ，所以2xy， 与条件2xy矛盾， 所以假设不成立，即 1

24、 2 x y 与 1 2 y x 中至少有一个成立. 【点睛】本题考查了作差法证明不等式、反证法，反证法关键找出矛盾，属于基础题. 19.不期而至的新冠肺炎疫情，牵动了亿万国人的心，全国各地纷纷捐赠物资驰援武汉.有一 批捐赠物资需要通过轮船沿长江运送至武汉，已知该运送物资的轮船在航行中每小时的燃料 费和它的速度的立方成正比，已知当速度为 10 海里/时时，燃料费是 6 元/时，而其他与速度 无关的费用是 96 元/时，问当轮船的速度是多少时，航行 1 海里所需的费用总和最小？ 【答案】当轮船的速度为 20 海里/时时，航行 1 海里所需费用总和最小. 【解析】 【分析】 设速度为v海里/时的燃

25、料费是p元/时，由题设的比例关系得 3 pk v，由数据可得 3 0.006pv，列出航行 1 海里的总费用为 32 196 (0.00696)0.006(0)yvvv vv ，再 利用导数求出最值即可. 【详解】设速度为v海里/时的燃料费是p元/时， 由题设的比例关系得 3 pk v，其中k为比例系数. 由10v ，6p =，得 3 6 0.006 10 k ， 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 14 - 于是 3 0.006pv. 设船的速度为v海里/时，航行 1 海里所需的总费用为y元， 而每小时所需的总费用是 3 0.00696v 元，航行 1 海里所需时间为 1

26、 v ， 所以航行 1 海里的总费用为 32 196 (0.00696)0.006(0)yvvv vv . 所以 3 22 960.012 0.012(8000)yvv vv . 令0y ，解得20v . 因为当020v时，0y；当20v 时，0y ， 所以当20v 时，y取得最小值. 故当轮船的速度为 20 海里/时时，航行 1 海里所需费用总和最小. 【点睛】本题考查了分式函数模型、利用导数求最值，考查了考生的分析问题、解决问题的 能力，属于基础题. 20.在各项为正的数列an中，数列的前n项和Sn满足 11 () 2 nn n aS a . (1)求 123 ,a a a(2)由(1)猜

27、想数列 n a的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想 【答案】(1)见解析. (2)见解析. 【解析】 试题分析： （I）由 11 2 nn n Sa a ，n 分别取 1，2，3，代入计算，即可求得结论，猜想 1 n ann； （II）用数学归纳法证明的关键是 n=k+1 时，变形利用归纳假设 试题解析： (1)当1n 时， 11 1 11 2 aa a ， 1 1a 或 1 1a (舍,0 n a ). 当2n 时， 122 2 11 2 aaa a ， 2 21a 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 15 - 当3n 时， 1233 3 11 2 aaaa a ， 2

28、 32a 猜想：1 n ann. (2)证明：当1n 时，显然成立 假设nk时，1 k akk成立， 则当1nk时， 111 1 1111 22 kkkkk kk aSSaa aa , 即 1 1 111 12 1 kk kk aakkk aakk 1 1 k akk . 由、可知， * nN ，1 n ann. 点睛：数学归纳法两个步骤的关系： 第一步是递推的基础，第二步是递推的根据，两个步骤缺一不可，有第一步无第二表，属于 不完全归纳法，论断的普遍性是不可靠的；有第二步无第一步中，则第二步中的假设就失去 了基础只有把第一步结论与第二步结论联系在一起，才可以断定命题对所有的自然数 n 都 成

29、立 21.已知函数 2 (1) x f xx eax， （aR） （1）若 1 2 a ，求 fx的极值； （2）若0 x 时，( )0f x ，求实数a的取值范围 【答案】 （1）极大值是 11 2e ，( )f x的极小值是0（2）1a 【解析】 【分析】 （1） 2 1 1 2 x xfx ex ，求导 110 x fxxe，判断 fx， fx变化 求得极值； （2）解法一:分离 a,求最值得 a 的范围，解法二: x fxea，讨论 a 的范围 得解 【详解】 （1）当 1 2 a 时， 2 1 1 2 x xfx ex 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 16 -

30、 110 x fxxe时，则1x ，0 x . 当x变化时， fx ， fx变化状态如下表： x , 1 -11,000, fx +0-0+ fx极大极小 所以 fx的极大值是 11 1 2 f e ， fx的极小值是 00f （2） ）等价于当0 x 时， 10 x fxx eax 恒成立 解法一: 当0 x ，等号成立，当x0， 1 0 x e f xa x ，设 1 x e g x x minag x，由经典不等式1 x ex 1a 或者 2 1 xx xee gx x ， 1 xx xxee， 0 xxxx xexeexe x， 00 x 0gx ， g x ，又 0,1xg x1a

31、解法二: x fxea，0 x ， 1 x e 若1a，则 0 x fxea， f x ， 00f xf，即不等式恒成立.（充分 性） 若1a ， 0 x fxea 0 ln0 xa 0 0,xx， 0fx， f x ， 00fxf， 这与当0 x 时， 10 x f xeax 恒成立相矛盾（必要性） 【点睛】本题考查函数与导数的极值，考查不等式恒成立，考查转化化归能力，考查计算能 力，是中档题 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 17 - 22.已知函数 fx的导函数为 fx ，且 14 ( )(2)(1 3 ln) 2 xf xfxf. （1）求函数 fx的解析式； （

32、2）若函数 2 1 ( )( ) 2 h xxf xxaxb区间(1,)上存在非负的极值，求 1 b a 的最大值. 【答案】 （1） 1 ( )ln2 2 f xxx； （2）e 【解析】 【分析】 （1）令1x 可求得(1)f，求导后再令2x 即可求得 2 f ，即可得解； （2）对函数( )h x求导后，根据10a、10a分类讨论，求出函数的极值，进而可得 1 11 a be aa ，令( )(0) x e xx x ，求导后，得出 ( )x的最大值，即可得解. 【详解】 （1）令1x ， 41 (1)(1) 32 ff， 3 (1) 2 f ， 1 ( )(2)l2 2 n xf xf

33、x， (2)1 ( ) 2 f fx x ，代入 2x 可得 (2)1 (2) 22 f f ， ( ) 21f=， 1 ( )ln2 2 f xxx. （2）由题意 2 1 ( )( )l2n 2 h xxf xxaxbxxaxbx， ln1 2ln1xah xxa ， 当10a即1a 时， 0h x 在(1,)上恒成立， h x在区间(1,)上单调递增， h x无极值，不合题意； 当10a即1a 时，令 0h x ，则 1a xe ， 当 1 1, a xe ， 0h x，函数 h x单调递减； 1,a xe ， 0h x，函数 h x单调递增； h x在(1,)存在唯一极值 1a h e

34、 ， 又函数( )h x区间(1,)上存在非负的极值， 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 18 - 存在 111111 ln20 aaaaaa h eeeeaebeb ， 存在 1a be 即 1 11 a be aa ， 令( )(0) x e xx x ， 2 (1) ( ) x xe x x ， 当0,1x时， 0 x， x单调递增； 当(1,)x时， 0 x， x单调递减； max ( )(1)xe ， 当11a 即0a 时， 1 1 a e a 取最大值e， 1 b a 的最大值为e. 【点睛】本题考查了导数的综合应用及有解问题的解决，考查了运算求解能力与逻辑推理能 力，解题的关键是条件的转化及新函数的构造，属于中档题. 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 19 -