5.4.2 第1课时 周期性与奇偶性.pptx
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1、第1课时周期性与奇偶性 第五章5.4.2正弦函数、余弦函数的性质 1.理解周期函数的概念,能熟练地求出简单三角函数的周期. 2.会根据之前所学和函数的图象研究三角函数的奇偶性,能正确 判断一些三角函数的变式的奇偶性. 学 习 目 标 同学们,生活中,大家知道月亮圆了又缺,缺了又圆,这一周而复始 的自然现象,有诗为证:“昨夜圆非今日圆,却疑圆处减婵娟,一年 十二度圆缺,能得几多时少年”,从诗中,我们能领悟到光阴无情、 岁月短暂的道理,告诫人们要珍惜时光,努力学习.我们知道,从角到 角的三角函数值都有周而复始的现象,你知道这一现象反映的是函数 的什么性质吗?有了前面的三角函数的图象,今天我们来一起
2、探究三 角函数的一些性质. 导 语 随堂演练课时对点练 一、正弦函数、余弦函数的周期 二、正弦函数、余弦函数的奇偶性 三、三角函数奇偶性与周期性的综合应用 内容索引 一、正弦函数、余弦函数的周期 问题1正弦函数、余弦函数的图象有什么特点? 提示能够发现正弦函数、余弦函数的图象具有“周而复始”的变化规 律.我们可以从两个方面来验证这种特点:函数的图象,回顾正弦函数、 余弦函数的图象的画法,我们是先画出0,2上的函数图象,然后每次 向左(右)平移2个单位长度得到整个定义域上的函数图象. 诱导公式一,sin(2k)sin ,cos(2k)cos ,对任意的kZ 都成立. 知识梳理 1.函数的周期性
3、一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果存在一个 ,使得对每 一个xD都有xTD,且 ,那么函数f(x)就叫做周期函数. 叫做这个函数的周期. 2.最小正周期 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个 ,那么这个最小 正数就叫做f(x)的最小正周期. 非零常数T 非零常数T 最小的正数 f(xT)f(x) 3.正弦函数是 ,2k(kZ且k0)都是它的周期,最小正周期是 . 4.余弦函数是 ,2k(kZ且k0)都是它的周期,最小正周期是 . 注意点注意点: (1)关键词“每一个x”体现了对定义域中每一个值都得成立;(2)周期函数 的周期不唯一,任何T的非零整数倍都是函数的周期;(3)三角函数的
4、周期 是函数的整体性质,我们在研究函数时,只需研究一个周期上的图象和性 质即可;(4)若不加特殊说明,一般求三角函数的周期的问题,求的是函数 的最小正周期. 周期函数 周期函数 2 2 例1求下列三角函数的周期; (1)y7sin x,xR; 解因为7sin(x2)7sin x,由周期函数的定义知,y7sin x的周期为 2. (2)ysin 2x,xR; 解因为sin 2(x)sin(2x2)sin 2x,由周期函数的定义知,y sin 2x的周期为. (4)y|cos x|,xR. 解y|cos x|的图象如图(实线部分)所示. 由图象可知,y|cos x|的周期为. 反思感悟求三角函数周
5、期的方法 (1)定义法:利用周期函数的定义求解. (2)公式法:对形如yAsin(x)或yAcos(x)(A,是常数, A0,0)的函数,T (3)图象法:画出函数图象,通过图象直接观察即可. 跟踪训练1已知定义在R上的函数f(x)满足f(x2)f(x)1,则f(x)的周 期为 A.2 B.4 C.6 D.1 若f(xa)f(x),则函数f(x)的周期为a; 若f(xa)f(xa),则函数f(x)的周期为2a; 若f(xa)f(x),则函数f(x)的周期为2a; 二、正弦函数、余弦函数的奇偶性 问题2继续回顾正弦函数、余弦函数的图象,你还能发现什么特点? 提示正弦函数的图象关于原点对称,余弦函
6、数的图象关于y轴对称. 知识梳理 正弦函数是 ,余弦函数是 . 奇函数偶函数 例2判断下列函数的奇偶性. 因为xR,都有xR, (2)f(x)|sin x|cos x; 解函数f(x)|sin x|cos x的定义域为R, 因为xR,都有xR, 又f(x)|sin(x)|cos(x)|sin x|cos xf(x), 所以函数f(x)|sin x|cos x是偶函数. 因为xR,都有xR, 又f(x)(x)2sin(x)x2sin xf(x), 反思感悟判断函数奇偶性的方法 (1)判断函数奇偶性应把握好的两个方面: 一看函数的定义域是否关于原点对称; 二看f(x)与f(x)的关系. (2)对于
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