3.2.2　第1课时　奇偶性的概念.pptx

1、第1课时奇偶性的概念 第三章3.2.2奇偶性 1.了解函数奇偶性的定义. 2掌握判断和证明函数奇偶性的方法. 3应用函数的奇偶性解决简单的求值问题. 学 习 目 标 古语有云：“夫美者，上下，内外，大小，远近皆无害焉，故曰美.” 大家知道，我国的建筑，无论宫殿、庙宇、亭台、园林，无不有着对 称之美，还能给人以稳重、博大、端庄的感觉，你能说出生活中和对 称有关的例子吗？而对称美在数学中更是体现的淋漓尽致，今天我们 来探究数学中的对称美. 导 语 随堂演练课时对点练 一、函数奇偶性的概念 二、函数奇偶性的判断 三、奇、偶函数的图象及应用 内容索引 四、利用函数的奇偶性求值 一、函数奇偶性的概念 问

2、题1观察下列函数图象，你能发现这两个函数图象有什么共同特征吗？ 提示这两个函数图象都关于y轴对称. 问题2如何利用符号语言精确地描述“函数图象关于y轴对称”呢？ 不妨取自变量的一些特殊值，观察下表相应函数值的情况. x3210123 f(x)x29410149 g(x)2|x|1012101 提示可以发现当自变量取一对相反数时，相应的两个函数值相等. 问题3观察函数f(x)x和g(x) 的图象，你能发现这两个函数图象有 什么共同特征吗？你能用符号语言精确地描述这一特征吗？并自主探 究结果. 提示可以发现，两个函数的图象都关于原点成中心对称图形. 知识梳理 偶函数的定义：一般地，设函数f(x)的

3、定义域为I，如果xI，都有 xI，且 ，那么函数f(x)就叫做偶函数. 奇函数的定义：一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果xI，都有 xI，且 ，那么函数f(x)就叫做奇函数. f(x)f(x) f(x)f(x) 注意点：注意点：函数的奇偶性是函数的整体性质；先判断定义域是否关 于原点对称，如果xI，都有xI，即便定义域关于原点对称，还 需判断f(x)与f(x)的关系，若f(x)f(x)，则函数是偶函数，若f(x) f(x)，则函数是奇函数，若f(x)f(x)，则函数为非奇非偶函数； 偶函数图象关于y轴对称，奇函数图象关于原点对称；若奇函数在 原点处有意义，则必有f(0)0；若f(x)f(

4、x)，且f(x)f(x)，则 f(x)既是奇函数又是偶函数，既奇又偶的函数有且只有一类，即f(x)0， xD，D是关于原点对称的实数集. 二、函数奇偶性的判断 例1判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)|x|； 解函数f(x)的定义域为R，关于原点对称， 又f(x)|x|x|f(x)， f(x)为偶函数. 解函数f(x)的定义域为1,1， 关于原点对称，且f(x)0， 又f(x)f(x)，f(x)f(x)， f(x)既是奇函数又是偶函数. 解函数f(x)的定义域为x|x1，不关于原点对称， f(x)是非奇非偶函数. 解函数f(x)的定义域为x|x0， xx|x0，都有xx|x0， f(x)是奇

5、函数. 反思感悟判断函数奇偶性的方法： (1)定义法： (2)图象法： 跟踪训练1判断下列函数的奇偶性. (2)f(x)x2(x22). 解f(x)x2(x22)的定义域为R. f(x)f(x)， f(x)x2(x22)是偶函数. 三、奇、偶函数的图象及应用 例2已知函数yf(x)是定义在R上的偶函数，且当x0时，f(x)x2 2x.现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象，如图所示. (1)请补全函数yf(x)的图象； 解由题意作出函数图象如图. (2)根据图象写出函数yf(x)的单调递增区间； 解由图可知，单调递增区间为(1,0)，(1，). (3)根据图象写出使f(x)0的x的取值集合. 解

6、由图可知，使f(x)0的x的取值集合为x|2x2，且x0. 延伸探究若将本例中的“偶函数”改为“奇函数”，其他条件不变， 如何解答本题？ 解(1)由题意作出函数图象如图所示. (2)由图可知，单调递增区间为(1,1). (3)由图可知，使f(x)0的x的取值集合为x|2x2. 反思感悟巧用奇、偶函数的图象求解问题 (1)依据：奇函数图象关于原点对称，偶函数图象关于y轴对称. (2)求解：根据奇、偶函数图象的对称性可以解决诸如求值、比较大小 及解不等式问题. 跟踪训练2定义在3，11,3上的函数f(x)是奇函数，其部分图 象如图所示. 解由于f(x)是奇函数，则其图象关于原点对称，其图象如图所示

7、. (1)请在坐标系中补全函数f(x)的图象； (2)比较f(1)与f(3)的大小. 解观察图象，知f(3)1)是奇函数，则a等于 A.1 B.0 C.1 D.无法确定 解析奇函数的定义域关于原点对称， a10，即a1. 1234 2.下列图象表示的函数中具有奇偶性的是 解析选项A中的图象关于原点或y轴均不对称，故排除； 选项C，D中的图象表示的函数的定义域不关于原点对称，不具有奇偶 性，故排除； 选项B中的图象关于y轴对称，其表示的函数是偶函数. 1234 3.(多选)下列函数是奇函数的是 A.yx(x0,1) B.y3x2 C.y D.yx|x| 解析利用奇函数的定义，首先定义域关于原点对

8、称，排除选项A； 又奇函数需满足f(x)f(x)，排除选项B. 1234 4.已知函数yf(x)为偶函数，其图象与x轴有四个交点，则方程f(x)0 的所有实根之和是_.0 解析由于偶函数的图象关于y轴对称， 所以偶函数的图象与x轴的交点也关于y轴对称， 因此，四个交点中，有两个在x轴的负半轴上， 另两个在x轴的正半轴上，所以四个实根的和为0. 课时对点练 基础巩固 12345678910 11 12 13 14 15 16 1.已知yf(x)，x(a，a)，F(x)f(x)f(x)，则F(x)是 A.奇函数 B.偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数 解析F(x)f(x)f(x)F

9、(x)， 又x(a，a)关于原点对称， F(x)是偶函数. 2.若f(x)3x35xa1为奇函数，则a的值为 A.0 B.1 C.1 D.2 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析f(x)为R上的奇函数， f(0)0，得a1. 12345678910 11 12 13 14 15 16 其图象的对称轴为y轴. 12345678910 11 12 13 14 15 16 4.如图，给出奇函数yf(x)的局部图象，则f(2)f(1)的值为 解析f(2)f(1)f(2)f(1) A.2 B.2 C.1 D.0 12345678910 11 12 13 14 15 16 12

10、345678910 11 12 13 14 15 16 解析f(x)在R上为奇函数，f(x)f(x). f(x)f(x)f(x)f(x)0，故A正确. f(x)f(x)f(x)f(x)2f(x)，故B正确. 当x0时，f(x)f(x)0，故C不正确. 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析选项ABC中的函数满足定义域关于原点对称， 且f(x)f(x)， 由奇函数的定义可知选ABC. 12345678910 11 12 13 14 15 16 7.设偶函数f(x)的定义域为5,5，若当x0,5时，f(x)的图象如图所示， 则不等式f(x)0的解集是_. x|5x2或2x

11、5 解析因为偶函数的图象关于y轴对称， 所以可根据对称性确定不等式f(x)0的解集. 因为当x0,5时，f(x)0的解集为x|2x5， 所以当x5,0时，f(x)0的解集为x|5x2. 所以f(x)0的解集是x|5x2或20时，f(x)的图象 如图所示，那么f(x)的值域是_. 3，1)(1,3 解析因为当0 x3时，函数单调递增， 由图象可知1f(x)3， 由于函数f(x)是奇函数， 所以当3x0时，3f(x)0时，x0， 则f(x)(x)2(x)x2xf(x)； 当x0， 则f(x)(x)2(x)x2xf(x)， 所以f(x)是偶函数. 12345678910 11 12 13 14 15

12、 16 10.(1)如图，给出奇函数yf(x)的局部图象，试作出y轴右侧的图象并 求出f(3)的值； 12345678910 11 12 13 14 15 16 解奇函数yf(x)在y轴左侧图象上任一点P(x，f(x)关于原点的对 称点为P(x，f(x)， 图为图补充后的图象，易知f(3)2. 12345678910 11 12 13 14 15 16 (2)如图，给出偶函数yf(x)的局部图象，试作出y轴右侧的图象并比 较f(1)与f(3)的大小. 12345678910 11 12 13 14 15 16 解偶函数yf(x)在y轴左侧图象上任一点P(x，f(x)关于y轴的对称 点为P(x，

13、f(x)， 图为图补充后的图象，易知f(1)f(3). 12345678910 11 12 13 14 15 综合运用 16 11.已知f(x)ax3bx2是定义在a1,3a上的奇函数，那么ab等于 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析f(x)ax3bx2是定义在a1,3a上的奇函数， 再由奇函数的定义得f(x)f(x)， 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析若x是有理数，则x也是有理数， f(x)f(x)1；若x是无理数，则x也是无理数， f(x)f(x)0. 函数f(x)是偶函数. 13.(多选)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R

14、，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函 数，则下列结论中不正确的是 A.f(x)g(x)是偶函数B.|f(x)|g(x)是奇函数 C.f(x)|g(x)|是奇函数D.|f(x)g(x)|是奇函数 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析f(x)是奇函数，g(x)是偶函数， |f(x)|为偶函数，|g(x)|为偶函数. 再根据两个奇函数的积是偶函数、两个偶函数的积还是偶函数、一个 奇函数与一个偶函数的积是奇函数，可得f(x)|g(x)|为奇函数. 12345678910 11 12 13 14 15 16 14.已知定义域为a4,2a2的奇函数f(x)2 021x35xb2

15、，则f(a) f(b)的值为_.0 解析奇函数的图象关于原点对称， 所以a42a20， 所以a2， 因为函数f(x)是奇函数， 所以f(0)0， 即b20，故b2， 所以f(a)f(b)f(2)f(2)f(2)f(2)0. 拓广探究 12345678910 11 12 13 14 15 16 故f(a)1h(a)1h(a)21h(a) 16.已知函数f(x)对一切实数x，y都有f(xy)f(x)f(y)， (1)求证：f(x)是奇函数； 12345678910 11 12 13 14 15 16 证明由已知f(xy)f(x)f(y)， 令yx得f(0)f(x)f(x)， 令xy0得f(0)2f(0)， 所以f(0)0. 所以f(x)f(x)0， 即f(x)f(x)， 故f(x)是奇函数. (2)若f(3)a，试用a表示f(12). 12345678910 11 12 13 14 15 16 解由(1)知f(x)为奇函数. 所以f(3)f(3)a，所以f(3)a. 又f(12)f(6)f(6)2f(3)2f(3)4f(3)， 所以f(12)4a. 本课结束 更多精彩内容请登录：