3.2.2　第2课时　奇偶性的应用.pptx

1、第2课时奇偶性的应用 第三章3.2.2奇偶性 1.掌握用奇偶性求解析式的方法. 2.理解奇偶性对单调性的影响并能用以比较大小、求最值和 解不等式. 学 习 目 标 随堂演练课时对点练 一、根据函数奇偶性求函数的解析式 二、利用函数奇偶性与单调性比较大小 三、利用函数的单调性与奇偶性解不等式 内容索引 一、根据函数奇偶性求函数的解析式 知识梳理 用奇偶性求解析式的步骤： 如果已知函数的奇偶性和一个区间a，b上的解析式，求关于原点的 对称区间b，a上的解析式，其解决思路为 (1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设. (2)要利用已知区间的解析式进行代入. (3)利用f(x)

2、的奇偶性写出f(x)或f(x)，从而解出f(x). 例1(1)若f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)x22x3，求 f(x)的解析式. 解当x0， f(x)(x)22(x)3x22x3， 由于f(x)是奇函数，故f(x)f(x)， 所以f(x)x22x3. 即当x0时，f(x)x22x3. 又因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)0. (2)设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)g(x) ，求函数f(x)，g(x) 的解析式. 解f(x)是偶函数，g(x)是奇函数， f(x)f(x)，g(x)g(x)， 延伸探究 1.在本例(1)中，把条件“f(x)是定义在R上的

3、奇函数”改为“f(x)是定义 在R上的偶函数”，其余不变，求当x0时，f(x)的解析式. 解当x0， f(x)(x)22(x)3x22x3， 由于f(x)是偶函数，故f(x)f(x)， 所以f(x)x22x3. 即当x0时，f(x)x22x3. 2.在本例(2)中，把条件“f(x)是偶函数，g(x)是奇函数”改为“f(x)是奇 函数，g(x)是偶函数”，再求f(x)，g(x)的解析式. 解f(x)是奇函数，g(x)是偶函数， f(x)f(x)，g(x)g(x)， 反思感悟(1)已知某区间上函数的解析式，求对称区间上的函数的 解析式，应设这个区间上的变量为x，然后把x转化为x，此时x成 为了已知

4、区间上的解析式中的变量，通过应用奇函数或偶函数的定义， 适当推导，即可得所求区间上的解析式. (2)已知函数f(x)，g(x)组合运算与奇偶性，则把x换为x，构造方程组 求解. 提醒：若函数f(x)的定义域内含0且为奇函数，则必有f(0)0，但若为 偶函数，未必有f(0)0. 跟踪训练1(1)已知f(x)是R上的偶函数，当x(0，)时，f(x)x2x 1，当x(，0)时，求f(x)的解析式. 解设x0， 则f(x)(x)2(x)1x2x1， 又f(x)在R上为偶函数， 当x(，0)时，f(x)f(x)x2x1. (2)设函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x0，则x0， 则f(x)(x)2(x

5、)x2x. 又f(x)是R上的奇函数， f(x)f(x)x2x. 又函数的定义域为R，f(0)0， 二、利用函数奇偶性与单调性比较大小 问题想一想奇函数与偶函数的图象特点，如果奇函数在(2，1)上 单调递减，那么它在(1,2)上的单调性如何？如果偶函数在(2，1)上 单调递减，那么它在(1,2)上的单调性如何？ 提示奇函数在(1,2)上单调递减，偶函数在(1,2)上单调递增. 知识梳理 1.若f(x)为奇函数且在区间a，b(ab)上单调递增，则f(x)在b，a 上，即在对称区间上单调性. 2.若f(x)为偶函数且在区间a，b(ab)上单调递增，则f(x)在b，a 上，即在对称区间上单调性. 3

6、.若f(x)为奇函数且在区间a，b(ab)上有最大值为M，则f(x)在b， a上有最小值为. 4.若f(x)为偶函数且在区间a，b(ab)上有最大值为N，则f(x)在b， a上有最大值为. 以上a，b符号相同. 单调递增一致(相同) 单调递减相反 M N 例2已知f(x)是奇函数，且在区间0，)上单调递增，则f(0.5)， f(1)，f(0)的大小关系是 A.f(0.5)f(0)f(1)B.f(1)f(0.5)f(0) C.f(0)f(0.5)f(1)D.f(1)f(0)f(0.5) 解析函数f(x)为奇函数， 且f(x)在区间0，)上单调递增， f(x)在R上单调递增， f(1)f(0.5)

7、f(3)f(2) B.f()f(2)f(3) C.f()f(3)f(2) D.f()f(2)f(3) 解析由偶函数与单调性的关系知， 若x0，)，f(x)单调递增， 则x(，0时，f(x)单调递减， 故其图象的几何特征是自变量的绝对值越小， 则其函数值越小， |2|3|f(3)f(2). 三、利用函数的单调性与奇偶性解不等式 例3设定义在2,2上的奇函数f(x)在区间0,2上单调递减，若f(1 m)f(m)，求实数m的取值范围. 解因为f(x)是奇函数且f(x)在0,2上单调递减， 所以f(x)在2,2上单调递减. 反思感悟利用函数奇偶性与单调性解不等式，一般有两类 (1)利用图象解不等式.

8、(2)转化为简单不等式求解. 利用已知条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为f(x1)f(x2)的形式； 根据奇函数在对称区间上的单调性一致，偶函数在对称区间上的单 调性相反，去掉不等式中的“f”转化为简单不等式(组)求解. 特别提醒：列不等式(组)时不要忘掉函数的定义域. 跟踪训练3已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(，0)上单调 递增.若f(3)0，则 0时，由f(x)3； 当x0， 解得3x0. 故所求解集为x|3x3. x|3x3 1.知识清单： (1)利用奇偶性求函数的解析式. (2)利用奇偶性和单调性比较大小、解不等式. 2.方法归纳：转化法、数形结合法. 3.常见误区

9、：解不等式易忽视函数的定义域. 课堂小结 随堂演练 1234 1.已知偶函数在(，0)上单调递增，则 A.f(1)f(2) B.f(1)f(2). 1234 2.设偶函数f(x)在区间(，1上单调递增，则 解析f(x)为偶函数，f(x)f(x)， f(2)f(2). 1234 3.已知函数f(x) 为奇函数，则ab等于 A.1 B.1 C.0 D.2 解析当x0， f(x)为奇函数，f(x)f(x). 即ax2bxx2x，a1，b1. 故ab0. 1234 4.已知定义在R上的偶函数f(x)在(，0上单调递增，若f(a)f(3)，则 实数a的取值范围是_. (3,3) 解析由题意可知|a|3，

10、解得3a0时，x0， 所以f(x)x(1x). 又f(x)f(x)， 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 6.(多选)一个偶函数定义在区间7,7上，它在0,7上的图象如图所示， 下列说法正确的是 A.这个函数有三个单调递增区间 B.这个函数有两个单调递减区间 C.这个函数在其定义域内有最大值7 D.这个函数在其定义域内有最小值7 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析根据偶函数在0,7上的图象及其对称性，作出函数在7,0上 的图象，如图所示， 可知这个函数有三个单调递增区间； 有三个单调递减区间； 在其定义域内有最大值是7； 在其定义域内

11、最小值不是7. 12345678910 11 12 13 14 15 16 7.若f(x)(m1)x26mx2是偶函数，则f(0)，f(1)，f(2)从小到大的 排列是_. 解析f(x)是偶函数，f(x)f(x)恒成立， 即(m1)x26mx2(m1)x26mx2恒成立， m0，即f(x)x22. f(x)的图象开口向下，对称轴为y轴，在0，)上单调递减， f(2)f(1)f(0)， 即f(2)f(1)f(0). f(2)f(1)f(0) 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 9.已知f(x)是定义在(1,1)上

12、的奇函数，且f(x)在(1,1)上是减函数，解 不等式f(1x)f(12x)0. 解f(x)是定义在(1,1)上的奇函数， 由f(1x)f(12x)0，得 f(1x)f(12x)，即f(1x)f(2x1). 又f(x)在(1,1)上是减函数， 12345678910 11 12 13 14 15 16 10.已知yf(x)是奇函数，它在(0，)上单调递增，且f(x)0，试问F(x) 在(，0)上单调递增还是单调递减？证明你的结论. 12345678910 11 12 13 14 15 16 解F(x)在(，0)上单调递减. 证明如下：任取x1，x2(，0)，且x1x20. 因为yf(x)在(0

13、，)上单调递增，且f(x)0， 所以f(x2)f(x1)f(x1)0. 12345678910 11 12 13 14 15 16 即F(x1)F(x2)， 12345678910 11 12 13 14 15 综合运用 16 11.若函数yf(x)是奇函数，且函数F(x)af(x)bx2在(0，)上有 最大值8，则函数yF(x)在(，0)上有 A.最大值8 B.最小值8 C.最小值6 D.最小值4 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析yf(x)和yx都是奇函数， T(x)af(x)bx也为奇函数. 又F(x)af(x)bx2在(0，)上有最大值8， T(x)af(

14、x)bx在(0，)上有最大值6， T(x)af(x)bx在(，0)上有最小值6， F(x)af(x)bx2在(，0)上有最小值4. 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 f(x)在(0，)上单调递减且f(1)0， 奇函数的图象关于原点对称， 在(，0)上f(x)单调递减且f(1)0， 综上，不等式的解集为(，1)(1，). 13.已知定义在R上的奇函数满足f(x8)f(x)，且在区间0,2上单调 递增，则 A.f(25)f(1)f(80) B.f(25)f(80)f(1) C.f(1)f(25)f(80) D.f

15、(1)f(80)f(25) 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析f(x8)f(x)， f(25)f(17)f(9)f(1)， 同理f(80)f(0)， 又奇函数f(x)在区间0,2上单调递增， f(x)在区间2,2上单调递增， f(1)f(0)f(1)， 即f(1)f(80)0，则x的 取值范围是_. (1,3) 解析f(x)为偶函数，f(x1)f(|x1|)， 又f(2)0，f(x1)0，f(|x1|)f(2). |x1|,20，)，且f(x)在0，)上单调递减， |x1|2，即2x10. (1)若ab，试比较f(a)与f(b)的大小关系； 12345678910 11 12 13 14 15 16 解因为ab，所以ab0， 所以f(a)f(b)0. 又f(x)是定义在R上的奇函数， 所以f(b)f(b)， 所以f(a)f(b)0，即f(a)f(b). (2)若f(1m)f(32m)0，求实数m的取值范围. 12345678910 11 12 13 14 15 16 解由(1)知f(x)为R上的增函数， 因为f(1m)f(32m)0， 所以f(1m)f(32m)， 即f(1m)f(2m3)， 所以1m2m3，所以m4. 所以实数m的取值范围为(，4. 本课结束 更多精彩内容请登录：